3.2.1 单调性与最大（小）值-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 重点和难点 课标要求 重点：函数的单调性， 1,理解函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义。 难点：增（减）函数的定义，利用增（减） 2.理解函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义 函数的定义判断函数的单调性 NAIEETAAAIAAAANBEE11A1011AN101110111111011111111311 必备知识梳理 LEETIAAAIBBAAAEBEA111111AB1111111111111111100111111110 基础梳理 知识点①函数的单调性 敲黑板) 1增函数与减函数 对增函数与减函数 定义的理解 名称 增函数 减函数 (1)增、减函数定义中的 般地，设函数∫(x)的定义域一般地，设函数∫(x)的定义域为 x1x:有三个特征： 为1，区间D二I: I,区间D∈I: ①同区间性，即x1x:∈L. 如果Vx1,x2∈D,当x1<x2如果Vx1,x2∈D,当x1<x2时， ②任意性，即不可用区间1 时，都有f(x1)<∫(x2),那么就都有f(x1)>f(x2),那么就称 定义 上的两个特殊值代替工1，x红， 称函数f(x)在区间D上单调递函数∫(x)在区间D上单调递 ③有序性，即需要区分大 增.特别地，当函数f(x)在它的减.特别地，当函数f(x)在它的 定义域上单调递增时，我们就称 定义域上单调递减时，我们就称 小，通常规定x1<x 它是增函数 它是减函数 (2)自变量取值之间的不等 关系和盛数值的不等关系正递 y (x) 图形 y=f(r/f(r) y-f(r) 互推，即： 表示 f) 7x) ①单调递增：x1<x3白 f(x1)<f(x): 几何 函数f(x)的图象在区间D上从 函数f(x)的图象在区间D上从 ②单调递减：工1<x:一 意义 左到右是上升的 左到右是下降的 f()>f(r:). (3)函数单调性的等价形式 2.单调性与单调区间 Vx1,x2∈[a,b],x1≠x 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就 那么(x1-x)[f(x1)-f(xz)] 说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y >0台fx)-f2>0台 =f(x)的单调区间.◆雕黑顺为 xI-x: 3.单调区间的书写 f(x)在[a,b]上单调递增： (x1-x)[f(x)-f(xz)] 当函数有多个单调递增（减）区间时，这些单调递增（减）区间 不能用并集连接，只能用“和”或“，”连接.例如下图中，b<c,但 <0台fx)-f2<0台 t1: f(b)>f(c),所以不满足f(x)在[a,b]U[c,d]上单调递增的定 f(x)在[a,b]上单调递减. 90 第三章函数的概念与性质锥 义，故单调递增区间不能写成[a,b]U[c,d]. y y=f(x) Oa b c d克 f(x)的单调递增区间是[a,b],[c,d](√) f(x)的单调递增区间是[a,b]和[c,d](/) f(x)的单调递增区间是[a,b]U[c,d](×) 4,常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 a>0时，在R上单调递增； y=ax十b(a≠0) a<0时，在R上单调递减 反比例函数 a>0时，单调递减区间是（一∞，0）和(0，+o∞)： y=g(a≠0) a<0时，单调递增区间是（一o∞，0）和(0，十o∞) x 二次函数 α>0时，单调递减区间是（一∞，m],单调递增区间是 [m,+oo); y=a(x-m)2+ a<0时，单调递减区间是[m,十∞)，单调递增区间是 n(a≠0) (-∞，m] ◆重点 划重点 知识点② 函数的最值 对函数单调性的理解 (1)因为单调性是一个局部 名称 定义 几何意义 的概念，单独一个点不存在单调 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果 性.所以y=x2的单调递增区 存在实数M满足： 函数的最大值对 函数的 间为(0，十0∞)，也可以写成[0， 最大值 (I)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; 应图象最高点的 十∞)，但需注意的是函数在端 (2)存在x∈I,使得f(x。)