专题07 概率（3重点+8题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题07 概率 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：随机事件与样本空间 1、随机事件 （1）两种现象： ①确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果． ②随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果． （2）随机试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验． 2、样本点和样本空间 （1）样本点：我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示； （2）样本空间：全所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示； （3）有限样本空间：如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间． 3、事件的关系和运算 （1）互斥（互不相容）：如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)． （2）互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 （3）包含关系：若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A． (或事件A包含于事件B)，即B ⊇A(或A⊆B)． 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B． （4）并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) （5）交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 知识点2：随机事件的概率 1、频率与概率 （1）概率：频数与频率在一定条件下，重复进行了次试验，如果某一随机事件出现了次，则事件出现的频数是，称事件出现的次数与试验总次数的比为随机事件出现的概率． （2）概率的统计定义：一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的概率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)． 2、必然事件与不可能事件的概率 （1）； （2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，． 3、古典概型 （1）定义：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． （2）概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点3：互斥事件与独立事件 1、互斥与对立事件 （1）互斥事件：在一次随机试验中，事件与不可能同时发生，这时我们称，为互斥事件． （2）对立事件：若互斥事件，中必有一个发生，这时我们称，为对立事件，记作或. 对立事件与中必有一个发生，故是必然事件． （3）互斥事件与对立事件的关系 区别 （1）在一次试验中，两个互斥事件可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生； （2）互斥事件可能是两个事件，也可能是多个事件，而对立事件只能是两个事件． 联系 两个事件时对立事件，则它们一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件． 2、概率公式 （1）概率的加法公式：如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即，这时概率满足的第三个基本性质． （2）概率加法公式的推广：如果事件中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件两两互斥，则． （3）随机事件概率的常用性质 ①； ②当时，； ③当，不互斥时，． 3、相互独立事件 （1）定义：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称，为相互独立事件． （2）相互独立事件的概率公式：，相互独立． （3）重要结论 ①若，相互独立，则与，与，与也都相互独立。 ②独立事件可以推广到个事件的情形，即若事件相互独立，那么． （4）相互独立事件与互斥事件的关系 ，关系 概率记法 ，互斥 ，相互独立 至少一个发生 同时发生 0 都不发生 恰有一个发生 至多一个发生 1 【题型1 随机事件与样本空间】 高妙技法 求样本空间的关键点： 1、求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点． 2、对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏． 3、写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关． 1．（24-25高一下·内蒙古·期中）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次， 这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环， 这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；故选：C. 2．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【解析】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件．故选:CD 3．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【解析】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉， 因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是.故选：A 4．从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）这个随机试验的样本空间为. （2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为. 【题型2 事件的关系与运算的应用】 高妙技法 判断基本事件关系应注意的问题： 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是要考虑事件的结果间是否有交事件． 5．（24-25高二上·广东佛山·月考）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为.故选：A 6．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，所以有； 当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生， 所以事件A与事件B之间不存在包含关系． 7．（24-25高二上·广东佛山·月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况， 以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确.故选：D. 8．（24-25高二上·山东淄博·月考）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B 【题型3 用频率估计概率】 高妙技法 1、虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现出一定的规律性，所以可以用事件发生的频率去“测量”概率，即可以通过计算事件发生的频率去估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 2、此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率，据此得出统计推断． 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【解析】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件），故选：C． 10．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【解析】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石.故选：A 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 【答案】0.44 【解析】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 12．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【解析】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 【题型4 古典概型的判断】 满分技法 判断试验是否为古典概型 一个试验是否为古典概型，关键看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．第一，试验是否具有等可能性。第二，试验的基本事件总数是否为有限个． 13．（24-25高二上·山东济南·月考）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【解析】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…， 命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误.