第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA, 单元复习归纳 H由时HE目H日1过 知识体系构建 中EH目时国 不等式的概念 不等关系与不等式 不等式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 元二次不等式的概念 一元二次 三个“二次”（一元二次方程的根、二次函数的图象、一元二次不等式的解集）之间的关系 不等式及 其解法 ·元二次不 利用三个“二次” 不含参数的一元二次不等式的解法 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 不 基本不等式的变式与拓展 若a+b=S(定值)，则当a=时， ab陬得最大值s 最值与定值 求最值的 基本不等式：ab≤ (a≥0.b≥0) 若ab=G(定值)，则当a=时， 常用方法 a+也(a≥0，b≥0) a+b取得最小值2G 求实际应用问题的最值 基本不等式的应用 比较实数的大小 证明不等式 mmitmtmmmmmmmmmnmimmmimn 高考创新题型 mmimnmmmmmmtmmmmimmmmnnmmn 例①[新定义](2024·九省联考)以max ,当且仅当2m+n+p=1且maxm,n,p}= 4 4时， {M}表示数集M中最大的数.设0<a<b<c 1,已知b≥2a或a十b≤1，则max{b-a,c 1 即m=n=p=4时等号成立， 一b,1一c}的最小值为 若a+b≤1，则1-n一p+1一m-n-p≤1，即 解析令b一a=m,c-b=n,1一c=p,其中m, m十2n+2p≥1， n,p>0, b=1-n-p, Q=max(b-a,c-b,1-c)=max(m,n,p), 所以 a=1一m-n一p, Q≥m, 若b≥2a,则b=1一n-p≥2(1一m一n-p),故 则2Q≥2，故5Q≥m+2m+2p≥1，则Q≥号 2m+n十p≥1， 2Q≥2p, Q=max(b-a,c-b,1-c=max(mn, 2Q≥2m, 当且仅当m十2a+2p=1且mxm,m,p}=号时等 因此Q≥n,故4Q≥2m十n十p≥1，则Q≥ Q≥p, 号成立，即m=n=力=5时等号成立. 68 第二章一元二次函数、方程和不等式锥 综上可知，mxb-a,c一b,1-c}的最小值为号 点”，又是点(a,b)的“下位，点” 例③[创新探究](2023·江苏扬州统考) 答案行 已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只 例②[新定义](2024·上海光明中学期中) 能同时满足下列三个条件中的两个： 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两 ①不等式y>0的解集为{x|一3<x< 点作如下定义：若号>音，则称点(a,b)是点(c, 1};②a=2;③函数的最大值为4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号， d)的“上位点”，同时点(c,d)是点(a,b)的“下 并求出函数的解析式， 位点” (2)求关于x的不等式y≥(m-1)x2十 (1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标 2(m∈R)的解集. 和一个“下位点”坐标； 解析(1)当a=2时，不等式y>0的解集不能为 (2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”， {x|一3<x<1},且函数没有最大值，所以a=2不成立 判断点P(a十c,b十d)是否既是点(c,d)的 故满足题意的两个条件是①③ “上位点”，又是点(a,b)的“下位点”，证明你的 因为y>0的解集为{x|一3<x<1}, 结论 所以一3,1是函数的两个零，点， 解折①南于号<是号>号周比点（8,0是点 故y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a(a<0). 