第3章 函数的概念与性质 单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第三章函数的概念与性质 第三章单元学能测评 考试时长：120分钟试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 为m,则M+m=( 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.0 B.2 C.4 D.8 是符合题目要求的) 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y) 1.幂函数f(x)=(m2一m一1)xm+2-3在区间 f(x)+f(y)+2,f(1)=2,且当x>0时，f(x) (0,十c∞)上单调递增，且a十b>0,则f(a)+ >-2,则不等式f(x2+x)+f(1一2x)>8的 f(b)的值(). 解集为( ) A恒大于0 B.恒小于0 A.{xx<-2或x>1} C.等于0 D.无法判断 B.{xx<-1或x>2) 2.从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然 C.{x|-1<x<2} 后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用 D.{x-2<x<1) 水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完 7.定义在R上的函数f(x)若满足： 第飞次后，前及次共倒出纯酒精x升，倒完第 ①对任意x1x2(x1≠x2),都有(x1一x2)[f(x1） k十1次后，前十1次共倒出纯酒精f(x)升，则 -f(x2)]<0; ②对任意x,都有f(a+x)+f(a一x)=2b,则 f(x)的解析式是( 称函数f(x)是以(a,b)为中心的“中心捺函 Afx)-音x+2) Bfx)=x+2 数”.已知函数y=f(x一1)是以(1,0)为中心的 cf)=号x+2 Df6)- “中心捺函数” 3.已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意 若f-m)+f2m2-2mn)≥0，则n牛n的 x∈R,都有f(f(x)一2x)=3,则f(3)的值等 取值范围为( ). 于(. A.[2,4] B哈引 A.3 B.7 C.9 D.11 4.已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若对 c哈司 n层时 Hx1,x2∈(0，十∞)，当x1>x2时，都有(x1一 8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之 -<0,则不等式+u 一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高 斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最 +1)>4的解集为( 大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[一2.1] A(-3,1) =一3，[3.1]=3.已知定义域为R的函数 B.(-3,-1)U(-1,1) f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时， C.(-∞，-1)U(-1,1) x-x2,x∈[0,1)， D.(-0∞，-3)U(1,+o∞) f(x)= 若x∈[4,6)时， x-[x]x∈[1,2)， 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，设函数 fx)-4十1恒成立，则实数t的取值范围 g)=2z++f的最大值为M,最小值 x2+16 是(). 39 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, A.[-1,0)U[4,+o∞) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） B.(-1,0)U(4,+∞) 12.设f(x)是定义在R上的函数，且满足对任意 C.(-∞，-1]U(0,4] x,y,等式f(2y-x)=-2f(x)+3y(4x-y D.(-o∞，-1)U(0,4] +3)恒成立，则f(x)的解析式为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 13.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数， 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 有同学发现可以将其推广为：函数y一∫(x)的 分，有选错的得0分) 图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条 9.下列结论正确的是( 件是函数y=f(x十a)一b为奇函数.