精品解析：云南省临沧地区中学等学校2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2026届高二下学期期末质量检测 科目：数学（试题卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共7页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 2. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在向量非零向量的情况下， 若，即， 即有，即． 又，故， 又，所以，即方向相反，故， 即“”是“”的必要条件； 若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反， 所以由推不出，故充分性不成立； 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，即， 结合正弦定理得，即， 所以，所以， 因为的面积为，所以，即，所以， 故选：A. 4. 、是复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：取，，，， 满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确； 对于选项B：取，，， 而无意义，故选项B不正确； 对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确； 对于选项D：设，，则 ， ，，所以，所以，故选项D正确. 故选：D. 5. 某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由分类加法和分步乘法原理，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦；第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再利用排列组合计算可得. 【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种； 第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种． 故不同的种植方案共有种， 故选：C． 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 7. 已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，表示出圆台的高，得到圆台的体积函数，通过导数讨论其最值，求出相应的值，再求出圆台的外接球半径，得到其外接球的表面积. 【详解】如图1，设，是圆台的母线，连结，过点作的垂线，垂足为点，则为的中点，则，所以. 因为， 所以圆台的体积为. 设，. ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，即圆台的体积取最大值， 此时，. 设圆台的外接球半径为，球心为，显然球心在所在的直线上， 如图1所示，当圆台两底面在球心异侧时，即球心在线段上时， 设，则. 显然，所以，即， 解得，舍去. 如图2，当圆台两底面在球心同侧时，即球心在线段的延长线， 设，则 显然，所以，即， 解得，所有，此时该圆台外接球的表面积为. 故选：D. 8. 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1至13分别对应2019年11月至2020年11月）（ ） 根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： 0.923 0.973 注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ） A. 当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系 B. 根据可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C. 曲线与的图形经过点 D. 回归曲线的拟合效果好于 【答案】C 【解析】 【分析】利用散点图，结合线性关系性判断A；利用回归直线方程判断B；回归直线方程的性质判断C；越大，拟合效果越好，判断D. 【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系,故A正确； 对于B，令，由，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B正确； 对于C，非线性回归方程不一定经过，故错误； 对于D，越大，拟合效果越好，故D正确. 故选：C. 10. 设，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 当，时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项用赋值法，先令求出，再令得到含所求式子的等式，代入值算出结果；B选项用通项公式和不等式法，先根据通项公式得出表达式，再由且列不等式组，解不等式组确定范围；C选项用二项式展开和放缩法。先将式子变形，再展开前两项求和，然后利用指数性质放缩与比较大小；D选项用求导法，再令得出结果. 【详解】A、根据题意，在中， 令可得， 令可得 ， 又由， 则，A正确； B、，，，则， 若，则解可得，则，故B错误； C、当时， ，  ，故C正确； D、对两边求导，得到 ， 再两边求导得到， 令，可得，故D错误． 故选：AC． 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出C的方程，然后求出选项A，B，C，D给定条件对应的轨迹方程，最后探讨它们的关系而得解. 【详解】设点P(x，y)，由得， 化简得，则曲线C是斜率为2的动直线， 对于A：点到直线C的距离为，即曲线C上存在点与距离小于2，故A错误； 对于B：因，则到点与的距离之和为6的轨迹是中心在原点，长轴长为6的椭圆， 当时，直线C：与这个椭圆有两个交点，故B正确； 对于C：因，则到点与的距离之差为2的轨迹是中心在原点，实轴长为2的双曲线右支， 直线C：与此双曲线渐近线平行，直线C：与这个双曲线右支最多有一个公共点，故C错误； 对于D：当时，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是顶点在原点，焦点在轴上的抛物线， 由消去得，， 当，直线C与抛物线交于两点，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据，的平均数与方差分别是和，若，2……，，且样本数据，的平均数与方差分别是和，则_______． 【答案】10110 【解析】 【分析】依据题给条件利用平均值与方差的定义，列出关于和的方程组，解之即可求得和的值，进而求得的值. 【详解】， ， 由，2……，， 可得， 则， ，则， 联立，解之得 由 可得 故答案为：10110 13. 已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________. 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可. 【详解】因为，，(且)，① 当时，，即， 由等比数列的的公比为， 即，解得， 所以， 当时，，即， 解得， 又(，且)，② ①-②可得，， 即，化为， 又， 所以为等差数列，且公差， 则， 所以 ， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由递推关系式可得出，再由递推关系式得出为等差数列是解题的关键，求出后利用错位相减法求和，属于难题. 14. 若两曲线与有三条公切线，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干先分别求出两个函数的导函数，进而求出切线方程，利用切线相等列出方程组， 得到，再构造新函数，转化为函数有三个交点的问题即可求得结果. 【详解】解：令，，则，， 设，则曲线在处切线为， 设，则曲线在处切线为， 由题意，消去，得， 由题意，方程有三个不同的实数根， 令，则， 当时，，单调递增 当时，，单调递减 当时，，单调递增， 故当时，取极大值 当时，取极小值， 又当时，，作出的大致图象， 由图可知当，即时，直线与的图象有三个交点， 从而方程有三个不同的实数根， 所以曲线与曲线有三条公切线时，的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 16. 如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）作辅助线得到四边形是菱形，则，可证出平面，再证四边形是平行四边形，即可证结论； （2）假设线段上存在点，使平面，作辅助线得到四点共面，且四边形为平行四边形，则，即是的中点，即可求结果. 