专题2.4 函数的对称性与周期性讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.4 函数的对称性与周期性 题型1 函数的对称性 4 考点1 轴对称问题 4 考点2 中心对称问题 4 题型2 由函数的周期性求值 5 题型3 由函数的周期性求解析式 5 题型4 函数的奇偶性周期性对称性问题综合 6 高考真题演练 8 知识点一 函数的对称性 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 ⑴图象关于直线对称 推论1: 的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、)的图象关于直线对称 ⑵的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 2．两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) ⑴与图象关于轴对称 ⑵与图象关于原点对称函数 ⑶函数与图象关于轴对称 ⑷函数与其反函数图象关于直线对称 ⑸函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 知识点二 函数的周期性 1．周期性的定义 一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期 2．函数周期性的一些常用结论 ⑴设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立 ，，，,， 则函数是周期函数，且是它的一个周期. ⑵函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、， 即,且,那么是周期函数,其中一个周期 结论2：两点对称型:如果函数同时关于两点、成中心对称, 即和,那么是周期函数,其中一个周期 结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点成中心对称，且关于直线成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论1：如果偶函数的图像关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论2：如果偶函数的图像关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期 推论3：如果奇函数的图像关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论4：如果奇函数关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期 3. 周期性的应用: (1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质. (2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴. (3).单调性： 由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减). 4. 应用5.类周期函数 1.把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做类周期函数. 2.性质：例如类周期函数在时的解析式为，当时，，则 3.满足该类型的函数是以为周期的类周期函数. 当时, 函数图像以周期为单位从左至右后一个周期图 像上的点与前一周期对应点的纵坐标伸长或缩短为原的倍. 题型1 函数的对称性 考点1 轴对称问题 1．已知函数，，有下列个命题： ①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称； ②函数与的图象关于直线对称： ③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称； ④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称； 其中正确命题的序号为 . 2．（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 3．（多选）函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 考点2 中心对称问题 4．（多选）（2025高三�全国�专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 5．（2025·安徽马鞍山·模拟）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 题型2 由函数的周期性求值 7．设是周期为的奇函数，当时，，则 . 8．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 9．（24-25高三上�河南�期中）若定义在上的函数满足：，且，则 . 10．（23-24高三上�福建三明�期中）若偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上�河南驻马店�阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 12．（2024�宁夏�模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 13．（24-25高三上�江苏南通�阶段练习）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．10 题型3 由函数的周期性求解析式 14．设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是 ． 15．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型4 函数的奇偶性周期性对称性问题综合 17．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 18．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 19．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 20．（2024�湖南长沙�二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 21．（多选）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 22．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 23．（多选）设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．的最大值是，最小值是 C．直线是函数的一条对称轴 D．当时， 24．（多选）（24-25高三上�重庆渝中�阶段练习）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心 C．是周期函数 D． 25．（多选）（2024�广东茂名�一模）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 26．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 6．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 7．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 函数的对称性与周期性 基础巩固 一、单选题 1．函数是周期函数，是的一个周期，且，则等于（    ） A． B． C．0 D．10 2．函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 3．函数与函数图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高三上�陕西咸阳�阶段练习）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三�全国�专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．（2024�广东茂名�一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 7．