暑假作业12 九年级开学摸底测试卷-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

2025-2026学年九年级数学开学摸底测试卷 能力提升培优测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：八下全册+一元二次方程（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）二次根式有意义的条件是（　　） A． B． C．x≥1 D．x≥2 2．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．9、12、15 C． D．3a、4a、5a（a＞0） 3．（3分）在，，，，中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．y随x增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6 5．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．（3分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（　　） A．中位数，方差 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．中位数，众数 8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0 B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根 D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，BC为边作正方形ABDE，正方形BCFG，连结EG，AG，若D，E，G共线，且EG＝3，，则AG的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3），下列判断正确的是（　　） ①关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝2 ②当b＞3时，关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2 ③设直线y3＝y1+y2，则直线y3一定经过定点（﹣2，6） ④当原点到直线y1的距离最大时，则b＝4． A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知，则m＝　 　 ． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为 　 　 ． 13．（3分）某公司招聘一名营销策划人员，候选人成绩由三项素质测试组成．其中，创新能力占50%，综合能力占30%，语言表达能力占20%，如图所示．候选人小李的上述三项成绩依次为90分，80分，85分，则小李的测试成绩是 　 　 ． 14．（3分）如图，AB＝6cm，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为 　 　 cm2． 15．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝ 　 　 ． 16．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，边长为8，点E，F分别是BC，CD的中点；连结AE，BF，Q，P分别是AE，BF的中点，则PQ＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． 19．（8分）如图，在5×5的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以AB为边，另一边边长为的▱ABCD； （2）在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形ABEF． 20．（8分）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 21．（8分）°2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是： A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.0≤x＜70． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级B等级的学生成绩为： 89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数是多少？ 22．（10分）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答： （1）补货在第 　 　 天，补货 　 　 盒． （2）求补货前该药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并写出t的取值范围． （3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？ 23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝ax+b，我们把 的函数称为一次函数y＝ax+b的反射函数． （1）写出一次函数y＝2x﹣4的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象．（2）若A（2a﹣5，m），B（4﹣a，n）都在（1）中y'图象上，，若m＜n，求a的取值范围． （3）已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点D（2t﹣4，t）是同一坐标平面上的一个动点，当t≥q时，求p的取值范围． 24．（12分）在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　 　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　 　 度． （2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC． ①求证：△EDM是等腰三角形． ②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长． ③若设BE＝a，BM＝b，EM＝c，求证：a2＝b2+bc． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学开学摸底测试卷 能力提升培优测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：八下全册+一元二次方程（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）二次根式有意义的条件是（　　） A． B． C．x≥1 D．x≥2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：2x﹣1≥0，解不等式即可得解． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴2x﹣1≥0， 解得：． 故选：B． 2．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．9、12、15 C． D．3a、4a、5a（a＞0） 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，所以，，不能作为直角三角形的三边，符合题意； B、92+122＝152，所以9，12，15能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、（）2+（）2＝（）2，所以，，能作为直角三角形的三边，不符合题意； D、（3a）2+（4a）2＝（5a）2，所以3a，4a，5a能作为直角三角形的三边，不符合题意， 故选：A． 