。二次函数两点式 (3,5)的一个“上位点”，点(3,7)是点(3,5)的一个“下 因为函数的最大值为4， 位点” 所以aX(-3）-(2a》=4,解得a=一1， Aa (2)点P(a十c,b十d)既是，点(c,d)的“上位点”， 所以y=-x2-2x十3. 又是点(a,b)的“下位点”.证明如下： (2)不等式y≥(m-1)x2+2即-x2-2x十3≥ ,,点(a,b)是点(c,d)的“上位点”， (m一1)x2+2,整理得m.x2+2x-1≤0. ∴>台ad>. 二次项系数合泰，需分m-0,m>0,m<0讨论 ..atca b(atc)-a(b+d)bc-ad <0, 当m=0时，不等式等价于2红-10，解得x<号， b+d b b(bd) b(b+d) 后分 所以不等式的解集为口≤}。 ∴点P(a十c,b十d)是点(a,b)的“下位点” 当m>0时，对于一元二次方程x2十2x一1=0， ..atc c d(atc)-c(b+d)ad-bc 由于△=4十4m>0,方程有两个不相等的实数根 b+dd d(b+d) d6+)>0, x1= -1+m亞，，=-1ym五，且>x,所以 .a十c、c m b+dd' .点P(a十c,b十d)是点(c,d)的“上位点”. 不等式的解集为女1m亞≤≤1十ym五 m m 综上，点P(a十c,b+d)既是，点(c,d)的“上位 当m<0时，对于一元二次方程mx2十2x一1 69 铺重难点手册高中数学必修第一-册RJA, 0,A=4十4m.y -1-m+五 △随m变化，依据4=0，△>0，△<0对m分集讨论 当m<1时，△<0，一元二次方程无实数根， 综上，当m=0时，不等式的解集为zx≤}。 所以不等式的解集为R: 当m=一1时，△=0，一元二次方程有两个相等 当m>0时，不等式的解条为{女1平 的实数根，此时不等式的解集也为R: xsI+m+五 当一1<m<0时，△>0，一元二次方程有两个不 m 相等的实数根，=二1+ym平，x,=二1-ym卫 当m≤一1时，不等式的解集为R: m 当-1<m<0时，不等式的解集为{xx≤ 且x3<x4, 所以不等式的解集为女<1中百或≥ -1+ym屯或x≥-1=m五 70-1时取得，所以(2-）=2，故(）=一2 22一-0×+2=12，当且仅当x-2- 22即 代人③可得a>-] x=7时等号成立.] 5.C[因为命题“3x。∈{x|-1≤x≤1}，-x8+3x0十a>0” 为真命题，所以命题“3x。∈(x|一1≤x≤1}，a>x8-3x。” 为真命题，所以xo∈(x|一1≤x≤1}时，a>(xi-3xo)m 2.①若方程x2十ax+2=0有实数解xo,则0=|x6+axo十 因为y=-3x-(-)°-是，所以当x∈x-1K 2≥x。+1.此时x0=-1,则有1+a·(-1)+2=0→ x≤1)时，ym=一2，当且仅当x=1时取得等号.所以xo∈ a-3,则|x2+3x+2|≥x+1川，又易知该不等式在x=-2 (x|-1≤x≤1}时，a>(x8一3xo)mm=-2,即实数a的取 时不成立，故该情况不满足题意 值范围是{aa>-2}.] ②若方程x2+ax+2=0不存在实数根，则x2+ax十2>0：6.B[因为x>y>x,所以x一y>0,y之0，xx>0, 恒成立，此时△=a2-8<0,解得-2√2<a<2√2，则原不等 善本不等式应用的前提条件 式等价于x2+a.x+2>x+1或x2+a.x十2≥-x-1. 六十产恒成立 当x2+ax+2>x+1时，有x2+(a-1)x+1≥0， 等价于<气十))红-)相成立 ∴.△1=(a-1)2-4≤0，∴-1≤a<22: 当x2+a.x+2>-x-1时，有x2+(a+1)x+3>0, 因为x一x=(x一y)十(y一)， ∴4a=(a+1)2-12≤0，.