故选：B. 14．（24-25高二上·广西钦州·月考）下列试验是古典概型的是（    ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】C 【解析】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误； 对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误； 对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；故选：C. 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）下列不是古典概型的是（    ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【答案】ABD 【解析】A选项，任意抛掷两枚骰子，所得点数之和不满足“等可能”，所以A选项不是古典概型. B选项，取出的正整数不满足“有限”，所以B选项不是古典概型. C选项，在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目， 基本事件是有限的，且是等可能的，所以求甲被选中的概率属于古典概型，所以C选项是古典概型. D选项，抛掷的次数不满足“等可能”，所以D选项不是古典概型.故选：ABD 16．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【答案】BC 【解析】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误； 对于B，实验结果有限且等可能，故正确； 对于C，实验结果有限且等可能，故正确； 对于D，显然实验并非等可能，故错误.故选：BC 【题型5 古典概型的概率计算】 高妙技法 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 17．（24-25高一下·四川达州·月考）从2，4，8中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的有序数组有，共个， 其中使得为整数的有，共个， 则使为整数的概率是.故选：B 18．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设O为△ABC的外心，在O，A，B，C四点中任取两点，则取到的两点都是△ABC的顶点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从O，A，B，C四点中任取两点的不同结果有，共6个， 取到的两点都是的顶点的结果有，共3个， 所以所求概率为.故选：C 19．（23-24高一下·江苏无锡·月考）抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况： （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果， 既有正面向上，也有反面向上情况： （正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果， 所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为.故选：D. 20．（24-25高一下·陕西榆林·月考）先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为，所以，由题意可知基本事件总数为， 当时，，共四种情况； 当时，，共两种情况。 所以满足的基本事件个数为， 因此，“”的概率.故选：A. 【题型6 互斥事件与对立事件的判断】 高妙技法 判断互斥与对立事件的两种方法： （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则为事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 21．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确．故选：D 22．（24-25高一下·陕西榆林·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 【答案】B 【解析】对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误； 对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确； 对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误； 对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4)，故D错误.故选:B 23．（24-25高一下·辽宁·期中）（多选）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【解析】由题意可知与是互斥事件，但不是对立事件， 与是对立事件，与是对立事件， 与不是互斥事件，即与不是对立事件.故选：BC. 24．（24-25高二上·河南信阳·期末）（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【答案】AC 【解析】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确； 对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；， 对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球， 其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确； 对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误，故选：AC 【题型7 概率加法公式及其应用】 高妙技法 求复杂的互斥事件概率的两种方法： （1）直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． （2）间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便． 25．（23-24高一下·江苏无锡·月考）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有一个红球时：， 有两个红球时：， 故，故选：C． 26．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因是两个互斥事件，故， 于是，.故选：C. 27．（24-25高二上·湖北十堰·月考）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与互斥，则， 可得， 所以.故选：D． 28．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】由事件与事件互斥，， 故,故A正确; 则,故B正确； ,故C正确. ,故D正确.故选：ABCD. 【题型8 相互独立事件的概率综合】 高妙技法 求相互独立事件同时发生的概率的方法 （1）首先判断几个事件的发生是否相互独立． （2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 29．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目.已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p>q），且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对两道题的概率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，解得或， 因为，所以. （2）甲、乙两人共答对两道题的概率为. 30．（24-25高一下·天津武清·月考）杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率： (1)甲、乙两同学都能通过； (2)甲、乙两同学恰有一人通过； (3)甲、乙两同学中至少有一人通过． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）甲、乙两同学都能通过的概率为； （2）甲、乙两同学恰有一人通过的概率为； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过的概率为． 31．（24-25高二下·四川南充·开学考试）多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，第10题得6分需满足选两个选项且选对， 选两个选项共有6种情况，，，，， 所以； （2）总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分； 第10题得6分且第11题得6分， 记事件：第10题得6分，满足选了两个选项且选对； 事件：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对； 事件：第11题得6分，满足选了三个选项且选对. 则；；； . 32．（24-25高一下·贵州遵义·月考）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元， 一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元， 一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：. 