=M. 纵坐标 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 点无意义时，则区间不能包括 端点 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果 (2)有的函数不具备单调 存在实数m满足： 函数的 函数的最小值对 1,x为有理数， 最小值 (1)对于任意的x∈1，都有∫(x)≥m: 应图象最低点的 性，如函数y= (2)存在x。∈1，使得f(xo)=m. 纵坐标 0,x为无理数， 那么，我们称m是函数y=∫(x)的最小值 它的定义城为R,但它不具备单 调性. 重难拓展 重难点①函数单调性的运算性质及复合函数的单调性 1.函数单调性的运算性质（公式法】 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具 有以下性质： 91 重难点手册高中数学必修第一册RJA (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a·f(x)具有相同的 单调性；当a<0时，f(x)与a·f(x)具有相反的单调性， (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时， fx)与&具有相反的单调性：当a<0时，fx)与8a具有相 同的单调性 (4)若f(x)≥0，则f(x)与/f(x)具有相同的单调性. 明概念 (5)在f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下结论： 对于f(x)g(x)的单调性的理解 若f(x),g(x)都是区间1 f(x) g(r) f(x)十g(x) f(r)-g(x) 上的增函数，且f(x)>0,g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 >0,则f(x)g(x)为增函数. 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 理由：Vx1x∈1，且x1< 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 xa,.0<f(x)<f(x),0< 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 g(x1)<g(x2), .f(x1)g(x1)<f(x)· (6)当f(x),g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则 g(x2), f(x)g(x)也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)是 即f(x)g(x)为增函数. 减（增）函数.◆明顺多 [注意]若f(x),g(x)不恒 2.复合函数单调性的判定 大于0，则fx1)g(x)<fx)· 对于复合函数f(g(x),设t=g(x)在(a,b)上是单调函数， g(x)不一定成立. 且y-f(t)在(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上也是单调函数，那 么f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示： t=g(x】 y=f() y=f(g(x)) 敲黑板) 增函数 增函数 增函数 若一个函数是由多个简单 增函数 减函数 减函数 函数复合而成的，则此复合函数 减函数 增函数 诚函数 的单调性由简单函数中减函数 减函数 减函数 增函数 的个数决定。若减函数有偶数 记忆口决为“同增异减”.◆黑饭为 个，则这个复合函数为增函数： 若减函数有奇数个，则这个复合 例①(2025·湖北武汉十一中月考)（多选）下列函数中，在 函数为减函数」 [1,十∞)上单调递增的是( A.f(x)=|-x2+2x+3 B.g(x)=√x2+x-2 Ch(x)=x-√x-1 D.y=x-2x2+x 解析（函数解析式虽帝艳对值，但可发现内部是二次岳粒，画图方便，故考金直接 画出函数图象分析) 函数y=f(x)的大致图象如图中实线，由图可知，f(x)在[1,3]上单调 递减，在[3，十○)上单调递增，故A项错误. 