4.5 函数的应用（二）-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

易知当u=2时，p(u)=2,故最小值为n2 2 数fx)=2+已只有-个零点o,且x。>1 归纳总结骨 因为x1∈(1，xo),x∈(xo,十∞)，所以结合函数图象可知， 解不等式恒成立问题常见方法： f(x1)<0,f(x2)>0 (1)分离参数a≥f(x)恒成立(a≥f(x)mu即可)或 a≤f(x)恒成立(a≤f(x)n即可)i (2)数形结合(y=f(x)的图象在y=g(x)上方即可)： (3)讨论最值f(x)n或f(x)恒成立； (4)讨论参数，排徐不合题意的参数范围，筛选出符合 题意的参数范因」 1 方法二（性质结合）因为函数y=公与y=一，在区间 4.5函数的应用（二） (1,十∞)上都是单调递增的， 变式加练 [变式1门A[分别在两个坐标系中作出外层函数y=f(x)和 所以函数于x)=2+己一在区间1，十o)上单调递增。 内层函数y=2x2十x的图象，如图1、图2所示. 从而函数f(x)在区间(1，十∞)内只有一个零点x: ①当a>3时，由图1知，直线y=a和曲线y=f(x)有两个 又x1∈(1，xo),x:∈(x0,十∞)，则由函数的单调性可知， 公共点，且两个公共点的横坐标x1,xa均为正数，则 f(x1)<f(x)-0,f(x2)>f(x0)-0.] f(x)=a有两个正根x1x2 归纳总结) 由图2知，直线y=x1,y=x2分别与曲线y=2x十x有两个 确定函数零点位置的方法 公共点，故共有4个公共点，从而f(2x2+x)=a有4个根 (1)利用函数零，点存在定理：将问题转化为判断区间的 两个端点对应的函数值是否异号来确定零点位置。 (2)图象法：分别画出两个函数的图象，观察两个函数 0.25 图象的交点，由交点的横坐标的位置判断面数零点的位置 -0,125 [变式3]D 图1 图2 [变式4]C[函数f(x)=logx十x一3为增函数，由参考数据可 ②当2<a≤3时，由图1知，直线y=a和曲线y=f(x)有 得f(2.25)f(2.3125)<0,且12.3125-2.25=0.0625<0.1， 三个公共点，且这三个公共点的横坐标x1,x:,x两正一非 正，即f(x)=a有3个根x1,x2,xs.不妨设x1≤0，x2, 所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f(x)=logx+ x>0 x一3的一个零点的近似值，也就是方程1ogx十x一3=0的 由图2知，当x1>-0.125时，直线y=x1,y=x2,y=x 一个根的近似值.门 与曲线y=2x2十x有6个交点，从而f(2x2+x)=a有 基础过关练 6个根： 1.C[令f(x)=3-1=0,解得x=0.] 当x1=一0.125时，直线y=x1与曲线y=2x2+x只有 归钠总结 1个公共点，所以直线y=x1,y=x2,y=x与曲线y= 函数零点的求解与判断方法 2x2+x有5个公共点，从而f(2x2+x)=a有5个根； (1)直接求零点：令∫(x)=0,如果能求出方程的解，则 当x1<-0.125时，直线y=x1与曲线y=2x2十x没有公 有几个解就有几个零点 共点，所以直线y=x1y=x2y=x3与曲线y=2x2十x有 (2)函数零，点存在定理：利用零，点存在定理时不仅要求 4个公共点，从而f(2x2+x)=a有4个根. 函数在区间[a,b们上的图象是连续不断的曲线，且f(a)· 综上可知，根的个数只可能为4,5,6.] f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶 [变式2]B[方法一（数形结合）在同一平面直角坐标系中 性)才能确定函数有多少个零点 画出函数y一2和函数y一的图象，如图所示，由图可 (3)利用图象交点的个数：将函数解析式（方程）作移项 等变形，转化为求两函数图象的文点问题，其交，点的横坐标 知，函数y=?和函数y一马一的图象只有-个交点，即函 有几个不同的值，就有几个零，点 63 2C了x)在定义域0，十∞)上单调递增，f(停）=n号 因为f(2)=8ln2-83<0,f(3)=81ln3-81>0, 根据选项代入种殊值，利断f(工)和0的大小吴系，进园 号<ne-号=-号<0f3)=ln3-1>0,而f(经） 得到家点所在区间 所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内.] f2)f()<0f(3)>f3)>0,由f()f3)<0, 3.C[f(x)的图象如图所示， 根据函数零点存在定理，可知零点所在区间为（侵，3）门 3C[函数fx)=x+一3的零 点个数等价于方程安 =3-x2的 02 解的个数，即函数y= 1与y 2 由F(x)=f(x)(2f(x)一m)=0得f(x)=0或2f(x) 3一2的图象的交点个数，作出函数y=与y=3-x的 m=0 当f(x)=0时，f(x)有3个零点： 图象如图所示，由图象可知，函数)y=与y=3一士的图象 当2x)-m=0时，/)=受，即y=e)与y-受的图 有且仅有两个不同的交点，所以函数f✉)=+安一3的 象有4个交点，所以0<受<1，解得0<m<2,] 零点个数为2.] 