（2024�云南昆明�模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 8．已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上�广东�阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 10．已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 11．（2024�河北唐山�模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024�福建龙岩�一模）定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 13．（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为 ． 四、解答题 14．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 15．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)求的值. 16．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值. （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 五、能力提升 17．设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 19．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．的最小值为0，无最大值 C． D．当时， 20．（多选）（2025高三�全国�专题练习）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 21．（2024�山西吕梁�一模）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 22．（多选）（23-24高三下�海南省直辖县级单位�开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 23．（24-25高三上�广东惠州�阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 函数的对称性与周期性 题型1 函数的对称性 4 考点1 轴对称问题 4 考点2 中心对称问题 5 题型2 由函数的周期性求值 7 题型3 由函数的周期性求解析式 11 题型4 函数的奇偶性周期性对称性问题综合 13 高考真题演练 21 知识点一 函数的对称性 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 ⑴图象关于直线对称 推论1: 的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、)的图象关于直线对称 ⑵的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 2．两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) ⑴与图象关于轴对称 ⑵与图象关于原点对称函数 ⑶函数与图象关于轴对称 ⑷函数与其反函数图象关于直线对称 ⑸函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 知识点二 函数的周期性 1．周期性的定义 一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期 2．函数周期性的一些常用结论 ⑴设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立 ，，，,， 则函数是周期函数，且是它的一个周期. ⑵函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、， 即,且,那么是周期函数,其中一个周期 结论2：两点对称型:如果函数同时关于两点、成中心对称, 即和,那么是周期函数,其中一个周期 结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点成中心对称，且关于直线成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论1：如果偶函数的图像关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论2：如果偶函数的图像关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期 推论3：如果奇函数的图像关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期 推论4：如果奇函数关于点,成中心对称,那么是周期函数，其中一个周期 3. 周期性的应用: (1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质. (2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴. (3).单调性： 由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减). 4. 应用5.类周期函数 1.把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做类周期函数. 2.性质：例如类周期函数在时的解析式为，当时，，则 3.满足该类型的函数是以为周期的类周期函数. 当时, 函数图像以周期为单位从左至右后一个周期图 像上的点与前一周期对应点的纵坐标伸长或缩短为原的倍. 题型1 函数的对称性 考点1 轴对称问题 1．已知函数，，有下列个命题： ①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称； ②函数与的图象关于直线对称： ③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称； ④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称； 其中正确命题的序号为 . 【答案】①②③④ 【知识点】判断或证明函数的对称性、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据题意,结合函数的对称性依次分析即可得答案. 【详解】解：对于①，若为偶函数，其函数图像关于对称，故图像向右平移1个单位得的图象，故的图象自身关于直线对称，正确； 对于②，的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，故与的图像关于直线对称，故正确； 对于③，若为奇函数，且，故，所以的图象自身关于直线对称，故正确； 对于④，因为为奇函数，且，故，所以的图像自身关于直线对称，故正确. 故答案为：①②③④ 2．（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】4 【知识点】函数对称性的应用、指数幂的化简、求值 【分析】由题意可得对任意，恒有成立，进而求解即可. 【详解】由题意知，对任意，恒有成立， 即恒成立，化简得， 故只能，又，则． 故答案为：4. 3．（多选）函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性 【解析】根据满足的函数的对称性，确定AB选项的正确性，利用函数图像变换以及偶函数的性质，判断CD选项的正确性. 【详解】若函数满足，则的图象关于对称. 对于A 选项，，则的图象关于对称，符合题意； 对于B选项，，则的图象关于对称，符合题意； 对于C选项，的对称轴为轴，图象向右平移一个单位得到图象，所以的图象关于对称，符合题意； 对于D选项，的对称轴为轴，图象向左平移一个单位得到图象，所以的图象关于对称，不符合题意； 故选：ABC 【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图像变换，考查函数的奇偶性，属于基础题. 考点2 中心对称问题 4．