4.1 指数-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 重点和难点】 课标要求 1.理解根式与指数暴的意义 重点：实数指数幂的运算及其性质 2.掌摄根式的化简. 难点：用有理数指数暴逼近无理数指数幂 3.掌握有理数指数幂的运算 用H目目国国用国 食必备知识梳理 目过日 基础抗理 知识点①根式的概念及性质 敲黑板。 1,n次方根的定义与性质 对于根式石，要注意以下 几点： 般地，如果x”=a,那么x叫作a的n次方根，其中n>1,且 定义 n∈N (1)m>1,且n∈N. (2)当H为大于1的奇数 正数α的偶次方根有两个，它们互为相反数，正，负偶次方根分别表 时，石对任意的实数：都有意义， 示为a,-a(n∈N,n为偶数，a>0) 它表示口在实数范国内唯一的一 负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义） 个n次方根，从而有(a)“=a. 性质 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一一个负数，都表示 (3)当”为大于1的属数 为a(n∈N,n>1,n为奇数，a∈R) 时，a只有当4≥0时才有意义， 0的任何次方根都是0，记作6=0(n∈N”,n>1) 当a<0时无意义，a(a≥0) 正数a的正n次方根叫作a的n次算术根(n∈N”,n>1) 表示a在实数范国内的一个 ◆蔽想板为 次方根，另一个是一板，从而 2.根式的定义与性质 有（士a)=a. 定义 当a有意义时，式子a叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数 作比较@ (10a*= a(n为奇数)， 与（派）的区别 性质 a(n为偶数)： (1)a是实数a"的n次 (2)(a)”=a(n∈N°，且n>1)作些变 方根，是一个恒有意义的式子， 知识点②分数指数幂和有理数指数幂 不受的奇偶限制，但这个式子 的值受n的奇偶限制.其算法是 1,整数指数幂与分数指数幂的概念 对a先乘方，后开方（都是n次） 整数指数幂 分数指数幂 结果不一定等于a,当n为奇数 正整数指数幂： 时，a=at当n为偶数时， 正数的正分数指数幂： a"=a·a·…·e(n∈N°) la.a0. n个 a"="am(a>0,m,n∈N”,n>1) a-lal- -a,a0. 130 第四章指数函数与对数函数 续表 (2)(a)”是实数a的n次 整数指数幂 分数指数幂 方根的n次幂，其中实数a的取 值由n的奇偶决定，其算法是对 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： a先开方，后乘方（都是n次）， a=1(m∈N) 1 a>0,m,n∈N°，n>1) Va" 结果恒等于a. 规定：0的0次方没有意义：非规定：0的正分数指数幂等于0：0的负分 敲黑板。 零整数的0次方都等于1 数指数幂没有意义◆随鼎根起 对分数指数幂概念的理解 (1)分数指数暴是指数概念 2.有理数指数幂的运算性质 的又一推广，分数指数琴。不 (1)aa‘=a+(a>0,r,s∈Q). (2)(a')'=ar(a>0,r,s∈Q). 能理解为”个。相乘，它是根式 (3)(ab)=ab'(a>0,b>0,r∈Q).◆野 的一种新的写法，在这样的规定 知识点③无理数指数幂和实数指数幂的概念 下，根式与分数指数暴是表示相 同意义的量，只是形式不同而已 1,无理数指数幂的意义 (2)正数的负分数指数幂在 般地，无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是一个确定的 有意义的情况下，总表示正数而 实数.这样，我们就将指数幂a(a>0)中指数x的取值范围从整 不是负数.把根式a化成分 数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数. 数指数暴的形式时，不要轻易对 2,实数指数幂的运算性质 严进行约分 (1)a'a'=a+(a>0,r,s∈R). (3)在保证相应的根式有意 (2)(a)'=as(a>0,r,s∈R). 义的前提下，貞数也存在分数指 (3)(ab)'=a'b(a>0,b>0,r∈R). 数器，如(-5)■/(-5)有 2644444414514444* 重难拓展 意义，但(-5)1=/(-5)批 重难点①指数幂运算中的常用公式 没有意义」 例0[回归教材P1072)]已知a2=3,求9+a产 a+a的值 拓视野) 以下运算性质，公式对于有 解析原式-（a十a)(a-a'a+a) =a-1+a-u 理数指数最仍然适用： a十a (1)a'÷a'=a(a>0,r x∈Q 保形教材 2(g）-8a>0.b> 指数幂运算中的常用公式 0,r∈Q). 