三角形的性质与解三角形1教学设计——2025届高三数学一轮复习

《三角形的性质与解三角形》教学设计 一、教学内容解析 （一）内容 三角形的性质与解三角形高三专题复习课 （二）内容解析 高考中解三角形试题往往涉及知识面广、公式定理多、解题方法灵活多样、问题综合性强，学生要灵活掌握比较困难。解三角形是通过给出的边角关系，确定剩余边角元素的过程。在解题过程中需要将边角间的关系数量化，从而构建方程组，因此方程思想是解三角形的关键思想。如何构建可解的方程组是学生学习过程中面临的核心问题。如果已知的边角个数比未知的边角元素个数少，就变成了不确定的三角形。如果三角形不确定，那么常常研究三角形的最值范围问题，其中函数、不等式等知识就发挥重要作用。另一方面，三角形本身作为一个几何图形，有时从平面几何的角度考虑也是一个重要途径，此时数形结合的思想就显得尤其重要。除此之外，高中阶段平面向量作为研究平面几何的重要工具，坐标法作为解析几何的一个基本方法，有时也为解三角形问题另辟蹊径。同时，解三角形从实际问题中构建数学模型，将实际测量、航海等问题转化为可解的三角形问题，逐渐提高学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。所以解三角形蕴含了丰富的数学思想和数学思维，在高三复习课的教学中，我通过单元教学设计的方式帮助学生建构完整的知识体系、完善认知结构、优化解题方法、提高应变能力，从而提高解三角形的复习效率。 育人价值 激发学生学习数学的兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神，在解决问题的过程中体会蕴含其中的数学内在联系和数学思想方法，感受数学之美； （三）教学重点 知识网络的构建、思想方法的提升。 二、教学目标设置 目标解析 达成以上目标的标志是： （1）能理解正弦定理、余弦定理、面积公式，求解三角形中边与角的值； （2）通过例题求解，变式探究，熟练运用正余弦定理和三角函数等知识和方法； （3）通过开放的问题设置，培养学生提出问题、正确分析问题，解决问题的能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力； （4）通过本节课的学习，感受方程思想、转化化归思想、一般到特殊思想、数形结合思想和函数思想； （5）核心素养目标：学生在问题探究中发展逻辑思维、数学运算、数学抽象的核心素养。 三、学生学情分析 本节课的授课对象是高三学生，他们活泼开朗，渴望成长和提升。在此之前，学生高一阶段已经学习了解三角形相关知识，上一节课也复习了正余弦定理的简单应用。学生们的知识已经达到了一定的高度，知识容量已经具备，知识框架差不多形成。课前学生通过做真题感受这类知识的分析思路，对高考真题“溯源”在教材中寻找“出处”，感受教材例题、课后习题的精巧设计，并在课堂中通过开放性的提问让学生探索学习，学着出题，再去做题，尽可能体验出题人的思维。 4、 教学策略分析 （一）教学支持条件分析 使用Microsoft Office PowerPoint、希沃白板，希沃投屏，结合思维导图、知识结构图能帮助学生更好的对分析问题的过程进行总结，对本章知识进行梳理。 （2） 教学方法分析 本节课高三一轮解三角形复习课，以单元教学设计的形式，对教学内容进行优化重组，突出数学内容的主线以及知识间的关联性，把解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式连同密切联系的三角函数、三角恒等变换等知识有机的结合起来，使知识脉络更加清晰。在单元教学设计中，教师不再过分关注具体知识点，更加关注教学内容的本质、蕴含的数学思想以及更注重对学生数学核心素养的培养。为了体现以生为本，遵循学生的认知规律，坚持以教师为主导、学生为主体的教学思想，体现循序渐进的教学原则。我采用“课前设置问题，引导发现，分析讨论”的分析方法，通过以问题为核心，让学生独立解决问题，提出问题，小组合作解决问题，深入寻找教材中的“彩蛋”，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听有所思、练有所获”，最终实现学习目标。