92 第三章 函数的概念与性质锥 敲黑板) 用定义法判断函数单调性的 一般步骤及变形技巧 (1)利用定义证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的 (y=g(x)可有成y=√a和让=x十江一2夏合而成，故可用同增并减淮劓分析单调性) 一般步骤： 因为画数以=十红一2开口向上，且对称轴是x=一合， 取 任取1还：∈D,且x1<2 所以当x∈[1，十o∞)时，u=x2十x一2单调递增且u≥0. f(红1)-fx2)(减f红红) f(x1) 又y=√u在[0，十∞)上单调递增， 通过因式分解、配方、通分、 所以根据同增异减准则，g(x)在[1，十○)上单调递增，故B项正确. 分母（分于）有理化等方法 (y=x和y=√一1在[1，十∞)上都单调选增，它们的羞似乎无法直接利惭出单 形 向有利于判断差的符号的方 向变形 调性，怎么办呢？如果是y=x十√T一1，那就好办了，其实我们可以用分子有理化的操 确定f(x1)一f(x1)(或 作把h(x)化为舍x十√云一I的形式) 定 f(x:)-f(x1)的正负，当 由题意知hx)=x-可=2三_红-P)x+ 正负不确定时，需进行分类 讨论 1 x+x2-1 下 指出函数f(x)在龄定的国 -x-(x8-1D-1 间D上的单调性 x+-1x+√- (2)若∫(x)恒为正值或每 因为y=x和y=√x2一1在[1，十∞)上都单调递增， 为负值，则利用定义证明函数的 所以y=x十√x2一1在[1，十o∞)上单调递增. 单调性还可以用作商法： 又x+√x2-1≥1>0， ①取值： 1 所以h(x)= 在[1，∞)上单调递减，故C错误。 x+√x2-1 ②作商，f) f()' y=x1-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2, ③变形，将fx》 fGa)向有利于 (此为两项之积，可会试分别利断单调性和正寶，看能否得到整体的单调性) 在[1，+∞)上，y=x和y=(x-1)2都单调递增， 判断商的值是否大于1的方向 结合x≥1>0，(x一1)≥0可得y=x(x一1)2单调递增，故D项正确. 变形： 答案BD◆哪顿 ④比，格光器为1此校 重难点②两类特殊函数的图象及其应用 大小： 1.对勾函数 ⑤定论，根据x1与x:的大 形如f(x)=ax十(ab>0)的函数，由于其图象形状类似双 小关系及f(x1)与f(x:)的大 小关系，结合单调性定义得出 勾，故称对勾函数，如图所示 结论 y a.x+ 26 -2G6 a>0,b>0 a<0,b<0 图1 图2 93 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 以y=ax+(a>0,b>0)为例，研究对勾函数的性质. 敲黑板⊙ (1)定义域：(-∞，0)U(0,+∞). 讨论f(x)=az+ -(a> 0,b>0)的单调性 (2)值域：(-o∞，-2√ab]U[2√ab,+∞). Vx1,x2∈{xx≠0，不妨 (3)增减性：在-臣，0)利0，臣)上y随x的增大面减小， 设x1<x2,则 在-0，一）和，+上)随x的增大而增大+@ f()-f(r:)=ar+b a+2）=a-+6: (4)最值：在(0，十∞)上有最小值2ab,在（一∞，0）上有最 大值一2√ab,但在定义域上无最值， -(a-) TIT: (5)对称性：图象关于原点(0,0)对称. =(x1-x).（令 TIT1 2.双刀函数（飘带函数】 a.x1xg一b=0,且x1=x2,则分 当a,b异号时，函数f(x)=ax十b的图象如图所示，这个函 2 界点-士 数称为双刀函数，也称为对勾函数的姊妹函数， 0当0K<<月 时，0<ax1x,<a.6=bx1x d =ax >0, 故f(x1)-f(x,)>0,即 a<0,b>0 a>0,b<0 f()>f(). 图3 图4 所以fc)在(0)上 例B已知函数f(x)=+2x十 单调递减。 ,x∈[1，+∞). x <x1<x1时， (1)当a=4时，求f(x)的最小值； 2)当a (2)当a=2时，求f)的最小值 ax1xga· a =b,x1x2>0, 故f(x1)-f(x)<0,即 (3)若a为正常数，求f(x)的最小值 f()<f(:). 解析（①当a=4时，f(x)=x+兰+2，易知fx)在[1,2]上是减画 所以(x)在（臣， 数，在[2，十∞)上是增函数.故f(x)m=f(2)=6. 十∞)上单调递增。 (2当a-时，f)-x+Z+2,号知f)在[1，十o∞)上为增画数 @- <x1<x1<0 故fx)=f= 时，0<ax1xg<b,x1x>0, (3)函数f(x)=x+a+2在(0，a]上是减函数，在[Va,十∞)上是 故f(x1)-f(x:)>0,即 工 f(x)>f(x:). 