江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期6月期末调研测试数学试卷

2024－2025 学年第二学期六校联合体 6 月期末调研测试 高 一 数 学 参 考 答 案 阅卷说明： 各题的仲裁老师为阅卷题长，请负责确定好此题的评分细则，并告诉本题所有老师。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A C B C D C D BD ACD BC 12、 28 3 13、12 14、 7，8（第一空 2分，第二空 3分） 15、(1)        1 3i i 1 3i 3 3 1 iz m m m         ………………………2分 因为是纯虚数，∴ 3 0m   ，3 1 0m  ，解得 3m  ．………………4分 ∴        1 3 2i 1 i3 2i 1 5 i 1 i 1 i 1 i 2 2 z          ，则 1 26 2 z  ．………………6分 (2)  5062025 4i i i i   ，……………………………………………………………8分 复数        2 i 3 ii 3 1 3 i 3 i 3 i 3 i 10 10 aa a az            ……………………………10分 因为在复平面对应的点在第一象限，∴ 3 1 0 10 a   ， 3 0 10 a   ，…………12分 解得 3a  ．∴实数 a的取值范围是  3, ．………………………………13分 16、(1)在直棱柱 ABC－A1B1C1中，E为 BC1的中点， 则 E为 B1C的中点，……………………………………………………………2分 又 D为 AB1的中点，因此 DE∥AC． …………………………………………4分 又因为 DE⊄平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C．…………………………………………………………6分 (2)因为棱柱 ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC．……………………8分 因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥CC1． 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1，BC⊂平面 BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1．…………………………………………………………11分 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 BC1⊥AC． 因为 BC＝CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥B1C． 因为 AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C＝C，所以 BC1⊥平面 B1AC．…………14分 又因为 AB1⊂平面 B1AC，所以 BC1⊥AB1．………………………………………15分 注：用空间向量方法也可以给分。 17、(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题” 分别为事件 A，B，C， 则   3 4 P A  ，    ( 32 9) AP BAB P P   ，解得   3 8 P B  ，……………………3分     191 ( ) 1 24P BC P B P C     ，   2 3 P C  ．……………………………………6分 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为 3 8 和 2 3 ． 注：用其他方法也可以，如 ( ) ( ) ( ) ( )P B C P B P C P BC    ， ( )P BC BC BC  . (2)有 0个家庭回答正确的概率        0 1 5 1 54 8 3 96P P ABC P A P B P C        ，……………………………9分 有 1个家庭回答正确的概率  1 3 5 1 1 3 1 1 5 2 74 8 3 4 8 3 4 8 3 24P P ABC ABC ABC             ……………12分 所以不少于 2个家庭回答正确这道题的概率 0 1 5 7 211 1 96 24 32 P P P       ……………………………………………15分 注：用其他方法也可以，如 9 30 6 18 63 21( ) 96 96 96 96 96 32 P ABC ABC ABC ABC         . 18、(1)   π πsin sin 3 sin cos 4 4 f x x x x x              ……………………………2分 π π 3cos sin sin 2 4 4 2 x x x              1 π 3sin 2 sin 2 2 2 2 x x       1 3 πcos 2 sin 2 sin 2 2 2 6 x x x        …………………………………………4分 最小正周期为 。……………………………………………………………5分 (2) 3 22) 3 sin() 212 (  f ，由 6 7 6 5   ，则 2 3 36 7   ， 则 2 π 2 2 1cos 1 3 3 3                  ， …………………………………7分 则 π π π π π πsin sin sin cos cos sin 3 3 3 3 3 3                             2 2 1 1 3 3 2 2 3 2 3 2 6        ；…………………………………………10分 (3) πsin 1 2 6 Af A             ，又 ABCV 为锐角三角形， 所以 π π 6 2 A  ，则 π 3 A  ，…………………………………………………12分 由正弦定理得三角形 ABC的周长 3 3 3 sin tan a b c B B       ，…………14分 解得 π π, 6 2 B      ，因为 sin , tany B y B  都在 π π, 6 2 B      上递增， 所以 a b c  的取值范围为 (3 3,6 2 3)  ．………………………………17分 注:化为 2 tan 31   cba 也可以。 19、(1)AD⊥CD，PD⊥AD．CD∩PD＝D．CD平面PCD，PD平面 PCD， AD 平面 PCD，…………………………………………………………2分 AD 平面 ABCD，平面 PCD⊥平面 ABCD．…………………………4分 (2) 解法一：作 MN∥PD交 CD于 N，作 NE∥AD交 AB于 E，连 ME．设 MN＝x， 由相似得 NC＝3x．