4.2 指数函数-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

铺重难点手册高中数学必修第一册RJA, 4.2 指数函数 重点和难点 课标要求 1理解指数函数的概念. 重点：指数函数的概念、图象和性质 2.掌握指数函数的图象与性质 难点：指数函数概念及性质的理解 3.会求复合型指数函数的定义域，位城 4.了解指数菡数图象的基本变换」 食必备知识梳理 基础梳理 知识点①指数函数的概念 1,指数函数的定义 明概念衡 a的系数为1 +指数是自变量x,且xER 为什么要规定底数a>0, 般地，函数y=a(a>0,且a≠1)叫作指数函数， 且a≠1？ +底数a是大于0且不等于1的常量 (1)若a=0,则当x>0时 其中指数x是自变量，定义域是R.·明题念 a=0:当x≤0时，a无意义. 2.指数函数的结构特征 (2)若a<0,则对于x的某 (1)形如y=a.(2)底数a满足a>0,且a≠1.(3)指数是x. 些数值，可使a无意义.如y= 因此，指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是不是指数 (一2)产，对于x= 11 24…,函 函数关键看三点：①系数；②底数：③指数 数值不存在 如y=2(x∈N”),y=2+1,y=2·3,y=3+1等都不是 (3)若a=1,则对任意的 指数函数.函数y=ka(k≠0，a>0,且a≠1)称为指数型函数，y= x∈R,a=1是一个常量，没有 a(x∈N")称为正整数指数函数. 研究的必要性」 为了避免上述各种情况的 [说明]由于y=ar= ,因此y=a也是指数函数， 发生，所以规定a>0,且a≠1. 知识点2 指数函数的图象与性质 有此规定后，对任意的x∈R。 a都有意义，且a>0. 1.函数y=a'(a>0,且a≠1)的图象和性质 a>1 0a<1 Ay y=a 图象 (0.1 y= (0.1)y=1 136 第四章指数函数与对数函数 续表 敲黑板⊙ a>1 0<a<1 函数y=a'(a>0,且a≠1) 定义域 R◆酸吊振为 的定义域为什么是R? 因为指数的概念已经扩充 值域 (0,+∞) 到了实数，所以当a>0,且a≠1， 定点 图象过定点(0,1) 工是一个实数时，a表示一个 质单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 确定的实数，即a(a>0,且 函数值 当x>0时，a>1; 当x>0时，0<a'<1: a≠1)对任意实数x都有意义， 的变化 当x=0时，a'=1； 当x=0时，a'=1 因此指数函数y=a的定义城 情况 当x<0时，0<a2<1 当x<0时，a2>1 是R 提个醒问 2.函数y=a与y (a>0,且a≠1)的图象间的关系 如何准确把握指数函数的 图象与性质？ 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2:和y=(份》”的图 (1)当底数a大小不定时， 分“a>1”和“0<a<1”两种情 象，如图所示，经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称 形讨论。 ①当0<a<1时，x→十∞， y→0，函数y=a的图象是下 降的，即函数单调递减。a的值 ◆提个遭国 越小，递诚的速度越快 一般地，函数y=a与y=日)广 ②当a>1时，x→+∞， (a>0,且a≠1)的图象关于 y→十co,函数y=a的图象是 y轴对称 上升的，即函数单调递增.a的 值越大，适增的速度越快 [注意]根据函数y=a与y-(（侣》 (a>0,且a≠1)的图象 (2)底数变化决定指数函数 图象的变化 间的关系，可得“底数互为倒数，两指数函数图象关于y轴对称” 指数函数y=a的图象如 的结论 图所示，由指数函数y=a的图 重难拓展 象与x=1相交于点(1，a)可知： 重难点①指数函数图象的变换 ①在y轴右侧，图象从上 到下相应的底数由大变小 1.