3．（3分）在，，，，中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：2，被开方数中含有分母，|a﹣1|， 在，，，，中， 最简二次根式有，，共有2个， 故选：B． 4．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．y随x增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6 【分析】根据一次函数性质，逐项分析判断即可． 【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝5，故图象不经过（﹣1，1），不符合题意； B、一次函数k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，不符合题意； C、一次函数k＜0，b＝3＞0，图象经过第一、二、四象限，不符合题意； D、将一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x+6，正确，符合题意； 故选：D． 5．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答． 【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形， 故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（3分）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 【分析】根据5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元，列方程即可． 【解答】解：根据题意，可列方程为207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96． 故选：A． 7．（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（　　） A．中位数，方差 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．中位数，众数 【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为20﹣2﹣8﹣3＝7， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15， 则中位数为：（岁）， 故统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 8．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（　　） A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0 B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根 D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 【分析】根据方程解的定义，根的判别式一一判断即可． 【解答】解：A、若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0，正确，本选项不符合题意； B、若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，错误，b＝0时，两个根相等，都是0，本选项不符合题意； C、若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确，本选项不符合题意； D、若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，正确，本选项符合题意． 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，BC为边作正方形ABDE，正方形BCFG，连结EG，AG，若D，E，G共线，且EG＝3，，则AG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证Rt△BDG≌Rt△BAC得出AC＝DG，设正方形ABDE的边长为x，即可表示出AC的长，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出x的值，在Rt△AEG中利用勾股定理即可求出AG的长． 【解答】解：∵四边形ABDE是正方形， ∴DB＝AB，∠D＝∠AED＝90°， ∵四边形BCFG是正方形， ∴BG＝BC， ∵∠BAC＝90°， ∴Rt△BDG≌Rt△BAC（HL）， ∴AC＝DG， 设正方形ABDE的边长为x， 则DE＝DB＝AB＝AE＝x， ∵EG＝3， ∴DG＝x+3， ∴AC＝x+3， 在Rt△ABC中由勾股定理得，AB2+AC2＝BC2， ∵， ∴x2+（x+3）2＝29， 解得x＝﹣5（舍去）或x＝2， ∴AE＝2， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEG＝90°， 在Rt△AEG中，由勾股定理得，， 故选：B． 10．（3分）直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3），下列判断正确的是（　　） ①关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝2 ②当b＞3时，关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2 ③设直线y3＝y1+y2，则直线y3一定经过定点（﹣2，6） ④当原点到直线y1的距离最大时，则b＝4． A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【分析】根据一次函数图象得出a＞0，b＞0，k＜0，即可判断①，根据只有当k＝﹣1时，∠ABO＝45°，即可判断②，根据函数图象以及交点的横坐标即可判断③④，即可求解． 【解答】解：∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴直线y＝﹣kx+b与y＝﹣mx+m的图象交于点（2，3）， ∴关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝﹣2， 故①正确； ∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴当b＞3时，则直线y1＝kx+b过第一、二、三象限，y随x的增大而增大， ∴关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2； 故②正确； ∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k+b，3＝﹣2m+m， ∴k，m＝﹣3， ∵y1x+b，y2＝﹣3x﹣3， ∴y3x+b﹣3， 当x＝﹣2时，y3＝﹣b+9+b﹣3＝6， ∴直线y3一定经过定点（﹣2，6）， 故③正确； ∵点O（0，0），点A（﹣2，3）， ∴直线OA的解析式为yx， ∴当直线OA与直线y1x+b垂直时， ∴（）＝﹣1， ∴b，故④错误， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知，则m＝　　 ． 【分析】利用二次根式的乘法法则先计算等号左侧，再求m． 【解答】解：∵3， ∴， ∴10m＝9． ∴m． 故答案为：． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为 　﹣0.5　 ． 【分析】将x＝0代入关于x的方程中，求出a的值，再对所得方程进行求解即可． 【解答】解：将x＝0代入（a+1）x2+x﹣a2+1＝0得， ﹣a2+1＝0， 解得a＝±1， 因为a+1≠0， 所以a≠﹣1， 则a＝1， 所以原方程为2x2+x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣0.5， 所以方程的另一个根为﹣0.5． 故答案为：﹣0.5． 13．（3分）某公司招聘一名营销策划人员，候选人成绩由三项素质测试组成．其中，创新能力占50%，综合能力占30%，语言表达能力占20%，如图所示．候选人小李的上述三项成绩依次为90分，80分，85分，则小李的测试成绩是 　86分　 ． 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：小李的测试成绩是90×50%+80×30%+85×20%＝86（分）． 故答案为：86分． 14．（3分）如图，AB＝6cm，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为 　24　 cm2． 【分析】连接MN，交AB于点O，证明四边形AMBN是菱形，得AB⊥MN，AO＝OB＝3cm，OM＝ON，再由勾股定理得OM＝4cm，则MN＝8cm，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接MN，交AB于点O， ∵分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点， ∴AM＝AN＝BN＝BM＝5cm， ∴四边形AMBN是菱形， ∴AB⊥MN，AO＝OBAB8＝3（cm），OM＝ON， ∴∠AOM＝90°， ∴OM4（cm）， ∴MN＝2OM＝2×4＝8（cm）， ∴菱形AMBN的面积AB•MN6×8＝24（cm2）， 故答案为：24． 15．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝ 　2.4　 ． 【分析】根据函数图象中的数据可以先求出甲的速度，然后再求出乙的速度，即可列式计算出a的值． 【解答】解：由图象可得，甲的速度为：120÷3＝40（m/min）， ∴乙的速度为12040＝90﹣40＝50（m/min）， ∴a＝120÷50＝2.4， 故答案为：2.4． 16．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，边长为8，点E，F分别是BC，CD的中点；连结AE，BF，Q，P分别是AE，BF的中点，则PQ＝　2　 ． 【分析】由“AAS”可证△AQH≌△EQB，可得AH＝BE，BQ＝QH，由三角形中位线定理可得QPHF，由等腰三角形的性质和直角三角形的可求HF的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接BQ并延长交AD于H，连接HF，过点D作DN⊥HF于N， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，边长为8， ∴BC＝CD＝AD＝8，∠ADC＝120°，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵点Q是AE的中点， ∴AQ＝EQ， 又∵∠AQH＝∠BQE， ∴△AQH≌△EQB（AAS）， ∴AH＝BE，BQ＝QH， 又∵点P是BE的中点， ∴QPHF， ∵点E，F分别是BC，CD的中点， ∴BE＝CE＝CF＝DF＝4， ∴AH＝BE＝4， ∴HD＝4＝DF， ∴∠DFH＝30°， ∵DN⊥HF，DH＝DF＝4， ∴DNDF＝2，NFDN＝2HN， ∴FH＝4， ∴QP＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算； （2）先展开，再合并即可． 【解答】解：（1）原式＝（8） ＝3 ＝1； （2）原式＝4+43﹣（4﹣43） ＝4+43﹣4+43 ＝8． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． 【分析】（1）证△BEA≌△FED，得AB＝DF，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证∠BAE＝∠ABE，得BE＝AE，再由平行四边形的性质得BEBF，则BF＝AD，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△BEA和△FED中， ， ∴△BEA≌△FED（ASA）， ∴AB＝DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠C， ∵∠BEA+∠BAE+∠ABE＝180°，∠BEA+2∠C＝180°， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴BE＝AE， 由（1）知，四边形ABDF是平行四边形， ∴BEBF， ∵AEAD， ∴BF＝AD， ∴平行四边形ABDF是矩形． 19．（8分）如图，在5×5的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以AB为边，另一边边长为的▱ABCD； （2）在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形ABEF． 【分析】（1）根据要求利用数形结合的思想解决问题； （2）画出对角线分别为2，4的菱形即可． 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，四边形ABEF即为所求． 20．（8分）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250，解方程即可． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 21．（8分）°2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是： A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.0≤x＜70． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级B等级的学生成绩为： 89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，a＝　90　 ，b＝　88.5　 ，m＝　45　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数是多少？ 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知a＝90；根据八年级学生成绩达到A的人数为8人，根据八年级级20名学生竞赛成绩在B组的数据共有8个，得出B组人数的占比为40%，进而求得A组的占比为45%，得出A组人数是9，进而根据八年级学生的成绩从大到小排列第10和11名的成绩分别为88和88，所以可知八年级的中位数为b＝88； （2）根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）用样本估计总体，分别求出九年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校九、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【解答】解：（1）九年级的成绩众数是93分， ∴a＝93； 八年级B等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的人数为8， ∴B组的占比为， ∴从扇形统计图中可知：A组的占比为1﹣40%﹣10%﹣5%＝45%， ∴m＝45， 则A组人数为45%×20＝9人， ∴八年级20名学生竞赛成绩在B组和A组的共有17人， 中位数为第10和11名的成绩分别为89和88， ∴b＝88.5； 故答案为：90，88.5，45； （2）我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）由条件可得： （人）， 估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数是189人． 22．（10分）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答： （1）补货在第 　3　 天，补货 　52　 盒． （2）求补货前该药店防暑药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并写出t的取值范围． （3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量P（盒）与销售天数t（天）的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？ 【分析】（1）根据数形结合思想求解； （2）根据“p＝总量﹣销量”列式求解； （3）先求出补货后的函数解析式，再列不等式求解． 【解答】解：（1）由图象得：补货在第3天，补货100﹣48＝52盒， 故答案为：3，52； （2）补货前每天的销量为：（120﹣48）÷3＝24， ∴p＝﹣24t+120（0≤t≤3）； （3）补货后每天的销量为：24+2＝26，从地天开始， ∴p＝﹣26（t﹣3）+100＝﹣26t+178（3≤t）， 当p＜10时，﹣26t+178＜10， 解得：t＞6， ∴t的最小值为7， 答：从销售开始第7天后总存量将不足10盒． 23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝ax+b，我们把 的函数称为一次函数y＝ax+b的反射函数． （1）写出一次函数y＝2x﹣4的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象．（2）若A（2a﹣5，m），B（4﹣a，n）都在（1）中y'图象上，，若m＜n，求a的取值范围． （3）已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点D（2t﹣4，t）是同一坐标平面上的一个动点，当t≥q时，求p的取值范围． 【分析】（1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）m＝﹣2（2a﹣5）﹣4＝﹣4a+6，同理可得：n＝﹣2a+4，即可求解； （3）联立上式和y＝2x﹣4得：2x﹣4x+2，解得：x＝4；联立yx+2和y＝﹣2x﹣4，同理可得：x，当t≥q时，即x≤4，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y'； 当x＝2，y′＝0，当x＝﹣2，y′＝0，当x＝0，y′＝﹣4， 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）∵a，则2a﹣5＜0，4﹣a＞0， 就点A、B在y＝﹣2x﹣4和y＝2x﹣4上， 则m＝﹣2（2a﹣5）﹣4＝﹣4a+6，同理可得：n＝﹣2a+4， ∵m＜n，即﹣4a+6＜﹣2a+4， 解得：a＞1， 即1＜a； （3）由点D的坐标知，点D在直线yx+2（如图，虚线）上， 联立上式和y＝2x﹣4得：2x﹣4x+2， 解得：x＝4； 联立yx+2和y＝﹣2x﹣4，同理可得：x， 当t≥q时，即x≤4， 即t≤4． 24．（12分）在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　2α　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　30　 度． （2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC． ①求证：△EDM是等腰三角形． ②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长． ③若设BE＝a，BM＝b，EM＝c，求证：a2＝b2+bc． 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质得∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α，再利用平角定义即可得∠DEF；证明EF是BD的垂直平分线得∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α，再利用三角形内角和定理，即可解决问题； （2）①如图2，延长EF交BC于点N，证明△BFM≌△BFN（ASA），得BM＝BN，然后证明∠DEM＝∠DME，即可解决问题； ②设AE＝x，得DM＝DE＝4﹣x，BN＝x+1，如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE，根据S△EBNBN•EQEN•BF，得EN＝x+1，所以FN＝1，利用勾股定理求出x的值即可； ③根据勾股定理得BF2＝BE2﹣EF2＝BM2﹣MF2，代入BE＝a，BN＝BM＝b，EM＝c，得a2﹣EF2＝b2﹣MF2，进而可以解决问题． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 由翻折可知：∠FBE＝∠ABE＝α，∠BFE＝∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α， ∴∠DEF＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α； ∵点F恰好是BD的中点，∠BFE＝90°， ∴EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α， ∵∠EBD+∠EDB+∠ABE＝90°， ∴3α＝90°， ∴α＝30度， 故答案为：2α；30； （2）①证明：如图2，延长EF交BC于点N， ∵BF平分∠DBC， ∴∠MBF＝∠NBF， 由翻折可知：∠BFE＝∠A＝90°， ∴∠BFM＝∠BFN＝90°， ∵BF＝BF， ∴△BFM≌△BFN（ASA）， ∴BM＝BN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEM＝∠BNM， ∵∠BMN＝∠DME， ∴∠DEM＝∠DME， ∴DE＝DM， ∴△EDM是等腰三角形； ②解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝90°， ∵AB＝3， ∴BD5， 设AE＝x， ∴EF＝AE＝x， ∴DM＝DE＝AD﹣AE＝4﹣x， ∴BN＝BM＝BD﹣DM＝5﹣（4﹣x）＝x+1， 如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE， ∴EQ＝AB＝3， ∵BF⊥EN， ∴S△EBNBN•EQEN•BF， ∵BF＝AB＝3， ∴BN＝EN， ∴EN＝x+1， ∵EN＝EF+FN＝x+1， ∴FN＝1， 在Rt△BNF中，BF＝3，FN＝1，BN＝x+1， 根据勾股定理得：BF2+FN2＝BN2， ∴32+12＝（x+1）2， ∴x1或x1（舍去）， ∴AE的长为1； ③证明：由①得BM＝BN＝b，∠BFE＝90°， ∴MF＝FN， 由折叠可得∠AEB＝∠BEN， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠NBE＝∠BEN， ∴EN＝BN＝b， ∵∠BFE＝90°， ∴BF⊥EN， ∴BF2＝BE2﹣EF2＝BM2﹣MF2， ∵BE＝a，BN＝BM＝b，EM＝c， ∴a2﹣EF2＝b2﹣MF2， ∵BE2＝BF2+EF2，EF+MF＝EF+FN＝EN＝BN＝b， ∴a2＝b2﹣MF2+EF2＝b2+EF2﹣MF2＝b2+（EF+MF）（EF﹣MF）＝b2+bc． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$