根据以 A若f)-背是奇函数，则必有a≠0且 上结论，函数fx)-了-，则f)的对 b=0 称中心是 :若n为正整数，则f(一n)十 B.f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时， f(-n+1)+f(-n+2)+…+f(0)+f(1) f(x)=x2+3x,则当x<0时，f(x)=x2-3x ++f(n+2)= C函数y3x乙二的单调递减区间是(-○，号U 14.已知f(x)=-x2+2|x|,若关于x的方程 [f(x)]2+mf(x)十n=0(m,n∈R)恰好有 (G,+∞) 个互不相等的实根，则实数m的取值范围为 D.若f(x)在R上是增函数，且a=m-1,b= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文 m2,则f(a)+f(-b)<f(-a)+f(b) 字说明、证明过程或演算步骤) 10.设a∈R,f(x)=x(a.x+1)l,下列四个命题 中，正确的是(). 15.13分已知函数fr)=3二匹(a≠1D. a-1 A当a>0时f)的单调递增区间是(-召， (1)若a>0,求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a ）和0，+o∞) 的取值范围。 且当a<0时fx)的图象与直线y=一有 两个交点 C.f(x)在（一∞，0）内单调递减的充要条件是 a≤0 D.若f(x)的最小值是0，则a=0 11.定义域为R的函数f(x)满足f(1+2x)=4 f(1一2x),且函数g(x)-f(x)十2x的图象 关于直线x=2对称，则(). A.f(x)的图象关于点(1,2)对称 B.g(x)的图象关于点(1,2)对称 C.g(x+4)=g(x) D.若f(2)=1,则f(2024)=-4045 40 第三章函数的概念与性质通 16.(15分)已知定义域为[一2a,4a一2]的偶函数 17.(15分)为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴 f(x),当0≤x≤4a-2时，f(x)=-x十 趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗 3-x. 词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类 (1)求实数a的值及f(x)的解析式： 读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著” (2)解关于t的不等式f(t+1)<f(1一2t). 的阅读量f(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟) (0≤≤60)满足二次函数关系，部分数据如下 表所示： t 0 10 20 30 f() 0 2700 5200 7500 阅读“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时间 t(单位：分钟)(0≤t≤60)满足如图所示的关系 (各段图象均为线段) (1)请分别直接写出函数f(t)和g(t)的解析 式，并注明每部分t的范围. (2)在每天一小时的课外阅读活动中，小明如何 分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使 每天的阅读量最大，最大值是多少？ 1g字 11000 8000 0 4060/分钟 41 用重难点手册高中数学必修第一册RJA, 18.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个 19.(17分)已知函数f(x)的定义域是（一1,1）， 值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使得 f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖 f+f)=f(件》，且当ze（-10 函数” 时，f(x)>0. (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； （1)判断函数g(x)=是是否为“依赖函数”，并 (2)解不等式：f(2x-1)>f(x): 简要说明理由； (3)已知f(号）=1，gx)=x2+x+1,若对 (2若函数f)2女-x+号在定义域[m, vx∈[子引，3：c[-1,21,使得 n](m,n∈N+且m>1)上为“依赖函数”，求 m十n的值： f(x1)>g(x2)成立，求实数b的取值范围. (3)已知函数f(x)=(x-a)(a<号)，在定义 域[合个上为“依赖函数”若存在实数 zE[后小，使得对任意的：∈R不等式 f(x)≥一t2+st十8都成立，求实数s的取 值范围。 42同理，f(x)在(0，√a+ab一a)上单周递减， 则一2x十10，解得一3<x<一1. 故当x=√a+ab-一a时，即装人（√a十ab-a)克水后使 当x=一1时，(x十1)f(x十1)=04. 