-22<a≤25-1. x一yy一g 综上所述，所求实数a的取值范围为{a一1≤a≤23一1. (y-z)] 第二章单元学能测评 。工一=（红一y)十(y一）不易到，根为隐 1BA,因为导>兰，且c>0,所以o>6 =2+号+>2+2写只-4 x-y y-z B(X),当a=-2,6=-1时，满足a2>,ab>0,此时三2 当且仅当二三=二义，即x一y=y一x时等号成立， x-y y-z 一片不满足<合 所以要使<（号十，）红一相成立 C(√)，因为c<d,所以-c>-d,又a>b,所以a-c>b-d: 所需n≤4(n∈ND,所以n的最大值为4.] D/),若-1<a<5,2<b<3,则-1×3<ab<3×5,即-3< 思维过程 ab<15.] 1一十 1 2B[由题知0<1，不妨取x=号，故a=号，6=1c= 2,故c>a>b.] -准减主，又x-=-叶0-，持合8 3.D[一元二次不等式ax2+bx十c>0的解集为{x|-2< 本不等式即可求解」 x<1},所以a<0,且一2,1是一元二次方程ax2+bz+c=0 的两个实数根， 7.A[x2-3xy+4y2-g=0,x=x-3xy+4y2. 所以-名=-2+1=-1，台=-2×1=-2， 又x,y,x均为正实数， a 1 1 所以b=a,c=-2a,且a<0, x2-3xy+4y 一=1， y r 所以不等式cx2+a.x+b≥0可化为-2ax2+ax十a≥0， 即2x2-x-1>0,解得x≤-2或x≥1， 当且仅当x=2y时取“=”，（受）=1，此时x=20 .z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y·y+4y2=2y2, 因此所求不等式的解集为z≤-之或x≥门 2+号2+-（号）+11，且 40[>2-20,x+52-2+2计 仅当y=1时取得“=”，满足题意 23 :2+1-2的最大值为1，当且仅当x=2y=2时取 xy z “=”.] 9.CD[A(X),取a=2,b=1,m=1,满足a>b>0,且m>0, 归纳总结了 ,a十ma 此时4十m三.号=26十m6 对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个 6+m 2'6 数，减少变量个数的方法有： 徽分数的分手、分母（都大于0》同加上一个正数比原分教，小 ①代入消元，把其中一个变量用其他变量表示后代入 B(×),取a=2,b=1,m=-3,满足a>b>0,m<0,此时 消元： 6m=2,=号 a十m a十ma ②时茅次式可通进构造比值号消无 C(√)，因为Va>b>0,当m>0时，a-b>0,a十m>0,所 8.D[将不等式2x2+mx一3m2<0整理可得(x一m)(2x+ 牛册台-a调>0则牛0台。 a十ma' 3m)0. D(/),存在a=3,b=1,m=1 b一m=0, =满足 ①当m=0时，不等式为2x2<0,此时不等式的解集为财，不 a一m 合题意 bm<.] a一m4 ②当m>0时，不等式的解集为x -m<x<m,若不 |(x-2)(ax+b)(x-c)≥0， 10.AC[A(J),原不等式等价于 x-c≠0， 等式的解集中恰好有3个整数， 因为解集为{xx≤-2或1<x≤2)， 3 当这3个整数为一2，一1,0时，则 3-2m<-2, 此时 所以a<0且c=1,-2a+b=0. 0<m≤1， 。由绵点值取不到1且分年不能为0得出 B(×),因为a<0,b一2a=0,所以b<0,所以点(a,b)在第 m无解： 三象限 /1<m≤2， 当3个整数为一1,0,1时，则 00,2a+-2a+-(-a+因为-a+ 解得1m≤学 日<0，无机2公和记化为正数才能金用卷奉不等式 因为-小>m,所以3个整数不会都大于等于0 6>22a)五=2所以-（←2a+) 所以此时m的取值范围为m1<m≤子} -2,当且仅当-2a-一公，即a=一号时取等号. D(×),由ax2+az-b≥0得a.x2+ax-2a≥0，即x2+ ⑦当m<0,不等式的解集为：m<<-,若不等式 x-2≤0，解得-2≤x≤1，因此解集为{x-2≤x≤1.] 