平移变换(p>0) ②在y轴左侧，图象从下 遵循“左加右减，上加下减”的规律，即 到上相应的底数由大变小 y=a'+g 如图中的底数的大小关系 ↑ 为0<a,<a,<1<a<a 移 长 y=a 左移g个 右移华个 y=a 单位长度 单位长度 y=a 个度 y=a-9 137 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 2.对称变换 记方法@ 例1(1)是由f(x)=2~ y=a 关于y轴 y=a' 对称 f(x-1)=21,则f(x一1)过 关于x轴 定点1，D不0，），图象始终 对称 关 在x轴上方，左边无限楼近x y--a y=-a 轴的负半轴 3.翻折变换 例1(2)中，首先确定为偶函 保留y轴右侧图象 数，然后画出x≥0，f(x)=2的 y=a* 并作其关于y轴的对称图形y=a一； 图象，再关于y轴对称，得出整 保留x轴上方图象 个函数的图象（有点像抛物线）， y=a-6(k>0》将轴下方图象折到销上方y=Q-kl, 例1(3)中，将f(x)=2的 例①利用函数f(x)=2的图象，作出下列各函数的图象： 图象向下平移1个单位长度，则 (1)f(x-1): (2)f(x): (3)f(x)-1; f(x)-1过定点(0,0)，且困象 (4)-f(x): (5)川f(x)一1.◆起方速@ 始终在直线y=一1的上方（需 解析利用指数函数y=2的图象及变换作图法可作出所要作的函数 画出虚线y=一1). 图象，其图象如图所示」 例1(4)中，先画出函数 y=f(x) f(x)的图象，再关于x轴对称， y=f(x-1) y=fx) 得到函数y=一f(x)的图象。 v=f(r) 例1(5)中，首先画出函数 ∫(x)一1的图象，再将x轴下 10 方的图象翻折到工轴上方，注意 (1) (2) 必须有虚线y=1,当x≤0时， y=f(t) x y |f(x)-1的图象始终在y=1 y=lfx)-1川 的下方，向左且无限接近直线 y)- y=1 (x) (3) 4 (5) H 关键能力提升 EHBT1EBA1IIIBBNIEEMMEEE1E111111031A01N0111111111111118B1B1011111111111111101 题型（①指数型函数的定义域 ∴.x≤0或x≥2. 我们把含有指数函数的复合函数称为指 定义域为{x|x≤0或x≥2. 数型函数 (2)y=2,x-1≠0，x≠1. 例☑求下列函数的定义域： 定义城为{x|x≠1. (1)y=3-2z; (2)y=2, (3)y=22-x-2 4°-16 Vx2-x-2 (3)y= x2-x-2≥0， x≤-1或x≥2， 42-16 解得 4-16≠0， x≠2. 解析(1)八y=3石，x-2x>≥0， .x≤-1或x>2 138 第四章指数函数与对数函数群 定义域为(-o∞，-1]U(2,十∞). 排除BD. 归纳总结 当x十b≥0时，即x≥-b,得y=a+"在[-b, 一般地，对于指数型复合函数的定义域，当指 十o)上单调递减。 数函数为外层函数（即y=a型函数）时，其定义 答案(1)C(2)C 城等于内层函数∫(x)的定义域；当指数函数为内 变式①(2025·湖北荆州中学高一模拟) 层函数时，则转化为指数不等式求解。 函数f(x)=a一1+3的图象一定过定点P,则 题型②指数型函数的图象及其应用 点P的坐标是 2.函数图象的应用 1.函数图象的判断 例④(2025·河南中原名校联考)若直线 例B)函数y=z(a>ID的大致图象 y=2a与函数y=|a-1+1(a>0,且a≠1) 为(). 的图象有两个公共点，则a的取值范围是 解析当α>1时，通过平移变换和翻折变换可得 如圈1所示的图象，则由图可知1<2弘<2，即< a<1,与a>1矛盾. (2)(2024·清华大学附中朝阳学校高 期中)函数y=az+b1(0<a<1,-1<b<0)的 大致图象为( 图1 图2 当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折变换可 B 得知图2所示的图象，则由图可知1<2a<2,即}< a<1,即为所求. 