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(一1,1).] 装入水后的水杯的重心最低. 思维过程 第三章单元学能测评 化简条件中的不等式得到1f(1)<f(x:),构造 1.A[:幂函数f(x）=(m2一m-1)x2+m-1在区间 函数g(x)=xf(x),得到函数g(x)在(0，+∞)上的单调 m2一m一1=1， (0,+∞)上单调递增，∴. 解得m=2, 性，得到关于g(x)的不等式，转换为自变量不等式，求得在 m2+2m-3>0, (0,十©)上不等式解集.再由f(x)是奇函数以及奇偶性的 .fx)=x,∴f(x)在R上为奇函数 定义得到函数g(x)为偶函数，同理可求得在（一6©，0）上不 由a十b>0.得a>-b, 等式的解集，然后求并集即可得到不等式的解集 ,f(x)在R上为增函数， ∴.f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0恒成立.] 5C[(物凌高数h)-g)-2-16r士，粮据奇%性的度又 x十16 2.C[前k次共倒出了纯酒精x升， 可知(r)为寺函数，从而代人有()十h(r)m=0运幕即可) .第k次倒出后容器中含纯酒精(10一x)升，第(k十1)次倒 f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(一x)=一f(x), 出的纯酒精是9。·2升。 g(x=2+4)+x)_2x2+16x+32+f x2+16 x+16 二倒出第（质+1）次时，共倒出了纯酒精f(x)=x+10。. =2+16.x+f(r) 10 x2+16 2-言+2. 设h(x)=gr)-2=16x十fD,函数的定义域为R. x2+16 思维过程 a(-)=16-r)+f-2--16r-f)-16r+f 求出第k次例出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后 (-x)+16 x2+16 x°+16 可得第(k十1)次倒出的纯酒精的质量，然后可得到第（十 =一h(x),h(x)为奇函数 1)次共例出的纯酒精的质量， 则有h(.x)十h(x)m=0,即M-2十m-2=0, 所以M十m=4.] 3.B[,函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(.x)-2x)=3, 6.B[(由=(：一于)十r1并结合想意，利用单渊性的定义利断 .f(x)-2x为定值，设f(x)-2x=t,则f(x)=2x十1， f(x)在R上是增画数，利用就值法得f(3)=10,从而原不等式等价 ∴.f(t)=2t+t=3t,∴.3t=3,.t=1,.f(x)=2x+ 千f(x一-工+1)>f八3)，利用单调选增化为x2-x+1>3,解一元 1,∴f(3)=7.] 三次不等式而可得解) 思维过程 任取x1x:∈R,且I<x 根据函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(x)-2x) 因为f(x+y)=f(x)十f(y)+2, =3,易知f(x)一2x为定值，然后设f(x)一2x=t,得到 所以f(x:)=f(x:-x1)+x)=f(x2x)+f(x1)+2. f(x)=2.x十1，由f(1)=3求解 因为x>0时，f(x)>-2,所以f(x一x1)+2>0, 4B[由(x1-x:) 「f(x)_fx 所以f(.x1）-f(x)=-(f(.x:-x1)+2)<0, <0 L x:Ti 即f(x)<f(x). 得(x一x) [fx)-xfx2门<0， 所以f(x)在R上是增函数. 令x=y=1,所以f(2)=f1)+f1)+2=6, 因为x1一x:>0x1x>0, 令x=2,y=1,所以f(3)=f(2)+f(1)+2=10, 所以x1f(x1)-x:f(x:)<0,即x1f(x1)<x2f(xa). 不等式f(x2+x)+f(1-2x)>8等价于f(.x2+x)+f(1 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十∞)上单调递减. -2x)+2>10=f(3), 而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2), 所以f(x2+x+1-2x)>f(3). 则0<x十1<2，解得一1<x<1. 即f(x2-x+1)>f(3). 因为f(x)为R上的奇函数， 因为f(x)在R上是增函数， 所以g(-x)=一xf(-x)=xf(x)=g(x), 所以x2-x十1>3台x2一x-2>0,解得x<-1或x>2.] 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在（一o○，0）上单调递增，：7.C[襟据飞知不等式，结合岳数单裤性的定义T以利断出通数 g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=g(-2), (x)的单调性，再银据函数平移的性质，结合飞知定义可利所孟 46 食了)的奇偶性，录帝利用函数的单调性、奇偏性，结合基本不寻· 式进行求解的可) D),因为b-a=m-m+1=(m-号)广+是>0，所以 对任意xx(x1≠x),都有(x1一x2)儿f(x)一f(x)<0, b>a.又因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)<f(b),一b< 不妨设x1>x,由(x,一x)[f(x1)-f(x)]<0→f(.x) -a,所以f(-b)<f(-a),所以f(-b)+f(a)<f(-a) f(x:)<0→f(x1)<f(xe), +f(b).] 所以函数f(x)是R上的减函数 10.AC[(当山0A及山<)时，分别作出困象荠逐语利断为可) 函数y=∫(x一1)的图象向左平移一个单位长度变成函数 对于A,当a>0时，二次函数y=x(a.x+1)与x轴交于点 f(x)的图象， (0)和0.0 因为函数y=f(x一1)是以(1,0)为中心的中心捺函数”. 画出函数∫(x)的图象如下： 所以函数f(x)是以(0,0)为中心的“中心捺函数”， 因此函数f(x)是奇函数 由f(n2-m）+f(2m2-2m)≥0→f(n2-mm)≥ -f(2n2-2m)=f(2m1-2m2)→2-m2m-2m2→ n2-3mn+2m°≤0， a 2a 当m=0时，则有n=0,此时m没有意义： )的单调递增区间是（一，去）和0，十∞)，放A m十n 当m≠0时，由-3mu+2m≤0=（偏）广-0+2<0= 正确 对于B,当a<0时，二次函数y=x(ax+1)与x轴交于点 1 画出函数f(x)的图象如下： 由1品<22品+1长3 ≤1 3+1 2. 川 B.A[(山f(.r十2)=2f(r)得，岁E〔4，G)是rE[0,2)时函数前 值城的修，然后料用分联善数值城以液一元二次不等式慢成立季 解布可) 由f(x+2)-2f(x)可知，f(x+4)=2f(x+2)=4f(x), f:)的图象与直线y=一。有三个交点，放B不正确 f(4)=4f(0),f(6)=4f(2), 对于C,当a<0时，f(x)在（一∞，0）内单调递减： 所以，当x∈[4,6)时，对应值域就是x∈[0,2)的值域的4倍， 当a=0时，f(x)=|x在(-o,0)内单调递减，故C正确。 由分段两数的图象可得r∈0,1)时，值城为0，门x∈ 对于D,若f(x)的最小值是0，则a一0，a>0,a<0均可 以，故D不正确.] [1,2)时，值域为[0,1)， 11.ACD[由f(1+2x)=4-f(1-2x),则f(x)=4-f(2- 可知当x∈[0,2)时.f(x)的值域为[0,1)， x).所以f(x)+f(2-x)=4,所以f(x)的图象关于点 故x∈[4,6)时对应值域为[0,4). (1,2)对称，故选项A正确： 由于)-+1恒成立， 由f(x)+f(2-x)=4得[g(x)-2x]+[g(2-x) 可得-+1≥4，解得∈[-1,0U[4,+. 2(2-x)门=4，即g(x)十g(2-x)=8,所以g(x)的图象关 于点(1,4)对称，又因为函数g(x)=f(x)+2x的图象关 9.BD[A(×),因为∫(x)的定义域为R,由奇函数性质知 于直线x=2对称，则g(x)=g(4一x),所以g(4一x)十 f(0)=b=0,a∈R,事实上当a=b=0时，f(x)=0,既是奇 g(2-x)=8,所以g(2-x)+g(一x)=8,所以g(一x)= 函数也是偶函数 g(4一x),即g(x十)=g(x),所以g(x)是周期函数，且 B(V),当x<0时，-x>0,则f(-x)=(一x)-3x= 周期为T=4,故选项B错误，C正确： f(x),即f(x)=x2-3x, 若f(2)=1,且f(.x)的图象关于点(1,2)对称，所以f(0)= C(X).因为y-言十3所以函数y一的单调递 3,所以g(0)=f(0)+0=3,所以g(2024)=g(0)=3,所 以f(2024)=g(2024)-2×2024=一4045.故选项D 减区间是(-，)（兮，+） 正确.] 47 12.(x)=3x(x+1).[(x)是定义在R上的函数，且对 n=4112=0, 任意xy,f(2y-x)=-2f(x)十3y(4x一y十3)恒成立， 即一m=t1十t2=t>1,得m<一1： .令y=x,得f(2x-x)=-2f(x)+3x(4x-x+3).即 m2-4n>0. f(x)=-2f(x)+3.x(3x+3), 当t1=tg时，[f(x)]+mf(x)+n=0(m,n∈R)恰好有 .3f(x)=3x(3x+3), 三个互不相等的实根， .f(x)=3x(x+1).] 等价于f(x)与y=t,有三个不同的交点， a.-）: ,[(楼杨姓意可很通数f(r)= n=141:=0, x的时称中心为（仙，6），由于f(x十d)一b为奇盖数，代入化简布 由图可知，此时t1=t2=0,即 一m=t1十t:=0,得m=0. 