精品解析：湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学试卷 一、单选题 1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ） A B. C. D. 6 （ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9 满足集合，且，则集合（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，给出下列命题，不正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D. 的最小正周期为，且在上为增函数 11. 已知抛物线的焦点坐标为为上两点，，则（ ） A. B C. 若线段的中点的坐标为，则 D. 当时，若在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得 三、填空题 12. 已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第_______象限角. 13. 已知函数，在上恰有一个最大值和一个最小值，则的最小值为____________. 14. 设,对任意的实数,关于的方程共有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 17. 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. （1）求B的大小； （2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围. 18. 已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数,使得成立. (1)判断幂函数是否属于集合？并说明理由； (2)设,, i)当时,若,求的取值范围； ii)若对任意的,都有,求的取值范围 19. 如图，在直角梯形中，，，，以边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的实部和虚部的概念可得，结合交集的计算可得结果. 【详解】由题意，，，则. 故选：C. 2. 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得, 由于,，所以或, 故选：D 3. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 因此. 故选：B． 4. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系， 表示出点的坐标， 利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可. 【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系. 则设， 则 所以 所以当时, 取得最小值为. 故选：D. 5. 已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中条件得到圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：由题得圆台的高为， 设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为， 当圆台的两个底面在球心异侧时，， 所以， 解得，； 当圆台的两个底面在球心同侧时，， ， 解得，， 此时，不合题意，舍去， 故球的体积， 故选：B． 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用“1”的代换转化，再利用两角差的正切公式的逆用求解. 【详解】 故选：D 【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的逆用及“1”的代换，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面为半圆，求出圆锥的半径进而得高，进一步求出圆锥的体积， 【详解】由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为，高为，故， 得,则 所以圆锥的体积为. 故选：D. 8. 已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象分析，一共5个不等实根，即可得解. 【详解】方程有5个不等的实根， ，一共5个不等实根，作出函数图象： 其中 其中有两个不等实根，所以有三个不等实根， 所以， . 故选：C 二、多选题 9. 满足集合，且，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据集合交集的结果，以及，可直接得出结果. 【详解】因为，所以，，， 又， 所以或. 故选：AC. 10. 设函数，给出下列命题，不正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D. 的最小正周期为，且在上为增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，判断是否为0；对B，判断能否取得最值；对C，根据平移变换后可得解析式为；对D，举出特例即可； 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确． 故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦函数的对称中心、对称轴及单调性等性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11. 已知抛物线的焦点坐标为为上两点，，则（ ） A. B. C. 若线段的中点的坐标为，则 D. 当时，若在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线方程，设直线，且，联立方程组，根据韦达定理、向量数量积的坐标运算及抛物线的定义逐一分析即可. 【详解】由已知可得拋物线，设直线，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 对于：， 所以，故A正确； 对于：由，故B错误； 对于：当时，到准线的距离为，则两点到准线的距离之和为3， 由抛物线的定义得：，即， 又，可得，故C正确； 对于：时，， 所以，即，又，在轴上方， 所以中点， 与直线平行的直线与抛物线相切时切点， 此时，所以轴上方有一个点满足要求， 又因为轴下方有两个点满足要求，所以有三个点满足要求，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积的处理方法： （1）一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线的距离），设直线方程为斜截式； （2）拆分法：可以将三角形沿着轴，轴分成两个三角形，结合韦达定理求解. 三、填空题 12. 已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第_______象限角. 【答案】二 【解析】 【分析】弧度转化成角度，即可判断. 【详解】，是第二象限角. 故答案为：二 13. 已知函数，在上恰有一个最大值和一个最小值，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将相位视作一个整体，然后做出y=sinx的图像，结合图像列出不等式解出即可. 【详解】结合函数图象分析 ，故得. 故答案为：. 14. 设,对任意的实数,关于的方程共有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论当时, 当时,讨论函数的单调性，结合根的个数列出不等式组，即可求解. 【详解】, (1)当时,即， 则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 且, 关于方程总有三个不相等的实数根, 只要对恒成立,解得； (2)当时即, 则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 且, 关于的方程总有三个不相等的实数根, 只要对恒成立, ①当时,成立,此时 ②当时,恒成立,此时 ③当时,恒成立,此时 综合①②③得 由(1)(2)可知 故答案为： 【点睛】此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论. 四、解答题 15. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计 的区间，再计算区间 的频率和为0.85时，求解的值. 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得 ， 解得. （Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为 ， 由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 . (Ⅲ) 前6组的频率之和为 ， 而前5组的频率之和为 ， 由 ，解得， 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）引入，重新整理得出和这组基底的关系； （2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立平面坐标系，借助的方程，化为关于的表达式，从而利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 取AC的中点O，连OE，OF则， 因为， 所以. 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 直线的方程为：， 设， 则，， 所以， 当时等号成立. 17. 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. （1）求B的大小； （2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理，将条件变形，求角的大小； （2）根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围. 【小问1详解】 根据余弦定理可知，， 所以，即， 则,，所以； 【小问2详解】 设， 根据正弦定理可知， 所以,， 所以周长 , 因,， 所以，所以， 所以的周长为. 18. 已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数,使得成立. (1)判断幂函数是否属于集合？并说明理由； (2)设,, i)当时,若,求的取值范围； ii)若对任意的,都有,求的取值范围 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意列式，即解出自变量的值，属于集合A；（2）i)当时，，转化为 在上有解；ii)由 i)知：对任意，在上有解，则则可转化为在上有解，即可解决． 解析： （1），理由如下： 令，则 ，即， 解得：，均满足定义域． 当时， （2）i)当时， ∵，∴， 由题知：在上有解 ∴ ∴（），令，则 ∴即 ∴， 从而，原问题等价于或 ∴或又在上恒成立 ∴，∴ ii)由 i)知：对任意，在上有解 ∴，即 （），令，则 则在上有解 令，，则 ，即 由可得：，令，则 ，∴，∴． 点睛：本题考点是函数与方程的综合运用，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力． 19. 如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】（1） （2）6. 【解析】 【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积； （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形， 求出最短路径为线段，得到答案. 小问1详解】 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 【小问2详解】 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， 因为圆台上下底面半径的关系为， 所以，， 又∵， ∴， ∴， 设，则的弧长， 解得， 连接，为等边三角形， ∴ 所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段， 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $