第08讲 直线与圆的位置关系（知识清单+3易错+8必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第08讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 片面思考导致漏解 易错点二 考虑不全面致错 易错点三 题目中没有配图导致忽略一种情况致错 题型方法 题型一 直线与圆的位置关系的判别 题型二 直线与圆的位置关系的性质 题型三 切线的判定 题型四 切线的性质 题型五 三角形的内切圆和内心 题型六 三角形的内切圆的性质 题型七 三角形的内切圆的作法 题型八 切线长定理 知识清单 知识点1：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点3：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点4：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点5：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点6：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 易错分析 【易错点一】片面思考导致漏解 【例1】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】【变式1】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，的半径为，点到直线的距离，与相交于、两点，则线段上到点的距离为整数的点有 个． 【易错点二】考虑不全面致错 【例2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【举一反三】【变式1】如图，，分别与相切于，两点，点为上异于点，的一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】如图，分别与相切于两点，且，若点是上异于点的一点，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】如图，，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为 ． 【易错点三】题目中没有配图导致忽略一种情况致错 【例3】，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．80°或 【举一反三】【变式1】相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在直角坐标系中，的圆心P的坐标为，半径为2，当与直线相切时m的值为 . 【变式3】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为 ． 题型方法 【题型一】直线与圆的位置关系的判别 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）的半径为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是 ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【题型二】直线与圆的位置关系的性质 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【变式2】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【变式3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【题型三】切线的判定 【例3】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【变式2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【变式3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【题型四】切线的性质 【例4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．内 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若半圆O的半径为8，且，求的长． 【题型五】三角形的内切圆和内心 【例5】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）三角形的内心是三角形的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏淮安·期中）点I是的内心，则点I是的（　　） A．三条中垂线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【变式2】（21-22九年级·江苏）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（　　） A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心 C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．任何三角形有且只有一个内切圆 B．三点确定一个圆 C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 D．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 【题型六】三角形的内切圆的性质 【例6】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【题型七】三角形的内切圆的作法 【例7】已知：． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 【举一反三】【变式1】如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）； （2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数． 【变式2】已知，如图所示． (1)用无刻度直尺和圆规作出内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 【变式3】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 【题型八】切线长定理 【例8】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（   ） A．7 B．12 C．14 D．18 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    7．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，半径为2的与直线相切于点，为上的一点，于点，则的最大值是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 10．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 片面思考导致漏解 易错点二 考虑不全面致错 易错点三 题目中没有配图导致忽略一种情况致错 题型方法 题型一 直线与圆的位置关系的判别 题型二 直线与圆的位置关系的性质 题型三 切线的判定 题型四 切线的性质 题型五 三角形的内切圆和内心 题型六 三角形的内切圆的性质 题型七 三角形的内切圆的作法 题型八 切线长定理 知识清单 知识点1：直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点3：切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点4：切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点5：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点6：切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 易错分析 【易错点一】片面思考导致漏解 【例1】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图， ∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4， ∴CE＝3， 过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3， ∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了与圆有关的知识点，准确利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【举一反三】【变式1】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂径定理计算． 【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，    ∴DE=OD-OE=5-3=2cm， ∴点D是圆上到AB距离为2cm的点， ∵OE=3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点， 则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm， 即GF到AB的距离为2cm， ∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点， 故选C． 【点睛】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个． 【变式2】如图，的半径为，点到直线的距离，与相交于、两点，则线段上到点的距离为整数的点有 个． 【答案】 【分析】由题意得出A、B到点O的距离=半径，线段AB上到点O的距离为4的点有2个，即可得出线段AB上到点O的距离为整数的点有5个． 【详解】解：∵⊙0的半径为5cm， ∴A、B到点O的距离=5cm， ∵点O到直线1的距离OD=3cm， ∴线段AB上到点O的距离为4的点有2个， ∴线段AB上到点O的距离为整数的点有5个． 故答案为5． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；由直线与圆的位置关系得出线段上的特殊点是解决问题的关键． 【易错点二】考虑不全面致错 【例2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5， 故选：D． 【举一反三】【变式1】如图，，分别与相切于，两点，点为上异于点，的一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理．首先连接、，根据切线的性质可知，根据四边形内角和定理可以求出，根据点在圆上的位置分两种情况求的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ，分别与相切于，两点， ， 又， ， 如下图所示，当点在劣弧上时， ， 如下图所示，当点在优弧上时， ， 综上所述的度数为或． 故选：D． 