一般地，常用的乘法公式有以下几个： (3)完全平方公式. (1)完金平方公式：(a-b)2=a2-2ab十b2,(a十b)=a+2ab十b: (4)平方差公式 (2)平方差公式：a”-b=(a-b)(a十b): (5)立方和、立方差公式 (3)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2): (4)立方和公式：a3十b3=(a十b)(a2-ab十b2): 敲黑板⊙ (5)完全立方公式：(a-b)3=a1-3ab+3ab-b3,(a+b)°=a3十 有些立方和，立方差公式不 3a2b十3ab”+b3.◆敲黑板s 易察凳到，如： 131 用重难点手册高中数学必修第一册RJA 重难点②分数指数幂和根式的化简、求值 a=(a) 在进行分数指数幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的 a=()(a- 形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能 :ab+): 地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求 a-b=(a-b)(a+ 值，达到化繁为简的目的。 abi+b). 例②用分数指数幂的形式表示下列各式，◆巧总结 巧总结 (1)Wa√aWaa (门)根式与分数指数幂互化 的关健是准确把握两种形式中 a? 相关数值的对应： (2) byavb3 (a>0,b>0). ①根指数一→分数指数的 分母： 解析(1)Nava ala ②被开方数（式）的指 数·→分数指数的分子 =√NVava=√aaa=aa (2)当根式为多重根式时， 要清楚哪个是被开方数，一般由 =a 里向外用分数指数暴依次写出。 (2)方法一（从里向外化） a'b a - 层-层 层》 方法二（从外向里化】 层层厚-（层）-层门 -倍门-).)·() =ab 132 第四章指数函数与对数函数崩 关键能力提升 题型①幂和根式的化简与求值 (3)原()'×(2)×（图） +101 5-2 1.在进行幂和根式的化简时，一般是先将 根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指 30+2)-× -10×(5+2)+103 2 2 数幂，尽可能地统一成分数指数幂的形式，再 十2= ×号-105-20+103+2=-16 4 利用幂的运算性质进行化简、求值和计算，以 达到化繁为简的目的。 变式①化简下列各式： 2.对于根式的计算结果，并不要求统一的 (1)9(-6)+W(W5-4)+(5-4): 表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示 (2)√(1-x)2+√(3-x)2(x≥1)： 若有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中 不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含 (3)m2+2mn+n -√m2-2mm十n2,其 有分母又含有负分数指数幂，即结果必须化为 中t<m<0: 最简形式 2 (4),2-27 -3 -16+2× 3.指数幂四则运算的顺序是先算乘方，再 算乘除，最后算加减，有括号时要先算括号里 (4)2: 面的 (5) Ja /a aa丽 例B(2025·宁夏银川一中高一检测)计算： a 3 ·√aT(a>0). 题型② 含附加条件的求值问题 例④(2024·山东临沂河东区高一期中) (2)/5-26+/7-43+√7-26 √/8-43； 1)已知x=2(5-5)n∈N,则(x+ 30.75×(5）)×6)+105 /1+x2)"的值为( ). A.3 B.4 7 c. D.5 2)1+(30 ）+16 2)已知2=5=-10，则层+ 解析(1)原式=(2)×(10)×(22)1× ) [(号)门=2×10×2×（号）=862 A.-22 B.22 (2)原式=√(2)+(3)-23X2 C、② 2 号 √22+(w3)2-2X2×√5+√(6)+1-2×6X1 解析0)：x=6-5), √(W6)+(2)-2X6×2=3-2+2-3+ 6-1-(6-2)=2-2-1+2=1. ∴x2-6-2+5) 133 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 1+x2=62+2+55)=6+5y (ar+byc)=1 +1+7)-[26-5)+26 由ax=by=c= 5)=6)=5 (2)由题意可得2=10°，5=10， 4=10,25=10产，两式相乘得100=10+号 ++)= 2+名=2 u b (ax'+by+c)=a+be (2+2)=2==2恒. 