第3章 函数的概念与性质 单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

同理，f(x)在(0，√a+ab一a)上单调递减， 则-2<x十1<0，解得一3<x<一1. 故当x=√a2+ab-a时，即装人（√a+ab-a)克水后使 当x=一1时，(x十1)f(x十1)=04. 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(一1,1).] 装人水后的水杯的重心最低。 思维过程了 第三章单元学能测评 化简条件中的不等式得到x1f(x1)<xf(x:),构造 1.A[:幂函数f(x)=(m2-m-1)x2+2如-3在区间 函数g(x)=xf(x),得到函数g(x)在(0，十∞)上的单调 m一m一1=1， (0,十∞)上单调递增，∴ 解得m=2, 性，得到关于g(x)的不等式，转换为自变量不等式，求得在 m2+2m-3>0, (0,十∞)上不等式解集.再由f(x)是奇函数以及奇偶性的 .f(x)=x,f(x)在R上为奇函数. 定义得到函数g(x)为偶函数，同理可求得在（一∞，0）上不 由a十b>0,得a>-b, 等式的解集，然后求并集即可得到不等式的解集， :f(x)在R上为增函数， ∴.f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0恒成立.] 5.C[(钓造画数A红)=g红)-2=16c口，根福青偶性的定义 x+16 2.C[,前k次共倒出了纯酒精x升， 可知h(x)为青通数，从而代入h(x)十h(x)=0运算即可) .第k次倒出后容器中含纯酒精(10一x)升，第（十1）次倒 f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(一x)=一f(x), 出的纯酒精是9。，2升。 gx)-2红+4)2+包2_2x+16x+32+f) x2+16 x2+16 二倒出第(k+1)次时，共倒出了纯酒精fx)=工+10。. =2+16x+f(x) 10 x2+16 2=音+2] 设h)=g(x)-2=16r十fD,函数的定义域为R, x8+16 思维过程 h(-x）16(-x)+f-2_=16z=f-_16x+f@ 求出第k次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后 (-x)2+16 x2+16 x2+16 可得第(k十1)次倒出的纯酒精的质量，然后可得到第(k十 =一h(x),h(x)为奇函数， 1)次共倒出的纯酒精的质量. 则有h(x)a十h(x)m=0,即M-2十m一2=0， 所以M+m=4.] 3.B[:函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(x)-2x)=3, 6B[(由x=(x一x1)十工1等结合随意，制用单酒拉的定又利断 ∴.f(x)-2x为定值，设f(x)-2x=t,则f(x)=2x十t, 「(x)在R上是增离数，利用碳镇法得∫(3》=10，从而原不等式等价 .f()=2+1=3,.3=3,t=1,.f(x)=2x+ 于f(x一x十1)>f(3),制用单调递增化为x-x十>3，群一无 1,.f(3)=7.] 二次不等式脚可得解) 思维过程 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 根据函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(x)一2x) 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2, =3,易知f(x)-2x为定值，然后设f(x)-2x=1,得到 所以f(x)=f(x2一x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)+2. f(x)=2x十t,由f(t)=3求解. 因为x>0时，f(x)>-2,所以f(x2-x1)+2>0, 所以f(x1)-f(x2)=-(f(x2-x1)+2)<0, 4B[由，-x)「f6_fz2]<0, Lx2x1 即f(x1)<f(x2), 得(-)[fa)-f2门<0. 所以f(x)在R上是增函数. 令x=y=1,所以f(2)=f(1)+f(1)+2=6, 因为x1一x:>0,x1x2>0, 令x=2,y=1,所以f(3)=f(2)+f(1)+2=10, 所以x1f(x)-x2f(x2)<0,即x1f(x1)<x2f(xg). 