答案（ D 归纳总结 又根据a>1, 解析y=留-a,x<0.叉 (1)解答此题时，要注意底数的不确定性，因此 作图时要注意讨论 可知选C (2)根据条件确定直线y=2a与函数图象的位 (2)方法一因为0<a<1,所以y=a的图象 置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结 过第一、二象限，且是单调减函数，经过点(0,1).y= 果，其处理的过程体现了数形结合的思想. a的图象可看成是删去y=a函数y轴左侧的图 象，并将y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象得到 例5(2025·辽宁沈阳重点高中高一联考) 的.y=a+的图象可看成是把y=a的图象向右 已知a>0,且a≠1，f(x)=x2-a.当x∈ 平移一b(0<一b<1)个单位长度得到的. 方法二y=a+的图象关于直线x十b=0对 (-1,1D时，均有f(x)<2,则实数a的取值 称，因为一1<b<0,所以对称轴x=一b在y轴右侧，：范围是( 139 重难点手册高中数学必修第一册RJA, Ao,U[2,+∞) (2)(2025·安徽蚌埠二中高一检测)已知 a=0.8.7,b=0.8.9,c=1.208,则a,b,c的大 B)U.4 小关系是( ) A.b>a>c B.c>a>b c..)Ua.2] C.c>b>a D.a>b>c (3)(2025·河北衡水冀州中学高一月考) D.C4,+ 已知a= 解析利用数形姑合求解题中子（✉）<分，即 b,c的大小关系是( A.c<a<b B.a<b<c 2<a,x∈（-1,1)时恒成立.在同一平面直角 x2- C.b<a<c D.c<b<a 坐标系中作出画数g)=一-子gG)=a的图象， 解折6=25”=1c=(（份分)”=2， 如图所示，当a>1时，g(一1)=2，依题意，g(-1)= 则2a5<1<225,即c<b<a (2)指数函数y=0.8在R上单调递减， a1≥g(-1)=2,所以1<a≤2，当0<a<1时， ∴.1>0.847>0.8a9 ,指数函数y=1,2在R上单调递增， p1≥g1,即a≥2，所以2≤a<1. ,1.2a8>1.综上可得c>a>b. 9(r)=a(0<a<1)4y()=a(a>1) 是减函数， g(r)-r-j 而6-()>e=(得)，故c<b<a. 答案(1)C(2)B(3)D 答案C 归纳总结 变式2设f(x)=|3-1|,c<b<a,且 指数幂的大小比较问题的三种类型及解法 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成 底数相同， 利用指数函数的单 指数不同 调性来判断 立的是( ) 指数幂 利用底数不同的指 A.3≤3 B.3>3 的大小 底数不同， 指数相同 数函数的图象的变 C.3+3>2 D.3十3<2 比较 化规律来判断 题型③指数型函数的单调性及其应用 底数不同， 通过中间量来比较 指数不同 (常利用0和1作为 1.比较大小 中间量来比较大小) 例6(1)(2025·山西长治二中月考)设 2.解指数不等式 a=225,b=2.5°，c= ,则( 例日1)解不等式：(》<2 A.a>c>b B.c>a>b (2)已知(a2+a+2)r>(a2+a+2)1-x C.a>b>c D.b>a>c 求x的取值范围. 140 第四章指数函数与对数函数雄 单调递增区间是[2，十∞)， ∴原函数的单调递增区间为（一∞，1]，单调递减 ∴原不等式等价于22≤2」 区间为[2，十o∞) ,y=2在R上是增函数，2-x2≤1， x2≥1，即x≥1或x≤-1. 例9求函数y 3) -6) 一7的单 原不等式的解集是{xx≥1或x≤一1. 调区间 (2a+a+2=(a+2)°+子>1 思维过程 ∴y=(a2十a十2)产在R上是增函数. 利用换元法，设t 3) ,则有y=t2一6t-7, >1-红，解得>受 原函数的单调性就是上述两个西数复合的单调性 x的取值范国是女>》 解析设=（ ,因为x∈R,所以t>0. 