归纳总结 设辅助未知数是针对致学问题“层次性”的深 答案(1)D(2)B 刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基 变式2若a>1,b>0,且a十a6= 本问题的重要分析方法， 22,则a一ab的值为( ） 变式3设a,b,c都是正数，且3-2 A.6 B.2或-2 6,求证： 1. 11 a b C.-2 D.2 题型4与指数幂有关的综合应用 题型③幂的证明问题 例0(2025·江西南昌高三模拟)已知函 例固已知ax=y=c3,且上+1+ y 数f(x)= 5g)=之+x寸 ti-t 5 =1,求证：(ax2+by2+cz2)产=a+b+c (1)求证：f(x)在(0，十∞)上是增函数（已 思维过程 知y=x在R上是增函数)： 根据已知条件ax3=by8=cg3,设一个参数t, (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)一 用含t的式子表示a.x2+by2+cz”与a+b+ 5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x) c,从而找到(ax2+by2+c)与a+b+c之 和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一 间的关系 个等式，并加以证明. 证明(1)设x1>x2>0. 证明令a.x3=by=cz3=t, :y=x在R上是增函教，x>x. 则ax2=,by2=1c2=, y 又(x1x)>0, =t f(x1)-f(x) ar+w+e)-(任+号+） --+ ++. -x-x加+a)t>o 又+1+1=1， f(x)在(0，+∞)上是增函数 r y (2)经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9) 134 第四章指数函数与对数函数崩 5f(3)g(3)=0, 变就④已知函数f(x)= 22 由此猜想，当x≠0时，f(x2)一5f(x)g(x)=0. 2+22 证明如下： 1)求)（经）的值： f(x2)-5f(x)g(x) h- 2)求f+f(品)+f(8)++ 5 -(x-x)=0 f(照)+)的值 目a目目H 核心素养聚焦 i目HiH目目onnntnlnmnin目t 考向①指数幂的运算 ,则f(-》+f) 例☑（经典·重庆卷）若x>0,则(2x+ 解析因为厂(x)是定义在R上的奇函数， 3)(2x-3)-4x(x-x)= 所以f(0)=0. 又f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(x), 解斩(2x+3)2x-3)-4x(x-x) 所以f(x+1)=-f(1-x) 4x-3-4r+4=-23. 令x=0,得f(1)=-f(1),所以f(1)=0. 答案-23. (-）=(-8+2) 考查内容 核心素养 高考难度 =f(）=-）=-2. 考查幂的化简、乘法公式的 数学运算 运用 ★★☆女女 所以-）+f1)=-2. 考向②指数幂与其他知识的综合问题 答案一2. 例8（经典·四川卷玫编）已知函数f(x) 考查内容 核心素养 高考难度 是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R,都 综合考查指数幂的运算与 数学运算 ★★☆☆ 有f(x)=f(x+2).当0<x<1时，f(x)= 函数的性质 135因为当x∈(-1,0时，f>0,所以f(,)>0, 如图4，函数y=一(：十号)在x,∈[-1,0>时单调递增。 代A@可得u)-f,=(径)>0. 