让教师从知识的传授者、灌输者，变为学生发现问题解决问题的帮助者、促进者，课堂教学的组织者和引导者。 以构建主义为指导，以启发式教学为主同时结合师生共同讨论、归纳的教学方法，注重培养三种能力：自主学习、体验探究、总结反思，从“我学会”到达“我会学”。 五、教学过程 （一）课前真题“溯源” 师：前面我们复习了正余弦定理的简单应用，在高中中解三角形问题是如何考察的？ 追问1：课前让同学们做一做、想一想、找一找这些高考题在教材的“出处”？请问同学们都完成了吗？哪个小组愿意来分享一下自己的结果。 追问2：你在教材的第几页找到这个题的“题源”？为什么选择这道题作为高考题的来源呢？ 生：这道题知道三角形的两边及其夹角，就是一个可解三角形，使用余弦定理就可以解出第三边从而解三角形；下面的题知道两边和一边的对角，知道三角形中的三个元素，三角形也是确定的。题组2只有一个已知条件，是齐次的，用正弦定理它们转化成角就可以求解。 追问3：这两组题目有一道大题，可以分享你的解题过程吗？ 【设计意图】 学生课前完成真题，寻找教材“来源”，有助于更深入理解解三角形中的边角关系.展示大题书写的步骤，在高三阶段，为了体现数学思维的规范性和严谨性，教师点评答题需要容易忽略的扣分事项，起到示范作用. 师：有没有同学愿意代表分享题组3和4？ 上台展示学生的学案，分享解题思路： 追问1：请问这两个题组有区别吗？ 追问2：题组4的题目你画了一个图，可以说说分析思路吗？ 【设计意图】 在学生回答的过程中，引导学生寻找题组之间的不同之处，加深对题目的分析，并充分发现学生做法中的“亮点”，采用数形结合分析问题.课上让他们更多的参与课堂，不仅限于完成题目，而在于分享更多的对题目进行深入的思考. （二）提炼建构 师:我们做了这么多到高考题，同学们能不能谈谈什么是解三角形？可以用自己的话描述？ 追问1：同学们可以在教材中找到解三角形的定义吗？ 追问2：已知多少个元素可以解三角形？试着比较刚才的题组中都已知三个元素吗？ 生：不是，题组2只有一个条件. 师：请问题组2的两道题目三角形确定吗？ 生：不确定. 师：三角形不确定，题目会让我们求一个角，或者这类问题会让我们判断三角形的形状。再看看题组3和4，它们有的已知两个边角关系，有的三角形是确定的，而有的三角形却有范围会变化呢？ 生：题组3的第（1）问求出角B和角C，还可以求出角A. 师：像这样看似只给了啷个条件，实际上还有一些三角形的性质隐含在题目当中.做题时，需要根据题目中的已知条件，挖掘隐含信息，再选择合适的公式解决问题. 通过课前对真题的“溯源”，和对真题的分析，提炼建构做题时的思考方向，“由因导果”： 【设计意图】带领学生回到课本，回顾解三角形的定义,提炼分析解三角形问题的步骤. （三）真题再练 学生1作法展示 学生2作法展示 师生活动：找同学上讲台展示思路，本题可以从多种角度求解，有的同学分解成两个直角三角形，用初中的锐角三角函数求解；有的同学用高中的正余弦定理这种通用通法解题.引导同学之间互相点评，进行思维碰撞,体会不同思路的计算强度，对同学们的不同做法进行点评.教师对同学们的做法进行点评，从代数和几何的角度分析，也分享不同的做法，通过建系使用坐标法解决问题. 并分享在题目中求解出多个角度时，对三角形面积的求解在课本习题中也要求证明，引导同学们感受教材的重要性. 问题1：当D点改成AB中点时，CD的长度又会有怎样的变化呢？ 师：再上一道题的基础上，改变条件，求中线长度（同年新高考2卷考察的知识）。 先由学生自主探究，展示结果，该学生使用了三种方法，通过补形解决问题，通过向量计算模长求中线长度，通过邻补角建立方程求解。该生思维活跃，思路流畅。教师点评之后，再分享相关知识在课本的“出处”，引导学生在复习中重视教材，在高三复习阶段不能脱离教材，很多重要结论都在教材中； 并将“中点”发散为“定比分点”，让同学们感受特殊到一般的数学思想. 