归钠总结骨 4.AB[因为y=上在区间(1，心上单调递减，y=nx在区间 由复合函数的零点个数求参数取值范围的关键是将内 层函数换元，通过内层函数和外层函数的对应关系求参数， (1,e)上单调递增， 当外层函数为二次西数时，若外层函数能分解因式，则由外 所以e)- 一lnx十a在区间(1，e)上单调递减。 层函数每个根的零点个数求参数的取值范围：若外层函数 不能分解固式，则由根的分布并结合函数图象求参数的取 若函数f(x)在区间(1，e)内存在零点， 值范国 则)>0 1+a>0, 1 If(e)<o, 卿\-1+a<0 解得-1<a<1- 4.ACD[如图，作出函数f(x)的图象，可知当a>1时，函数 e f(x)的图象与直线y=a有四个交点，即方程f(x)=a有 故AB符合题意，CD不符合题意.] 5.5.[,5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f(t)= 四个实根，且<-合号<：<0,0<1>1 ae请足了6)-ae-宁，即5m=h宁得n-吉n, A),因为是方程-一在-a的两根，即： 当k秒后甲桶中的水只有号升，即了)一号，即号·h 1 是方程红2+ax十1=0的两根，所以x,=号 B(X),由A知，x1十x2=-a,△=(4a)2-4×4>0,所以 =lh子-2h号，得k=10,故m=10-5=5] a>1,所以x1十x2<-1. 综合提能练 C(√)，因为0<x3<1,x4>1,所以logx3<0,ogx>0. 1.A[由已知可得1≤x2+1≤2，解得-1≤x≤1，区间[a,b] 又x1,x4是方程|logx|=a的两个解，所以|logx,|= 的最大长度为m=1-(一1)=2，最小长度为n=1一0=1， l1ogx,即-log2x4=log2x4,所以log2x1+1og2x4= 所以g(x)=e十2x十1，g(x)单调递增，则函数g(x)至多 1og2(x1x)=0,所以x3x4=1 有1个零点.又g(0)=2>0,g(-1)=e1-1<0,所以存在 D(√)，由f(xa)=a>1可得，-log:r3>1,即logx1< 零点在区间（一1,0）内，所以g(x)的零点个数为1.] -1,所以0心，<分由C知，+=+子令gx) 2B[因为函数y=81hx与y=-(号) 一80在(0，十∞) x+士，0<号，因为g)在(，）上单调递减，所以有 上均单调递增， 所以f(x)在(0，十∞)上为增函数 64 (2)依题意F(x)=ae-e十aea-e=a(e十e于)2 (e2+er)-2a, 令t=e十e,则函数F(x)转化为h(u)=at2-t一2a(≥ 2),此时只需讨论关于t的方程ad2一t一2a=0的解中，大于 5(,】[函数re)-2-2+Dz+4在区间[， 或等于2的解的个数， (换元，精化为方程的实数解问超，注意新元的取值蔻围：同时。数 上有两个零点，即x-2a+1Dx+4=0在区间[2,3上 t■心十心为时句岳数，当t■2时，时应一个x,当？>2时，时应西 个x) 有两个不同的解，即2a+1)-x+兰在区间[日，]上有 ①当a=0时，h(t)=一t=0,没有大于等于2的解，此时 F(x)没有零点. 两个不同的解，转化成y=2(a十1)与g(x)=x十4的图象 ②当a>0时，h(0)=-2a<0, 当h(2)>0时，a>1,方程没有大于等于2的解，此时F(x) 在区间2,3上有两个不同的交点，结合对勾函数的性质 没有零点： 一将盖数的零点问超转化为屈数图象的交点同想 可知g)=x+兰在[}2上单调递减，在[2,3上单调 当h(2)=0时，a=1,方程有一个等于2的解，函数F(x)有 一个零点： 递增，且g(（）-是g2=4g(3)- 当h(2)<0时，0<a<1,方程有一个大于2的解，函数 3 F(x)有两个零点. 所以42a+1D号解得1a<名] ③当a<0时，h(0)=一2a>0,h(2)=2a一2<0恒成立，即 方程不存在大于等于2的解，此时函数F(x)没有零点. 6.(1)y=ka'(k>0,a>1)的增长速度越来越快，y=px十g 综上所述，当a=1时，F(x)有一个零点： (p>0)的增长速度越来越慢 当0<a<1时，F(x)有两个零点； .依题意应选函数y■ka(k>0,a>1) 当a≤0或a>1时，F(x)没有零点. ka2=18, 3 则有 培优突破练 解得 a-2' ka3=27 k=8. 1.C[假设a≥b,则17=3”+13≤3+13”， y=8(g)）广(xew, 即（倍》”+(）≥， (2)当x=0时，y=8. 而f)=(品)'+(》 在R上单调递诚， 当经过x分钟，该培养基中菌落的面积是当初投放时的 100倍.则8x(侵)厂 =8×1000, 又f)=音+号<1，a)≥1，故a<1 x=lgg100-g100 3 g3-g217.04. 同理有1=5+≥5+，即（停）°+()≤1 3 lg 2 而g)-()广+()' 在R上单调递减， 故开始时菌落的面积为8mm2.约经过17分钟，培养基中南 5 落的面积是开始时的1000倍， 又g1)=十>1，g6)≤1，故6>1 7a油∈[日与(-，0可知ga,e[-1. 综上，假设不成立，因此a<b.] e∈(0,1)， 2.(-5,-2U(0,W3].[令f(x)+1=t,则g(x)=f(), 所以ae一e>1或ae一e<-1有解，分离参数得 g(x)=f(f(x)+1D有三个零点， f(t)=0有两个根t1,红，且需满足t1=f(x)十1有两解 这+有解 时，2=f(x)十1有且仅有一解. 合则>l,曲a>+n或a<a-有解，得a> ①a≤-2时，f(x)的图象如图1所示. 令n= 由g(x)=f(t)=0,得t1=一2，t2=2, (n2十n)m或a<(n-n2)mx,即a>2或a<0,放实数a的 由41=f(x)+1=一2，得f(x)=一3，由图可知此时直线 取值范围为(-o∞，0)U(2,十∞). y=一3与f(x)的图象有两个交点， 65 由t2=f(x)十1=2，得f(x)=1,此时要使直线y=1与 f(x)的图象有且仅有一个交点， e-1≥1， 则有 解得-√5<a≤-2. a2-4<1, 10 3.C[由题意知，函数f(x)=log(x十b)的图象过点(0,0)， 其反函数的图象过点(1,2)， (由及画数的住质得，原函数f(x)=g(x十b)的国象过点(2,1) 5 log(0+b)=0,b=1, a=3, 可得 即 解得 则a+b=4.] og(2+b)=1,2+b=a, =1, 图1 图2 4A[(先求定义城并利断岳数的奇偏性，利用定义域、奇偶性排除部 ②-2<a≤0时，f(x)的图象如图2所示，f(t)=0只有一 分选项，再利用特殊点处的岳数值或特殊区间内函数通的范周排除 个解t=2,t=f(x)十1=0没有三个解，不符合题意 算他不合造的透通) ③0<a≤2时，f(x)的图象如图3所示. 易知f(x)的定义域为{x|x≠0)，f(x)+f(一x)= 由g(x)=f()=0,得1=2，t2=0, 2me+1 由t=f(x)+1=2,得f(x)=1,直线y=1和f(x)的图象 ne3+1-2=2红-2=0， 必有两个交点： 所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC, 由2=f(x)+1=0,得f(x)=一1，此时要使直线y=一1 当r>0时，f=2hC+D-1>2血e-1=l,排除D.] 和f(x)的图象有且只有一个交点，则有a2一4≤一1，解得 x 5.D[因为24+loga=4+21ogb, -3≤a≤3，∴0<a≤3. 所以4+2logb-(2+1oga)=44+logb-2-1oga=0, 10 即16g号=240，即号=3m,a=3m6>26>0,所以a> 2b>0.] 2-x>0, 6D[A(×),由已知得 解得一4<x<2,即函数 O 5 x+4>0, f(x)的定义域是（一4,2）： T-a 图3 图4 B(×),f(x-1)=g(x)=log1(3-x)-log(x十3)，其定 ④a>2时，f(x)的图象如图4所示. 义域为(-3,3)， g(x)=f(t)=0只有一个根t=0,t=f(x)+1=0没有三 又g(1)=1og12-l0g4=-3,g(-1)-log14-og2=-3, 个解 则g(1)+g(一1)≠0，故函数y=f(x一1)不是奇函数，B 综上所述，a∈(-5，-2]U(03].] 错误； 第四章单元学能测评 C(X),f(x)=log1(2-x)-log(x+4)=log1[(2-x)· 1C[函数fx)-兰-为减函数，由f2=2-1= 巧影：-log(c+4)=log1(x十4) (x十4)]=log1(-x2-2x+8),对于函数y=一x2-2x十 1>0,f(4)=1-log4=-1<0,可得f(2)f(4)<0,所以由 8,其在[一1,2)上单调递减，则由复合函数单调性的性质可得 零点存在定理可知函数f(x)=4一1g2x的零点在区间 f(x)-log1(-x2-2x+8)在[-1,2)上单调递增，C错误； (2,4)内.] D(/),f(-1+x)-f(-1-x)=log1(3-x)-log:(x+ 2.C[,f(x)=a-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 3)-[log1(3+x)-log(3-x)]=-log(3-x)-log2(x+ (2,2),m=n=2,g(x)=2-2,∴g(x)为诚函 3)十l0g(3+x)+log(3一x)=0, 数，且图象过点(0,1)，(1,0)，大致图象如图所示，∴.