所以当x=-1时，-(+品）取得最小值3，故6>3： 所以f(x1)>f(x2),故f(x)在(-1,1)上单调递减， 当x2=0时，经检验，不等式④即为0<-2，不成立： -1<2x-1<1 当x,∈(0,2]时，不等式国等价于6<-（红，+， 所以f(2x-1)>fx) -1<x<1, 解得0<x<1, 2x-1<x, 故不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0,1). (3)方法一（涉装“任意”和“存在"两个量词，丁分剂考逸，观容 -10 发规fx1)这一附不舍泰，故先考起舍工1这部分) 图4 图5 因为v[日]a>8 如图5，当x∈(0,2]时，函数y=-(+号)的最大值在 所以f(x1)>g(xz), 由2)可知当∈[号，】时，f=(得） 4E处取得，为-人E+号)=-22，所以6-2吃. (由于是3x∈[-1,2]，使g(红)<-1，所1在[-1,0)上可4， -f(-3）=-1,所以gx)K-1, 在(0,2门上也行，故上连结果应张并集) 于是3x2∈[-1,2]，使g(x)<-1,所以gx,)<-1.③ 综上所述，b的取值范围是(-∞，-2√2)U(3,十o∞). (观参发规g(x)是对林轴速动的二次画数，教通建讨论对称轴与 第四章 指数函数与对数函数 区间[一1,2]的位置关果来参g(x:)的最小值) 4.1指数 =- 变式训练 x=2 图1 图2 [变式1](1)原式=-6+(4-5)+5-4=-6. 当-合>2，即6<-4时，知图1，g(x)=g(2)=十 (2)当1≤x<3时，√0-x)+√(3-x)=1-x+|3 x|=x-1+3-x=2:当x>3时，√1-x)+√(3-x)7 b·2+1=2b+5,代人③得2b+5<-1, =1-x+13-x|=x-1+x-3=2x-4. 解得6<-3，结合b<一4可得b<-4: (3)原式=m十n-m-nl,n<m<0,m十n<0, 当-1长-名≤2，即-4≤6≤2时，如图2，gx)= m-n>0,.原式=-(m十n)-(m-n)=-2m. g(-名)=(-名)厂+（名）+1=1-，代入©得1 w原式-哥+√-心)+×2-号+ 4<-1, 号-8+2=-3 解得b<-2√2或b>22, ⑤原式=。÷。÷。。=a÷ 结合-4≤b≤2可得-4≤b<-22. √÷a-a3÷a)÷ay-a3÷a÷a量 当-台<-1，即6>2时，如图3，g红)=g(-1D= a÷a-a将=a-a (-1)2+b·(-1)+1=2-b,代入③得2-b<-1, [变式2]D[,(a°十ab)2=8→a十a=6, 解得b>3,满足b>2. ∴(a0-at)2=aw+aw-2=4. 综上所述，实数b的取值范围是（一o∞，一22）U(3,十∞). 又a>l,b>0,a>at，.a-a◆=2.] 方法二（接方法一得到“3x1∈[一1,2]，使g(x)<一1，即 十：？十1<一1”后，观擦发现此不等式中米数6容易分热出桑， [变式3]令3=2=6=t(>0,则3=1,2=1,6=， 故也可考虚先分多出占再會，但这里江：正质够能取到，放需计论) a g(xz)<-1x+br2十1<-1Hbx2<-x量-2， 当x,[-1,0)时，不等式④等价于6>-（+) 22五-山 50 2+2v2。=2-2. AX),m2+n2=6m+n02-2m-号+1-号， (2)由(1)可以猜测结论：f(x)+f(1一x)=1, .()-()=4=8 2 2-2 22 根据函数式fx)+f0-x)-2+2产+2十2-2计20+ c(x).64=64青-日 2 2+21 D×).(是）”=（分）=2“=22=2w.] 设=f()+f(1品)+f(品)+f()+…十 2.C 3AC[由2号<1化简可得共多 (器)+(8) 20, 所以(x+2)(x-2)>0,所以x>2或x<-2. 将：倒序排列，得=（聪）+（器）+（贸）十 √25-30x+9x-√x-2)7-3=√(5-3x) ()++(品)+() √/x-2)-3=|5-3x-x-2-3, 当x>2时，√25-30x+9x-√x-2)-3=3x-5 根据结论，将上面两式相加得2一9，故，一 2 x+2-3=2x-6: 基础过美练 当x<-2时，√25-30z+9x-√(x-2)7-3=5-3x+ x-2-3=-2x.] 1.C[A(/),:a>0,m,n是正整数，且n>1, = 4ABD[A(√)，3”=8=24，.(3)=24°，(8)= a 24,.3=24,8*=24",3·8=24,∴24= B(√)，显然a=1. 24,∴.ab=a+b: C(X),a片=1=1 。 B以/)，ab=a十b≥2ab,且易知a≠b,∴ab>2√ab, ∴.a十b=ab>4: D(),当n取偶数时，a=la=a: D(/),a+b2>2ab>8: 当n取奇数时，a=a.综上，a=a.] C(X),(a-1)2+(b-1)2=a2+b2-2(a+b)+2>2ab- 2(a+b)+2=2.] 2c【-60+[-3t-2-1y+,3g=(-4)+ 5.6-√2.[√11-2w/30+√7-210 8y-1+[侵)门=-4+3-1+2=-] =√(W6-5)2+√(W5-2)2 3.D[设1月份的生产总值为a,月平均增长率为x,由题意， =|6-51+15-21=6-5+5-2=6-2.] 