0已知不等式，>份) mr十十《 且1=（得）广为R上的减函数， 又y=12一6t一7的图象开口向上，对称轴为t=3. 对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 其单调递增区间为(3，十∞)，单调递减区间为 (0,3)(注意>0)， 3.与指数函数有关的单调性问题 例8(2025·湖南浏阳一中高一月考) 由>3）}>3x<-1. 2+2x十5 (1)已知函数y ,求其单调区间： 由0<3→0<（）<3→>-1 /x2-3x+2 故原函数的单调递增区间为（一1，十∞），单调递 (2)求函数f(x) 的定义域 减区间为(-∞，一1). 和单调区间. 归纳总结 解析(1)设(x)=x2+2x+5=(x+1)2+44, 与指数函数有关的复合函数的单调性问题分 则t(x)的单调递减区间为（一0○，一1]，单调递增 为两类： 区间为[一1，十∞). (1)形如y=a/a(a>0且a≠1)的函数单调性： 令t=f(x),则y=af的单调性由y=a‘和 为减函数， :t=f(x)两函数在相应区间上的单调性来确定. 画数y(》 +2x+5 的单调递增区间为（一∞， (2)形如y=f(a)型的函数单调性： 令u=a,则y=f(a)的单调性由内层函数 一1]，单调递减区间为[一1，十∞). u=a与外层函数y=f(u)的单调性来确定，这两 (2)要使函数有意义，只需x2-3x+2>0, 种复合函数的单调性都要遵循“同增异减”的规律， 解得x≤1或x≥2， 还要注意“定义域优先”的原则。 画数fx)=(得》 x-3+2 的定义城为（一∞， 题型4指数函数的实际应用 1]U[2,+c∞). 例10[教材P113问题2改编]放射性核 令=-3+2,由y=( 为减函数， 素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初 又t=√x-3x+2的单调递减区间是(-o∞，1]，：始质量为Mo,质量M与时间t(单位：天)的函 141 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 数关系为M=M。· 2》 (其中五为常数)，若 2点≈M,X6*a.6M 锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约 答案D 为50天，那么质量为M。的锶89经过30天衰 变式④一种专门占据内存的计算机病 减后质量大约变为（参考数据：2.s≈1.516） 毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件 所占内存都不同程度地加大，造成磁盘空间的 A.0.72Ma B.0.70M 严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB,每 C.0.68M D.0.66M 3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分 解析由题意知，勰89半衰期（质量衰减一半所 钟后病毒所占内存为yKB. 用的时间)约为50天， 即2M≈M,·(侵 (1)求y关于x的函数解析式； ,则h≈50. (2)如果病毒占据内存不超过1GB(1GB= 所以质量为M。的银89经过30天衰减后， 210MB,1MB=210KB),计算机能够正常使 质量大约为M。·( =M。·(2)=M。· 用，求本次开机计算机能正常使用的时长。 核心素养聚焦 考向(1 指数函数的图象及其应用 考向2 指数函数的性质及其应用 例1☐（经典·全国Ⅲ卷）函数y= 例12 (2023·全国甲卷)已知函数f(x) 2x3 2十2=在[-6,6]上的图象大致为( =e-,i记a=f()，b=f(),c 》,则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 2x3 解析设y=f(x)= 2+2,则f(-x) 解析令g(x)=e 由g(-x)=g(x),可知g(x)为偶函数. 2(-x)3 2x3 2+2= 2+2=一f(x),所以f(x)是奇函 又周为g)-e-(日)》 ,令t=x2, 数，图象关于原点成中心对称，排除选项C 所以当x>0时，函数1=x2单调递增，则函数g(x) 又f(4)- 2×4 2+2>0,排除选项D. 