函数 即f(-1+x)=f(-1-x), g(x)的图象不经过第三象限.] 又x∈（一4,2），故函数f(x)的图象关于直线x=一1对称， 66第四章指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二） 重点和难点 课标要求 重点：函数零点与方程解的关系，函数零，点存在定理 1,理解函数零点的概念和它与方程的根、函 的应用，用二分法求方程近似解的思路与步 数图象与x轴交，点的关系 骤，用函敏建立数学模型解决实际问题的基本 2.掌握函数零，点的求法及个数的判断。 过程 3.了解二分法及其应用。 难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近 4,理解函数在实际问题中的应用，并能建立 似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决 函数模型」 实际问题 必备知识梳理 基础梳理 知识点（① 函数的零点 1.函数零点的概念 明概念淘 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫作 (1)函数的零点是实数，当 函数y=f(x)的零点.明题多 、卵y=0时自变量的值， 自变量取该值时，其函数值等于 2.函数零点与方程解的联系 零。有时我们也把一个函数的困 象与工轴交点的横坐标叫作函 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)的图象与x轴有公 数的零点 共点台函数y=f(x)有零点.更方 (2)并不是所有的函数都有 3.基本初等函数的零点 零点，如y=1,y=x2十1就没 函数 零点及个数 图象 有零点 (3)若函数y=f(x)有零，点， 一次函数 y=kx十b(k≠0) 个零点，日 t/k>0 则零点一定在函数定义城内. 反比例函数 y=k≠0 无零点 记方法回 x 函数零点的求法 两个零点，一b士酒 ya>0 (1)代数法：求方程f(x)□ △>0 2a 0的实数根 二次函数 (2)几何法：对于不能用公 y=ax2+bx+c △=0 个学点：一品 式法求根的方程或不易求得实 (a≠0) 数根的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利 △<0 无零点 1Ua>0 用函数的性质找出零点。 167 用重难点手册高中数学必修第一册RJA 续表 函数 零点及个数 图象 指数函数 y=a* 无零点 (a>0且a≠1) 对数函数 y=log.x 一个零点，1 (a>0且a≠1) a>0 一个零点，0 幂函数 y=x" a≤0 无零点 知识点②函数零点存在定理 1.零点存在定理的定义 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的 曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内 至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的解. 2.零点存在定理的几何意义 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x),且曲线的始 点(a,f(a)与终点(b,f(b)分别在x轴的两侧，则连续曲线与 x轴至少有一个交点. (1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足： 敲黑板问 ①函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线； 这两个条件缺一不可.可从 ②f(a)f(b)<0.◆敲票题 函数y=来理解，易知代一1D: (2)存在性：零点存在定理只能判断出零点的存在性，但不能 f(1)=(-1)×1<0,但显然 判断出零点的个数.如图1、图2，虽然都有f(a)f(b)<0,但图1 中的函数在区间(a,b)内有4个零点，图2中的函数在区间(a,b) y=上在（一1,1）内没有家点 内仅有1个零点， y 6 图1 图2 图3 (3)零点存在定理是不可逆的.虽然由f(a)f(b)<0可以推 出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点，但是，已知函数y= 168 第四章指数函数与对数函数雏 f(x)在区间(a,b)内存在零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.