不等式f(x+x)+f(1-2x)>8等价于f(x十x)十f(1 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十∞)上单调递减. -2x)+2>10=f(3), 而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2), 所以f(x2+x十1-2x)>f(3), 侧0<x十1<2，解得一1<x<1. 即f(x2-x+1)>f(3). 因为f(x)为R上的奇函数， 因为f(x)在R上是增函数， 所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x), 所以x2-x十1>3=x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.] 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在（一O,0)上单调递增，：7，C[(根播已知不等式，结合高数单调性的定义可以利断出函数 g(x十1)=(x十1)f(x十1)>4=g(-2), f(x)的单满性，再粮据画数平移的住质，结合已知定义可利所远 46 数于（工）的奇偶性，录帝刺用函数的单调性、奇偶性，结金基本不等 DW),因为b-a=m2-m+1=(m-)'+子>0，所以 式进行求解巾可) 对任意x1x2(x1≠x),都有(x1一x2)汇f(x1)一f(r]<0, b>a.又因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)<f(b),-b< 不妨设x1>x2,由(x1一x2)汇f(x1)-f(x)门<0→f(x1)- -a,所以f(-b)<f(-a),所以f(-b)+f(a)<f(-a) f(x:)<0→f(x1)<f(xz), +f(b).] 所以函数f(x)是R上的减函数， 10.AC[(当a>0以夏a<0时，分利作出图象异逐境料断即可) 函数y=∫(x一1)的图象向左平移一个单位长度变成函数 对于A,当a>0时，二次函数y=x(a.x十1)与x轴交于点 f(x)的图象， (-20）和0.0 因为函数y=f(x一1)是以(1,0)为中心的“中心捺函数”， 画出函数f(x)的图象如下： 所以函数f(x)是以(0,0)为中心的“中心撩函数”， 因此函数f(x)是奇函数. 由f(n2-mm)+f(2m2-2mm)≥0→f(n2-mm)≥ -f(2m2-2m）=f(2mm-2m2)→n2-mn≤2mn-2m2→ n2-3m十2m2≤0， 当m=0时，则有=0，此时什n没有意义 f)的单调递增区间是(-，-)和(0，十)，故A 当m0时，由-3m+2m2<0→（偏）”-0+2≤0→ 正确。 对于B,当a<0时，二次函数y=x(ax十1)与x轴交于点 1 m 画出函数f(x)的图象如下 由1<22+13→<J m 3+1 见 8.A[(由f(x+2)=2/(x)得，事x∈[4,6)是x∈[0,2)时孟数的 值城的4倍，然府利用分我透数值城以爱一元二次不等式慢成立参 等南可) 由f(x+2)=2f(x)可知，f(x+4)=2f(x+2)=4f(x), f(x)的图象与直线y=一 有三个文点，故B不正确 f(4)=4f(0),f(6)=4f(2), 对于C,当a<0时，f(x)在(-o∞，0)内单调递减： 所以，当x∈[4,6)时，对应值域就是x∈[0,2)的值域的4倍， 当a=0时，f(x)=x在（一∞，0）内单调递减，故C正确。 由分段函数的图象可得x∈[0,1)时，值城为[0，】x∈ 对于D,若f(x)的最小值是0，则a=0,a>0,a<0均可 以，故D不正确.] [1,2)时，值域为[0,1)， 11.ACD[由f(1+2x)=4-f(1-2x),则f(x)=4-f(2- 可知当x∈[0,2)时，f(x)的值域为[0,1)， x),所以f(x)+f(2-x)=4,所以f(x)的图象关于点 故x∈[4,6)时对应值域为[0,4). (1,2)对称，故选项A正确： 由于fx)-+1恒成立， 由f(x)+f(2-x)=4得[g(x)-2x]+[g(2-x)- 可得1-+1≥4，解得：∈[-1,0U[4,+o∞).