【小问1详解】 如图，在梯形ABCD中，连接DE，而E是BC的中点， 所以，又， 所以，又， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有， 又平面， 所以平面， 由题意，易知， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. 【小问2详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，则四点共面， 又平面，面面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，所以是的中点， 故线段上存在点，使得平面，且. 17. 已知函数． （1）若点是函数的对称中心，求的值； （2）若，且函数在上有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得对任意的恒成立，可得，从而得解； （2）分类讨论，利用导数研究函数单调性和极值，再根据零点存在性定理求解. 【小问1详解】 由题意得，， 因为点是函数的对称中心， 所以对任意的恒成立， 因为， 所以对任意的恒成立， 所以， 解得， 所以当时，点是函数的对称中心； 【小问2详解】 当时，，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 则在上至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得或，令，得， 所以和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 即，， 因为函数在上有个不同的零点， 所以， 解得，此时，， 则，，， 所以根据零点存在定理，得在，，上各有一个零点， 即在，，上各有一个零点， 所以函数在上有个不同的零点，符合题意； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得最小值， 即，， 则在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，的取值范围是 18. 曲线，第一象限内点在上，的纵坐标是． （1）若到准线距离为3，求； （2）若在轴上，中点在上，求点坐标和坐标原点到距离； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出抛物线的准线，在根据抛物线的定义求出，从而求出； （2）首先得到点坐标，设，即可求出线段的中点，从而求出的值，再得到直线的方程，最后由距离公式计算可得； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和，讨论即可. 【小问1详解】 曲线的准线为， 点到的准线的距离为，又在第一象限， ∴； 【小问2详解】 因为，所以，即， 设，则线段的中点为，依题意，解得， 即，直线为，即， 所以坐标原点到的距离. 【小问3详解】 设，，则，，， 直线，即， 令，所以，即， 对恒成立． 即， 即对恒成立． ①当，又，即时，恒成立； ②当时，则，也成立； ③当，即时，则当时满足，此时， ， 显然不成立，故时不成立． 综上，． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. 19. 为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为． （1）若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望； （2）若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分． ①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率； ②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解． 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据评分规则可知，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11．再分析一评、二评、三评所打的分数，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值对应的概率即可得出分布列，进而求得数学期望. （2）①“与”为事件A，6次试验中事件A发生的次数，得9.5和10的题目总数和为3相当于事件A恰好发生3次，然后结合二项分布求概率即可. ②依次求出甲、乙两位同学得分的均值，通过比较均值的大小，即可描述出对“答题不规范”的理解. 【小问1详解】 根据题意，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、三评所打的分数分别是x，y，z， ， ， ， ， ， 故X分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P . 【小问2详解】 ①记“与”为事件A，6次试验中事件A发生的次数，得9.5和10的题目总数和为3相当于事件A恰好发生3次， 故概率为． ②由题意可知，甲同学得分的均值为，乙同学得分的均值为． 显然，乙同学得分均值更高，所以“在做题过程中要规范作答，尽量避免不规范解答”的出现． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高二下学期期末质量检测 科目：数学（试题卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共7页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 、是复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 5. 某地区是典型盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1至13分别对应2019年11月至2020年11月）（ ） 根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： 0.923 0.973 注：是样本数据中平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ） A. 当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系 B. 根据可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C. 曲线与的图形经过点 D. 回归曲线的拟合效果好于 10. 设，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 当，时， D. 当时， 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知样本数据，的平均数与方差分别是和，若，2……，，且样本数据，的平均数与方差分别是和，则_______． 13. 已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列前项和___________. 14. 若两曲线与有三条公切线，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 16. 如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 已知函数． （1）若点是函数对称中心，求的值； （2）若，且函数在上有个不同的零点，求的取值范围． 18. 曲线，第一象限内点在上，的纵坐标是． （1）若到准线距离为3，求； （2）若在轴上，中点在上，求点坐标和坐标原点到距离； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”求的取值范围． 19. 为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为． （1）若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望； （2）若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分． ①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率； ②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$