1.4两条直线的平行与垂直（题型专练）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.4两条直线的平行与垂直 题型一：两条直线的平行 1．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 2．“”是“直线与直线相互平行”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 3．“”是“直线与直线互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. 4．已知关于的方程组无解，则实数的值为_______________________. 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 题型二：两条直线的垂直 1．若直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C 2．已知直线与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 4．“”是“直线与垂直”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 题型三：平行关系求直线 1．经过点且与直线平行的直线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 2．过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与直线平行的直线可设为，带点即可解出. 【详解】设与直线平行的直线可设为，因为点在上， 所以，所以方程为. 故选：A. 3．若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 4．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线与平行或经过的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 题型四：垂直关系求直线 1．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 2．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 3．已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程为_______________. 【答案】 【分析】利用直线互相垂直求得直线的斜率，进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 4．已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为______________________. 【答案】3 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【详解】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 故答案为：3. 题型五：两条直线的位置关系 1．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 2．已知直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为 【答案】D 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，直线的纵截距为，故D正确. 故选：D. 3．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 4．（多选）已知直线，，下列选项正确的有（ ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 题型一：三角形高线 1．三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【详解】（1）边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 2．平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可； （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可； 【详解】（1）设， 因为，所以， 即， 所以， 所以直线的方程为，即. （2）因为， 所以中边上的高所在直线的方程为，即. 3．已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【详解】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 4．已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据两直线垂直式斜率之间的关系，列式求解，即得答案； （2）由，可得，结合斜率公式即可求得答案. 【详解】（1）设，而，因为，故， 故，即， 即； （2）设，因为，故， 而，即得， 即，结合，故轴， 故直线的倾斜角为. 5．在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 【答案】(1)；(2)直角三角形 【分析】（1）设，由题意可得，，求解即可. （2）设，由题意可得且，可求得，进而可判断的形状.. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为； （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以， 所以，， 所以，所以， 又，， 所以是直角三角形. 题型二：直线垂直关系（1代换） 1．若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 2．已知，直线，且，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可． 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C. 3．已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 4．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为_____________________． 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 1．，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 2．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为（ ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 3．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 4．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为__________________. 【答案】 【分析】先根据几何关系得到，然后证明，最后说明时，即可得到结果. 【详解】根据的方程及，知恒过定点，根据的方程及，知恒过定点. 同时由可知两直线垂直，故，所以. 故，所以. 另一方面，当时，有，此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 5．已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）分类讨论所求直线与直线平行或过的中点，结合直线点斜式方程运算求解； （2）求点关于直线的对称点为，结合几何性质可得，即可得结果. 【详解】（1）由，解得，所以交点 ①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； ②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为， 则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. （2）因为点在直线的同侧，所以直线的方程为， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即点， 因为， 当三点共线时等号取到， 故的最小值为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4两条直线的平行与垂直 题型一：两条直线的平行 1．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 2．“”是“直线与直线相互平行”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．“”是“直线与直线互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于的方程组无解，则实数的值为_______________________. 题型二：两条直线的垂直 1．若直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．1 D．2 2．已知直线与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．或 D．或 4．“”是“直线与垂直”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 题型三：平行关系求直线 1．经过点且与直线平行的直线是（ ） A． B． C． D． 2．过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 3．若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 4．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（ ） A． B． C． D． 题型四：垂直关系求直线 1．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程为_______________. 4．已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为______________________. 题型五：两条直线的位置关系 1．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 2．已知直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为 3．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 4．（多选）已知直线，，下列选项正确的有（ ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 题型一：三角形高线 1．三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 2．平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 3．已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 4．已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 5．在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 题型二：直线垂直关系（1代换） 1．若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．已知，直线，且，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知，直线，且，则的最小值为__________. 4．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为_____________________． 1．，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为（ ） A． B． C．5 D．10 3．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为__________________. 5．已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. (1)求直线的一般式方程； (2)若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$