精品解析：山东省德州市宁津县育新中学等2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年下学期 八年级数学期中素养测评 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 平行四边形对角线互相平分 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 5. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A 4 B. C. D. 5 7. 若实数，满足，且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数与的图象的交点坐标为，则解为的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 12. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 化简：______． 14. 如图，在中，，于点，交于点，如果，则的长为__________． 15. 如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG=______． 16. 将直线向上平移个单位，得到的直线为______． 17. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，y与x的函数关系如图，其中x表示乙行走的时间（时），y表示两人与A地的距离（千米），甲的速度比乙每小时快_____千米． 18. 如图，在四边形中，, 是的中点.点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动;点同时以每秒3个单位长度的速度从 点出发，沿向点运动.点停止运动时，点也随之停止运动.当运动时间秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形.则的值为_________. 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； 20. 已知：在中，．求作：菱形． 作法： ①延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与延长线交于点C； ②延长，以点O为圆心，为半径作弧，与OD的延长线交于点B； ③连接． 所以四边形即为所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：________，________， 四边形是________． ， ________． 平行四边形是菱形．（ ）（填推理的依据）． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，，且与x轴相交于点C． （1）求k，b的值； （2）求． 22. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 23. 某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 24. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； （2）当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点在坐标轴上，C，D两点的坐标分别是，，于E，F是的中点，点在直线上． （1）求直线的解析式； （2）当的值最小时，求点P的坐标； （3）当是等腰三角形，且时，写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期 八年级数学期中素养测评 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 2. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，， 由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：D． 3. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】根据平行四边形的性质可知，A，B正确；根据矩形的性质，C正确；有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不一定是正方形，所以D错误. 故选D. 5. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 7. 若实数，满足，且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出实数，的正负性即可得解. 【详解】∵实数，∴，∵，∴，，∴函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与k，b的关系是解决本题的关键. 8. 若一次函数与的图象的交点坐标为，则解为的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此是联立两直线函数解析式所组方程组的解．由此可判断出正确的选项． 【详解】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为（a，b）， 则是方程组解，即的解． 故选C 【点睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线判断出函数图像的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：直线， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的增减性：一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记一次函数的性质是解题的关键． 11. 若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴，解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有，解得； 综上： ∴a的整数值有：3，4，5， 则其和为：3+4+5=12， 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a的取值范围是解答本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式． 由化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点，交于点，如果，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得和中均含度角，根据度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 故答案为：． 15. 如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG=______． 【答案】30°． 【解析】 【分析】连接AN，根据轴对称的性质，即可得到△ABN是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到∠ABG=∠ABN=30°． 【详解】解：如图，连接AN， 由折叠可得，EF垂直平分AB， ∴NA=NB， 由折叠可得，AB=NB，∠ABG=∠NBG， ∴AB=BN=AN， ∴△ABN等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∴∠ABG=∠ABN=30°， 故答案30°． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16. 将直线向上平移个单位，得到的直线为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移规律填空． 【详解】解：将一次函数向上平移个单位，所得图象的函数解析式为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减． 17. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，y与x的函数关系如图，其中x表示乙行走的时间（时），y表示两人与A地的距离（千米），甲的速度比乙每小时快_____千米． 【答案】0.4 【解析】 【详解】试题分析：根据图示知，甲的速度是：8÷（5﹣1）=2（千米/小时）， 乙的速度是：8÷5=1.6（千米/小时）． 则：2﹣1.6=04（千米/小时）． 故答案是：0.4． 考点： 函数图象． 18. 如图，在四边形中，, 是的中点.点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动;点同时以每秒3个单位长度的速度从 点出发，沿向点运动.点停止运动时，点也随之停止运动.当运动时间秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形.则的值为_________. 【答案】1秒或3.5秒 【解析】 【分析】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案． 【详解】∵E是BC的中点, ∴BE=CE= BC=8， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 3t−8=6−t， 解得：t=3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得： 8−3t=6−t， 解得：t=1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先将各个二次根式化简，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：在中，．求作：菱形． 作法： ①延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点C； ②延长，以点O为圆心，为半径作弧，与OD的延长线交于点B； ③连接． 所以四边形即为所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：________，________， 四边形是________． ， ________． 平行四边形是菱形．（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），平行四边形、、对角线垂直的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查作图−复杂作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据作图方法作出图形即可； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形进行推理即可解答． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求． 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴． ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，平行四边形、、对角线垂直的平行四边形是菱形． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，，且与x轴相交于点C． （1）求k，b的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）令，可得点．再由，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入得： ，解得：； 【小问2详解】 解∶由（1）可知：， 令，x=4， ∴点． ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 22. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】（1）为y＝ ；（2）当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式； （2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx， 则20k＝2400，得k＝120， 即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x， 设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b， ，得 ， 即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480， 由上可得，y与x的函数关系式为y＝； （2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个， 50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30， ∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480， ∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20， 答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元． 【点睛】考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； （2）当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 【答案】（1）2； （2）当时，有最小值，为11 （3）25 【解析】 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的最小值为2； 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， 当时，即时，等号成立， ∴，即， ∴当时，有最小值，为11． 【小问3详解】 解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25， 故答案为：25． 25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点在坐标轴上，C，D两点的坐标分别是，，于E，F是的中点，点在直线上． （1）求直线的解析式； （2）当的值最小时，求点P的坐标； （3）当是等腰三角形，且时，写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据菱形的性质得到，，，则可得，，证明是等边三角形，得到点E是的中点，则，由此利用待定系数法求出对应的直线解析式即可； （2）如图所示，连接，证明，则当三点共线时，最小，即此时最小，同理可得直线的解析式为，联立，解得，由此即可得到答案； （3）分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵C，D两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）得是等边三角形， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小， 同理可得， ∴同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，，； 当时，则，解得， ∴； 当时，则，解得， ∴或； 当时，则，解得或； ∴或； ∵， ∴点P一定要在第三象限， ∴或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义，等边三角形的性质与判定等等，轴对称最短路径问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $