专题05 商不变的规律-2025年新四年级数学暑假自学课（苏教版）

编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新四年级数学暑假自学课 专题05 商不变的规律 1、理解和掌握商不变的规律,并能运用这一规律进行口算。 2、能用数学语言表达数学结论。 1、商不变的规律。 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，这叫作商不变的规律。 2、被除数和除数末尾都有0的除法的简便算法。 被除数和除数末尾同时划去相同个数的0，商不变。 用简便方法计算被除数和除数末尾都有0且有余数的除法时，被除数和除数末尾同时划去几个0，就在余数末尾添上几个0。 一、选择题 1．小马虎在计算除法时，把除数12错写成21，结果得到的商是17还余3，正确的商应该是（    ）。 A．30 B．360 C．3 D．33 【答案】A 【分析】由题意可得，除数是21，商是17，余数是3，根据被除数÷除数＝商……余数，算出被除数；然后除数改为正确的12，再根据被除数÷除数＝商，求出商即可。 【解答】21×17＋3 ＝357＋3 ＝360 360÷12＝30 故答案为：A 2．算式120÷24中，如果把被除数120加上240，要使商不变，除数要（    ）。 A．乘2 B．加上48 C．加上24 【答案】B 【分析】在除法中，除数与被除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，此题中给120加240所得的和是360，而360除以120得3，即被除数乘3，要使商不变，那么除数也应乘3，除数24乘3得72，给72减24，即可求出除数应加几。 【解答】120＋240＝360 360÷120＝3 24×3－24 ＝72－24 ＝48 算式120÷24中，如果把被除数120加上240，要使商不变，除数要加上48。 故答案为：B 3．每套桌椅200元，3500元能买多少套？列竖式计算时，箭头所指部分表示（    ）。 A．能买17套，还剩1元 B．能买17套，还剩100元 C．能买1700套，还剩1元 D．能买1700套，还剩100元 【答案】B 【分析】在计算3500÷200时，根据商不变的性质，我们可以将被除数和除数同时除以100，即转化为35÷2来计算 ，此时35÷2＝17……1。可得商的十位上的1表示1个十，个位上是7，表示7个一，但要注意，因为被除数和除数同时除以100，所以余数1对应的是原来算式中的1×100＝100。也就是说，在3500÷200中，商是17，余数是100。即表示3500元能买17套桌椅，还剩100元，据此解答。 【解答】根据分析可知： 列竖式计算时，箭头所指部分表示能买17套，还剩100元。 故答案为：B 4．下列算式中，商最大的是（    ）。 A．350÷25 B．375÷25 C．400÷25 D．450÷25 【答案】D 【分析】在除法算式中，除数不变，被除数越大，商就越大。据此解答。 【解答】对比算式350÷25、375÷25、400÷25和450÷25可知，除数相同，被除数350＜375＜400＜450，所以算式450÷25的商最大。 故答案为：D 5．在除法算式□÷☆＝24中，如果被除数□除以4，除数☆不变，那么商（    ）。 A．不变 B．除以4 C．乘4 D．增加4 【答案】B 【分析】根据商的变化规律，除数不变，被除数乘或除以一个不为0的数，商也要乘或除以这个数，被除数□除以4，除数☆不变，则商也要除以4，据此选择即可。 【解答】□÷☆＝24 （□÷4）÷☆＝24÷4 那么商除以4。 故答案为：B 二、填空题 6．食堂采购了25箱番茄，一共用去800元，平均每箱番茄( )元。如果番茄的价格降到原来的一半，800元可采购( )箱。 【答案】32 50 【分析】总价÷数量＝单价，把数据代入即可求出平均每箱番茄的价钱；总价÷单价＝数量，在总价不变，单价降到原来的一半，也就是单价除以2时，数量要同时乘2，所以800元可采购25×2＝50（箱），据此即可解答。 【解答】800÷25＝32（元） 25×2＝50（箱） 食堂采购了25箱番茄，一共用去800元，平均每箱番茄32元。如果番茄的价格降到原来的一半，800元可采购50箱。 【点评】本题主要考查学生对整数除法和商的变化规律的掌握。 7．两个数相除的商是25，余数是10，如果被除数和除数同时缩小5倍，商是( )，余数是( )。 【答案】25 2 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，但是余数需要乘或除以这个数，据此填空即可。 【解答】10÷5＝2 两个数相除的商是25，余数是10，如果被除数和除数同时缩小5倍，商是25，余数是2。 8．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 10升( )1000毫升     228÷38( )868÷62      1350÷90( )135÷9 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】（1）根据1升＝1000毫升，将单位化为毫升，再比较； （2）计算出两边算式的得数，再比较； （3）根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【解答】1升＝1000毫升，10升＝10000毫升。10000毫升＞1000毫升，所以10升＞1000毫升。 228÷38＝6，868÷62＝14。6＜14，所以228÷38＜868÷62。 1350÷90＝（1350÷10）÷（90÷10）＝135÷9，所以1350÷90＝135÷9。 9．某商场“元旦迎新”促销活动中，玩具柜所有商品的价格都是原来的一半。王老师去商场帮孩子们挑选新年礼物。 (1)玩具飞机原来每架80元，王老师带800元，现在可以买到( )架这样的玩具飞机。 (2)玩具汽车原来每辆50元，王老师买20辆这样的玩具汽车，可以少花( )元。 【答案】(1)20 (2)500 【分析】（1）由题意得，玩具飞机原来每架80元，现在的价格是原来的一半，那么现在每架玩具飞机需要40元。直接用800除以40即可算出现在可以买到多少架这样的玩具飞机。 （2）由题意得，玩具汽车原来每辆50元，现在的价格是原来的一半，那么现在每辆玩具汽车比原来少花一半的价钱，即25元。直接用25乘20即可算出王老师买20辆这样的玩具汽车，可以少花多少元。 【解答】（1）800÷（80÷2）＝800÷40＝20（架） 玩具飞机原来每架80元，王老师带800元，现在可以买到20架这样的玩具飞机。 （2）50÷2×20＝25×20＝500（元） 玩具汽车原来每辆50元，王老师买20辆这样的玩具汽车，可以少花500元。 10．在括号里填上合适的容量单位或数字。 妈妈在超市买了一桶食用油，容量为5( )。如果每星期吃掉800( )，这桶油可以吃( )个星期。 【答案】升/L 毫升/mL 6 【分析】1升大约2瓶普通500毫升饮料的容量，再结合数据“5”，所以计量一桶油的容量用“升”作单位比较合适。1毫升大约十几滴水，再结合数据“800”，所以每星期吃掉800毫升油，1升＝1000毫升，那么5×1000＝5000（毫升），用5000除以800看最多有几个800。 【解答】5升＝5000毫升 5000÷800＝6（个）……200（毫升） 妈妈在超市买了一桶食用油，容量为5升，如果每星期吃掉800毫升，这桶油可以吃6个星期。 三、计算题 11．用竖式计算。（带※的要验算，最后一题要用简便方法计算） 621÷41＝      ※546÷68＝        8300÷410＝ 【答案】15……6；8……2；20……100 【分析】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。除法用商乘除数进行验算（有余数的除法用商×除数＋余数＝被除数进行验算）。 被除数、除数末尾有0的除法竖式简便计算方法是把被除数和除数同时去掉相同个数的0，再计算，如果有余数，注意余数的大小。 【解答】621÷41＝15……6      ※546÷68＝8……2      8300÷410＝20……100    验算：     12．根据20÷4＝5，直接写出下面各算式的商。 100÷4＝        140÷4＝        160÷4＝        180÷4＝ 【答案】25；35；40；45 【分析】商的变化规律：除数不变，被除数乘一个数（0除外），商也乘同一个数。据此解答即可。 【解答】100÷4＝（20×5）÷4＝5×5＝25 140÷4＝（20×7）÷4＝5×7＝35 160÷4＝（20×8）÷4＝5×8＝40 180÷4＝（20×9）÷4＝5×9＝45 四、解答题 13．王老师原计划30天画完900幅漫画，她平均每天要画多少幅？如果她每天只能画计划的一半，那么她画完900幅漫画需要多少天？ 【答案】30幅；60天 【分析】用总的漫画幅数除以30就是王老师平均每天要画多少幅。 先用原来每天画的幅数除以2，算出现在每天画多少幅。然后再用总数900幅除以现在每天画多少幅，就是王老师需要的时间。 也可以这样想：在总数不变的情况下，原来一天的工作现在需要两天完成。那么现在需要时间就是原来时间的2倍。据此解答。 【解答】900÷30＝30（幅） 30÷2＝15（幅） 900÷15＝60（天） 或30×2＝60（天） 答：她平均每天要画30幅，画完900幅需要60天。 14．小红在计算610÷30时，为了使计算简便，根据商不变的规律，想成61÷3，下面是小红的计算过程，你认为小红说得对吗？请说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时除以相同的数 （0除外），商不变，但是余数应乘相同的数 （0除外），610除以10，变为61，30除以10，变为3，即61÷3＝20……1，余数1应乘10，才为610÷30的余数，据此解答即可。 【解答】610÷10＝61 30÷10＝3 61÷3＝20……1 610÷30余数： 1×10＝10 答：小红说得不对。理由：在有余数的整数除法里，被除数和除数同时除以相同的数 （0除外），商不变，但是余数应乘相同的数 （0除外）。（答案不唯一） 15．下面的购物小票有部分数据模糊了，请根据小票中的信息求出以下问题： （1）买了多少箱牛奶？ （2）买了多少袋核桃？ 【答案】（1）3箱 （2）4袋 【分析】（1）根据小票可知每箱牛奶110元，买牛奶花了330元，用买牛奶花的钱数除以每箱牛奶的价格即可； （2）根据小票可知买牛奶花了330元，买牛奶和核桃一共花了690元，每袋核桃90元，先用买牛奶和核桃一共花的钱数减去买牛奶花的钱数求出买核桃花的钱数，再除以每袋核桃的价格即可。 【解答】（1）330÷110＝3（箱） 答：买了3箱牛奶。 （2）（690－330）÷90 ＝360÷90 ＝4（袋） 答：买了4袋核桃。 16．一种洗衣液分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋500毫升，每袋5元；“桶装”每桶3升，每桶35元。 （1）一桶洗衣液相当于几袋洗衣液的容量？ （2）艳艳家想买9升这种洗衣液，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【答案】（1）6袋；（2）买袋装的比较合算。 【分析】（1）根据1升＝1000毫升，把3升转换成3000毫升，再看3000毫升里面有几个500毫升，用除法。 （2）求出每种包装的需要多少钱，再进行比较即可。 【解答】（1）3升＝3000毫升 3000÷500＝6（袋） 答：一桶洗衣液相当于6袋洗衣液的容量。 （2）9升＝9000毫升 9000÷500＝18（袋） 18×5＝90（元） 9÷3＝3（桶） 35×3＝105（元） 105＞90 答：买袋装的比较合算。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新四年级数学暑假自学课 专题05 商不变的规律 1、理解和掌握商不变的规律,并能运用这一规律进行口算。 2、能用数学语言表达数学结论。 1、商不变的规律。 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，这叫作商不变的规律。 2、被除数和除数末尾都有0的除法的简便算法。 被除数和除数末尾同时划去相同个数的0，商不变。 用简便方法计算被除数和除数末尾都有0且有余数的除法时，被除数和除数末尾同时划去几个0，就在余数末尾添上几个0。 一、选择题 1．小马虎在计算除法时，把除数12错写成21，结果得到的商是17还余3，正确的商应该是（    ）。 A．30 B．360 C．3 D．33 2．算式120÷24中，如果把被除数120加上240，要使商不变，除数要（    ）。 A．乘2 B．加上48 C．加上24 3．每套桌椅200元，3500元能买多少套？列竖式计算时，箭头所指部分表示（    ）。 A．能买17套，还剩1元 B．能买17套，还剩100元 C．能买1700套，还剩1元 D．能买1700套，还剩100元 4．下列算式中，商最大的是（    ）。 A．350÷25 B．375÷25 C．400÷25 D．450÷25 5．在除法算式□÷☆＝24中，如果被除数□除以4，除数☆不变，那么商（    ）。 A．不变 B．除以4 C．乘4 D．增加4 二、填空题 6．食堂采购了25箱番茄，一共用去800元，平均每箱番茄( )元。如果番茄的价格降到原来的一半，800元可采购( )箱。 7．两个数相除的商是25，余数是10，如果被除数和除数同时缩小5倍，商是( )，余数是( )。 8．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 10升( )1000毫升     228÷38( )868÷62      1350÷90( )135÷9 9．某商场“元旦迎新”促销活动中，玩具柜所有商品的价格都是原来的一半。王老师去商场帮孩子们挑选新年礼物。 (1)玩具飞机原来每架80元，王老师带800元，现在可以买到( )架这样的玩具飞机。 (2)玩具汽车原来每辆50元，王老师买20辆这样的玩具汽车，可以少花( )元。 10．在括号里填上合适的容量单位或数字。 妈妈在超市买了一桶食用油，容量为5( )。如果每星期吃掉800( )，这桶油可以吃( )个星期。 三、计算题 11．用竖式计算。（带※的要验算，最后一题要用简便方法计算） 621÷41＝      ※546÷68＝        8300÷410＝ 12．根据20÷4＝5，直接写出下面各算式的商。 100÷4＝        140÷4＝        160÷4＝        180÷4＝ 四、解答题 13．王老师原计划30天画完900幅漫画，她平均每天要画多少幅？如果她每天只能画计划的一半，那么她画完900幅漫画需要多少天？ 14．小红在计算610÷30时，为了使计算简便，根据商不变的规律，想成61÷3，下面是小红的计算过程，你认为小红说得对吗？请说明理由。 15．下面的购物小票有部分数据模糊了，请根据小票中的信息求出以下问题： （1）买了多少箱牛奶？ （2）买了多少袋核桃？ 16．一种洗衣液分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋500毫升，每袋5元；“桶装”每桶3升，每桶35元。 （1）一桶洗衣液相当于几袋洗衣液的容量？ （2）艳艳家想买9升这种洗衣液，只买一种包装，买哪种比较合算？ 学科网（北京）股份有限公司 $$