如 图3，虽然在区间(a,b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (4)唯一性：如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个x=c也就是方程f(x)=0的根. 3.函数零点的性质 如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号 巧总结为 零点，如图1中，xo,x1,x2都是变号零点；如果没有穿过x轴，则 对于任意函数y=∫(x), 称这样的零点为不变号零点，如图2中，二次函数y=x2有一个 只要它的图象是连续不断的， 不变号零点（或叫二重零点）. 则有： (1)当它的图象通过零点且 4 穿过x轴时，零点两侧的函数 值异号 (2)相尔两个零点之间的所 有西数值保持同号。 图1 图2 ●巧总围过 知识点③二分法 1.二分法的定义 一般地，对于图象在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的 方法叫作二分法。 2.区间的中点 ”区间的中点是数，面不是点 一般地，称x二a2名为区间(a,b)的中点 3.用二分法求方程近似解的基本思路◆吧方 记方法回 如果函数y=f(x)的图象是连续的，并且f(a)与f(b)的符 开始 号相反，则存在一个根在a与b之间，如图1所示. 定又/可 基本方法：首先找一个包含根的区间，然后将包含根的区间多 偷入eab 次缩短至原区间的一半，直至根落在要求的区间内. f(b】 afe)0香 +b1 是 =aa= f( (a a-< a=e 图1 图2 是 /输出解r=a 用中间数“号护去缩短区间(a,6)的一半，若x=“士中 “2不是方 体果 169 重难点手册高中数学必修第一册RJA。 程的根，则两个区间(。，士产）和e士b)必有一个包含方程的 作比较回 “精确度”与“精确到”的区别 根如果fa)<0,f士）>0，我们便知道区间。，士）包含 精确度：近似值误差不超过 某个数，就说它的精确度是多 根，如图2所示.不断重复相似步骤，根最终落在要求的区间内.即 少，即设x为准确值，x'为x的 达到精确度e,要求|a一b<e,否则重复以上步骤.◆作颦 一个近似值，若|x一x<e,则 知识点4几种常见的函数模型 x'是精确度为e的x的一个近 似值，精确度简称精度 精确到：按四舍五入的原则 一次函数模型 「(x)=kx十b(k,b为常数，≠0).正比例函数模型 ∫(x)=kx(k为常数，k≠0)是一次函数模型的特殊情况 得到准确值x的近似值x',x 的最后一位有效数字在某一数 反比例函数模型 f(x)=点(k为常数，k≠0) 位，就说精确到该数位.如：π一 二次函数模型 f(x)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 3.1415926,若取3位有效数 指数型函数模型 f(x)=ab+c(a,b,c为常数，a≠0，b>0,b≠1) 字，则x≈314，精确到0.01（即 百分位)：若取5位有效数宇，则 对数型函数模型 f(x)=mlog.x十n(m,n,a为常数，m≠0，a>0,a≠1) π3.1416，精确到0.0001（即 幂型函数模型 f(x)=ax"十b(a,b,n为常数，a≠0，n≠1) 万分位). 对勾函数模型 fx)=工十(k为常数，且>0) x 巧总结画 这个模型实质是以上两个或两个以上函数的综合，应用 分段函数模型 利用已知函数模型解决 十分广泛◆巧德结 实际问题的一般思路 重难拓展 (1)利用待定系数法求出已 知函数模型中的参数值」 重难点①一元二次方程根的分布情况 (2)验证问题中的数据与所 例①[回归教材P155T7]设函数f(x)=a.x2+bx+c(a>0, 提供的数学模型是否吻合。 (3)利用求得的函，数模型解 b,c∈R),且f(1)=- 求证：函数f(x)在(0,2)内至少有-个 决实际问题 零点 证明方法-国为f1)=一受，所以3a十2+2c=0. 因为a>0,所以f1)=-受<0， 当c>0时，f(0)=c>0.所以，函数f(x)在(0,1)内至少有一个零，点： 当c≤0时，f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+a-c=a-c>0, 所以，函数f(x)在(1,2)内至少有一个零点. 综上所述，函数f(x)在(0,2)内至少有一个零，点. 方法二国为了)=-号，所以3a十2b+2c=0 因为a>0,所以f1)=-受<0， 又因为f(0)+f(2)=4a+2b+2c=(3a+2b+2c)+a=a>0, 170 第四章指数函数与对数函数雏 所以f(0)与f(2)中至少有一个大于0.