增函数 所以f)在(-√0) 当√a>1,即a>1时，f(x)在区间[1，+∞)上先减后增，f(x)m= 94 第三章 函数的概念与性质锥 f(a)=2√a+2: 上单调递减 当√a≤，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，十∞)上是增函数，f(x)m (4)当x1<x2<- =f(1)=a+3. 重难点③函数最值的求法 时，ax1x2>b,x1x2>0, 故∫(x1)-∫(x)<0,即 1.配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要 f(x1)<f(xa） 特别注意自变量的取值范围. 所以f(x)在（-∞， 2.判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2十 b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x).由△≥0且a(y)≠0求出y )上单调适城 的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值. 综上所述，∫(x)的单调递增 3.换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围 &同为，]后 4数形结合法：对于图象较容易画出的函数，可借助图象直观 求出其最值 十*拥越减区间为[-臣 5,利用函数的单调性求最值：要注意函数的单调性对函数最 值的影响，特别是闭区间上函数的最值. 6 6.利用基本不等式求最值 例③求下列函数的值域： (1)y= x+1 x+4x+6x∈[0,1]； (2)y=+5x+3 x2+4r+2x∈[0,1]. 解析(1)令t=x十1，则x=t一1，当x∈[0,1]时，t∈[1,2]， x+1 t y+4x+62+2u+3+3+2 },由图可知25+2+2+26， y=t+- +2 O32 所以 6 1 23-2 23-23-1 +3+223+223+223-2) 8 4 t 故所求五藏的维装为合 (2)由题意知y 持中142 x2+4x+2 x2+4x+2 (分于的“一次函数”不是单独的x,于是将其撓元成上，再上下同除从，把变量集中 到分母上) 令t=x+1,则x=t-1, 95 重难点手册高中数学必修第一册RJA 1 代入①得y=1+4-1+44-1D+21+2+2- 当x∈[0,1]时，t=x+1∈[1,2]， 1 所以y=1++24可1+ 1-1+2 (我们发现分绿食1的结物是一}，这显然不麦双句西数，怎么办呢？其实这种情 况比双匀禹就更新单，国为禹数y=1知y=一二的单调性相同，所以y=1 的单调 1 性可直接利断，当然就能轻松求出值城) 当t[1,2]时，因为y=t和y=一上都单调递增， 记方法回 所以y=1一也单调适增，故当1=1时4一取得最小位0， 对子二次通 一次函数 ”这种结构 若“一次函数”这部分较复杂，则 当1=2时6取得最大值 2 可先将其换元，再折项后分析值 所以0从雨2+2名 2 1一 战丙若是三资盈餐，则上T 1 +2 同除以“一次函数”，将分母的局 所以9 1+ 1 3 ,故所求函数的值战是 93 ◆记方离 邦化为二次通数”来处里 -1+2 72 一次函数 t 关键能力提升 题型（① 函数单调性的证明与单调区间 1 A.f(x)= 一 B.f(x)=x2-3x 的求解 例④(2025·山东青岛高一联考)利用函 C.f(x)=2x D.f(x)=1 数单调性的定义，证明函数f(x)=√x在区间 解析公式法根据一次函数、二次函数和反比 [0,十∞)上是增函数. 证明任取x1x2∈[0，十oo),且x1<xg, 例画载的单洞丝可知，了：)-在(0，十e四)上为减函 则f(x1)一f(x2)=√x1-√x2 数f()=2-3证在(o,引上为减画数，在 =W1-√)(WE十@)-x1-x √x1+√x2 √x1+√x2 [侵+o)上为增画数f)=2z在0，+∞)上为 0≤x1<x2: 增函数又y=1与y=-工在(0，十∞)上都为减函 x1-x2<0,Wx1十√x2>0,从而知∫(x1) f(xz)<0,即f(x1)<f(x). 数，故fx)=1 一x在(0，十∞)上为减函数 故函数f(x)=√x在区间[0，十∞)上是增函数. 答案AD 例司(2025·湖南浏阳阶段性测试)（多 归纳总结 选)下列四个函数中，在(0，十∞)上单调递减 利用已研究过的基本初等函数（现阶段指一次 的是(). 