21.2二次根式的乘除（题型专练）数学华东师大版九年级上册

21.2 二次根式的乘除 题型一 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·河南商丘·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西大同·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 化简为最简二次根式 1．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化为最简二次根式，结果应为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为 ． 4．（2025·湖南常德·二模）计算：； 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 题型三 二次根式的乘法运算 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）计算： ． 4．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： ． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中） ． 7．（2025·吉林长春·模拟预测） ． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：． 题型四 积的算术平方根运算 1．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简的结果是(    ) A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简二次根式的值为(     ) A． B． C． D． 3．（19-20九年级上·全国·课后作业）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 4．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简： . 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简： (1)；    (2). 题型五 二次根式的除法运算 1．（24-25八年级下·河南安阳·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简： ． 6．（2014·上海虹口·二模）计算： ． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： ． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 题型一 已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 6．（14-15八年级上·江苏南通·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ， ． 7．（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为 ． 8．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 题型二 二次根式的乘除混合运算 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 3．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型一 与二次根式有关的阅读理解 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 3．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 二次根式的乘除 题型一 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义，逐一判断各二次根式是否符合条件：被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式． 【详解】解：：被开方数是质数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式； ：被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式； ：被开方数含平方因子，可化简为，故不是最简二次根式； ：被开方数无法分解为平方和以外的形式，无平方因子，故为最简二次根式； 综上，最简二次根式有个． 故选：． 2．（24-25八年级下·河南商丘·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，从这两点出发逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A：，被开方数2是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件； B：，被开方数，分母含根号，需化简为，故不是最简二次根式； C：，被开方数，含平方因数4，可化简为，故不是最简二次根式； D：，被开方数为分数，分母含根号，需化简为，故不是最简二次根式； 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，被开方数含开的方的因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： 选项A：，被开方数为分数，需分母有理化，化简为，不是最简． 选项B：，被开方数15分解为，无平方因数，且分母无根号，符合最简条件． 选项C：，可开方为2，不是最简二次根式形式． 选项D：，即，需分母有理化为，不是最简． 综上，B为正确答案， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山西大同·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含分母5，不符合条件②，故不是最简二次根式． 选项B：，被开方数含分母3，不符合条件②，故不是最简二次根式． 选项C：，被开方数54含平方因数9，可继续化简，不符合条件①，故不是最简二次根式． 选项D：，21分解质因数为，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式的条件． 故选：D． 题型二 化简为最简二次根式 1．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化为最简二次根式，结果应为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把的被开方数的分子和分母同时乘上，再化简，即可作答．本题考查二次根式的性质和最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母以及被开方数不含能开得尽的因式或因数. 【详解】解： 即化成最简二次根式， 故选：D. 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的化简，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据直角三角形的边长分2种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若直角三角形的两直角边为2和4，则第三边长为； 若直角三角形的一条直角边为2，斜边为4，则第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 故答案为：或． 4．（2025·湖南常德·二模）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式和绝对值的化简、0指数和负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 原式先化简二次根式和绝对值、计算0指数和负整数指数，再计算加减即可. 【详解】解：原式 . 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三 二次根式的乘法运算 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方运算，解题的关键是掌握二次根式乘方运算的法则． 利用二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法， 根据二次根式的乘法法则，逐一验证各选项的正确性，即． 【详解】解：因为，结果应为而非，所以A不正确； 因为，结果应为而非，所以B不正确； 因为，结果应为而非，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算．根据二次根式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：． 故答案为：2． 4．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法计算即可． 【详解】． 故答案为：4． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·吉林长春·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，直接根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，负整数指数幂，先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 题型四 积的算术平方根运算 1．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断a的正负，再化简二次根式． 【详解】∵32a5≥0，∴a≥0，∴=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简二次根式的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简． 【详解】原式|﹣5|． 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答问题的关键． 3．（19-20九年级上·全国·课后作业）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】原式=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质． 4．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简： . 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵9a3≥0，∴a≥0，∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，比较简单，熟记性质：|a|是解题的关键． 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）化简： (1)；    (2). 【答案】(1) ;  (2) . 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 题型五 二次根式的除法运算 1．（24-25八年级下·河南安阳·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过等式变形，将的系数化为，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为求解方程是解题的关键． 【详解】解：由，两边同时除以， 得 ， ∴ , 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则依次计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，商的算术平方根，根据商的算术平方根，二次根式的除法运算法则逐一分析判断即可. 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 5．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根． 根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2014·上海虹口·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式除法． 根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式除法法则运算解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的除法运算．根据二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 题型一 已知最简二次根式求参数 1．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 3．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴或或等， ∴或或等， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 6．（14-15八年级上·江苏南通·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 7．（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：5． 8．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型二 二次根式的乘除混合运算 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 2．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案. 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解． 【详解】解： ． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则，是解题的关键： （1）利用除法法则进行计算即可； （2）利用乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型一 与二次根式有关的阅读理解 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段，使，在上任取一点，设，，构造，，使，且，，则可得，可得当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长，构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，， 则，，， 则， 当点，，三点共线时，的值最小， 即的值最小，最小值等于的长， 过点作交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 3．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$