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 【答案】C 【解析】某人连续投篮3次，包含的基本事件有①全部没投中，②1次投中，2次没投中， ③2次投中，1次没投中，④全部投中这4个， 事件“至少投中2次”包含基本事件③和④， 事件“投中1次或全部没投中”包含基本事件①和②，则它们互为对立事件， 其他选项不合要求.故选：C. 2．（23-24高一下·河北保定·月考）已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量与向量夹角为锐角等价于且与不同向， 即，且； 易知共有16个，分别是， ， 满足条件的为共4个， 故所求的概率为，故选：B． 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为.故选：D. 二、多选题 4．（24-25高一下·河北邢台·月考）一个盒子里装有除颜色外完全相同的4个小球，其中白色小球有2个，编号为1，2；红色小球有2个，编号为3，4.现从该盒中不放回地依次取出2个小球，事件A表示“第一次取出的是白球”，事件B表示“第二次取出的是红球”，事件C表示“两次取出的球颜色相同”，事件D表示“两次取出的球颜色不同”，则（    ） A．A与B相互独立 B．B与C相互独立 C．B与D相互独立 D．A与D相互独立 【答案】BCD 【解析】不放回地依次取出2个小球，基本事件有 12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12种， 事件A包含12，13，14，21，23，24，共6种， 事件B包含13，14，23，24，34，43，共6种， 事件C包含12，21，34，43，共4种， 事件D包含13，14，23，24，31，32，41，42，共8种， 事件AB包含13，14，23，24，共4种， 事件AD包含13，14，23，24，共4种，事件BC包含34，43，共2种， 事件BD包含13，14，23，24，共4种， 则，，， ，. 对于A，因为，所以A与B不相互独立，则A错误； 对于B，因为，所以B与C相互独立，则B正确； 对于C，因为，所以B与D相互独立，则C正确； 对于D，因为，所以A与D相互独立，则D正确.故选：BCD. 5．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（    ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【答案】BCD 【解析】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； 因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格， 所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确； 表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确； 表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确；故选：BCD. 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）（多选）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（    ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】ACD 【解析】因为，所以，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则， 若，则， 所以，故C正确； 若、相互独立，则也相互独立，所以， 所以和至少有一个发生的概率为，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 【答案】 【解析】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为， ，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 8．（23-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛. 则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为； ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为； ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为． 9．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【答案】 【解析】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个， 这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为， 则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 四、解答题 10．（24-25高一下·河北邢台·月考）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）甲最终获胜包含以下情况： 第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，其概率为； 第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，其概率为； 第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，其概率是. 故甲、乙首先比赛，甲最终获胜的概率； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为； 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为. 故甲、乙首先比赛，乙最终获胜的概率. ②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况： 甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为. 故甲、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. ③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为； 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为； 乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为. 故乙、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. 故乙最终获胜的概率. 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 12．（23-24高一下·江苏江阴·月考）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设第80百分位数为，前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 故，解得： （2）由样本频率估计总体频率，在和两区间内频率分别为0.2，0.1， 区间应抽取（人），设为，，，甲， 区间应抽取（人），设为，乙， 则从6人中随机抽取2人的样本空间为： ，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙， ，甲乙，甲，乙，共15个基本事件， 记“甲、乙两人至少有一人被选上”， 则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9个基本事件， 所以， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 真题感知 1．（23-24高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【答案】B 【解析】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错；故选：B 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确.故选：D 3．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率.故选：A. 4．（23-24高一下·新疆·期末）（多选）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 【答案】AC 【解析】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件.故选：AC 5．（23-24高一下·江苏南通·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【答案】BC 【解析】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误．故选：BC． 6．（24-25高一上·山东潍坊·期末）从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 【答案】BD 【解析】对于选项A，事件为“第一次取出的数字为”，事件为“第二次取出的数字为奇数”. 第一次取到并不影响第二次取到奇数，这两个事件是可以同时发生的， 比如第一次取，第二次取或或. 所以与不是互斥事件，A选项错误.   对于选项B，，因为从这个数字中第一次取到的概率是. ，第二次取到奇数（、、）的概率是. ，即第一次取且第二次取奇数的概率. 因为，满足相互独立事件的条件. 