函数、二次函数和反比例函数)的性质直接得出函 96 ,第三章函数的概念与性质通 数的单调性（或单调区间）的方法，称为公式法 求出两图象交点的横坐标为一2和1.一2和1将x轴 公式法也包括利用“增十增一增”“增一减 分成三段，在每一段图象上，下方的图象便构成了函 增”这些结论来判断函数的单调性， 数min{f(x),g(x)》的图象 令h(x)=min{f(x),g(x)},则h(x)的图象如 例6(2024·山东濉坊三县高一期中 图所示。 联考)(1)求函数f(x)=-x2+2|x|十3的单 y 调区间； g(r)=x (2)求函数f(x)=|x2一x-12|的单调 区间。 思维过程 f(x)=2-x “脱”去绝对值符号，变为分段函数，画出函数 由图象可知h(x)的单调递增区间为（一∞，1]. 图象，从图象上观察出函数的单调区间. 答案（一∞，1]. 解析(1)图象法 变式0求函数y=|x+1+|x一2引的单 x3+2x+3(x≥0)， f(x)= 调区间 -x2-2x+3(x<0) 题型②函数单调性的应用 (-(x-1)2+4(x≥0)， -(x+1)2+4(x<0). 1.函数单调性的可逆性 如图1所示，易知函数的单调递增区间是（一∞， 例8(1)(2025·山东济宁高一期中)已 -1]和[0,1]，单调递减区间是[-1,0]和[1，+o∞). 知f(x)=ax2+3x+1是定义在R上的函数， 若对于任意一2≤x1<x2≤一1，都有 fx)一fx)>1,则实数a的最大值是( x1一x2 -3-2-10123文 A.-1 B号 c号 图1 图2 (2)(2025·湖北武汉二中周测)已知函数 (2)图象法 (a-3)x+a十2，x<1, x2-x-12(x≤-3或x>≥4)， f(x)= 在R上单调 fx)--x+x+12(-3<0. ax2+x,x≥1 递减，则实数a的取值范围为( 如图2所示，易知函数的单调递增区间是[一3， A.(0,3) 引，[4，十o),单调递减区间是(-6，-3]，[}，4 BB 例☑对于任意实数x1,x2,minx1,x2}表 c层) n层 示x1,x2中较小的那个数.若f(x)=2-x2, 解析()（知树制用）-x)>1”这个条件？直 x1一xg g(x)=x,则min{f(x),g(x)}的单调递增区 接是看不出∫(x)的单调性的，所以需要变形) 间为 同为x1<xg,所以x1一x2<0. 解析图象法在同一平面直角坐标系中，分别 作出f(x)=2-x2,g(x)=x的图象，由2-x2=x 由f)-f1可变为f(x)-fx,)< x1一x 97 铺重难点手册高中数学必修第一册RJA x1一x2,即f(x1)-x1<f(x2)-x2: 函数f(x)=一x2十bx十c对任意的实数x都 (观容可发现f(x1)一x1与f(x）一1结构一样，可以构 有f(2+x)=f(2-x),试比较f(1),f(2), 造一个新函数F(x)=f（x)一x) f(4)的大小 令F(x)=f(x)-x,∴.F(x)=ax2十2x+1, 思维过程 则有F(x1)<F(x2),故F(x)=ax2+2x十1在 利用函数的单调性比较函数值的大小时，先将 [一2，一1]上单调递增. 自变量转化到函数的同一个单调区间上，再根据函 当a=0时，F(x)=2x+1满足在[-2，-1]上 、 数的单调性进行比较，最后写结果时再还原回去. 单调递增， 当a≠0时，F(x)=ax2+2x十1为二次函数， 解析，函数f(x)=一x2十bx十c对任意的实 a>0, a<0, 数x都有f(2十x)=f(2-x), 雾满足 2 或 2a≥-1 ∴.-(2+x)2+b(2+x)+c=-(2-x)2+b(2- 2a ≤-2， x)十c,解得b=4, 解得0a≤号或a<0, .函数f(x)=一x2十bx十c图象的对称轴为直 线x=2,即有f(1)=f(3). 棕上a<分，实教a的最大值为 -1<0, (2)因为函数f(x)在R上单调递减， ∴.函数f(x)=-x2十bx十c图象的开口向下， (分？函数在定义域上为域函数，则每一良上都应为减函 且f(x)在[2，十∞)上单调递减. 数，且在分仪点处(x=1),左边的图象不低于右边的国象) 又2<3<4，.f(2)>f(3)>f(4), a-3<0, 即f(2)>f(1)>f(4). a>0, 归纳总结 解得号<a<8. 由函数满足对任意的实数x都有∫(2十x)= f(2一x),可得函数图象的对称轴为直线x=2. 