的解集中恰好有3个整数，因为一2m>m,这3个整 11.ABC[A(√)，因为a>0,b>0,且2a+b=2,所以2√2ab 数不可能都小于等于0， ≤2，所以ab≤2，当且仅当2a=b=1时，等号成立，所以 3 所以当这3个整数为一1,0,1时，有 1<-2m≤2， +广法8，当且仅当2a6=1时，等号成立， -2≤m<-1, B队，a十b+2a%-吉[4a+6)+(2a+26]: 1 1 4 解得-3≤m<一1， (+)+++)≥×+ -1m<0 当这3个整数为0,1,2时， B-n 此时m无解， m≤3， 2》-号当且仅当纪名公场即2-61时取等号。 所以此时m的取值范围为m侧一音<m<-小。 C(W),因为(2a+√25)2=4a+2b+42ab=4+ 4/2a5≤4+4×2a,十中=4+4=8，当且仅当2a=b=1时 2 综上所述，实数m的取值范围为一号<m<-1或1< 取等号，所以2ā+√26≤2W2; 24 D(×),因为b2十2a2=(2-2a)2+2a2=6a2-8a+4= 的最小值为9. 6(。-号)'+号>号，当且仅当a=6=号时取等号，所以 (2因为2+=1，可得x十2y=, 6+2a2的最小值为号J 所以λ(x十2y)≤(3x十2y)2可整理为λxy≤(3x十2y)2 12.{mm≥4}.[：x2-4x十m<0没有实数解， 因为工，y都是正实数，所以X≤(3x+2》-9要+丝+ xy y ·一元二次不等式x2一4x十m≥0在R上恒成立， .△=16-4n≤0，解得m≥4故m的取值范围是{mm≥4.] 12,因为号++12≥2√停·+12-2x6+12-24 y 18是[“x+y=1,红+1D++2)=4,中+ 8 4 当且仅当2y=3江，即x一号y=4时取等号，所以1≤24 -1.希+希D出 所以实数入的取值范围为{a入≤24. 4 x+1 17.(1)依题意，关于x的不等式ax2+(1一a)x十a≥0有实数解 +2,4g20士x+1+-2+y+2+ 当a=0时，x≥0有实数解，符合题意： y+2 y+2 当a>0时，取x=0,则ax3+(1一a)x十a=a>0成立， 动+22-(+)-2 即关于x的不等式ax2十(1一a)x十a≥0有实数解，符合 +++粉+帝 题意： 当a<0时，二次函数y=a.x2十(1一a)x十a的图象开口向下， -?-子当且仅当2-且x+y=1,即 则△=-a)2-4a≥0，解得-1≤a≤3，所以-1<a<0. 综上，实数a的取值范围是{ala≥一l. 无 3 (2)不等式ax2+(1-a)x十a-2<a-1等价于ax8+ 2 时等号段立，小千+片2的最小值为子] (1-a)x-1<0. 3 当a=0时，解得x<1. 14mm≤1或m≥4.[a2-ab+6-5c=0,六话 当a>0时，不等式可化为(x+)-1)<0,解得-是< gw-g+兽-层-刂 ab x<1 =1,当且仅当号-兰，即a=动时，等号成立.当a=3动 当a<0,不等式可化为(+)-1)>0， 时c=动a+b-弓c=-6+4b=-6-2》+4, 当-】=1，即a=-1时，解得x∈R且x≠1， a ∴当6=2时a十6-子c取得最大值4 当日<1，即a<1时，解得<-或>1， 由m2-3m≥4十b-宁c恒成立可得m2-3m≥4，解得 当>1，即-1a<0时，解得<1或>-日 综上，当a=0时，原不等式的解集为{xx<1}, m≥4或m≤一1，故实数m的取值范围是{mm≤一1或 m≥4.] 当a>0时，原不等式的解集为女一日<<4， 15.(1)不等式-x2+14x-45>0即为(x-5)(x-9)<0, 解得5<x<9,故不等式的解集为{x5<x<9}. 当-1a<0时，原不等式的解集为或x>- ②不等式>1可变形为号-1-0号≥0， 当a=一1时，原不等式的解集为{xx∈R且x≠1)， (2r-6-5)<0,解得3<x<5, 当a<-1时，原不等式的解集为zz<-或x>。 则 x-5≠0， 18.