1.5两条直线的交点坐标（题型专练）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.5两条直线的交点坐标 题型一：求交点坐标 1．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A． B． C． D． 4．经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：已知交点求参 1．三条直线相交于两点.已知，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ） A．20 B． C．0 D．24 3．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） A．24 B．0 C．20 D． 4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型三：三线共点 1．若直线经过两直线和的交点，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A． B．1 C． D． 3．（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（ ） A． B． C． D． 题型四：三线不能围成三角形 1．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 2．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（ ） A．1 B． C． D． 4．（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A． B． C． D．6 题型一：交点的位置关系 1．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：交点坐标及关系 1．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 3．设，直线，直线，记点P为与x轴的交点． (1)若直线与平行，且与的距离为，求m的值； (2)若直线经过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的方程． 4．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 1．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（ ） A．13 B．12 C． D． 2．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________________． 3．已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数 (1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积； (2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5两条直线的交点坐标 题型一：求交点坐标 1．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 3．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 4．经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 题型二：已知交点求参 1．三条直线相交于两点.已知，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 2．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 3．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率. 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 题型三：三线共点 1．若直线经过两直线和的交点，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 2．已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 3．（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 题型四：三线不能围成三角形 1．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 2．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 3．（多选）已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】三条直线中有两条直线的斜率相等，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形，可把空间分成6个部分，分类讨论进行求解即可. 【详解】当三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时， 不能构成三角形，可把空间分成6个部分， 因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线一定相交， 交点坐标是方程组的解，解得， 故交点坐标为， 当时，直线与横轴垂直，方程为，不经过点， 所以三条直线能构成三角形，不合要求； 当时，直线的斜率为， 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线过直线交点时，三条直线不能构成三角形， 即有，满足要求， 综上，的可能取值为，或. 故选：BCD 4．（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 故选：AC. 题型一：交点的位置关系 1．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 2．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案. 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 【详解】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知， ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 题型二：交点坐标及关系 1．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， ， 所以点关于的对称点, 点在直线上，把点代入方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 3．设，直线，直线，记点P为与x轴的交点． (1)若直线与平行，且与的距离为，求m的值； (2)若直线经过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据两直线平行得出，再根据平行线间距离公式计算求出参数； （2）先求出点以及截距，进而计算面积得出参数值，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线，直线，直线与平行， 所以且， 因为与的距离为，所以，所以或. （2）直线，与x轴的交点， 因为直线经过点P，所以，即. 直线，令，则， 令，则， 因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以， 由直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为， 解得， 所以的方程为. 4．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即； （2）设，则， 由题意得， 解得，，． 1．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（ ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】写出直线的方程为，与，分别联立求得与的坐标，再由，的纵坐标均为正数，得，进而得为定值，最后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 2．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________________． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分； 当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 3．已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数 (1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积； (2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，面积为 (2)存在； 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的，使得的值与无关，由（1）求得，得到，进而得到结论. 【详解】（1）解：因为直线l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以， 由，解得，即， 由，解得，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以，即， 因为，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）解：假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：，且 因此，， 所以 因为，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$