2a-1≥-a+1, 一般地，函数∫(x)对任意的实数x有∫(b十x)= 即a的取值范围是 f(b一x)台函数图象的对称轴为直线x=b. 答案(1)C(2)C 例10(2025·浙江绍兴第一中学摸拟)定 变式2(2025·复旦大学附属中学高一 义在(-1,1)上的减函数f(x)满足f(1一a) x2+1,x≥1， <f(a2一1)，求实数a的取值范围 月考)若函数∫(x) 在R上是单 ax-1,x<1 思维过程 调递增函数，则实数α的取值范围是 利用减函数的定义构造不等式组求解即可 变式3(2023·湖北华大新高考联盟考试) 解析，f(x)在区间（一1,1）上是减函数，且f(1 若函数f(x)=2|x一a|+3在区间[1，十∞) a)<f(a2-1), 上不单调，则实数a的取值范围是( ) -1<1-a<1, A.[1,+∞) B.(1,+∞) ∴-1<a2-1<1, C.(-∞，1) D.(-∞，1] 1-a>a2-1, 2.利用单调性比较大小 解得0<a<1. 例⑨(2025·天津武清区高一联考)如果 故所求实数a的取值范围是(0,1). 98 ,第三章函数的概念与性质推 归纳总结 利用函数的单调性解抽象不等式，先把不等式 支形为∫(A)>f(B),然后利用单调性“脱”掉 “”,要特别注意∫(x)的定义城对A与B的限制. 3.抽象函数单调性问题 例I函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 (1)①当t+1≤一1，即t≤-2时， f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时， f(x)m=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1) f(x)>1. 5=t2+4t-2. (1)求证：f(x)是R上的增函数； ②当t≤-1<十1，即-2<1≤-1时， (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2一m-2) f(x)mn=f(-1)=-6. <3. ③当t>-1时，f(x)m=f(t)=t2+2t-5. t2+4t-2,t≤-2， 解析(1)设x1,x2∈R,且x1<x2: 综上可得，f(x) -6,-2<t≤-1， 则x2-x1>0,.f(x2-x1)>1. t2+2t-5,t>-1. f(x2)-f(x1) =f(x2-x1)+x1)-f(x1) 2中1-+ 2 =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) ①当-1<+号即≥-号时 =f(x2-x1)-1>0. f(x)x=f(t+1)=t2+4t-2. ∴.f(x1)<f(xa). ②当-1>1+号即K-2时， f(x)是R上的增函数 f(x）m=f(t)=t2+2t-5. (2):'对任意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)十 f(b)-1, 2+2a-5K- 综上可得，f(x)mx .f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, +-2≥-是 .f(2)=3. 归纳总结 .f(3m2-m-2)<3=f(2). 函数y=ax2十bx十c(a>0)在区间[m,n] ,f(x)是R上的增函数， (n>m)上的最大值是f(m)还是f(n),取决于对 3m-m-2<2,解得-1m<号 称轴工=一易与x=m和x=n之间的距离，所以 2a 题型③函数的最值 只需分名>和名<”两种情况 1.二次函数的最值 2.分段函数、含有绝对值函数的最值 例12已知f(x)=x2+2x-5,x∈[t,t 例13(1)(2024·安微池州一中高一期中) +1],求f(x)的最大值和最小值， 已知函数f(x)=x十|2x十a|在区间[0,2]上 解析如图，函数f(x)的图象的对称轴为x=一1. 的最小值为1，则a= (国为定义城是动区同，而最值与对称轴的位置有关，所4需分 a,a≥b, (2)对a,b∈R,记max{a,b}= 典讨论) b,a<b, 993.2府数的基本性质 一3单调递增，则a2,由函数f(x)在R上单调递增，有 3.2.1单调性与最大（小）值 1 a>2' 变武细练 a≤2， 解得<a<是] 一2x十1，x≤-1， 2(2a-1)≤4-4a十6a-3, [变式11y=x+1+x-2=3,-1<x≤2， : 3D[任取1x<1,则f(x)-x)=x1-+ 2x-1,x>2. 