（多选）（2025高三�全国�专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 【答案】ABC 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数对称性求函数值或参数 【分析】化简函数，结合的图象与性质，可判定A正确；由为奇函数，得到，推得，可判定B正确；根据函数的图象变换，结合过定点，可判定C正确；化简函数，根据函数图象关于点中心对称，得出方程组，求得的值，可判定D不正确． 【详解】对于A中，函数， 其图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 且的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，所以A正确； 对于B中，因为为奇函数，可得， 所以，所以， 所以函数关于点中心对称，所以B正确； 对于C中，函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 由于过定点，所以函数过定点，所以C正确； 对于D中，函数的图象关于点中心对称， 所以，解得，所以，所以D不正确． 故选：ABC. 5．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由函数对称性求函数值或参数 【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 6．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 题型2 由函数的周期性求值 7．设是周期为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据周期为，求出，再有函数为奇函数求出，代入解析式即可求解． 【详解】因为是周期为，所以 又因为是奇函数，所以， 又，所以 故答案为 【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题． 8．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 9．（24-25高三上�河南�期中）若定义在上的函数满足：，且，则 . 【答案】3 【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，由条件可得4为的一个周期，然后取即可得到的值，即可得到结果. 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则， 又，取，得， 所以，故. 故答案为：3 10．（23-24高三上�福建三明�期中）若偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可. 【详解】由已知可得， 即是函数的一个周期， 所以. 故选：C 11．（24-25高三上�河南驻马店�阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. 12．（2024�宁夏�模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据其为奇函数，从而得，解出值，再根据其周期计算即可. 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得， 所以， 因为，所以的周期为6， 所以. 故选：D. 13．（24-25高三上�江苏南通�阶段练习）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：A. 题型3 由函数的周期性求解析式 14．设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由周期性求函数的解析式 【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可. 【详解】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，， 设，则， 所以， 设，则，, 故； 又，所以， 综上可得，函数在上的解析式是， 故答案为： 15．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由周期性求函数的解析式、函数周期性的应用 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 16．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由周期性求函数的解析式 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 题型4 函数的奇偶性周期性对称性问题综合 17．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、由对称性研究单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】分析函数的单调性与对称性，由已知可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数的定义域为，且函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为，则， 因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 当时，由可得； 当时，由可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 18．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据题意可推出函数的周期，结合赋值法可确定，判断B，其余选项结合赋值，无法确定，即可判断正确. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则， 所以，即得， 即，故函数是以4为周期的周期函数， 对于，令，则， 对于，令，则，B正确； 由题意可知，无法推出，A错误， 又，，而是否为0不确定，故CD错误， 故选：B 19．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】函数基本性质的综合应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值. 【详解】因为的图象关于对称， 所以，于是， 又是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 所以的周期为4， 所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：. 20．（2024�湖南长沙�二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值. 【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数． 则． 故选：A． 21．（多选）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 22．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 23．（多选）设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．的最大值是，最小值是 C．直线是函数的一条对称轴 D．当时， 【答案】ACD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用、由周期性求函数的解析式 【分析】根据得，的图像关于直线对称，再结合的奇偶性和单调性，即可得到的最值；当时，构造，，再结合的周期性和奇偶性，即可得到的解析式. 【详解】因为是上的奇函数，所以，又因为，所以的图像关于直线对称，故C正确； 因为即，从而，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，又因为当时，单调递增，所以在上也单调递增，从而在上单调递增，又因为的周期为4，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上单调递增，且的图像关于直线对称，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，最小值，故B错误； 当时，，所以，因为周期为4，所以 ， 又因为为奇函数，所以，故D正确. 故选：ACD. 24．（多选）（24-25高三上�重庆渝中�阶段练习）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心 C．