故函数f(x)在(0,2)内至少有 一个零点 保挖教材 一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程az2十bx+c=0(a,b,c∈R,且a>0)的 两个实数根，则x1,x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如 下表所示(m,n,p为常数，且m<n<p. 根的分布 图象 满足的条件 △≥0， 两根都小于m 2a<m, f(m)>0 △≥0， 2 两根都大于m b- 2a>m, f(m)>0 一极大于m,一根小 f(m)<0 敲黑板) 于m (1)对于左栏第6种情形。 △≥0， 很多同学会有疑问：仅二<0就 a b m<a< 可以满足一元二次方程ax”十 x1x2∈(m,n） f(m)>0, bx十c=0恰有一正根和一负根 f(m)>0 吗？难道不需要满足△>0吗？ m<x1<n<x1<p(两 f(m)>0, 事实上，我们不难发现，当二<0 5 根分别位于m与，n f(n)<0, 时，ac<0,所以-4ac>0,△= 与p之间) f(p)>0 b2-4ac>b2≥0.也就是说，当 台<0时，d必城是大于0的 两极一正一负 ∠0 (2)对于左栏第7种情形， a 需要特珠说明的是，“在(m,n) 内恰有一根”不包含图1这种情 况.因为这种情况表示有两个相 f(m)f(n)<0,并检验 在(m,)内恰有一根 等的根，而不是恰有一根 f(m)f(n)=0 敲黑板龙 0 类似地，可得到一元二次方程ax2十bx十c=0(a<0)根的分 图1 布情况. 171 铺重难点手册高中数学必修第一册RJA 例2（多选）已知f(x)=|x2一1|，关于x的方程[f(x)] 另外，为什么要验证f(m)· f(x)十k=0,则下列说法正确的是(). f(n)=0的情况？因为f(m)· f(n)=0的情形有可能满足条 A.存在实数k,使得方程恰有3个不同的实数解 件，如图2、图3. B.存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数解 4 4 C.存在实数k,使得方程恰有5个不同的实数解 D.存在实数k,使得方程恰有8个不同的实数解 解析(1)令t=f(x)=|x2-11(t≥0)，则原方程可化为t2-t十k=0. 图2 图3 作出f(x)=|x2一1的图象如图1所示，结合图象可知： 还要区分“在(m,n)内恰有 ①当t>1或t=0时，方程t=x2一1有2个不同的实数解： 一根”与“在(m,n)内恰有一零 ②当t=1时，方程t=x2-1有3个不同的实数解： 点”的不同.后者包含了图1这 ③当0<1<1时，方程t=|x2一1有4个不同的实数解。 种情况，即要检验△=0这种 情况. -10 图1 图2 (2)作出函数y=t2一t(1≥0)的图象如图2所示. ①当一>0，即k<0时，方程一k=t2-t有1个实数解t1,且t1>1: ②当一k=0,即k=0时，方程一k=t2一t有2个不同的实数解t2,ta (t2<ta),则t2=0,tg=1: ③当-}<-<0，即0<k<时，方程-k=2-:有2个不同的实 数解14s,,),则0，<号，<1； ④当-=一子，即友=时，方程-专-：有1个实载解，且= 回事-<一子即>时，方程-表=-：漫有实数解 综合(1)(2)可知， 当k<0时，原方程有2个不同的实数解： 当k=0时，原方程有5个不同的实数解； 当0k<时，原方程有8个不同的实数解： 当k=寻时，原方程有4个不同的实数解： 当k>时，原方程没有实数解。 所以BCD正确. 答案BCD 172 第四章指数函数与对数函数雏 归纳总结 该题改编自湖北卷，看似以二次函数为载体研究函数零点存在定理， 实则考查了一元二次方程根的分布，一方面有助于进一步学习二次函致， 另一方面也能加深对利用图象研究函数零点相关知识的理解。 04464444000**026066440444444444040620 培优突破 突破点①复合函数的零点问题 对于y=f(f(x),y=f(g(x)这类复合函数的零点问题， 一般采用换元法来求解，可设内层函数为t,将一个双层的复合函 数零点问题转化为两个单层的函数零点问题来处理 2+1,x0, 例③(2025·重庆永川中学联考)设函数f(x)= llg xl,x>0, 若关于x的方程f2(x)一af(x)十2=0恰有6个不同的实数解， 则实数a的取值范围为 2+1,x0, 解析方法一由题意，作出函数f(x)= 的大致图象，如图1 lgzl,x>0 令f(x)=t,:f(x)一af(x)十2=0恰有6个不同的实数解， 生换元法，转化为一元二次方程实数极问思 .问题转化为g(t)=t2一t十2=0在区间(1,2]上有两个不同的实 数解， △=a2-8>0, 1<2 解得22<a<3, g(1)=3-a>0, g(2)=6-2a≥0， (一元二次方程根的分布问题见“重难点1”) ∴，实数a的取值范图为(2√2,3). 