所以事件与相互独立，B选项正确.   对于选项C，事件为“第二次取出的数字为奇数”，事件为“两次取出的数字之和等于”. 当第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到； 第二次取到，第一次取到时，与是可以同时发生的. 所以与不是互斥事件，C选项错误. 对于选项D，，， 两次取数之和等于的情况有、、、、、共种，总情况有种. ，而，满足. 所以事件与相互独立，D选项正确.故选：BD. 7．（24-25高一下·河北保定·期末）（多选）在2025年世界园艺博览会上，某展馆展出了300盆花卉.经统计，花朵为红色的花卉有120盆，花瓣层数超过5层的花卉有100盆，花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆.设事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵为红色”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互为对立事件 D．事件与事件既不互斥也不对立 【答案】ABD 【解析】 如图所示，根据题干可作图，共300盆花卉， 红色的花卉有120盆，则， 花瓣层数超过5层的花卉有100盆，则， 花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆，则， 则，所以A正确， 花瓣层数不超过5层有200盆，则， 不超过5层且花瓣为红色的有80盆，则， 则，所以B正确， 花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层120盆，所以， ，所以C错误， 事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉， 该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，可知事件为事件的子事件， 所以事件与事件既不互斥也不对立，所以D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】 【解析】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 9．（24-25高一下·河北保定·期末）在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. (1)已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； (2)任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； (3)任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由题意得丙成功通关的项目中有4个是太空生活舱体验类， 而丙成功体验了8个项目，所以概率. （2）设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”. 则，故， “甲、乙两人中恰有一人成功通关”，且与互斥. 每人独立体验，故互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 即任选一个项目，甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率为. （3）设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”， ，则. 所以，解得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：随机事件与样本空间 1、随机事件 （1）两种现象： ①确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果． ②随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果． （2）随机试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验． 2、样本点和样本空间 （1）样本点：我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示； （2）样本空间：全所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示； （3）有限样本空间：如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间． 3、事件的关系和运算 （1）互斥（互不相容）：如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)． （2）互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 （3）包含关系：若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A． (或事件A包含于事件B)，即B ⊇A(或A⊆B)． 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B． （4）并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) （5）交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 知识点2：随机事件的概率 1、频率与概率 （1）概率：频数与频率在一定条件下，重复进行了次试验，如果某一随机事件出现了次，则事件出现的频数是，称事件出现的次数与试验总次数的比为随机事件出现的概率． （2）概率的统计定义：一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的概率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)． 2、必然事件与不可能事件的概率 （1）； （2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，． 3、古典概型 （1）定义：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． （2）概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点3：互斥事件与独立事件 1、互斥与对立事件 （1）互斥事件：在一次随机试验中，事件与不可能同时发生，这时我们称，为互斥事件． （2）对立事件：若互斥事件，中必有一个发生，这时我们称，为对立事件，记作或. 对立事件与中必有一个发生，故是必然事件． （3）互斥事件与对立事件的关系 区别 （1）在一次试验中，两个互斥事件可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生； （2）互斥事件可能是两个事件，也可能是多个事件，而对立事件只能是两个事件． 联系 两个事件时对立事件，则它们一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件． 2、概率公式 （1）概率的加法公式：如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即，这时概率满足的第三个基本性质． （2）概率加法公式的推广：如果事件中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件两两互斥，则． （3）随机事件概率的常用性质 ①； ②当时，； ③当，不互斥时，． 3、相互独立事件 （1）定义：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称，为相互独立事件． （2）相互独立事件的概率公式：，相互独立． （3）重要结论 ①若，相互独立，则与，与，与也都相互独立。 ②独立事件可以推广到个事件的情形，即若事件相互独立，那么． （4）相互独立事件与互斥事件的关系 ，关系 概率记法 ，互斥 ，相互独立 至少一个发生 同时发生 0 都不发生 恰有一个发生 至多一个发生 1 【题型1 随机事件与样本空间】 高妙技法 求样本空间的关键点： 1、求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点． 2、对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏． 3、写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关． 1．（24-25高一下·内蒙古·期中）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 2．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 3．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 4．从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【题型2 事件的关系与运算的应用】 高妙技法 判断基本事件关系应注意的问题： 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是要考虑事件的结果间是否有交事件． 5．（24-25高二上·广东佛山·月考）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（    ） A． B． C． D． 6．