专题04 复数（4重点+10题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题04 复数 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2：复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 3、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 知识点3：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点4：复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 【题型1 复数相关概念的应用】 高妙技法 1、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数（为虚数单位），则的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·河北邯郸·月考）若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（    ） A．或 B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·月考）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【题型2 复数相等及其应用】 高妙技法 求解复数相等问题的步骤： （1）等号两侧都写成复数的代数形式； （2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）； （3）解方程(组)． 5．（24-25高一下·吉林长春·期中）设，其中是实数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高一下·河南·月考）已知，，则 . 7．（24-25高一下·天津·月考）若实数满足，其中为虚数单位，则 . 8．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 【题型3 复数四则混合运算】 高妙技法 解决复数四则运算问题的思路： 1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； 2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. 2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 9．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知复数，，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广西贺州·月考）已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·河南·月考）已知为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型4 复数高次幂的周期性应用】 满分技法 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．． 13．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·云南临沧·月考）已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 复数范围内的解方程】 高妙技法 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 17．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．0 19．（24-25高一下·广西桂林·月考）若是关于的方程的根，则 ． 20．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【题型6 复数的几何意义】 高妙技法 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 21．（24-25高一下·河北邢台·期中）若，则复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在复平面内，若复数，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 【题型7 复数的模长相关计算】 高妙技法 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 25．（24-25高一下·山东济宁·月考）若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 26．（23-24高一下·重庆·月考）复数满足，则（    ） A． B．2 C． D． 27．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（23-24高一下·天津·月考）已知，，，则 . 【题型8 与复数模有关的最值问题】 高妙技法 1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． 2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 29．（24-25高三下·安徽·三模）已知复数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 30．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 31．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是 ． 32．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 【题型9 复数乘除法的几何意义】 高妙技法 1、两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和； 2、两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 33．复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【题型10 复数三角形式的应用】 高妙技法 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 37．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林四平·月考）设复数z满足，令，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．的模与的模不相等 B．与的虚部相等 C．是方程的一个复数根 D．在复平面内对应的点位于第三象限 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 三、填空题 7．（24-25高一下·四川射洪·月考）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 8．（24-25高一下·山东济南·月考）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 9．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 四、解答题 10．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足． (1)求复数； (2)，求； (3)复数是关于的方程的一个根，求出方程的两个复数根． 12．（24-25高二上·四川内江·开学考试）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 真题感知 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·期末）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（24-25高一下·河北衡水·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则的最小值为2 D． 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，是复数，则 C．若，是复数，，则 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 6．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 8．（24-25高一下·广东广州·期中）设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 9．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2：复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 3、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 知识点3：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点4：复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 【题型1 复数相关概念的应用】 高妙技法 1、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数（为虚数单位），则的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部为.故选：A 2．（24-25高一下·河北邯郸·月考）若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为，则，解得.故选：A. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数（）是纯虚数，所以， 由，得或， 由，得，所以.故选：D. 4．（23-24高一下·湖南长沙·月考）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】若复数，（，）为实数， 则有， ，故选：A. 【题型2 复数相等及其应用】 高妙技法 求解复数相等问题的步骤： （1）等号两侧都写成复数的代数形式； （2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）； （3）解方程(组)． 5．（24-25高一下·吉林长春·期中）设，其中是实数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，即，所以，故选：A． 6．（24-25高一下·河南·月考）已知，，则 . 【答案】 【解析】由题意得得所以. 7．（24-25高一下·天津·月考）若实数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【解析】根据复数相等可得：，解得：，所以. 8．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 【答案】 【解析】由题设，则，可得. 【题型3 复数四则混合运算】 高妙技法 解决复数四则运算问题的思路： 1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； 2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. 2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 9．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知复数，，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，则.故选：. 10．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得：，解得：.故选：A 11．（24-25高一下·广西贺州·月考）已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B 12．（24-25高一下·河南·月考）已知为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 【题型4 复数高次幂的周期性应用】 满分技法 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．． 13．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即，故选：B． 14．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 又因为， 所以. 所以的虚部为.故选：A 15．（23-24高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，故选：A. 16．