【变式2】如图，分别与相切于两点，且，若点是上异于点的一点，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质根据、分别与相切于、两点可得，即可求出，从而求出的大小，求出的度数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：、分别与相切于、两点， ， ， ， 当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 的大小为或， 故选：C． 【变式3】如图，，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在优弧上时，连接，，由切线的性质可得，由四边形的内角和可得，由圆周角定理可得；当点在劣弧上时，连接，，由圆内接四边形的性质可得；综上，即可得出的大小． 【详解】解：分两种情况讨论： 如图，当点在优弧上时，连接，， ，分别与相切于，两点， ， ， ， ； 如图，当点在劣弧上时，连接，， 四边形是圆内接四边形， ； 综上，的大小为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，多边形内角和问题，圆周角定理，圆内接四边形的性质定理等知识点，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 【易错点三】题目中没有配图导致忽略一种情况致错 【例3】，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．80°或 【答案】C 【分析】此题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，发现四边形，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】解：如图，连接、，在弧上任取一点C；    ∵，是的切线，A、B为切点， 连接、， ∴， ∵， ∴在四边形中，可得； 则有①若C点在优弧上，则； ②若C点在优劣弧上，则． 故选C． 【举一反三】【变式1】相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的性质，勾股定理； 如图1，根据是两圆的公共弦可知，然后在中和中，利用勾股定理求出和，进而根据可得答案；如图2，同理可得和的长，进而根据可得答案． 【详解】解：如图1，∵是两圆的公共弦， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∴， 如图2， 同理可得， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在直角坐标系中，的圆心P的坐标为，半径为2，当与直线相切时m的值为 . 【答案】或 【分析】本题主要考查坐标与图形，切线的性质，一次函数图象与性质等知识，作轴于点E，交直线于点F，切点为点G，直线与y轴交点为Q，求得，证明，，由勾股定理得从而可求出点P在第三象限内的坐标，根据对称性可求出点P在第四象限的坐标． 【详解】解：如图，当点P在第三象限时， 对于，当时，则 作轴于点E，交直线于点F，则 解得， ∴， ∵与相切， ∴ 又 ∴， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴点P的坐标为 ∴； 同理可得，点P在第四象限内点的坐标为 ∴， 综上，m的值为或 故答案为：或． 【变式3】（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为 ． 【答案】或2/2或 【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可． 【详解】点A的坐标为， ∴点A到轴的距离为1，到轴的距离为2， 如图1，当经过原点时，半径为； 如图2，当与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为2； 故答案为：或2 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d<r，直线和圆相交，有两个交点． 题型方法 【题型一】直线与圆的位置关系的判别 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）的半径为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线与的位置关系是相离． 【详解】解：的半径为2，圆心到直线的距离为4， 直线与的位置关系是相离． 故答案为：相离． 【变式3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、直线与圆的位置关系，先解方程得出，再根据即可得出直线与的位置关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，通过比较圆心到直线距离与半径的大小即可得出直线与的位置关系，是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 的半径是一元二次方程的一个根， ， 圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 【题型二】直线与圆的位置关系的性质 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理，根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相切得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相切， ， ， 解得， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 【变式2】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线过点结束（不包括直线l过点．当直线l和半圆相切于点时，根据直线l的解析式知直线l与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线l过点A或点时，直接根据待定系数法求得的值即可． 【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线l过点结束（不包括直线l过点， ∵直线l的解析式为y＝x+t， ∴直线l与轴所形成的锐角是， 过点C作CD⊥x轴于点D，则． 当直线l和半圆相切于点时，则垂直于直线l，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即点，， 把点的坐标代入直线解析式，得， 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得； 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得． 即当或时，直线l和半圆只有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键． 【变式3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 【题型三】切线的判定 【例3】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【举一反三】【变式1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 【变式3】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    【题型四】切线的性质 【例4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．内 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，求三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大，再依次分析面积的值，即可求解． 【详解】解：当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大， 圆心在上时，设切点为、，连接，， ，且，， 设半径是， 则， 同理设半径为，， 则， ， ， ， 面积最大的半圆的圆心在边上， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了考查切线的性质、平行线的性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 【变式2】（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、多边形内角和定理；由切线可知，，由圆周角定理，得，进而根据四边形内角和求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A，与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若半圆O的半径为8，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）利用勾股定了计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的半径为8． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴的长是2． 【题型五】三角形的内切圆和内心 【例5】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）三角形的内心是三角形的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】根据三角形的内心的概念进行判断即可． 【详解】根据定义得：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏淮安·期中）点I是的内心，则点I是的（　　） A．三条中垂线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，即可解决问题． 【详解】解：点I是的内心， 则可知点I是的三条角平分线的交点． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质，掌握三角形的内切圆的性质、角平分线的判定定理是解题的关键． 【变式2】（21-22九年级·江苏）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（　　） A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心 C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是△ABC的外心，据此即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵CD是△ABC中线， ∴D点是△ABC的外心． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．任何三角形有且只有一个内切圆 B．三点确定一个圆 C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 D．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键． 【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确； B、不共线的三点确定一个圆，则B错误； C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误； D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误． 