在(0，十∞)上单调递减： 又f(6) 2×6 2+2≈7，排除选项A 当x<0时，函数1=x2单调递减，则函数g(x) 在（一∞，0）上单调递增. 答案B 因为f(x)=e-的图象可以由g(x)=e 考查内容 核心素养 高考难度 的图象向右平移1个单位长度得到， 考查指数型函数的图象及 直观想象 所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，十∞) ★★★☆☆ 其奇偶性 数据分析 上单调递减，且f(x)的图象关于直线x=1对称， 142 第四章指数函数与对数函数 所以f》-2-)】 所以f(x)=f(一x), 即re 因为1名>2>号 即ea-ar-e'=一ea-r十e*, 所以（慢）2-）<》 即e1-ar十ea-r=e十e, 所以a一1=士1，解得a=0(舍去)或a=2 所以f)<f)<,即6>c>a. 方法二（光速解）f)号g2。 答案A f(x)是偶函数，又y=x是奇函数， 例13(2023·全国乙卷)已知f(x)= 所以y=ea-1r一e是奇函数， 故a-1=1,即a=2. “一二1是偶函数，则a=( 答案D A.-2 B.-1 C.1 D.2 考查内容 核心素养 高考难度 解析方法一（通解）f(x)的定义域为{xx≠ 考查指数函数的单调性， 直观想象 ★★☆☆白 0},因为f(x)是偶函数， 奇偶性的应用 逻辑推理 143=(-0)×2 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 的.y=a产的图象过定点(0,1)，则f(x)=a+3的图象过 2」 定点(1,4).] [变式2]D[:c<b<a且f(c)>f(a)>f(b), 8a原式=1+×（传）-（品）产=1+日品- ∴c<0,a>0,b的正负不能确定，由c<b,得3<3，∴.A 2原式-（停）+。品+( 号-3+48 137 和B排除。 又c<0<a且f(c)>f(a), -号+10+品-3+ =100, .1-3>3-1→3+3<2.] 48 [变式3]（一3,5）.[根据指数函数的单调性得x2一(m十1)x+ (3)原式=0.41-1+(-2)4+23+0.1 m十4>0对任意x∈R恒成立， 兴+品++品提 所以△=(m十1)2-4(m十4)<0，解得-3<m<5.] [变式4](1)因为这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后 9.(1)将a立+a宁=3两边平方，得a十a1+2=9, 病毒所占内存是原来的2倍，所以x分钟后病毒所占内存为 即a十a1=7. (2)将上式两边平方，有a2+a+2=49, y=2(x>0. a2+a2=47. (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使 (3):a量+a量=(a量)+(a)y=(at+a量)(a-a 用，所以有2+”≤2，解得x≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. ·a克+a1)=3(a+a1-1)=3×(7-1)=18, 基础过美练 而。2+。=，原式-招号铝-8 1.C[由题意得2M,=M,·aax5,解得a=2,令M= 培优奥破练 1.(1)由x=a3+b2,得x-a3=b2, M则完M,=M·2a解得1=50.了 六2-2ax+a-x-ay=6T= 2.A[:不等式mx一n>0的解集为{xx<-2}, .