第07讲 圆周角（知识清单+2易错+6必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第07讲 圆周角 题型梳理 易错分析 易错点一 弦所对的圆周角考虑不全致错 易错点二 忽视定长弦的位置而致错 题型方法 题型一 圆周角的定义 题型二 圆周角和圆心角的关系 题型三 同弧或等弧与所对圆周角的关系 题型四 直径所对的圆周角是直角 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 题型六 圆内接四边形 知识清单 知识点1：圆周角 1.圆周角定义： 　 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　 2.圆心角与圆周角的区别与联系 知识点2：圆周角定理（难点） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 知识点3：圆周角定理的推论（难点） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 知识点4：圆内接四边形及其性质（重点） （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 易错分析 【易错点一】弦所对的圆周角考虑不全致错 【例1】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）是的弦，，则弦所对的圆周角的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为，则弦AB所对的圆周角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 ． 【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 【易错点二】忽视定长弦的位置而致错 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径是1，弦，点C为上的一点（不与点A、B重合），则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为（   ）      A． B． C．或 D．或 题型方法 【题型一】圆周角的定义 【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【变式3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【题型二】圆周角和圆心角的关系 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，三点在⊙O上，，则为（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，A、B、C是半径为2的上的三点，，则弦的长为（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分，．求的半径． 【题型三】同弧或等弧与所对圆周角的关系 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，点为弧的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是 °． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 【题型四】直径所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，P是线段上一点，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，点在上，且垂足为． (1)若，则_____； (2)若，求的长． 【题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【题型六】圆内接四边形 【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A、B、C、D、E在上,且弧为，求的度数（　　）          A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点． (1)当时，求的度数； (2)连接，当，时，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A、B、C是上的三个点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． (1)求证：是的平分线； (2)若，则的长是______． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， (1)求点D到直线的距离 (2)求四边形的面积 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆周角 题型梳理 易错分析 易错点一 弦所对的圆周角考虑不全致错 易错点二 忽视定长弦的位置而致错 题型方法 题型一 圆周角的定义 题型二 圆周角和圆心角的关系 题型三 同弧或等弧与所对圆周角的关系 题型四 直径所对的圆周角是直角 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 题型六 圆内接四边形 知识清单 知识点1：圆周角 1.圆周角定义： 　 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　 2.圆心角与圆周角的区别与联系 知识点2：圆周角定理（难点） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 知识点3：圆周角定理的推论（难点） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 知识点4：圆内接四边形及其性质（重点） （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 易错分析 【易错点一】弦所对的圆周角考虑不全致错 【例1】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）是的弦，，则弦所对的圆周角的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，由，由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴这条弦所对的圆周角的度数是：或． 故选：D 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为，则弦AB所对的圆周角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据题意画出图形，分类讨论，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：当点C在优弧AB上时， 由圆周角定理得，， 当点C在劣弧AB上时， ∵四边形是⊙O的内接四边形， ∴， ∴弦AB所对的圆周角的度数为35°或145°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，理解并掌握圆周角定理、利用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理的运用，根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解，解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数． 【详解】解：根据题意，弦所对的圆心角是， ①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角， ②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于， 故答案为：或． 【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】或 【分析】本题考查圆周角定理，首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是：； ∵弦所对的优弧的度数为：， ∴弦所对的圆周角的度数是：； 综上，可得弦所对的圆周角的度数是或． 【易错点二】忽视定长弦的位置而致错 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径是1，弦，点C为上的一点（不与点A、B重合），则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意画出对应几何图即可求解． 【详解】解：如图：作    则 ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识点．根据题意画出对应几何图是解题关键． 【举一反三】【变式1】如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为（   ）      A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题要考虑两种不同的情况，综合运用圆周角定理的推论和解直角三角形相关计算的知识是解题的关键． 此题分为两种情况：当和在圆的同侧或当和在圆的两侧．设点、，连接、、、、、、，根据直径所对的圆周角是直角，得，运用直角三角形中所对的直角边为斜边的一半，得，故，故． 【详解】解：点的位置有两种情况，如图所示，设点、，连接、、、、、、,    ∵是的直径， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 即当和在圆的同侧或当和在圆的两侧时，均有， 故选． 题型方法 【题型一】圆周角的定义 【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 【举一反三】【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【变式3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【题型二】圆周角和圆心角的关系 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，三点在⊙O上，，则为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，A、B、C是半径为2的上的三点，，则弦的长为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，先证明，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，根据圆周角定理可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的外接圆，是的直径，平分，．求的半径． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，连接，根据角平分线的定义得到，再由圆周角定理得，，进而得，得到，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【题型三】同弧或等弧与所对圆周角的关系 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，理解同弧和等弧所对的圆周角相等是解答关键． 根据等弧所对的圆周角相等得到即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，点为弧的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，根据三角形的内角和可得，最后再利用同弧或等弧所对的圆周角相等可得结果. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：. 【变式2】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是 °． 【答案】21 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等角对等边，熟练掌握圆周角定理是关键．求出得，再证明得，进而可证明． 【详解】证明：∵，垂足为， ∴． ∵，， ∴． ∴． 连接， ∴，． ∴． ∴． ∴， ∴． 【题型四】直径所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理可得出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，P是线段上一点，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查判断直角三角形的个数，分和两种情况，画出图形即可得出结论 【详解】解：以为直径画圆，与有两个交点，可得两个直角三角形；以点Ａ为直角顶点可作一个直角三角形，如图， 所以，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是， 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，点在上，且垂足为． (1)若，则_____； (2)若，求的长． 【答案】(1)60 (2)的长为10 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理． （1）根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）先连接，在中，根据勾股定理得出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； （2）解：连接， 在中，，，， ∴， ∴． 【题型五】90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A. 角不是圆周角，故该工件不合格； B. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； C. 圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； D. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，根据的圆周角所对的弦是直径得到是直径，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴是的直径， 又∵， ∴的半径长为， 故答案为：．    【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【答案】详见解析 【分析】连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据90°的圆周角所对的弦是直径即可得结论． 【详解】如图，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵点A，B，D在同一个圆上， ∴是圆的直径． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及圆周角定理的推论，等腰三角形底边的中线、底边的高线及顶角的角平分线“三线合一”；90°的圆周角所对的弦是直径；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 【题型六】圆内接四边形 【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A、B、C、D、E在上,且弧为，求的度数（　　）          A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得．本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵弧为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点． (1)当时，求的度数； (2)连接，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据已知易得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用圆的内接四边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）连接交于点E，连接，根据已知可得，再根据垂径定理可得，从而可得，，然后在中，利用勾股定理可得，最后设的半径为r，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接交于点E，连接， ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形内角和定理的应用，证明，结合，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴； 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理以及三角形的外角性质是解题的关键． 先利用圆周角定理可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【详解】解： ∵是的一个外角， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A、B、C是上的三个点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍即可解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形外角的性质是求角的度数的常用方法．先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 【答案】75°/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中． 连接．利用同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可求出，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：如图，设圆与y轴负半轴交于点E，连接， ∵，， ， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 【答案】115 【分析】作出弧所对的圆周角，结合根据内接四边形对角互补求出即可．本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵， ∴， ∵⊙O沿弦折叠， ∴ 故答案为：115 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题． （1）设、、分别为、、，根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，继而求出的度数； （2）连接，根据勾股定理求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：设、、分别为、、， ∵四边形为圆内接四边形， ∴，即， 解得，， ∴； （2）连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴， 的面积=，， ∵点为的中点， ∴， ∴的面积=， ∴四边形的面积． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质及圆内接四边形的性质，关键是有圆周角定理得到． （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆内接四边形的性质推出，再求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是圆的直径， ， ， ， 是的中点； （2）解： ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． (1)求证：是的平分线； (2)若，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定和性质． （1）连接，推出，由余角的性质推出，由圆周角定理推出，因此，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，得到，即可证明结论； （2）由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由圆周角定理推出，判定，推出，得到E与O重合，因此，得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵， ∴ ∵是圆的直径， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与O重合， ∴， ∴． 故答案为：2． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， (1)求点D到直线的距离 (2)求四边形的面积 【答案】(1)4 (2)16 【分析】本题考查了内接四边形的性质及圆周角定理，旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的判定及性质． （1）把绕点旋转到处，使与重合，可得，，，，得到，即、、三点共线，由，可知，可知点到直线的距离为的长度，即可求解； （2）由（1）可知，，而四边形是正方形，即可得． 【详解】（1）解：如图，把绕点旋转到处，使与重合， ， 在中，为直径， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 点到直线的距离为的长度，即的长度， 点到直线的距离为4； （2）解：由（1）知，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$