（24-25高一下·云南临沧·月考）已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因，以及， 则， 故复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B． 【题型5 复数范围内的解方程】 高妙技法 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 17．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程的复数根为．故选：A 18．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．0 【答案】B 【解析】由题意可得，，化简整理得， 则，得， 则.故选：B 19．（24-25高一下·广西桂林·月考）若是关于的方程的根，则 ． 【答案】4 【解析】化简． 因为是方程的根， 将代入方程得． 展开， 则，即． 所以，解得，， 则． 20．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 【题型6 复数的几何意义】 高妙技法 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 21．（24-25高一下·河北邢台·期中）若，则复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限．故选：C 22．（24-25高一下·江苏苏州·月考）在复平面内，若复数，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，计算得，则， 对应复平面内的坐标为，在第三象限.故选：C. 23．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】根据复数的几何意义可得，，， 所以对应的复数分别为：，， 所以, 所以对应的点为，该点位于第二象限.故选：B. 24．（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【解析】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 【题型7 复数的模长相关计算】 高妙技法 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 25．（24-25高一下·山东济宁·月考）若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 【答案】C 【解析】因为复数，所以， 故. 故选：C 26．（23-24高一下·重庆·月考）复数满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意不妨设，所以， 所以，解得，所以.故选：C. 27．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，，解得.故选：B 28．（23-24高一下·天津·月考）已知，，，则 . 【答案】1 【解析】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 【题型8 与复数模有关的最值问题】 高妙技法 1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． 2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 29．（24-25高三下·安徽·三模）已知复数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【解析】设，由， 则，所以，解得， 所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值．故选：C 30．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设（），已知，根据复数模的计算公式， 可得，两边同时平方得. 这表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆. 将代入，可得. 根据复数模的计算公式，， 它表示复平面内点到点的距离. 点到圆心的距离为. 因为圆的半径为， 所以点到圆上的点的距离的最小值为点到圆心的距离减去圆的半径，即. 所以的最小值为. 31．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是 ． 【答案】 【解析】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3， 结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上， 设，则， 故，当时，取到最大值， 32．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 【题型9 复数乘除法的几何意义】 高妙技法 1、两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和； 2、两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 33．复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知， 所以， 所以，故选:B. 34．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得 ， 即所得的向量对应的复数为.故选：A. 35．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以.故选：B. 36．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， 所以的坐标是. 【题型10 复数三角形式的应用】 高妙技法 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 37．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以辐角的主值为.故选：A 38．（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误；故选：BD. 39．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0；(3)证明见解析 【解析】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则， 但 ， 故，. 40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）证明： . （2）依题意，， 所以. （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，解得，. 因为，所以，解得或.故选：A. 2．（24-25高一下·吉林四平·月考）设复数z满足，令，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， ，所以， 表示圆上的点与两点连线的距离，如图的最大值为， 所以，则．故选：D 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取，故选：D 二、多选题 4．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．的模与的模不相等 B．与的虚部相等 C．是方程的一个复数根 D．在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BCD 【解析】，所以，故A错误，B正确； 因为，所以，故C正确； ，对应的点位于第三象限，故D正确.故选：BCD. 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，设，， 则，，，故A错误； 对于B，设，，则，但与不能比较大小，故B错误； 对于C，设，且， ， 则 ，故C正确； 对于D，在复平面内，对应的向量为， 则对应的向量为如图所示， 由三角不等式可得，，即，故D正确；故选：CD． 6．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【解析】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为，所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根，不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根：， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对；故选：ABD 三、填空题 7．（24-25高一下·四川射洪·月考）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 【答案】1 【解析】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴，∴，∴. 8．（24-25高一下·山东济南·月考）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】8 【解析】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为， 则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 9．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【解析】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 四、解答题 10．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)0；(2) 【解析】（1）为纯虚数，则，解得，所以的值为0； （2）由可得， 所以，解得. 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足． (1)求复数； (2)，求； (3)复数是关于的方程的一个根，求出方程的两个复数根． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由复数，可得. （2）由（1）知，可得， 又由，则 ，可得， 则 ， 所以. （3）由（1）知：， 将代入带入方程得， 整理得， 所以，解得，即方程， 则方程的复数根为. 12．（24-25高二上·四川内江·开学考试）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为. 真题感知 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D. 2．（24-25高一上·江苏·期末）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解析】根据复数相等可得，解得， ∴，，∴.故选：C. 3．（24-25高一下·河北衡水·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 即，解得， 所以.故选：D. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】BD 【解析】对于A：若，则，而，，，故A错误； 对于D：设，，， 则， 所以， 又，，所以，故D正确； 对于B：因为，所以或，即或，故B正确； 对于C：设，由， 所以，即，则，解得， 所以， 所以的最小值为，故C错误.故选：BD 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，是复数，则 C．若，是复数，，则 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 【答案】BD 【解析】对于A中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以A错误； 对于B中，设复数， 可得 因为，所以，所以B正确； 对于C中，设复数， 可得，， 则，， 若，则， 又由，不能推出，所以C错误； 对于D中，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心， 2为半径的圆面，所以D正确.故选：BD. 6．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【答案】 【解析】因为的一个根为， . 7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 【答案】0 【解析】. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 为实数，则，得，且， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点）， 表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则， 所以的取值范围为. 9．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） ； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以，所以， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$