-2m-n=0,即n十2m=0. （2)令a=A,b=B,则 又f(x)为指数函数，∴.b2+1=1, x=A1+3AB2,y=B3+3A2B, ∴.f(x)=a,a>0且a≠1， x+y=A+3AB*+3AB+B'=(A+B)', ∴.f(n)·[f(m)]=a"·(a")2=a+m=a°=1.] x-y=A3+3AB2-3AB-B3=(A-B)3 +b的图象过原点， (x+y)是+(x-y)是=(A+B)+(A-By= 所以fo)=a(号）”+6=a+b=0, 2A2+B)=2a号+6)=8. 又因为图象无限接近直线y=一1，但又不与该直线相交， 2a=70,a=702≠1. 所以y=一1是图象的一条渐近线，所以6=一1，所以a=1.] 同理可得6=70，=70. 4.A[:y=xa5是[0，十o∞)上的增函数， ∴0.65>0.45，即a>b:又y=0.4是R上的减函数， a.6.=702.703.70, ∴0.45>0.46，即b>c.∴a>b>c.] 即ace)-70 5.AB0[A(W),f(x)=a-(（日）广的定义域为R,且f(-x) 对+号+台k-0-xx7 =a-(日)=（日广-a=-fx),故fx)为奇 又a,b,c为正整数，且70≠1，a,b,c均不为1， 函数； .1<a≤b≤c,.a=2,b=5,c=7. 以0.C×f0)=a-(日)°=1-1=0，故方程f)=0 4.2指数函数 在R上有解： 变式加练 [变式1门(1,4).[f(x)=a一1+3的图象是由y=a的图象： D(),当a>1时，函数y=a在R上单调递增，y=(日) 52 在R上单调递减，故f(x)=a' (日)广在R上单调递增] 增函数一域通数=增岳数。 6.(1)由题意知f(x)的定义域为R, 2>1,01+1,fx)e(号)当fxe 若系数y一e为奇函数，则了0)-=0，解得a=, (←2,0)时，Gx)=[fx]=-1,当fx)e[0,2)时， 代人函数f(x)中验证可知f(x)=一f(一x),所以a=1. G(x)=[f(x)]=0,.G(x)的值域是{-1,0： (2)函数y=f(x)在R上单调递增，证明如下： 设x1<x2, CW),f(x)的定义域为R,f(-x)+f(x)= 则f(x1)-fx,)=2-a_2”-4=2a(2-2) 2 2 2+a2+a(2+a)(2+a) 1 因为x1<x,所以2<2，即2一2<0， 1+ 十号年2-1去-0，G为商函数： 且2+a>0,2+a>0, 1 DX),y=2在R上单调递增，y=1十2在R上单调 所以f(x1)一f(x)<0,即f(x1)<f(x2), 递减)-号-车-一号+中2在R上单调递减， 12 1 所以函数y=f(x)在R上单调递增。 综合提能练 即f(x)在R上是减函数.] 1.B[由f(x)对R上任意两个不相等的实数x1,x,不等式 :42.(答案不唯一)[f(x)=2满足24=2·2，即 (x1一x2)[f(x1)一f(x2)门<0恒成立，可知函数f(x)在R f(x1十x2)=f(x1)f(x2),满足①；当x∈R时，f(x)= 3a-20, 2>0,满足②：f(x)=2在定义域内单调递增，满足③.] 上单调递减，则0<a<1, 解得a<号， 5.(1)当m=1时，f(x)=45-21-1, (3a-2)×1+1>a', 令2=t>0,则f(x)=4一21-1可转化为y=t2-2t 所以实数。的取值范隔为[合，号)门 1(>0),即y=(t-1)2-2≥-2， .f(x)的值域为[-2，十∞). 易错提！ 研究分段函数的单调性不仅需要考虑每一段函数的单 (2)令t=2,x>1,t>2, 闲性，还应考虑在端点处的衔接情况. 则f(x)可转化为y=m-2t一m(t>2). ,t=2在(1，十∞)上单调递增， 2B[令g)=fx)-4= -3”-2x,定义域为R, .要使f(x)在(1，十∞)上单调递增， 则g(-x)=写-+2x=g-号+2红=-gx), 1 只需y=md2一21一m在(2，十o∞)上单调递增即可. ①当m=0时，y=一24在(2，十∞)上单调递减，不符合题意； 所以g(x)为奇函数， ②当m<0时，y=2一2一m的图象开口向下，不符合题意： 不等式f(a-6)+f(a)>8, m0, 等价于f(a-6)-4>-(f(a2)-40, ③当m>0时，要满足 解得m≥ 即g(a-6)>-g(a). 上∠2， 因为g(x)为奇函数，所以g(a-6)>g(-a2). 综上，实数m的取值范围是[十) 因为y=子y=-y=-2x均为减函数。 (3)由(1,0)是函数y=∫(x)的局部对称点，得3x∈R, 所以g(x)为减函数， f(1十x)+f(1-x)=0, 则a-6<-a2,解得-3<a<2.] 代人整理得2m(4"+41)-2(2+2)-m=0. 3Bc[A(X),G(-1)=[f(-1D]=[G]=0,G1) 令t=2+2,则≥2，当且仅当x=0时取等号， 则4"+4=(2+2)2-2=t2-2, [f]=[号]=-1，：GD≠G(-1D,G()不是 代人①式得2m2-24-5m=0,即m2=亏24-三 2L=2 偶函数； 53 当>2时，函数y=21和y=一5均单调递增， 即-单+m·2+1>-号， ② y-24-在[2，十o0)上单调递增。 (观家发现研容多分备，故可先将其分痛出来再所究) 不等式@等价于m·≥一多： .21- t 所以m≥2-3=2-3 行， ③ 2×2 “实数m的取值范围为(，] 从而对任意的x1∈[一2,1]，都有不等式③成立， 给优奥破练 故m） ④ 1[3o: [:f(x)=3+2m-1是定义在[-1,1]上的 因为函数y=2和y= 2市在x∈[一-2,1时都单调递增， 3 “倒戈函数”，.3x∈[-1,1]满足f(-xo)=一f(xo), 3 ∴.3+2m-1=-3-2m+1,∴4m=-3-3+2. 所以y=21 2六也单调递增， 构造函数g(x)=-3-3+2,x∈[-1,1]，令t=3, 故（一）=2-品-代入得m≥ 则[片]则gx)可转化为y=一是 -1+2, 所以实数m的取值范周是[？，十) 易知y=--4+2在[子]上单调递增，在[1,3]上单 4.3对数 调递减， 变式仰练 ye[音0小：∴-<4m<0,-<m<0.] [变式1门1)原式=lbg,35X50+2log122-1og,5-1=2. 14 2(1)当m=1时，f(x)=-45+2+1, (2)原式=(1g2+lg5)(1g2-lg2g5+lg5)+3lg21g5= 令t=2,则4=(22)=(2)2=2，f(x)=-2+1+1, lg2+lg5+2g2lg5=(lg2+lg5)2=1. 因为x∈[-2,1，所以2≤2≤2，故≤2≤2。 (3)原式=lg2(2lg2+lg5)+√(g√2-1)月 即1e[日，习]如图y=-+1+1在=2=处分别 =lg√2(1g2+lg5)+1-lg2 取得最小值、最大值， =lg√2+1-lg2=1. 1 [变式2]B[P-1og+log 11十iogi1og =logn 2+logu 3+logn 4+log 5 =log1(2×3×4×5) 所以ym=-2+2+1=-1,ym=-(2)++1=号 =logu 120. logm11-1<logm1201og1121-2,即1<P<2.] 故✉)的值坡是[-1，引- [变式3]由题意得1og(x-1)2-log(x十5)， .(x-1)2=x+5,即x2-3x-4=0. (2)(备件涉复双量湖不等式，可分别考老，：的部分不余来，于是 先考虚这部分) 解得x=一1或x=4. 3x2∈[-1,2]，使f(x1)≥g(x2),所以g(x2)m≤f(x1),① 经检验，x=一1不符合题意，放舍去； 由题意可知，8，)=-（侵） x=4是原方程的解. ,,原方程的解是x=4, 令u=2x3-4x2+3=2(x2-1)2+1,则g(x2)=- )广， [变式4]当a=1时，左边=右边=0. 因为y=一(2）广在R上单调递增，所以：最小时y也最小， 当af1时，logc+wa+log-)a=iog.c+b+iog.(c-b 而u=2(x2一1)2+1，所以当x2=1时，u取得最小值1， log.(c-b)+log.(c+log.[(c-b)(cb)]og.a log.(c+b)·log。(c-b) 1 1 loga logua 故gc,)=-(侵)'=-2代人D得f≥- log+b)a·logc-)a=2loge+ba·loge-ba,即等式成立. 54