(1)设BM=x,BF=y,则CF=MF=1-y,由勾股定理可 故不等式的解集为{x|3≤x<5}. 16.(1)因为x,y都是正实数，所以2x十y=(2x十y)· 得+y广=1-以，即)1号 由题意可知，△AMGc△BFM, (侵+)=4+1+经+号+2段·号=5+4= 无 设△AMG,△BFM的周长分别为p,p1, 当组仅当空-号即红-y-3时等号成立，所以2z十y 哈￥号 25 又因为p1=x十y十1一y=x十1， 因为函数f(2x一1)的定义域是[-3,1]， 1-2=2 所以p号·p= 所以这里的x满足一3≤x≤1，故-7≤2x-1≤1，即括号整 y 体的范围是[一7,1门， 所以△AMG的周长为定值，且定值为2. 所以在f(3一4x)中，应有一7≤3一4x≤1， ②设△RM的面积为S则学-器_与学 解得<名 ① 因为5-号，所以s=1s,-1= y 2y (还有分朵的√金丁没考常，故义考虚选都分) 1-x产x=1-x)江=-(x+1)- x-1≥0， 1-x 1十x x+1+3≤ 要使y=3一4四有意义，还应有 Vr-1 x-1≠0， -2+D·石+3=3-2，当且仅当1+ 解得x>1,与0取交集可得1<受， 子2，即x厅-1时等号成立，放S的最大值为3-2厄。 所以函数y=3号的定义减是1，引，门 19.(1)由题意可得(x-2-1)2>(2x-1D2,即(3x-4)(x十2)< Vr-1 [变式2]A[A(/),f(x)可化为f(x)=x,x∈R与g(x)= 0,解得-2<号 x是同一函数 所以实数x的取值范围为女-2<x<号}. B(X),g(x)=√=x与f(x)=x对应法则不一样 (2)“x<y<m”是“x比y更远离m”的充分不必要条件，证 C(×),g(x)=x°=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不一样. 明如下： DXX),g)=工=x红≠0)与f)=x的定义域不-一样.] x ①已知x<y≤m,则m一x>my之0， 由不等式得一>一y>一m,再同加上m得到 可得(mx)>之(my),即(x-m)>(y-m)', 生由不等式性猫7得到 1+(日) 所以x<y<m是x比y更远离m的充分条件 ②已知x比y更远离m,则(x一m)>(y一m),举例x= 1十a所以fa)+f(日）-1 3,y=2,m=0,满足(x一m)>(y一m)2,但不满足x< y<m,所以x<y<m不是x比y更远离m的必要条件. (2)由(1)知fa)+f(日)=1， 综上，x<y<m是x比y更远离m的充分不必要条件 从而f2+(侵)=f3)+(号)=f0+()=1, ab+2b ab+2b (3)因为a>0,b>0,p a2+b2+1 。2+6+号8+1 故[r2+/(侵】+[3)+/传】+[+/(] ab+2b 5 2 =3,而f1)=2,所以f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+ 1 1 fg)+④+)- a=5b,a=2 当且仅当 即 时等号成立 [变式4]A[由-x2+2x+30,解得-1≤x≤3，即函数f(x) b= 的定义城为[-1.31由一1长3虹-23，解得号<x<号， 因为<号<反<厅，由②可知p比反更远高5，即得证 则函数x一2)的定义城为[号，号].门 第三章 函数的概念与性质 [变式50<a<子 [要使函数有意义，必须使ax2+4ax十 3.1函数的概念及其表示 3≠0.要使函数的定义域为R,必须使方程ax2+4a.z十3=0 3.1.1函数的概念 无解（无实根）.当a=0时，方程ax2+4ax十3=0无解，当 变式如练 a≠0时，若方程ax3十4ax十3=0无解，则有判别式△<0， [变式门，引，【0去于a-)的发义该，了以件克c) 即(4a)-12a<0,解得0<a<.综上可得，当0<a<号 指号内整体的笼因，用于分新目标高数中f(3一4缸)这部分) 时，函数的定义域为R.] 26