是周期函数 D． 【答案】ABD 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】A选项，分别令和令，得，可判断结论；B选项，分别令和令，得，可判断结论；C选项，当满足已知，不符合结论，可判断；D选项，令，证得时是3为首项1为公差的等差数列，可求. 【详解】令，则，有， 令，则，得， 又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确； 令，则， 令，则，又， 所以点是图象的一个对称中心，故B正确； 设，符合题意，但不是周期函数，故C错误； 令，有，则， 令，有，， 所以时是3为首项1为公差的等差数列， 这样，故D正确. 故选：ABD 25．（多选）（2024�广东茂名�一模）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果. 【详解】对于选项C，是偶函数，得：， 将替换为，得：， 所以函数关于直线对称，选项C正确； 对于选项A，因为，将替换为，得：， 又因为，即， ，是奇函数，选项A正确； 对于选项B，，将替换为， 得：，所以4为函数的周期， 又因为是奇函数，且函数的定义域为，， ，选项B错误. 对于选项D，由已知， 分别代入，得：，， ， 同时4为的周期，，选项D错误. 故选：AC. 26．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可推出函数的对称轴及周期性，作出函数的图象，数形结合求解. 【详解】因为，所以函数图象关于对称，且， 又为奇函数，所以，故， 即可得，所以的周期为， 因为当时，，根据奇函数及函数图象关于成轴对称，利用函数周期为4， 作出函数与图象，如图， 当时，方程在上有四个不同的实数解， 则与图象有四个交点， 需满足，即，解得； 当时，由图象可知，与图象在至多有2个交点，不符合题意. 综上，. 故选：B 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 5．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【知识点】函数的对称性、函数的单调性 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 6．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断或证明函数的对称性 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数对称性的应用 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 故为周期函数且周期为2， 而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，故无最大值， 故选：D 9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 二、填空题 10．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】函数周期性的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 详解：由得函数的周期为4，所以因此 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 函数的对称性与周期性 基础巩固 一、单选题 1．函数是周期函数，是的一个周期，且，则等于（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】A 【知识点】由函数的周期性求函数值 【分析】直接利用函数的周期性可得，从而可得答案． 【详解】因为10是函数的周期，所以． 故选：A． 2．函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用 【分析】画出函数图像即可判断. 【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称. 故选：C 3．函数与函数图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数对称性求值即可. 【详解】设， 因为函数与函数图象关于直线对称， 所以. 故选：A 4．（24-25高三上�陕西咸阳�阶段练习）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数是奇函数可知关于对称，再由函数的平移关系可得出答案. 【详解】因为函数是奇函数，所以关于对称， 函数向右平移一个单位得到函数的图象， 所以函数关于对称， 函数向上平移一个单位得到函数的图象， 所以函数的图象关于对称. 故选：B. 5．（2024高三�全国�专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由函数奇偶性和周期性即可求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以是周期为2的周期函数， 所以. 故选：B 6．（2024�广东茂名�一模）函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】函数的周期性的定义与求解、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 故选：A 7．（2024�云南昆明�模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、导数的运算法则 【分析】根据求导公式和求导法则可得，结合抽象函数的对称性即可求解. 【详解】由，可知函数的图象关于直线对称； 对求导，得， 则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确. 故选：D． 8．已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为是偶函数，所以， 将换为，得①(即对称轴x=-2)， 又因为，所以， 将换为得②(即对称中心（-1,0））. 由①②得， 令,则,所以, 将换得③, 将换为为得④. 由③④得，将换为得⑤ 所以函数是周期为的周期函数（由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4）， 当时，，则，， 由③得，由④得， 根据周期性⑤得： ，，，， 所以， 又因为，故 . 故选：D. 【点睛】对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于两不同直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于两不同点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 二、多选题 9．（24-25高三上�广东�阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10．（22-23高一上�湖北荆州�阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性一一判定即可. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，即D正确； 且，即B正确，C错误； 由可知函数图象关于对称，即A正确. 故选：ABD. 11．（2024�河北唐山�模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由奇偶性求参数、由函数的周期性求函数值 【分析】由求得，即可判断A、B选项；由已知得出周期，结合函数的奇偶性，即可判断C、D选项. 【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误； 又因为，即，从而周期为8，， ， . 因为当时，，所以， 从而，，， 所以，C正确；D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2024�福建龙岩�一模）定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数对称性和单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数满足，则关于直线对称， 又因为在上单调递减，则在上单调递增， 则由得， 即，解得，则解集为， 故答案为：. 