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东佛山·月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东淄博·月考）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 用频率估计概率】 高妙技法 1、虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现出一定的规律性，所以可以用事件发生的频率去“测量”概率，即可以通过计算事件发生的频率去估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 2、此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率，据此得出统计推断． 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 10．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 12．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【题型4 古典概型的判断】 满分技法 判断试验是否为古典概型 一个试验是否为古典概型，关键看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．第一，试验是否具有等可能性。第二，试验的基本事件总数是否为有限个． 13．（24-25高二上·山东济南·月考）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 14．（24-25高二上·广西钦州·月考）下列试验是古典概型的是（    ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）下列不是古典概型的是（    ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 16．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【题型5 古典概型的概率计算】 高妙技法 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 17．（24-25高一下·四川达州·月考）从2，4，8中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设O为△ABC的外心，在O，A，B，C四点中任取两点，则取到的两点都是△ABC的顶点的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·江苏无锡·月考）抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·陕西榆林·月考）先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型6 互斥事件与对立事件的判断】 高妙技法 判断互斥与对立事件的两种方法： （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则为事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 21．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 22．（24-25高一下·陕西榆林·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（    ） A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 23．（24-25高一下·辽宁·期中）（多选）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 24．（24-25高二上·河南信阳·期末）（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【题型7 概率加法公式及其应用】 高妙技法 求复杂的互斥事件概率的两种方法： （1）直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． （2）间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便． 25．（23-24高一下·江苏无锡·月考）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·湖北十堰·月考）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且.则（    ） A． B． C． D． 【题型8 相互独立事件的概率综合】 高妙技法 求相互独立事件同时发生的概率的方法 （1）首先判断几个事件的发生是否相互独立． （2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 29．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目.已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p>q），且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对两道题的概率. 30．（24-25高一下·天津武清·月考）杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率： (1)甲、乙两同学都能通过； (2)甲、乙两同学恰有一人通过； (3)甲、乙两同学中至少有一人通过． 31．（24-25高二下·四川南充·开学考试）多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 32．（24-25高一下·贵州遵义·月考）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 2．（23-24高一下·河北保定·月考）已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·河北邢台·月考）一个盒子里装有除颜色外完全相同的4个小球，其中白色小球有2个，编号为1，2；红色小球有2个，编号为3，4.现从该盒中不放回地依次取出2个小球，事件A表示“第一次取出的是白球”，事件B表示“第二次取出的是红球”，事件C表示“两次取出的球颜色相同”，事件D表示“两次取出的球颜色不同”，则（    ） A．A与B相互独立 B．B与C相互独立 C．B与D相互独立 D．A与D相互独立 5．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（    ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）（多选）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（    ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 三、填空题 7．（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 8．（23-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 9．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 四、解答题 10．（24-25高一下·河北邢台·月考）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. (1)若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； (2)求乙最终获胜的概率. 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 12．（23-24高一下·江苏江阴·月考）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 真题感知 1．（23-24高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 3．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·新疆·期末）（多选）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 5．（23-24高一下·江苏南通·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 6．（24-25高一上·山东潍坊·期末）从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 7．（24-25高一下·河北保定·期末）（多选）在2025年世界园艺博览会上，某展馆展出了300盆花卉.经统计，花朵为红色的花卉有120盆，花瓣层数超过5层的花卉有100盆，花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆.设事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵为红色”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互为对立事件 D．事件与事件既不互斥也不对立 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 9．（24-25高一下·河北保定·期末）在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. (1)已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； (2)任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； (3)任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$