作出函数的图象如下： 1=(x4-10,“-x<0x>1. T:xIE: ∴f(r1)-f(.x:)<0,则f(x)在(1，十o)上单调递增。 。可直接抵据时句击数的因象得单调性 又k2+2k+4=(k+1)2+3≥3>2， -102 .f(2)<f(k2+2k十4).] 4A[(f(x)表拾出解析式，所以应通过单调性脱所表“”，报据 由图象可知，函数的单调递减区间为（一©，一1门，单调递增 f(x)一2x十4D0可构位新荔数gx)=f()一2r十4山) 区间为[2，十∞). 令g(x)=f(.x)-2x+4, [变式2](0,3门.[分段函数的单调性应先分段再综合考虑. :f(x)与y=一2r十4在(0，十∞)都为诚函数， 因为f(x)在R上是单调递增函数，所以在（一∞，1）上也是 .g(x)在(0，十o∞)上也为减函数 增函数，故a>0.设y=ax-1x∈（一o∞，1），因为a>0,故 又g(1)=f(1)-2十4=0， y<a一1.而y=x2+1(x≥1)是增函数，且yn=1+1= x1, 2,故只需a一1≤2即可，求得a≤3.所以0<a≤3.] ∴.f(x)-2x+4>0=g(x)>g(1),. x>0. [变式3]B[易知函数f(x)=2x一a|十3的单调递增区间 .0<x<1,∴A={x0<x<1. 为[a,十o∞)，单调递减区间为（一oo,a]. 故要满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A 因为函数f(.x)=2x一a十3在区间1，十)上不单调，则 a>1.] 的真子集，又0<r<号}0<<.A正确] 基甜过关练 5.(1)(一3,3].(2)4.[(1)由图象可知，该函数在（一， 一1)上单调递增，在（一1,3）上单调速减，在(3，十∞)上单调 1 1.BD[A(X),因为=-1K =1,所以函数y= 上不在 递增，且f(-1)=f(5)=3, (一°，0)U(0,十)上单调递减： 要想f(x)在（一2，a+2)上有最大值， B以√)，因为函数y=上与函数y=一工均在区间(0，十©) -2<a+2, 则有 →-3<a≤3，a的取值范围是(-3,3]. -1<a+25 内单调递诚，所以函数y一 1 一x在区间(0，十∞)内单调递减： (2)令f(x)=t,f(1)=3→1=-1，或1=5， 不 若∫(x)=一1，根据函数图象，可知该方程有三个不相等的 C(X),函数(x)=x在R上单调递增，但是函数y= 实根： 是减函数： 若f(x)=5,根据函数图象，可知该方程有一个实根. D),Vx1,x∈D,x1≠x,不妨设x1<x4,则x1一x< 所以方程f(f(x)=3的解的个数为4.门 Q.由)-0可知，fx)-fx,)<0,根据单调 6.(1)令y1=x2-3r+3,y=6-x, 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象， 性的定义可知，f(x)在区间D上单调递增.同理可得，由 又由xr2-3.x+3=6-x得x2-2x-3=0, x)）一x)<0可得，f(x)在区间D上单调递减.综上 .=3或x=一1， TI-I: 所述，能判定f(x)在区间D上的单调性.] .y1与y:图象的两交点的横坐标分别为一1和3. 2.C[当x<2时，函数y=(2a一1)x单调递增，则2a-1> .f(.x)=max{x2-3r十3,6-x} x2-3x十3，x≤-1或r≥3， 0,即0>二次函数y=-2r+60一3的图象开口向 6-x,-1<r<3. 上，对称轴为直线r=a,当r≥2时，函数y=x2-2a.x十6d: f(x)的图象见下图实线部分： 32 米用国象法，再通过移动直线十=来确瓷C的范围 在同一直角坐标系下作出函数y=一士十2与y=一2红 十3的图象如下： -2-102346、8 (2)由图象可知f(.x)n=f(3)=6-3=3. 综合提能练 1.AC[令t=-x2+2x十3，则原函数由y=F与1=-x2+ 2x十3复合而成，又由-x2十2x+3≥0得-1≤x≤3， 7123456 =-x+2x+3在[-1,1]上为增函数，在[1,3]上为减 函数，而y=为增函数， 由x2-2x+3=6,得xA=3,xe=-1, .f(x)的递增区间为[一1,1门，递减区间为[1,3].故A对 1+2=6,得xm=一4 由单调性知f(x)=f(1)=2,f(x)m=0,故C也对.] 由一 1 要f(x)的值城为[2,6]， 2D[?