13．（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数图象的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合， 所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增， 由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图， 可知，， 所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据. 四、解答题 14．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由周期性求函数的解析式、函数对称性的应用 【分析】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证； （2）当，则，且，即可得解. 【详解】（1）由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； （2）当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 15．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)求的值. 【答案】(1)证明见解答 (2) (3) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值 【分析】（1）利用函数周期性的定义证明． （2）令，则，求出，再根据函数的周期性，求出答案． （3）分别求出，，，，，求出，结合函数是周期函数，进行求解即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴是周期函数，且是其一个周期． （2）令，则，∴， 又是定义在上的奇函数，即， ∴在，， ∴，那么，那么， 由于的周期是，∴， ∴当时，． （3）当时，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵是周期函数，且是其一个周期．又， ∴. 16．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值. （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】（1）对称中心为；（2）；（3）答案见解析. 【知识点】判断或证明函数的对称性、数与式中的归纳推理、其他类比、由函数对称性求函数值或参数 【解析】（1）设函数图像的对称中心为，设，则为奇函数，由奇函数的定义可得，代入解析式计算可得对称中心； （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，利用所得规律即可求值． （3）由类比推理进行求解即可． 【详解】（1）设函数图像的对称中心为， 设，则为奇函数，依题可知 且，故， 即， 即. 整理得， 故解得 所以函数图像的对称中心为. （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，所以且，所以. （3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是 【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，考查归纳推理和类比推理，函数的对称性可按如下规律转化： 1.满足的函数的图象关于直线对称； 2.满足的函数的图象关于直线对称； 3.满足的函数的图象关于点对称； 4.满足的函数的图象关于点对称； 五、能力提升 17．设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 18．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数的周期性求函数值 【分析】通过给函数赋特殊值，利用函数的奇偶性，求解参数，利用偶函数性质和奇函数性质找到函数的周期，代入解析式即可求解. 【详解】因为为偶函数，故， 为奇函数，故， 当时， 当时， 当时，，，又因为，所以，则； 因此当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以函数的周期为4，则 故选：A. 19．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．的最小值为0，无最大值 C． D．当时， 【答案】BD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由函数的周期性求函数值、函数新定义 【分析】，使得，即可运算判断；由结合函数单调性即可判断，根据高斯函数定义及周期函数计算可判断；根据高斯函数定义计算可判断. 【详解】，使得，此时， 从而，即，故错误； 对于，有，故错误， 由，可知是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，， 即函数的值域为，故正确； 当时，，故正确； 故选：. 20．（2025高三�全国�专题练习）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 【答案】AB 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据已知关系式，令判断A；令及奇偶性定义判断B；令，并结合已知有判断C；令，得，令，得，结合A、C分析判断D. 【详解】对于A，令，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，则， 因为，所以，即， 因为的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，，则， 由，，得，则， 所以不一定成立，故C错误； 对于D，令，，则，所以； 令，，则，所以， 所以，，，，，， 所以3不是的一个周期，故D错误． 故选：AB 21．（2024�山西吕梁�一模）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】解法一：令，代入判断A；令，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令判断C；令，利用周期性的概念判断D；解法二：构造函数，依次验证各选项即可. 【详解】解法一： 令，，则，解得，A正确； 令，则， 所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则， 令，则，所以，C正确； 令，则①， 所以②， ①②联立得， 所以，，即的周期为，D错误； 解法二： 构造函数， 满足，且， ，A正确； ， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确； 由余弦函数的图象和性质可知，C正确； 的周期，D错误； 故选：D 22．（多选）（23-24高三下�海南省直辖县级单位�开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D. 【详解】定义域为的函数对任意实数都有， 令，则，而，因此，A错误； ，令，则，则，B正确； 显然，则函数的图象关于点不对称，C错误； 令，则，同理， 因此，即， 从而，即函数的周期是6， 由，得，则， 显然， 所以，D正确. 故选：BD 23．（24-25高三上�广东惠州�阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递增，. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对称性的定义证明或者由函数的对称性进行证明； （2）利用对称性把不等式化为，再根据单调性转化求解. 【详解】（1）解法1：显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 由题意，， 所以， 所以函数的图象关于点对称. 解法2：由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. （2）由复合函数单调性可知单调递增， （证明：设，则，，从而， 所以，即，所以是增函数.） 由（1）知函数的图象关于点对称，故有，即， 所以， 因为，所以， 因为是单调递增函数，所以，即， 解得，所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$