故选A 【题型六】三角形的内切圆的性质 【例6】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于点M，于点N，过点B作于点T，则，由面积法证明，同理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点M，于点N，过点B作于点T， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证明：， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【分析】连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图所示；连接，．    ，， ． 是圆的切线， ． 同理． ． ． ． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 【题型七】三角形的内切圆的作法 【例7】已知：． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)9.1 【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可； （2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点， （2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵内切圆的半径为1.3， ∴OD=OF=OE=1.3， ∵三角形ABC的周长为14， ∴AB+BC+AC=14， 则 故三角形ABC的面积为9.1． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键． 【举一反三】【变式1】如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）； （2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到O即为三角形ABC的三个角平分线的交点； （2）连接OD，利用内切圆的性质得到∠ODB=∠OEB=90°，从而得到∠DBE+∠DOE=180°，再根据圆周角定理求解即可得到答案. 【详解】解：（1）如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别于AB，BC交于MN，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长，BP即为∠ABC的角平分线，同理作出∠ACB的角平分线，与AP延长线交于O，以O为圆心，以OC的长为半径画弧，与BC交于点Q，再分别以Q、C为圆心，以大于QC长的一半为半径画弧，两者交于T，连接OT交BC于E，再以O为圆心，以OE的长为半径画圆，分别于AB，AC交于D、F，即为所求； （2）如图，连接OD， ∵圆O是三角形ABC的内切圆，且与边AB，BC，AC的切点D、E、F， ∴∠ODB=∠OEB=90°， ∴∠DBE+∠DOE=180°， ∵∠DBE=40°， ∴∠DOE=140°， ∴∠EFD=∠DOE=70° 【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的作图，内切圆的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握内切圆圆心是角平分线的交点. 【变式2】已知，如图所示． (1)用无刻度直尺和圆规作出内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可； （2）利用割补法，连接，作，这样将分成三个小三角形，这三个小三角形分别以的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点， （2）解：如图所示，连接，作， ∵内切圆的半径为， ∴， ∵的周长为， ∴， 则 故的面积为． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】（1）运用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点，交于点，作的角平分线与线段交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可； （2）根据题意得到，如图所示，过点作，设圆的半径为，即，在中，，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据角平分线的性质定理得到角平分线上的点到角两边的距离相等，结合内切圆的特点得到即为所求点位置； （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，即， 在中，，即， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用无刻度的直尺和圆规作垂直，角平分线，圆心的确定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键． 【题型八】切线长定理 【例8】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（   ） A．7 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键． 根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的周长是的两倍． 【详解】解：∵P为圆外一点，和为圆的切线， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∴ ； 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到平分，平分，再根据平行线的性质得到，则，即，再根据勾股定理得出的值，进而由切线长定理即可得到的长． 【详解】解：连接， 直线分别与相切于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 【答案】2 【分析】由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：2 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查切线的性质和判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）连接，证明，推出，即可得证； （2）切线长定理，得到，勾股定理求出的长，设，则，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 为圆的切线， ，即， ， 又为圆的半径， 为圆的切线； （2）解：，分别切于D，B， ， ，即， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念以及中心对称图形，熟记相关结论即可． 【详解】解：正五多边形不是中心对称图形，故A错误； 圆的直径是线段，而圆的对称轴是直线，故B错误； 的圆周角所对的弦是直径，故C正确 经过圆的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故D错误 故选：C ． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是的内切圆，切于点E，切于点D，根据切线长定理得到，求得，根据勾股定理建立方程求解即可． 本题考查了求三角形的内切圆半径、切线长定理、切线的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理构建方程是解题的关键． 【详解】解：如图，是的内切圆，切于点E，切于点D，则，， ∵， ∴A、O、D三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内切圆为， ∴， 即， 解得， ∴三角形的内切圆的半径为， 故选：B 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，先根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得， ， 点在以为直径的上，如下图， ∵当是⊙O的切线时，最大， ∴当最大时，， ∵， ∴， ∴． 故答案为D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，再用面积法求出的长，考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 【详解】解：过点C作于点D， ∵在中，， ， ， ， 如图，当与相切时， 则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时， 则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，半径为2的与直线相切于点，为上的一点，于点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．延长到点D，使，则，当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则，根据，可得，根据勾股定理可得的长，进而可得结论． 【详解】如下图，延长到点D，使, 则， 当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则， ， ， ， ， 与直线l相切于点A， ， ， ， 连接，则， 在中，，根据勾股定理，得 ， ， ∴的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 10．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理得到，，即可证得，根据平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线判定定理解答即可； （2）利用弧、弦、圆心角的关系得到，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， 等腰三角形中，， ， ， ， ， ， ， 即， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接， 由（1）得，， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理、平行线的判定与性质、证明某直线是圆的切线、利用弧、弦、圆心角的关系求证、勾股定理，解题关键是添加正确的辅助线． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，以为直径的分别交边、于点、，连接，过点的直线与过点的直线互相垂直，垂足为点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是是解题的关键． （1）先利用全等三角形判定定理推出，得到，从而得到，再利用平行线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用圆周角定理得到，结合和三线合一性质得到即可解答． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切． （2）解：如图，连接， 由（1）中的结论得， 在中，， ， ， 在中，， 是的直径， ，即， 又， ， 的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$