1y4 1.3)(2,3=a 图1 图2 方法二作出函数f(x)的大致图象，如图1. 令∫(x)=t,则原方程转化为t2-at十2=0，显然t=0时不合题意，参 2 变分离可得a=t十 作出y=1十的大致图象，如图2 因为原方程有6个不同的实数根，则t2一at+2=0在(1,2]上应有两个 173 重难点手册高中数学必修第一册RJA 不相等的实教根，所以只需求出@=1十二在(1,2]上有两个不等根时a的 取值范周，易知时均画数y=十是在1,2]上的值或为[2反，3，又a=2,厄 时a=1十二只有一个根，所以实数a的取值范围为(22,3》. 答案(22,3). 变式0已知函数f(x) -,x0, 则方程f(2x2+x) x3+3,x0, a(a>2)的根的个数不可能为( A.3 B.4 C.5 D.6 1101113011101111110111331133 关键能力提升 1110101131111111131 题型（①函数零点的求法与判断 (2)几何法：若方程「(x)=0无法求解，可以 函数f(x)在区间[a,b]上的零点可能出 根据函数y=∫(x)的性质及图象求出零点.例如， 现的三种情况： 求在R上单调递减的奇函数f(x)的零点.因为奇 (1)有唯一零点 函数y=f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇 此时f(x)在[a,b]上的图象与x轴有唯 函数的性质可知f(0)=0.因为y=∫(x)是定义在 R上的减函数，所以不存在其他的x使∫(x)=0, 一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下条件： 从而y=f(x)的零，点是0. ①图象是连续不断的一条曲线； ②f(a)f(b)<0: 例④(2024·北京顺义区高三期末)若函 ③f(x)在[a,b]上是单调函数. e,x0, 数f(x)= 则函数y=f(x)一1 (2)有多个零点 x2-1,x>0, 此时f(x)在[a,b]上的图象多次与x轴 的零点是 相交。 解析先令y=f(x)一1等于0，再根据分段函数 (3)无零点 分情况求解.令y=f(x)-1=0,则f(x)=1. 有以下几种情况： 当x≤0时，f(x)=e=1,解得x=0: ①f(x)在[a,b]上的图象不是连续不断 当x>0时，f(x)=x2-1=1,解得x=√2（负值 的，如y=是在[-1,1止无零点4 舍去). 综上，函数y=f(x)一1的零点是0和√2 ②f(x)在[a,b]上的最小（大）值大（小） 答案0和√2. 于零，如y=(x+1)2一1在[1,3]上无零点 题型②判断函数零点所在的大致区间 方法归钠 确定函数f(x)零点所在区间的常用 求函数的零点的方法 方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)= (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解 0,它的实数解就是函数y=∫(x)的零点. 时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定 174 第四章指数函数与对数函数辑 区间上 题型③用函数零点求参数 (2)利用函数零点存在定理：首先看函数 例6已知a是实数，函数f(x)=2|x一1 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再 十x一a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点， 看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y= 则实数a的取值范围是 f(x)在区间(a,b)内必有零点. 思维过程 (3)数形结合法：通过画函数图象，看其与 把函数f(x)的两个零，点问题转化为函数y= x轴在给定区间上是否有交点， 2|x一1十x与y=a的图象有且仅有两个交点的 例6方程(》 =x 的根所在区间是 问题，画出两个函数的图象，然后利用数形结合思 想求出参数a的范固。 解析函数f(zx)=2x一1十x一a有且仅有两 A导 B(侵，引 个零，点，即函数y=2x一1|十x的图象与直线y=a c() no》 有且仅有两个交点 分别作出函数y=2x-1十x与y=a的图象， 解折构造画鼓f)-(侵》广-x, 如图所示 (物造函数，将方程根的同超精变为西数零点问题，以便利 /y=2x-1+x 用函数零点存在定理) y=a 易知函数f(x)在R上单调递减，且函数f(x)的 图象是一条连续不断的曲线， -3-2-10123元 易知fo)-()°-0=1>0，f(得)=() 由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同 （)>分)=（份）-（侵）<o. 