了 2(2-x)门=4，即g(x)+g(2-x)=8,所以g(x)的图象关 于点(1,4)对称，又因为函数g(x)=∫(x)十2x的图象关 9.BD[A(X),因为f(x)的定义域为R,由奇函数性质知 于直线x=2对称，则g(x)=g(4一x),所以g(4一x)十 f(0)=b=0,a∈R,事实上当a=b=0时，f(x)=0,既是奇 g(2-x)=8,所以g(2-x)十g(一x)=8,所以g(-x)= 函数也是偶函数 g(4-x),即g(x十4)=g(x),所以g(x)是周期函数，且 B(/),当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2-3x= 周期为T=4,故选项B错误，C正确： f(x),即f(x)=x2-3x. 若f(2)=1,且f(x)的图象关于点(1,2)对称，所以f(0)= C(X).因为y-日十亡3所以函数y一亡的单调递 3,所以g(0)=f(0)+0=3,所以g(2024)=g(0)=3,所 以f(2024)=g(2024)-2×2024=-4045.故选项D 减区间是(-0，)，（兮+） 正确.] 47 12.f(x)=3x(x十1).[：f(x)是定义在R上的函数，且对 fn=t1l2=0, 任意x,y,f(2y-x)=-2f(x)十3y(4x一y+3)恒成立， 即一m=t1十t2=t2>1,得m<-1: ∴令y=x,得f(2x-x)=-2f(x)+3x(4x-x十3)，即 m2-4n>0, f(x)=-2f(x)+3x(3x+3), 当t1=t2时，[f(x)]十mf(x)+n=0(m,n∈R)恰好有 .3f(x)=3x(3x+3), 三个互不相等的实根， .f(x)=3x(x+1).] 等价于f(x)与y=t有三个不同的交点， a,-号)：- ，[(楼振趋竞可液禹数f红)=了x n=titz=0, x2的时称中心为(@，b),南于f(红十2)一b为奇画数，代入化简种 由图可知，此时t1=t2=0,即 一m=t1十t2=0,得m=0. 可得共对特中心为(1，一号)1利用对称中心可知f红十1)十 m2-4n=0, -+=-言分植计第可得代一)+0-++一 综上，实数m的取值范围为m<一1或m=0. 故答案为m<-1或m=0.] +2)+…+f0)+f01D++f(m+2)=n+5 3 16当a>0a1时，由3-a>0得是 设函数f:)=了一2的对称中心为a,6), 即函数)的定义城是(-©，] 根据题意可知f(x十a)一b为奇函数， (2)当a-1>0即a>1时，令t=3-ax, 1 1 即fz+a)-b=3(x+a)'-(z+a)2-b= 3x'+(a 要使f(x)在(0,1门上是减函数，则函数t=3一ax在(0,1] 1Dr2+a-2az+0-。2-b为者函数， 上为减函数， 即-a<0,并且3一a×1≥0，解得1<a≤3； a-1=0, a=1, 可得 当a-1<0即a<1时，令t=3-ax, 3a3-a2-b=0, 得 6=- 2 3 要使f(x)在(0,1]上是减函数，则函数t=3一ax在(0,1] 所以了)的对称中心是(1，一号）， 上为增函数， 即-a>0,并且3>0，解得a<0. 即可知y=:+1D+号为奇函数，所以+1D+号+ 综上可知，所求实数a的取值范围是（一∞，0）U(1,3]. f(-x+1D+号-0，即f+1D+-x+1D=-号， 16.(1)因为f(x)是定义域为[-2a,4a-2]的偶函数， 所以-2a十4a一2=0，解得a=1,则函数f(x)的定义域为 因此f(-n)+f(-n+1)+f(-n+2)+…+f(0)+ [-2,2], f(1)+…+f(n+2)=[f(-n)+f(n+2)]+[f(-n+ 又当0≤x≤4a-2时，f(x)=-x十√3-x, D+fn+1)]+…+[f0)+f(2]+f1)= 3(n十1) 即当0≤x≤2时，f(x)=一x十√3一z, -2=_4n+6 3 3 令-2≤x<0,即0<-x≤2，f(-x)=x+√3+元， 所以f(-n)+f(-n+1)+f(-n+2)+…+f(0)+ :f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=x+√3十x, fD++fa+2)=-n] -x十√3-x,0≤x≤2， ∴f(x)的解析式为f(x)=《 x+√/3+x,-2≤x<0. 14.m<-1或m=0.