…………………………………………………………6分 在 RTΔMNE中，由勾股定理得 ME＝ 1＋x2．…………………………8分 在ΔMEB中，EB＝3x－1，由余弦定理得 ( 1＋x2)2＝(3x－1)2＋( 2 )2－2× 2×(3x－1)cos45°，解得 x＝1 2 或 1(舍)， 从而 MN＝1 2 PD．∴M为侧棱 PC的中点 M．………………………………10分 解法二：作 MF∥CD交 PD于点 E，则 MF∥AB．设 MF＝x，由相似得 DF， 由勾股定理得 AF，…………………………………………………………6分 在梯形 ABMF中，由余弦定理解得 x＝3 2 ，………………………………8分 从而 MF＝1 2 DC，所以 M为侧棱 PC的中点．……………………………10分 (3) 设 PCD△ 和 BCD 的外接圆圆心分别 E和 F，则球心为过点 E和 F且分别垂直于平 面 PCD、平面 BCD的两直线的交点G， 在 PCD△ 中，因为 120PDC  ，所以由余弦定理得 2 4 16PC t t   ，再由正 弦定理得 PCD△ 的外接圆半径 2 1 4 16 2sin120 3 PC t tr PE       ．……………12分 在 BCD 中，所以由余弦定理得 2 6 10BC t t   ，再由正弦定理得 BCD 的外接 圆半径 2 2 6 10 2sin45 2 BD t tr CF       ．…………………………………………14分 过点 F作FH CD 于H ，连接EH ，设PG R ，显然四边形GFHE为矩形，所以 2 2 2 2 2 2GE PG PE FH CF CH     ．所以 2 2 2 2 1 2 2 CDR r r         ，即 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 16 6 10 8 16 2 3 2 4 CD t t t t t tR r r                ，所以   2 22 7 28 76 7 2 4 12 12 t tR t     ，………………………………………………16分 故当 2t  时， 2R 取得最小值，即 min 2R  ，此时三棱锥 P BCD 外接球的体积最小值 为 3 min4π 32π 3 3 R  ，此时 2AB  ．……………………………………………………17分 注：用空间向量方法也可以给分。 江苏省南京市2024-2025学年第二学期六校联合体6月期末调研测试 高 一 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．( ) A． B． C． D． 2．已知，，则在上的投影向量为( ) A． B． C． D． 3．公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两 个观测点，树顶端为．如图，观测得，， ，米，则该树的高度为( )米． A． B． C． D． 4．复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点 在复数所构成图形上的是( ) A． B． C． D． 5．为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图(一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀)，则下列结论错误的是( ) A． B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低 于70次 C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学 体能优秀的概率约为 D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人 6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为( ) A． B． C． D． 7．如图所示，在正方体中，，分别是 ，的中点，则过点B作与异面直线与所成的 角都是的直线条数( ) A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 8．中，角A、B、C的对边分别为、、，满足， 若λcosA－cos(C－B)存在最小值，则实数的取值范围是( ) A． (0，2) B．(－2，0) C．(－4，4) D．(－4，2) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是( ) A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 10．已知数据，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则( ) A． 的最小值为 B． 与始终保持垂直 C． 以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D． 经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ． 13．已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为 ． 14．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 已知复数()，且为纯虚数(是的共轭复数)． (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16．(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC—中，已知，，设的中点 为D，的中点为E．求证： (1)平面； (2)． 17．(本小题满分15分) 2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是．各家庭回答是否正确相互独立． (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率． 18．(本小题满分17分) 已知向量，，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围． 19．(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥CD，AD⊥AB，∠BCD＝45°，AD＝1，BC＝，PD⊥AD．现设PD＝t，CD＝4－t，0＜t＜3． (1)求证：平面PCD⊥平面ABCD； (2)当t＝1时，侧棱PC上点M满足BM＝，∠ABM＝45°．证明：M是侧棱PC的中点； (3)当∠PDC＝120°时，求三棱锥P－BCD的外接球体积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$