的交点， 故实数a的取值范固是(1，十∞. 测f3)r(号)<o, 答秦(1，十∞). 例7(2024·湖北孝感高级中学期中)函 故函数∫x)的零点所在的区间为（号，2）， 数f)=a-2x+1,若f)在区间[号，司 即方程（号）厂=主的报x属于区同（传，号》 内有零点，则实数a的取值范围为 答案C 解析f(x)=ax2一2x+1=0, 变式0已知x是函数f(x)=2十1-—王 可得a=一 的一个零点.若x1∈(1，xo),x2∈(x0,十∞)， 若f)在[2引内有点， 则(). A.f(x1)<0,f(x2)<0 则f)=0在区网[之司引内有解 B.f(x1)<0,f(x2)>0 当-r<00<时， Cf(x1)>0,f(x2)0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 可得a=+0, x 175 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 所以实数a的取值范围为（一o∞，0]. 归纳总结 答案(-∞，0]. (1)求a(n∈N',n≥2，a≥0)的近似值，一般 归纳总结 构造函数f(x)=x"一a,通过求函数的零点的近似 注意运用转化的思想：函数y=∫(x)在区间 值而得到. 117 (2)用二分法求函数零点的近似值的步骤往往 22 内有零点，即方程a.x2-2x十1=0→a= 比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表 +2在 11 22 内有解，转化为求函数y= 示逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数 + 的值域即可， 轴来表示这一过程。 变式④如果函数f(x)=logx十x一3的 变式3函数f(x)=lgx 的零 一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的 点个数为( ) 参考数据如下： A.3 B.0 C.1 D.2 f(2)=-0.3691 f(2.5)=0.3340 题型④ 用二分法求方程的近似解（或 f(2.25)=-0.0119 f(2.375)=0.1624 函数零点的近似值) f(2.3125)=0.0756 f(2.28125)=0.0319 例⑧求3的近似值（精确度为0.1）. 那么方程log3x十x一3=0的零点一个近 思维过程.. 似值（精确度为0.1）为( 求3的近似值可转化为求函数f(x)-x3一3 的零点的近似值，可用二分法求得 A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 题型⑤函数模型的应用 解析令3=x,则x3=3;令f(x)=x3-3,则 例9[教材P152例6改编]科技创新在 5就是函数f(x)=x3-3的零点.因为f(1)=-2<0, f(2)=5>0,所以可取初始区间(1,2)，用二分法计 经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实 算.列表如下： 现9000万元的投资收益目标，准备制定一个 中点函数 激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到 端点（中点） 区间 的近似值 3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 f(1)=-2<0: y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增 f(2)=5>0 (1,2) 加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金 1+2=-1.5 x1= f(x1)=0.375>0 (1,1.5) 2 总数不超过投资收益的20%. 1中51.5 f(x:)≈一1,047 (1.25,1.5) (1)现有三个奖励函数模型：①y=0.03x十 2 0 8;②y=0.8+200;③y=100log20x+50.试 125+1.5 2 f(x1)≈-0.4<0 (1.375,1.5) 分析这三个函数模型是否符合公司要求， =1.375 (2)根据(1)中符合公司要求的函数模型， x4=1375+1.5 f(x4)≈-0.03 2 (1.4375,1.5) 要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少 =1.4375 <0 为多少万元？ 由于11.5-1.43751=0.0625<0.1， 解析(1)根据题意可知，符合公司要求的函数在 所以3的近似值可取为1.4375. [3000,9000]上单调递增，且对任意x∈[3000， 176