1.5 全等三角形的判定（第2课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.5 全等三角形的判定（第二课时） 题型一：利用“SAS”作为判断依据 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 7．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 题型二：利用“SAS”判断三角形全等 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 4．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 4．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可） 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，，求证：．      5．（2025·福建·一模）如图，F、C是上两点，且，点E、F、G在同一直线上，且，．求证：    题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接，，延长交于点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，，，，则 ． 题型六：网格中求角度问题 1．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D．   6．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是中线，作，与的延长线交于点E，且，则中线的长为 ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，若，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 6．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则______°． 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 4．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 8．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 题型一：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型二：全等三角形中最值问题 1．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角，，，，E为中点，的角平分线交于点D，F，G分别是和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 题型三：全等三角形中动点问题（SAS） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等． 2．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 4．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 6．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．当 时，与全等． 题型四：全等三角形中多结论问题 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在和中，，连接，且与的延长线交于点，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 6．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，D是上一点，交于E，，，则以下说法：①；②；③；④，说法正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 题型五：全等三角形中解答题压轴 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 3．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若． (1)猜想线段与的位置关系，并说明理由． (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 6．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； (2)如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（   ） A．①②⑤⇒④ B．①②④⇒③ C．①③⑤⇒② D．②③⑤⇒① 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）是的中线，点、分别是和延长线上的点，且，分别连接、，下列结论：①，②和面积相等，③，④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 10．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在的正方形网格中，等于 ． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 12．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 则该容器壁的厚度为 ． 13．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 16．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段与的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点，连结，使与互余； (2)在图②中找一格点，连结，使与互余； (3)在图③中找一点，连结、，使与互余． 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全等三角形的判定（第二课时） 题型一：利用“SAS”作为判断依据 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据判断三角形全等即可． 【详解】解：已知， 由作图可知，， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：在和中 ， ∴； 故选D． 7．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选B． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 题型二：利用“SAS”判断三角形全等 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据选项中所给的条件结合定理分别进行分析，可选出答案． 【详解】解：如图， A、不能判定和全等，故本选项不符合题意； B、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； D、可以利用判定和全等，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【详解】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：根据可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等； 故答案为：②． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS） 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可利用“”判断， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，点在的平分线上，若能用判定，则需添加的一个条件是 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理（在两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等）即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是公共边，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据且证，则添加条件为，即可作答． 【详解】解：∵运用证，且 ∴添加条件为 即和中 ∴ 故答案为： 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“”判定，已知及公共边，添加的条件是． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：在与中， ， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知图形有一个公共角，再结合即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加的条件为：或（填写一个条件即可）. 理由：当添加的条件为时， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 当添加的条件为时， ∵，， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； 故答案为：或（填写一个条件即可）． 题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题） 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点，在上，，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，，求证：．      【答案】见解析． 【分析】根据全等三角形的判定找出条件即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 5．（2025·福建·一模）如图，F、C是上两点，且，点E、F、G在同一直线上，且，．求证：    【答案】见解析 【分析】根据，得出，根据，得出，即可根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设， 则，， ， 在中，． 故选：C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交于，证明即可解决问题． 【详解】作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接，，延长交于点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，关键是利用证明与全等． 根据等腰直角三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：和都是等腰直角三角形， ，，，， 在与中， ， ， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7．（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由证明，根据全等三角形的性质求出，由平行线的性质得，则，然后由三角形外角性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练根据题意找出全等三角形是解题的关键．先利用，得出，再证明，得出，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：网格中求角度问题 1．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，可以知道，再用邻补角定义求解即可． 【详解】如图 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∵， 故选：A． 2．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，取格点，连接，则，那么，由平行线的性质得到，而，即可求解． 【详解】解：连接，取格点，连接， 由网格可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，又，所以，最后根据外角的定义即可求出的度数． 【详解】解：由题意知：，，， ， ， 又， ， ， 故选：C． 5．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：B．    6．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知证明，得出，根据邻补角定义得出 ，即可求出结果； 本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角定义，熟悉网格结构，通过观察网格证明是解题的关键． 【详解】解：在与中， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：A． 题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴与的周长差是 ， 故答案为：8． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是中线，作，与的延长线交于点E，且，则中线的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 由三角形中线的定义可得，再运用证明可得，最后根据中线的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明．利用已知条件求解，证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平分交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：2，7． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，再利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由题易得平分，进而根据得到，所以，进而再根据角平分线构造全等，在上截取，证，进而得，然后利用线段的和差运算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，在上截取， 是和的角平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由得到，再由即可证明，继而． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则______°． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据可得两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在和中， ， ； （2）证明：， ， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 4．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ， ． 的长为1． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 8．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】①证明见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型一：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 在的延长线上取，连接，根据题意得出，可证，得到，根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，在的延长线上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， ，，， ， 故选：A ． 4．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，延长到E，使得，连接，可证明得到，再利用三角形三边的关系求出的长的范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 题型二：全等三角形中最值问题 1．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角，，，，E为中点，的角平分线交于点D，F，G分别是和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及正确作出辅助线． 连接交于点F，过点B作于点，通过证明，得出，则当点B、F、G三点共线时，，进而得出当时，最小，再根据，求出，即可解答． 【详解】解：连接交于点F，过点B作于点， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵E为中点， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当点B、F、G三点共线时，， 当时，最小， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在线段上取点，使得，证明得，再由三角形的三边关系得，从而当，，在同一直线上时，取最大值，从而问题得解． 【详解】如图，在线段上取点，使得，连接． 因为点在的平分线所在的直线上， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为， 所以当点，，在同一直线上时，取最大值为的长， 所以， 所以的最大值为2． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型三：全等三角形中动点问题（SAS） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等． 【答案】2或9 【分析】本题考查了全等三角形的判定及长方形的特点，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．结合和全等分两种情况进行讨论，①当时，②当时，根据题意得出和求解，即可解题． 【详解】解：①当时，和全等． 四边形为长方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 所以， ②当时，和全等． 与①同理，根据证得：， 在长方形中，， ． ， ， ， 解得． 所以，当t的值为2或9秒时．和全等． 故答案为：2或9． 2．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 4．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是弄清题意，分情况进行讨论．由全等三角形的判定，分两种情况讨论，当，时，，当，时，，再进一步即可解决问题． 【详解】解：设运动的时间是秒， （厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是2厘米秒； 当，时，， 是中点， 厘米， ∵， ∴， ， ∴厘米/秒． 当点的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时与全等． 故答案为：2或． 6．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．当 时，与全等． 【答案】1或1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，则，再分两种情况：当，，，当，时，，分别求解即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∵， ∴当，，， 即，， 解得：，， 当，时，， 即，， 解得：，； 综上所述，当1或1.5时，与全等， 故答案为：1或1.5． 题型四：全等三角形中多结论问题 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：， ，故①正确 在和中， ，故②正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在和中，，连接，且与的延长线交于点，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形、角平分线、三角形内角和的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，作于点，于点，与交于点，通过证明，推导得、平分；根据三角形内角和性质，得，即可得到答案． 【详解】如图，作于点，于点，与交于点， ， ，即， ， 和中， ． ， ∴， ， ，①中的结论正确； ， ，②中的结论正确； ， ， ，③中的结论正确； ， ∴四边形为正方形． 平分，④中的结论正确． ∴正确的结论有4个． 故选：D． 4．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 7．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，D是上一点，交于E，，，则以下说法：①；②；③；④，说法正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，平行线的判定及性质，解答时证明三角形全等是关键．根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中，， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选C． 题型五：全等三角形中解答题压轴 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算． （1）①先得到，再由角的和差计算即可； ②在延长线上截取，连接，先证明，再证明，再，进行线段和差计算证明即可； （2）同上证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②， 证明：在延长线上截取，连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 在延长线上截取，连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若． (1)猜想线段与的位置关系，并说明理由． (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①存在的值，使得的面积为；②的值为或 4 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和结合等式的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意，∵为高， ， 又 ∵， ， ， ， ． （2）解：①存在的值，使得的面积为 18 ，理由如下： 由题意，∵， ， ， ， 由（1）可知，， ， ∵在线段上， ， 解得：； ②∵， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， ∴当时，， 此时，， 解得：； b、当点在线段上时，如图4， ， ， ， ∴当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或 4 ． 6．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； (2)如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可证明； （2）同理可证明，得到；由三角形内角和定理可得，则可导角证明，则由三角形外角的性质可得．- 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，可证明得到，由，可得，据此可判断A；再由即可判断B、C、D． 【详解】解：如图所示，取格点E， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故A错误； 由网格的特点可得， ∴，，故C错误； ∴，，故B错误 ∵， ∴，故D正确； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（   ） A．①②⑤⇒④ B．①②④⇒③ C．①③⑤⇒② D．②③⑤⇒① 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐项判断选项中的三个条件能否判定和全等即可． 【详解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，所以无法证明，不符合题意； B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； C、由，，，可知，所以，可得，即，符合题意； D、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；根据题意证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得； 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）是的中线，点、分别是和延长线上的点，且，分别连接、，下列结论：①，②和面积相等，③，④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断①；全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断③；根据等底同高的三角形的面积相等判断②；最后根据点E位置不确定，与不一定相等，判断④． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确， ∴， 故③正确； ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等， 故②正确， 点E是上的点，位置不确定， ∴与不一定相等， 故④不正确， 综上所述． 正确的是①②③，共3个． 故选：C． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由题意易证，即得出，，再结合三角形内角和定理可得出，从而即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在的正方形网格中，等于 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【详解】解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 则该容器壁的厚度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：1． 13．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵，点E为线段的中点，． ∴， ∴①当，时，与全等， 此时，， 解得， ∴， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：或 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，即可解答． （2）．由，可得，继而证明，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，推出为的角平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∵点P在上，， ∴． 16．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段与的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点，连结，使与互余； (2)在图②中找一格点，连结，使与互余； (3)在图③中找一点，连结、，使与互余． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，互余的概念，平行线及线段的垂直平分线的性质等知识． （1）取一格点，使即可； （2）取一格点，使，则； （3）两种作法：作且；或作线段垂直平分线，；均可得符合条件的点F． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所； ，即与互余； （2）解：如图所示，点E即为所； 由图可知， ∴，即与互余； （3）解：如图所示，点F即为所； 由图可知，，， ∴，， 即与互余； 或 由图可知，，， ∴， 即与互余． 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 【答案】(1)3；3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了等腰三角形的性质． (1)根据Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后，可得；； (2)先用t表示出，当时，，，再根据等腰三角形的性质得到，于是可根据“”判断； (3)设点Q的运动速度为，则，由于，则当，时，根据“”可判断，即，；当，时，根据“”可判断．即，，然后分别解方程可得到的值． 【详解】（1）解：Q点运动的速度与点相同，且点，Q同时出发，经过1秒钟后，；； 故答案为：3，3； （2）证明：由题意得：， ； 当时，，，， 点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设点Q的运动速度，则， ， 当，时，， 即，， 解得，（舍去）； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，当点的运动速度为时，能够使与全等． 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $$