第二章 专题突破二 动态平衡和平衡中的临界、极值问题-【高考DNA解码】2026年高考物理一轮总复习学生用书word（广东专用）

　动态平衡和平衡中的临界、极值问题 共点力作用下物体的动态平衡 1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．分析动态平衡问题的方法 方法 步骤 示例及特点 解析法 (1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式； (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 画受力分析图，完成平行四边形构建特殊几何关系 图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化； (2)确定未知量大小、方向的变化 三力，一力恒定，一力方向不变 相似三角形法 (1)根据已知条件画出两种不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； (2)确定未知量大小的变化情况 (1)特点：三力，一力恒定，另外两力大小、方向都变 (2)方法：力三角形和几何三角形相似且夹角也改变，若夹角不变可用三角形的外接圆 　图解法求解动态平衡问题 [典例1]　质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为FT，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中(　　) A．F先变大后变小，FT逐渐变小 B．F先变大后变小，FT逐渐变大 C．F先变小后变大，FT逐渐变小 D．F先变小后变大，FT逐渐变大 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解析法求解动态平衡问题 [典例2]　在一些地表矿的开采点，有一些简易的举升机械，带着重物的动滑轮搁在轻绳a上，利用图示装置，通过轻绳和滑轮提升重物。轻绳a左端固定在井壁的M点，另一端系在光滑的轻质滑环N上，滑环N套在光滑竖直杆上。轻绳b的下端系在滑环N上并绕过定滑轮。滑轮和绳的摩擦不计。在右侧地面上拉动轻绳b使重物缓慢上升过程中，下列说法正确的是(　　) A．绳a的拉力变大 B．绳b的拉力变大 C．杆对滑环的弹力变大 D．绳b的拉力始终比绳a的小 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　相似三角形法求解动态平衡问题 [典例3]　如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为半圆环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳连接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的最低点H点，第一次拉小圆环使其缓慢地运动到N点，第二次以恒定的速率将小圆环拉到N点。滑轮大小可以忽略，则下列说法正确的是(　　) A．第一次轻绳的拉力逐渐增大 B．第一次半圆环受到的压力逐渐减小 C．小圆环第一次在N点与第二次在N点时，轻绳的拉力相等 D．小圆环第一次在N点与第二次在N点时，半圆环受到的压力相等 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由相对静止到相对运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、不等式求极值、三角函数极值等)。 (3)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 [典例4]　如图所示，在倾角为θ的粗糙固定的斜面上，有一个质量为m的拖把头被水平力F推着静止于斜面上，轻杆质量不计，已知拖把与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan θ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)水平推力F的取值范围； (2)已知斜面倾角存在一临界角θ0，若θ≥θ0，则不管水平推力F多大，都不可能使拖把头从静止开始运动，求这一临界角的正切值tan θ0。 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　四步法解决临界、极值问题 1．如图所示，三脚架置于光滑水平面上，现将支架张角调大一些，地面对三脚架的作用力将(　　) A．不变　 B．变大 C．变小　 D．无法确定 2．如图所示，整个系统处于静止状态，动滑轮与定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为θ。如果将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，滑轮质量和一切摩擦均不计，整个系统重新平衡后(　　) A．物块B的高度不变，θ不变 B．物块B的高度不变，θ变大 C．物块B的高度增大，θ变大 D．物块B的高度增大，θ不变 3．(2024·广东佛山二模)如图所示，用AB与AC两根绳悬挂一质量分布不均(重心偏左)的矩形画框，画框底部需保持与水平地面平行。若保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)后悬挂画框，画框保持原状态不动，则改变AC绳长前后(　　) A．AB绳的拉力大小总等于AC绳的拉力大小 B．AB绳的拉力大小总小于AC绳的拉力大小 C．AB绳的拉力大小不变 D．AC绳的拉力大小可能相等 4．(多选)粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，轻绳另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角α＝135°，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．拉力F一直减小 B．B、C间的摩擦力先增大再减小 C．物体C对地面的压力先增大再减小 D．物体C对地面的摩擦力的最大值为mg 5．(2024·广东佛山一模)在倾角为α＝37°的斜面上，一条质量不计的皮带一端固定在斜面上端，另一端绕过一质量为m＝3 kg、中间有一圈凹槽的圆柱体，并用与斜面夹角为β＝37°的力F拉住，使整个装置处于静止状态，如图所示，不计一切摩擦，重力加速度大小g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。某同学分析过程如下：将拉力F沿斜面和垂直于斜面方向进行分解。沿斜面方向有F cos β＝mg sin α，沿垂直于斜面方向有F sin β＋N＝mg cos α，问：你同意上述分析过程吗？若同意，按照这种分析方法求出F及N的大小；若不同意，指明错误之处并求出你认为正确的结果。 (1)求拉力F的大小； (2)求斜面对圆柱体的弹力N的大小。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破二　动态平衡和平衡中的临界、极值问题 突破一 典例1　C　[对结点O受力分析如图所示，保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中，由图可知F先减小后增大，FT一直减小，故选项C正确。] 典例2　D　[设绳子a总长为L，左侧井壁与竖直杆之间的距离为d，动滑轮左侧绳长为L1，右侧绳长为L2。由于绳子a上的拉力处处相等，所以动滑轮两侧绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得d＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin θ，L1＋L2＝L，得到sin θ＝，当滑环N缓慢向上移动时，d、L没有变化，则θ不变。设绳子a的拉力大小为FT1，重物的重力为G。以带着重物的动滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FT1cos θ ＝G，解得FT1 ＝ ，可见，当θ不变时，绳子a的拉力FT1不变，A错误；以滑环N为研究对象，绳b的拉力为FT2，则FT2＝FT1cos θ，保持不变，杆对滑环的弹力FN＝FT1sin θ，保持不变，B、C错误；绳b的拉力FT2＝FT1cos θ，所以绳b的拉力FT2始终比绳a的拉力FT1小，D正确。] 典例3　C　[小圆环沿半圆环缓慢上移过程中，受重力G、拉力FT、弹力FN三个力处于平衡状态，受力分析如图所示。由图可知△OMN与△NBA相似，则有＝＝(式中R为半圆环的半径)，在小圆环缓慢上移的过程中，半径R不变，MN的长度逐渐减小，故轻绳的拉力FT逐渐减小，小圆环所受的支持力的大小不变，由牛顿第三定律得半圆环所受的压力的大小不变，A、B错误；第一次小圆环缓慢上升到N点时，FN＝G，FT＝G，第二次小圆环运动的过程中，假设小圆环速率恒为v，当小圆环运动到N点时，在水平方向上有FT′cos 45°－FN′＝m，在竖直方向上有G＝FT′sin 45°，解得FT′＝G，FN′＝G－m，再结合牛顿第三定律可知，C正确，D错误。] 突破二 典例4　解析：(1)因为μ＜tan θ，故F＝0时，拖把头不能静止在斜面上；取力F最大，拖把头恰好不上滑时，最大静摩擦力沿斜面向下，先分析受力再正交分解，如图1所示。 　 由力的平衡条件，在x轴上有 F cos θ＝Ff＋mg sin θ ① 在y轴上有FN＝F sin θ＋mg cos θ ② 由滑动摩擦力的公式，有Ff＝μFN ③ 联立①②③解得F＝ 取力F最小，拖把头恰好不下滑时，最大静摩擦力沿斜面向上，先分析受力再作正交分解，如图2所示。 则在x轴上有F cos θ＋Ff＝mg sin θ ④ 联立②③④解得F＝ 由此可知水平推力F的取值范围 ≤F≤。 (2)若不管水平推力F多大都不能使拖把头从静止开始运动，应满足F cos θ≤mg sin θ＋Ffm 解得F≤ 取F→∞，则θ的临界角θ0对应的条件 cos θ0－μsin θ0＝0 解得tan θ0＝。 答案：(1)≤F≤　(2) 学情诊断·当堂评价 1．A　[地面对三脚架的作用力始终等于三脚架和相机的总重力，故将支架张角调大一些，地面对三脚架的作用力不变，故选A。] 2．A　[设绳子拉力大小为F，以B为研究对象，有F＝mBg，以动滑轮为研究对象，根据受力平衡可得2F sin θ＝mAg，设左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度为L，水平距离为x，根据几何关系可得cos θ＝，将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，绳子拉力大小保持不变，则θ不变，由于水平距离x不变，则左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度L不变，故物块B的高度不变。故选A。] 3．D　[对画框受力分析如图所示，设AB绳上的拉力与水平方向的夹角为θ1，AC绳上的拉力与水平方向的夹角为θ2，根据题意，保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度(但AC绳仍长于AB绳)，则可知该过程中θ1始终不变，且根据几何关系，始终有θ1＞θ2，则在水平方向根据平衡条件有FABcos θ1＝FACcos θ2， 由于θ1始终大于θ2，因此FAB始终大于FAC，故A、B错误；重力为恒力，AB绳上力的方向始终不变，作出力的矢量三角形如图所示，可知，随着AC绳将C端向左移动，绳AC与竖直方向的夹角在减小，该过程中绳AC上的拉力可能先减小后增大，当绳AC垂直于绳AB时，绳AC上的拉力有最小值，因此AC绳的拉力大小可能前后相等，该过程中绳AB上的拉力FAB逐渐减小，但始终大于绳AC上的拉力FAC，故C错误，D正确。] 4．AB　[对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示，通过分析可得绳子拉力FT先增大再减小，拉力F一直减小，故A正确；初始状态，对结点分析可得绳子拉力大小为FT＝mg，对B分析，可发现FT＝2mg sin 30°，即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力FT从mg先增大再减小到mg，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，故B正确；将B、C看成整体，竖直方向有N地＋FTsin 30°＝(2m＋M)g，由于FT先增大再减小，故N地先减小再增大，即物体C对地面的压力先减小再增大，故C错误；将B、C看成整体，水平方向上有FTcos 30°＝f地，当FT最大时F水平，对A分析可得FTmax＝mg，所以f地max＝mg，即物体C对地面的摩擦力的最大值为mg，故D错误。] 5．解析：(1)不同意，忽略了上端皮带对圆柱体的拉力。根据题意，对圆柱体受力分析，如图所示。 在沿斜面方向上有 F cos β＋F＝mg sin α 解得F＝10 N。 (2)在垂直于斜面方向上有 F sin β＋N＝mg cos α 解得N＝18 N。 答案：见解析 学科网（北京）股份有限公司 $$