[设方程t2+t十n=0的两根为t1,t2 (t1≤t2), (2)当0x≤2时，f(x)=一x十√3一x, 当1≠tg时，[f(x)]+mf(x)十n=0(m,n∈R)恰好有 因为函数y=一x,y=√3一z在[0,2]上都是减函数， 三个互不相等的实根， 所以函数f(x)在[0,2]上是减函数， 等价于f(x)与y=和y=t:共有三个不同的交点， 又函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，则f(-x) 由图可知，此时有t1=0,t2>1, f(r)=f(lal), 所以f(1+1)<f(1-2),即f(t+11)<f(1-2|), -3≤t≤1， f-2≤1+1≤2， 所以-21-2≤2，即-7<≤经 l+1>11-2,a+1)2>1-2)2, 48 -31≤1， f-3≤1≤1， 故fm)fm)=1,即(m-1)2(n-1)2-1, 即 1 由n>m>1得(m-1)(n-1)=2, 2-21<0, 0<1<2, fm-1=1, m=2, 又m,n∈N+,所以 m-1=2, 解得 故m十n=5. 所以关于t的不等式f(t+1)<f(1-2t)的解集为(0,1]. n=3, 17.(1)因为f(0)=0,所以可设f(t)=at+b(a≠0)， (③)因a<号放x)=-a)》在[子，上单调递增， 代人(10,2700)与(30,7500)， (100a+106=2700, a=-1 从而f(号)f=1,即（停-a)'4-a)=1, 可得 解得 900a+30b=7500, b=280, 进而（号-a)4-a)=l, 所以f(t)=-t2+280t(0≤t≤60)， 又令gt)=:(0≤t<40), 解得a=1或a-号（会去。 代人(40,8000)可得40k=8000,解得k=200, 所以g(t)=200r(0≤t<40), 从而存在x∈[告，个，使得对任意的：∈R有不等式c 令g(u)=mt十n(40≤≤60)， 1)2≥-12+s·t+8都成立， 代人(40,8000)，(60,11000)， 故[(x-1)2门n.≥-t+s·t+8,即9≥-t2+s·t+8, 40m十n=8000, m=150, 整理得2一s·t十1≥0对任意的t∈R恒成立， 可得 解得 60m+n=11000, n=2000, 即方程2一5·t十1=0无实根或有两个相等的实根， 所以g(t)=150t+2000(40≤t≤60)， 所以△=52一4≤0，解得一2≤s≤2，即实数s的取值范围是 200t(01<40), [-2,2]. 所以g()= 150r+2000(401≤60). 归纳总结) (2)设小明阅读经典名著的时间为t(0≤t≤60)分钟，则阅 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”一明确“新 读古诗词的时间为(60一t)分钟，每天的阅读量为h(t), 定义”的条件、原理、方法、步骤和结论：(2)重视“举例”，利 当0≤60-t<40,即20<t≤60时， 用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例” h(t)=f(t)+g(60-t)=-t2+280t+200(60-t)=-t2+ 提供的解题方法和分类情况：(3)类比新定义中的概念、原 80t+12000=-(t-40)2+13600, 理、方法，解决题中需要解决的问题」 所以当t=40时，h()有最大值13600： 19.(1)f(x)为奇函数，证明如下： 当40≤60-t≤60，即0≤t≤20时， (要利所青偶性，需构造出了（一x)和「（工），观客发现在所析给等式 h(t)=f(t)+g(60-t)=-t2+2801+150(60-t)+2000 中令y=一工孙可) =-t2+130t+11000. 令y=一x可得f(x)十f(-x)=f(0), ① 因为h(t)的对称轴方程为t=65, 令x=y=0可得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 所以当0≤t≤20时，h(t)是增函数，且当t=20时，h(t)有 代人①得f(x)十f(-x)=0,所以(-x)=一f(x), 最大值为13200. 故f(x)为奇函数. 因为13600>13200， (2)(看到f()>f(…),想到分析了(x)的单调性，常特造f(x:) 所以阅读量h(t)的最大值为13600，此时阅读经典名著的 一f(x),并利新正竟，怎样构造？注意到f(x)为奇画数，所以可直 时间为40分钟，阅读古诗词的时间为20分钟。 