得a(1十x)"=a,解得x=E-1,] 6.90.[由于“从发电厂出来的90℃的热水，在10℃室温下， 425.[107=10)(10)片=2是×3=8× 温度降到50℃需婴30分钟”，所以50=10十(90一10)· 2,解得长=0则降温到20℃时，有20=10十(90- 有5] 10)·2,解得=90，故降温到20℃需要90分钟.] 5x2+x+1.[原式-[(x量+1)-x](x-x量+1)= 7.2-2 (x十x+1)(x-x+1)=(x+1)2-(x)y2=x2+x十1.] [原式=(1+)(1+)(1+)(1+)+)× 8赋-a6a6-0=X痘-号 (1+2)(1-2)×2 综合提能练 (+20)1+)(1+)1+2)+)× 1.B[因为m,n是方程2x2+3x一1=0的两根， 1 (-)×2 。是法运用根与系数的美系 51 =(-0)×2 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 的.y=a产的图象过定点(0,1)，则f(x)=a+3的图象过 2」 定点(1,4).] [变式2]D[:c<b<a且f(c)>f(a)>f(b), 8a原式=1+×（传）-（品）产=1+日品- ∴c<0,a>0,b的正负不能确定，由c<b,得3<3，∴.A 2原式-（停）+。品+( 号-3+48 137 和B排除。 又c<0<a且f(c)>f(a), -号+10+品-3+ =100, .1-3>3-1→3+3<2.] 48 [变式3]（一3,5）.[根据指数函数的单调性得x2一(m十1)x+ (3)原式=0.41-1+(-2)4+23+0.1 m十4>0对任意x∈R恒成立， 兴+品++品提 所以△=(m十1)2-4(m十4)<0，解得-3<m<5.] [变式4](1)因为这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后 9.(1)将a立+a宁=3两边平方，得a十a1+2=9, 病毒所占内存是原来的2倍，所以x分钟后病毒所占内存为 即a十a1=7. (2)将上式两边平方，有a2+a+2=49, y=2(x>0. a2+a2=47. (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使 (3):a量+a量=(a量)+(a)y=(at+a量)(a-a 用，所以有2+”≤2，解得x≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. ·a克+a1)=3(a+a1-1)=3×(7-1)=18, 基础过美练 而。2+。=，原式-招号铝-8 1.C[由题意得2M,=M,·aax5,解得a=2,令M= 培优奥破练 1.(1)由x=a3+b2,得x-a3=b2, M则完M,=M·2a解得1=50.了 六2-2ax+a-x-ay=6T= 2.A[:不等式mx一n>0的解集为{xx<-2}, .-2m-n=0,即n十2m=0. （2)令a=A,b=B,则 又f(x)为指数函数，∴.b2+1=1, x=A1+3AB2,y=B3+3A2B, ∴.f(x)=a,a>0且a≠1， x+y=A+3AB*+3AB+B'=(A+B)', ∴.f(n)·[f(m)]=a"·(a")2=a+m=a°=1.] x-y=A3+3AB2-3AB-B3=(A-B)3 +b的图象过原点， (x+y)是+(x-y)是=(A+B)+(A-By= 所以fo)=a(号）”+6=a+b=0, 2A2+B)=2a号+6)=8. 又因为图象无限接近直线y=一1，但又不与该直线相交， 2a=70,a=702≠1. 所以y=一1是图象的一条渐近线，所以6=一1，所以a=1.] 同理可得6=70，=70. 4.A[:y=xa5是[0，十o∞)上的增函数， ∴0.65>0.45，即a>b:又y=0.4是R上的减函数， a.6.=702.703.70, ∴0.45>0.46，即b>c.∴a>b>c.] 即ace)-70 5.AB0[A(W),f(x)=a-(（日）广的定义域为R,且f(-x) 对+号+台k-0-xx7 =a-(日)=（日广-a=-fx),故fx)为奇 又a,b,c为正整数，且70≠1，a,b,c均不为1， 函数； .1<a≤b≤c,.a=2,b=5,c=7. 以0.C×f0)=a-(日)°=1-1=0，故方程f)=0 4.2指数函数 在R上有解： 变式加练 [变式1门(1,4).[f(x)=a一1+3的图象是由y=a的图象： D(),当a>1时，函数y=a在R上单调递增，y=(日) 52