第05讲 圆（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第05讲 圆 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点在圆内和圆外两种情况而出错 题型方法 题型一 圆的有关概念及性质 题型二 点与圆的位置关系 题型三 确定圆的条件 题型四 三角形的外接圆 知识清单 知识点1：圆的概念（重点） (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2：与圆有关的概念（重点） 1.弦： 连结圆上任意两点的线段叫做弦. 2.直径： 经过圆心的弦叫做直径. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 3.弧的有关概念： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 5.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 知识点3：点与圆的位置关系（重难点） （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 易错分析 【易错点一】忽视点在圆内和圆外两种情况而出错 【例1】（21-22九年级上·浙江温州·期中）同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 【变式2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 . 题型方法 【题型一】圆的有关概念及性质 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【变式2】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 ．（填序号） 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ． 【变式3】（20-21九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【题型三】确定圆的条件 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D．经过任意三点一定可以画一个圆 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【题型四】三角形的外接圆 【例4】（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 3．（22-23九年级下·浙江温州·期中）已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）点是半径为的上一点，则 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 11．（21-22九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ． 三、解答题 12．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，有两条公路相交成，沿公路方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 14．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．并建立如图所示的直角坐标系，则： (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P（______，______） (2)请画出，并判断点与圆的位置关系是___________． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点，画出． (2)用无刻度的直尺，确定的外心的位置． 16．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）圆圆在解答问题“在矩形中，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，求的半径r的取值范围？”时，答案为“”．圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点在圆内和圆外两种情况而出错 题型方法 题型一 圆的有关概念及性质 题型二 点与圆的位置关系 题型三 确定圆的条件 题型四 三角形的外接圆 知识清单 知识点1：圆的概念（重点） (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2：与圆有关的概念（重点） 1.弦： 连结圆上任意两点的线段叫做弦. 2.直径： 经过圆心的弦叫做直径. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 3.弧的有关概念： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 5.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 知识点3：点与圆的位置关系（重难点） （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 易错分析 【易错点一】忽视点在圆内和圆外两种情况而出错 【例1】（21-22九年级上·浙江温州·期中）同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm； ②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，分点在圆内和圆外两种情况求出圆的直径，然后根据直径与半径的关系得到半径的值． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 【答案】D 【分析】设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为， 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离， 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示，    半径； 当此点在圆外时，如图所示，    半径． 故圆的半径为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6，最大距离为8，则该圆的半径为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，分此点在圆内和此点在圆外两种情况，分别求出半径即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大和最小距离． 可分两种情况讨论： ①当此点在圆内时，如图所示，    由题意可知，，， ∴半径； ②当此点在圆外时，如图所示，    由题意可知，， ∴半径． 综上所述，圆的半径为1或7． 故答案为：1或7． 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 . 【答案】或 【分析】根据分点P在圆内和圆外两种情况进行解答即可． 【详解】解：①点P在圆内；如图1， ，， ， ； ②点P在圆外；如图2， ，， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，灵活利用分类讨论思想是解答本题的关键． 题型方法 【题型一】圆的有关概念及性质 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】C 【分析】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．掌握以上几个基本概念是解答本题的关键． A周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；C利用等圆的条件进行分析解答；D根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意； C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 【变式2】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，再解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， 线段的长可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（20-21九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4 【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案； （2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M， ∴AB=，CM=AB=， ∵以点C为圆心，3为半径作⊙C， ∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外； （2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外， 3＜r＜4， 故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键． 【题型三】确定圆的条件 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D．经过任意三点一定可以画一个圆 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念；关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意； C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意； D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 【题型四】三角形的外接圆 【例4】（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 【答案】B 【分析】直接运用对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐项判定即可． 【详解】解：A.圆的对称轴是直径所在的直线，所以A错误； B. 半径相等的两个半圆是等弧，所以B正确； C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以C错误； D. 经过不共线的三个点一定可以作圆，所以D错误； 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径． 【详解】解：设三角形为，，，， ， ， 该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边， 外接圆的直径是17步， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 【答案】(1)外接圆的圆心见解析图； (2)． 【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心； （2）连接， ∵， ∴一个网格的长为1， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 【答案】B 【分析】考查确定圆的条件以及三角形外接圆的知识，根据圆的性质定理逐项排查即可．掌握三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点是解题的关键． 【详解】解：A、过一点有无数个圆，正确，不符合题意； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项错误，符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，正确，不符合题意； D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级下·浙江温州·期中）已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径即可解答． 【详解】解：的半径为3，点P在内， ， 的长可能是2． 故选：A． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）点是半径为的上一点，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的半径的定义，即可得出答案． 【详解】解：∵点是半径为的上一点， ∴是的半径， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的基本概念，解本题的关键在熟练掌握圆的半径．圆心与圆上任意一点的连线都是圆的半径． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 【答案】内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内，由此即可判断． 【详解】解：∵的半径，A到圆心O距离， ∴， ∴A在内． 故答案为：内． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】作图，根据圆外一点到圆上的距离，过圆心时与圆交于两点，此时有最大值和最小值，然后计算半径即可 【详解】解：如图所示：连接交于点A和点B，点Q为上一动点，连接    当Q与A重合时，此时最小，即， 当Q与B重合时，此时最大，即， ∴， ∴的半径， 故答案为： 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，能够判断圆外一点过圆心与圆交于两点，此时两点与P之间的距离为最大值和最小值是解题的关键． 11．（21-22九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ． 【答案】（1，4）或（6，5） 【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可． 【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图， ∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数， ∴点C为圆P与格点的交点， ∵△ABC为钝角三角形， ∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5）， 故答案为：（1，4）或（6，5）； 【点睛】本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 三、解答题 12．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，有两条公路相交成，沿公路方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 【答案】这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒 【分析】过点A作，求出的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】解：如图，过点A作， ∵米， ∴米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， ∴． 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． ∴影响时间应是：秒． 答：这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形的外心，连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆，即可求解；能根据三角形的外心的性质找出圆心的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， 为所求作的图形． 14．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．并建立如图所示的直角坐标系，则： (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P（______，______） (2)请画出，并判断点与圆的位置关系是___________． 【答案】(1) (2)图见解析，点在圆上 【分析】本题考查了三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出、的中垂线，两直线的交点即为点P； （2）由（1）知圆心P的坐标为，以为半径画圆，如图，由图可知与圆的位置关系． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出、的中垂线，两直线的交点即为点P，圆心P的坐标为； （2）解：由（1）知圆心P的坐标为，以为半径画圆，如图，由图可知与圆的位置关系是点在圆上． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点，画出． (2)用无刻度的直尺，确定的外心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，确定三角形外接圆圆心位置： （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据三角形的外心的定义，连接，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． 16．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）圆圆在解答问题“在矩形中，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，求的半径r的取值范围？”时，答案为“”．圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】连接并根据勾股定理计算出的长度，经分析，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，则点B必须在圆内，点C必须在圆外，根据点与圆的位置关系即可进行解答． 【详解】解：圆圆的结果不正确． 连接， ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外， ∴点B在圆内，点C在圆外， ∴， ∴圆圆的结果不正确． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于半径，则点在圆外． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$