接将其调整为fx1)十f(一x:),遗而适用题干所给的等式合) 设-1<x1<2<1,则f(x1)-f(x)=f(x)+f(-x) 18(1gx)上是“依赖函数”，对于函数的定义城内任意， ）》 ② 若gx)·g(x》=1 =1,则x1x2=1, x12 因为-1<x1<x2<1,所以x1一x2<0,-1<x1x2<1, 对任意x1,都有唯一的xz(x1的倒数)使得等式成立，故 1-x1x>0,所以二<0， 1一x1xz g)=是“依赖函数 另一方面，x1一x2十(1一x1x2)=一x1xg十x1一工十1= (2②)因为m>1,f(:)=号（-1在[m,m]上是严格增 -(x1十1)(x2-1)>0,所以x1-x2>-(1-x1x2), 函数， 从而>-1，故1K<0 49 因为当x∈(-1,0时，f>0,所以f(,)>0, 如图4，函数y=一(：十号)在x,∈[-1,0>时单调递增。 代A@可得u)-f,=(径)>0. 所以当x=-1时，-(+品）取得最小值3，故6>3： 所以f(x1)>f(x2),故f(x)在(-1,1)上单调递减， 当x2=0时，经检验，不等式④即为0<-2，不成立： -1<2x-1<1 当x,∈(0,2]时，不等式国等价于6<-（红，+， 所以f(2x-1)>fx) -1<x<1, 解得0<x<1, 2x-1<x, 故不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0,1). (3)方法一（涉装“任意”和“存在"两个量词，丁分剂考逸，观容 -10 发规fx1)这一附不舍泰，故先考起舍工1这部分) 图4 图5 因为v[日]a>8 如图5，当x∈(0,2]时，函数y=-(+号)的最大值在 所以f(x1)>g(xz), 由2)可知当∈[号，】时，f=(得） 4E处取得，为-人E+号)=-22，所以6-2吃. (由于是3x∈[-1,2]，使g(红)<-1，所1在[-1,0)上可4， -f(-3）=-1,所以gx)K-1, 在(0,2门上也行，故上连结果应张并集) 于是3x2∈[-1,2]，使g(x)<-1,所以gx,)<-1.③ 综上所述，b的取值范围是(-∞，-2√2)U(3,十o∞). (观参发规g(x)是对林轴速动的二次画数，教通建讨论对称轴与 第四章 指数函数与对数函数 区间[一1,2]的位置关果来参g(x:)的最小值) 4.1指数 =- 变式训练 x=2 图1 图2 [变式1](1)原式=-6+(4-5)+5-4=-6. 当-合>2，即6<-4时，知图1，g(x)=g(2)=十 (2)当1≤x<3时，√0-x)+√(3-x)=1-x+|3 x|=x-1+3-x=2:当x>3时，√1-x)+√(3-x)7 b·2+1=2b+5,代人③得2b+5<-1, =1-x+13-x|=x-1+x-3=2x-4. 解得6<-3，结合b<一4可得b<-4: (3)原式=m十n-m-nl,n<m<0,m十n<0, 当-1长-名≤2，即-4≤6≤2时，如图2，gx)= m-n>0,.原式=-(m十n)-(m-n)=-2m. g(-名)=(-名)厂+（名）+1=1-，代入©得1 w原式-哥+√-心)+×2-号+ 4<-1, 号-8+2=-3 解得b<-2√2或b>22, ⑤原式=。÷。÷。。=a÷ 结合-4≤b≤2可得-4≤b<-22. √÷a-a3÷a)÷ay-a3÷a÷a量 当-台<-1，即6>2时，如图3，g红)=g(-1D= a÷a-a将=a-a (-1)2+b·(-1)+1=2-b,代入③得2-b<-1, [变式2]D[,(a°十ab)2=8→a十a=6, 解得b>3,满足b>2. ∴(a0-at)2=aw+aw-2=4. 综上所述，实数b的取值范围是（一o∞，一22）U(3,十∞). 又a>l,b>0,a>at，.a-a◆=2.] 方法二（接方法一得到“3x1∈[一1,2]，使g(x)<一1，即 十：？十1<一1”后，观擦发现此不等式中米数6容易分热出桑， [变式3]令3=2=6=t(>0,则3=1,2=1,6=， 故也可考虚先分多出占再會，但这里江：正质够能取到，放需计论) a g(xz)<-1x+br2十1<-1Hbx2<-x量-2， 当x,[-1,0)时，不等式④等价于6>-（+) 22五-山 50用重难点手册高中数学必修第一册RJA。 单元复习归纳 用中目目目日HH目日目 知识体系构建 目目目目目H时由日目1 定义域，自变量x取值他围构成的集合 一要 对应关系 定义：y r(aCR) 值域。函数值构成的集合 五个其体幂函数的图象和性质 根两数 函数的图象和性质 解析法。y=f(x).x∈D(LD为定义域) 列表法 r>x中fx)>x)。增丙数 单调性 x>x→fz)<fx)。减函数 西数的概念与性 表示法 图象法 f(-x)=-f()。奇函数 基 分段函数的应用 有偶性山 f(-f(x)。偶啊数 次函数的应用 质 最人值 二次函数的应用 最俏 函数的应用 最小值 反比例函数的应用 幂购数的应用 高考创新题型 例I[新定义]（多选）设函数y=f(x)的 yf(z) 定义域为R,对于任一给定的正数p,定义函数 f(x),f(x)≤p, fp(r)= 则称函数f。