可得其对释中心为(1，一兰)：利用时钟中心可知1十1) m2-4n=0, 综上，实数m的取值范围为m<一1或m=0. -十)=子分组计第可得一)+一十1)+一 故答案为m<-1或m=0.] +2)+…+f0)+/(1)++f0m+2)=m+6 15,(1)当a>0,a≠1时，由3-ar≥0得r≤3 设函数/x)=言-产的对称中心为a,6, 即两数)的定义城是（一，]， 根据题意可知f(x十a)一b为奇函数， (2)当a-1>0即a>1时，令t=3-a.r fr+a)-b-(r+a)-(r+a)-b-(a- 1 要使f(x)在(0,1]上是减函数，则函数1=3一ax在(0,1] 1 Dr+a-2ax+3a2-a-b为奇函数， 上为减函数， 即-a<0,并且3-4X1≥0，解得1<a≤3： a-1=0. a=1, 可得 解得 当a-1<0即a<1时，令1=3一ax 3a-a2-b=0, 2 b= 3 要使f(r)在(0,1门上是减函数，则函数t=3一ax在(0,1] 所以f)的对称中心是(1，一号） 上为增函数， 即-a>0,并且3>0，解得a<0. 即可知y=x+)+号为奇函数，所以了十1D+号 综上可知，所求实数a的取值范围是（一∞，0）U(1,3]. -x+D+号=0，即fc+1D+-x+D=合 4 16,(1)因为f(x)是定义域为[-2a,4a-2]的偶函数， 所以一2a+4a-2=0,解得a=1,则函数f(x)的定义域为 因此f(一n)十f(一n十1)+f(-n+2)++f(0)+ [-2,2], f(1)+…+f(n+2)=[f(-m)+f(n+2)]+[f(-n+ 又当0≤x≤4a-2时，f(x)=-x+3-x, 1)+f(n+1)]+…+Lf(0)+f(2]+f(1)= 3(n+1) 即当0≤x≤2时，f(x)=一x+√3一x, 2=_4n+6」 3 3， 令-2≤x<0,即0<-x≤2，f(-x)=x+√3+z, 所以f(-n)十f(-n+1)+f(-n+2)+…+f(0)十 :f(x)是偶函数，.f(x)=f(-x)=x十3+x, f++f+2》=] -x+√3-z,0≤r≤2， ∴.f(x)的解析式为f(x)= r十w√3十x,-2≤x<0 14.m<一1或m=0.[设方程r+十n=0的两根为t1,t (t1≤1）， (2)当0x2时，f(.x)=一x+/3-x, 当t1≠t2时，[(x)+mf(x)十n=0(m,n∈R)恰好有 因为函数y=一x,y=√3一F在[0,2]上都是减函数， 三个互不相等的实根， 所以函数f(x)在[0,2]上是减函数， 等价于fx)与y=1和y=1:共有三个不同的交点， 又函数f(x)是定义在[一2,2]上的偶函数，则f(一x)= 由图可知，此时有1=0,1：>1， f(x)=f(x), 所以f(1+1)<f(1-2),即f(1+1)<f(1-2), 一31≤1， (一2≤1+12. 所以-2≤1-21<2，即-2≤1<受 +1>1-2.a+1)>1-2). 48 -311, -31≤1. 故fm)fn)=1,即(m-1)n-1D=1, 1 <号解得0<1<1， 1 由n>n>1得(m一1)(n一1)=2， 2-21<0. 0<12. m-1=1. 1=2, 又m,n∈N,,所以 故m十n=5. 所以关于t的不等式f(1十1)<f(1-2:)的解集为(0,1门. 一1=2.解 n=3, 17.(1)因为f(0)=0,所以可设f(1)=at+M(a≠0). （3因a<号故x)=-a)在[号上单调递增， 代入(10,2700)与(30,7500)， 100a+10h=2700, a=-1 从面（传）0=1，即（号-a)'4-a)=1. 可得 解得 900a+306=7500, b=280. 进而（号-a)4-a)=1. 所以ft)=-t+2801(0≤1≤60)， 又令g(1)=k:(0≤1<40)， 解得a=1或a-号（含去）. 代人(40,8000)可得40k=8000,解得k=200, 所以g(u)=2001(0≤t<40). 从面存在x∈[告小，使得对任意的1∈R有不等式： 令g(t)=mt十n(40≤1≤60)， 1)≥-12十s·1十8都成立 代人(40,8000)，(60,11000). 故[(x-1)]≥-12+s·1十8，即9≥-12+s·1+8, 40m十n=8000. m=150, 整理得'一s·t+1≥0对任意的：∈R恒成立， 可得 解得 60m+n=11000, n=2000, 即方程一s·1十1=0无实根或有两个相等的实根， 所以g(1)=150M+2000(40≤1≤60)， 所以△=s2一4≤0，解得一2≤s≤2，即实数s的取值范围是 200r(0≤1<40)， [-2,2]. 所以g(1)= 1501+2000(40≤1≤60). 归纳总结 (2)设小明阅读经典名著的时间为1(0≤1≤60)分钟，则阅 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”一—明确“新 读古诗词的时间为(60一1)分钟，每天的阅读量为h(t), 定义”的条件、原理、方法、步骤和结论：(2)重视“举例”，利 当0≤60-1<40，即20<1≤60时， 用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例” h(1)=f(t)+g(60-t)=-12+280t+200(60-t)=-12+ 提供的解题方法和分类情况：(3)类比新定义中的概念、原 801+12000=-(1-40)2+13600. 理、方法，解决题中需要解决的问题。 所以当1=40时，h(t)有最大值13600： 19.(1)f(x)为奇函数，证明如下： 当40≤60-1≤60，即0≤1≤20时， (要列斯弯偶性，需造出「（一x)和「（十），观察发泥在析给等式 h(1)=f(1)+g(60-1)=-t+280t+150(60-1)+2000 中今y=一x师河) =-t2+1301+11000. 令y=-x可得f(x)+f(一x)=f(0), ① 因为h(t)的对称轴方程为t=65, 令x=y=0可得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 所以当0≤1≤20时，h(1)是增函数，且当1=20时，h(1)有 代人①得f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x) 最大值为13200. 故f(x)为奇函数. 因为13600>13200. (2)(看到f(…)>(…),越到分析f(r)的单调注，需相造(r,) 所以阅读量h(1)的最大值为13600，此时阅读经典名著的 一(x),并利断正魔，需样构造？注意到()为青盖数，两以可夏 时间为40分钟，阅读古诗词的时间为20分钟. 接符其调整为/)十（一），进而透用避千所输的等式合异) 设-1<x1<x<1,则fx1)-f(x)=f(1)+f(-x) 181gx)=上是“依赖函数”，对于函数的定义城肉任意， ② 若g(x1)·g(x)= 1 =1,则x1x2=1, TIT: 因为-1<x1<x2<1,所以x1一x:<0,-1<x1x<1, 对任意x1,都有唯一的x(x1的倒数)使得等式成立，故 1-x4>0,所以二2<0. 1一x1xg g(x)=工是“依赖函数” 另一方面，x1一x2十(1一x1x)=一x1x1十x1一x十1= （2因为m>1,fx)=立c-1护在[m,]上是严格增 (x1+1)(r:-1)>0,所以x1一x2>-(1-x1x2). 函数， 从而>1故-1K<0, 49 因为当：（-10时>0.所以f()》>0, 如图4，函数y=-一(，十子)在x∈[-一1,0)时单调递增。 代人@可得)-=（作）>0. 所以当=一1时、-（2：+是)取得最小值3，放>3： 所以f(x1)>f(x),故f(x)在(-1,1)上单调递减。 当x2=0时，经检验，不等式④即为0<一2，不成立： -1<2x-1<1 当x,∈(0,23时，不等式④等价于b<-(+2）: 所以f(2x一1)>f(x)X一1x<1, 解得0<r<1, 2x-1<x, 故不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0.1). (3)方法一（沙装“任意”知“各在”向个量词，可分别寄表，境容 -103 发是1)这一刚不舍来，放先专虚舍F这部分) 树4 图5 因为v,[专引a>e 如图5，当x,∈(0,2时，函数y=一（：+名)的最大值在 所以f(x1)m>g(x). 由2)可知当，∈[专】时，f✉)=f(信) =E处取得，为人恒+号)=-2E,所以<-22。 (由于是3E[-1,2],使g(x)-1,稀x在[-1,0)上可4 -/(）=-1所以gr)<-1 在(0，门上也行，故上还结黑壶水并事) 于是3x∈[-1,2]，使g(x2)<-1,所以gx)m<-1③ 综上所述，b的取值范围是（一o∞，-22）U(3,十o∞). (观官发是区()是对称轴运动的二涵数，数通过讨论对标轴与 第四章 指数函数与对数函数 区间[一1,2]的位置关承来求烂(x:)的最小值) 4.1指数 变武细综 [变式1门(1)原式=—6+(4-5)+5-4=-6. 图1 图2 图3 当-合>2.即6<-4时，如图1gx)=g2)=2十 (2)当1≤r<3时，√一xy+√(3-x了=1-x|+3 x=x-1十3-x=2:当x≥3时.√(1-x)+√(3-x) b·2+1=2b+5,代入③得26+5<-1， =|1-x十|3一x=x-1十x-3=2x-4. 解得b<一3，结合b<一4可得6<一4： (3)原式=m十n一m一，n<m<0,.m十n<0, 当-1K-台≤2.即-4长b≤2时，如图2.g()加= m-n>0,∴.原式=一(m十n)一(m一n)=一2m. g(-名)=(-台)广+6（名）+1=1-，代人③得1 0原武-哥+√-e)+×2=景 号-8+2=-3. 解得6<-22或b>22, ⑤原式=看。÷。。÷。。=a÷ 结合-≤b≤2可得-4≤b<-22. ÷0=a÷a)÷a)-a÷a÷a号 当-合<-1，即6>2时，如周3，g=g(-1)= a手÷a号-4-a-a (-1)2+b·(-1)+1=2-6,代入③得2-b<-1, [变式2]D[,(a“+a*)2=8→aw+am=6, 解得b>3,满足b>2. .(a-a)2=a"+aw-2=4. 综上所述，实数b的取值范围是（一©，一22）U(3,十∞). 又a>l,b>0,a>at,∴a"-a*=2.] 方法二（接岁法一得到"3r,∈[一1,2]，使：(，）-1，荆 十任：十1<一1”唇，境察发见此不等式中米数6容最分高出表， [变式3]令3”=2=6=11>0)，则3=1产，2=1产6=， 数也听考塘先分高出山再看，但这x:正前郁能款到，数需计论》 然有+行- g(x:)<-1x号+x1+1<-1br:<-x-2, ① 2 当，∈[-1,0时，不等式国等价于6>-（十） [度式41Dr()= 21+2-1, 50