问题2：当CD是角ACB的角平分线时，CD的长度又会有怎样的变化呢？ 【设计意图】持续变式引起学生认知结构的冲突，发现问题间的联系和差异，由联系入手，将问题转化为认知结构中已能解决的问题。用已有的数学活动经验解决问题渗透转化与划归思想，分析求解中线长度，角平分线长度问题的多种解法。 问题3：如果去掉一个条件，求的范围？ 追问1：三角形是否确定？ 生：不确定. 追问2：根据已知条件还可以求出哪些量？有没有同学可以找出隐含条件？ 生：角C和c边，还可以求出三角形外接圆的半径，能根据定弦定角画出一个隐圆,把角度的范围转化为求边长的范围，根据数形结合就可以求解. 学生作法： 追问3：根据这组条件，我们还可以求解什么类型的问题呢？ 生：还可以求解面积的范围. 追问4：还可以提出什么问题？既然能求的范围，可以求的范围吗？能不能算的范围呢？ 生：可以. 追问5：能算吗？ 生：可以，用正弦定理转化成. 师：非常好，这样就转换成变式3的问题了.请问可以计算的范围吗？ 生：可以，用正弦定理再用辅助角公式. 师：还有吗？能否计算三角形ABC周长的范围？ 生：可以. 师：还有吗？既然三角形是不确定的，怎么把这道题玩起来，可以算的问题吗？ 生：可以. 师：还可以提出什么问题？ 生：可以求的范围. 师：非常好，如果我们增加一个限制条件，三角形是锐角三角形，这个题目是不是会发生改变？做题的最后还需要有反思的过程，高考题可以怎样变化，题目还可以怎么出？三角形确定了，可以定量的把三角形的元素都解出来；如果不确定，就可以求很多类型的范围问题. 【设计意图】引导学生寻找题目中的隐含条件,同学们发现三角形不确定，在教学过程中“变讲为导”，教师抛出问题让学生去思考分析，让学生一题多解、一题多变；有的同学可以画出定弦定角的隐圆.鼓励同学们根据这个条件提出不同的问题.将问题开放，把数学“玩”起来，极大地调动了同学们的学习积极性和探究热情，同学们通过思考、交流展示，带领学生把三角函数、解三角形、基本不等式以及相关问题进行系统深入的复习，体现了专题单元教学的魅力，真正提高了学生的数学思维能力.在开放式的探究中学生的学习投入增加，思维容量和深度增加，对培养学生良好的学习态度、习惯和方法有着重要的作用。 师生活动：通过学习让学生进一步感受三角形是高中数学中最重要也是最基础的几何模型，可以借助它求解距离的问题、角度的问题.可以应用在平面几何中，在课本上，立体图形中也涉及到了使用三角形模型求解，在解析几何中涉及到焦点三角形问题也会用这一模型求解. 【设计意图】体会三角形这一几何模型的重要性，展示解三角形和立体几何交汇，让学生看到这一模型在实际问题中的应用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 师：大家来说一说通过这节课的学习有什么感悟？ 生：高三的复习要更关注教材，中线长在教材中就有证明，知道三角形的三个内角和一条边也可以计算三角形的面积。我们的复习可以从课本的拓展中加以提炼，得出更多的结论，得出更多更好的方法。 师：这一版本的教材有很多高考的原题，也有很多二级结论拓展知识其实在教材中都有体现. （五）小结提升 师：请同学们根据本节课学习，从内容和思想层面总结自己的知识结构图？ 【设计意图】通过本节课的学习，学生在教师的指导下经历思考、探究、应用发散等环节，通过深度学习，经历深层次思考，感悟学习方法，达成教育的目的。 （六）布置作业 【设计意图】在变式3中对不确定的三角形求解范围问题进行拓展，再结合2022新高考1卷的题目检测课堂学习效果.本节课在整体思维的指导下，从提升学生核心素养的角度出发，对相关教材内容进行统筹、重组、优化，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对解三角形教学单元进行循环改进的动态教学设计。高三复习课容量大，在教学设计中注意内容的深度和广度，建立知识间的纵横联系。帮助学生跳出零散的知识点，在“大单元”教学引领下建构数学学科知识体系.本节课的起源于高考真题，最后又回到高考题 学科网（北京）股份有限公司 $$