(x)为 p,f(x)>p, 选项 思维过程 结论 f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2 f(0)=-1. 2x一1，p=2,则下列结论成立的是( f(f(0)=f,(-1)=2. A 成立 f(0)=-1, A.f(f(0)=f(f(0)) f(f,(0)=f(-1)=2 B.f(f(1)=f(f,(1)) f(f(1)=f,(-2)=2. B 不成立 C.f(f(2))=f。(f。(2) f(f。(1)■f(-2)=7 D.f(f(3))=f(f(3)) f(f(2)=f(-1)=2, 成立 解析由题意知，当f(x)=x2-2.x一1，p=2时， f(f,(2)=f,(-1)=2 x2-2.x-1,f(x)2, f(f(3)=f(2)=-1. 有f(x)= 作y=f(x)及y D 成立 2,f(.x)>2 f(f,(3)=f,(2)=-1 =「n(x)的图象，如图所示. 答案ACD 128 ,第三章函数的概念与性质 例2[创新探究](2025·陕西商洛一模)若 ①f(x)在[n,n]上是单调函数： 函数fc)满足：Va,6∈R.3）=2fa ②f(x)在[m,n]上的值域是[3m,3n]. 则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区 +f(b),且f(1)=1,f(4)=10,则f(985)= 间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( (). A.2953 B.2956 A.f(x)=2x2 B.f(x)=1 C.2957 D.2960 解析方法一（特殊函数法与待定系数法】 C.f(x)-x+2 D.f(r)=-7z x2+2 取f)-红+m,易脸证满足3(2)） 解析依题意，可知若函数「(x)存在“倍值区 间”，则满足f(x)在[m,n]上是单调函数，且 2f(a)+f(b). f(m)=3m f(m）=3n 由f(1)=1,f(4)=10. 学 f(n)=3n f (n)=3m, 得十m引，解 ,k=3 4k十m=10, m=-2, A√：f)=2,在区间6，引上是增高数。 故f(.x)=3.x-2,f(985)=2953. 且值域为 方法二（赋值法与解方程组法） ,引则区问0，引是画f)的“倍 由题可知，Va,6∈R,3r(2）-2fa)+ 值区间”： B(/),f(x)= f6,令2u+b-1. 子在区[]上是减函数，且 3 则b=3-2a,2f(a)+f(3-2a)=3f(1)=3.① 值线为1.，别区间仔-小是函数)的倍值区间， 令2a+b=4,则6=12-2a,2fa)+f12-2a) C(×),f(x)在[一√2,0)，(0，√2]上单调递减，在 3 (一o0,一2]，[√2，十o∞)上单调递增，假定函数f(x) =3f(4)=30. ② 存在倍值区间[m,n],若∫(x)在[m,n]上单调递增， 由②-①得f(12-2a)-f(3-2a)=27, 由a的任意性，令n=3-2a,得f(n+9)-f(n)=27. f(m)=3m, m大2 =3m, 则有 即有 而m<n 所以f(985)=f(985)-f(976)+f(976) f(n)=3n, f(967)+…+f(13)-f(4)+f(4)=109×27+10 n+2 -3n, 2953. 一2或2≤m<n,无解，若f(x)在[m,n]上单调递 答案A f(m)=3n, =31 归纳总编 减，则有 即 解得m=n或 (1)针对抽象函数的相关问题，当涉及的抽象 f(n)=3n1, =3m 函数形式较为复杂时，在客观题中，可以考虑使用 m=一n,而m<n且mn>0,矛盾，所以f(x)不存在 特殊函数法或者赋值法，求出满足题意的一种情 倍值区间： 况，即可选出正确答案，快速解题， 7 (2)①f(x)=kx满足f(x十y)=f(x)十 D(√/)，当x>0时，f(x)= 2,函数y=x十 r+ f(y), ②f(.x)=x(a>0)满足f(xy)=f(x)f(y). 后而还会学习指对函数与三角函数模型， 2在(02]上单调递减，于是f(x)在0， 3 上单调 3 例B[新定义](2025·山西晋城一中调研) 递增，且值域为[0,5]，因此区间0. 是函数 3 (多选)已知函数f(x)的定义域为D,若存在区 f(x)的“倍值区间” 间[m,n]二D,使得f(x)同时满足下列条件： 答案ABD 129