函数f(x)为单调函数，且f(/)+2)=1 ((T)图象上的点的然坐标的取顶范固只能水且，公销取2,6]里 ∴fx)+二为常数，不妨设f(x)+2=a,则fx)=4 的数) 由图象知-1<c<-},故选A] 2,原式化为fa)=1,即a-2-1,解得a=2或a=-1 5.D[方法一对于任意的x1x:∈[1，十o©)，且x1<,则 (含去)，故f(x)=2-2 ,f(1)=2-2=0.] T1T:>0i>xi 所以不等式xf(x1)一xf(x:)>a.xx2(x一xi)恒成立 3A0D由题可知，)克-生-1 1 x十1 等价于a<f)一fx在1，十e)上恒成立， rir:(ri-ri) -2-不_x十2 AW).因为f（-2-x)=一22干正+行，所以f（-2 而f(x)=x-x可得x2f(x1)-x1f(x)=xix4-x1x 一)+)-者+有一2所以)的对餐中6为 一x1r十x1x2=x1x(x1一x:), 因此可得a<f）1f=,(-x) (-1.10: xir:(ri-xi) x:(i-xi) 1 B以X).因为f)=1-有显然有≠0，所以f)的 x1十r: 值域为yy≠1)： 又1区x1<r所以十>2，因此-2< +0, C√).当x>一1时y=中单调递减，所以y=一x中市 所以a≤- 即。的取值范是(-一，引 2 单调递增，所以)=1有单湖递增： 方法二（由己知条件中“f(x,)一F1/)>世1( ”达个蒂件，速过变形可以变成有吴x,与，的时称式，析以可 以用构造西煮法果前此题) xgf(x1)-x1fx)>a.r1x2(r-xi),x1x,∈[1，十oo). +中市=1，所以f1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)+ .)rari. 1g (号)+f(号)++f(22)=f)+ff2)+ 令g(x)=卫+ar'x≥D. ∴g(x1)>g(:),即g(x)在[1，十∞)上为减函数， 号)+[a+号】++[e2+(》】 又gx)=2+ar2=ar2+r-1. a0, a≤- ，故选n] 4A(f()的两段解析式都是己知的，且爵爬可以画出，所以化免： 33 6(四，一】：[（快想是一个新定义起，要北定义春特是，意衣 f(.x十2)-f(2x)>2,.f(x+2)>f(2x)+f(4), .f(.x十2)>f(8x). x)■了1与的单调区间，必角先把“，”连个运算精化为数或代 又f(x)在(0，十0∞)上为增函数， 我式的四刚运算，而性质3③中有山2，郁是四刑运算，文结合性： x+2>8r, x>0. 解得0<r<号， 质12，所以今0-0) 令c=0,则a*b=(ab)*0=0*(ab)十(a“0)+(h*0) 故不等式fx+2)-f2r)>2的解集为x0<x<号} 、性废②。性香等① -2×0, ⑤由题意得m计fm-名m. 2 a*6=ab+a+6,fx)=x*-号++ 2 m）2[(）+] =2(）). 易知x)的单调递诚区间为(-，一】门 :(安）-m=(2）≥0… 7由已知得)-生2+1学-2x+ +x8 x (空产）≥m(当且仅当m=n时取等号 (e+)'+2(+）-2 又，f(x)在(0，+∞)上是增函数， 令1=+，因为r61,2], (）)≥m.即f空产)≥m 2 所以1e[2,引，所以令=+2-2 猛优突破练 1.D[①f(0)=0,③f(1-x)+f(x)=1, 所以当1=2时ym=2+2×2-2=6, 令x=0.得f1)=1:令x=,得f(号）=2 41 即/cl=6fu-平 又：@f(借）-f,f)=2(借）月 所以对任意x1,x:∈[1,2]，f(.x1)-f(x2)≤f(x) 令=1，得1=2（传），f(得）=2 fc-g-6只 令得（合）-（侵）- 所以对任意x1x:∈[1,2]：都有f(x1)-f(x:)≤m2 令x=号得付)=信)= 子m+等价于子+> 7 当<，时，都有ff,< 即mi-7m-1>0,解得加<-1或m> ∴f(日)f(日)（日），(g)= 所以实数的取值范调是(-0，一U[保+） 传)+（假》+是1 8.(1)令m=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1), 所以f(1)=0. 归纳总结 抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据 (2)fm)=f(g·n）=f(g)+f, 不等关系家确定的值，一般用“夹适“的方法（如}≤ 即（供）=fm)-f. 日)(g)<(日)-) (3)任取x1x∈(0，十∞)，且x1<x2,则>1. 2.(1)任取x1x:∈(0，：)，x1<x,(证帆单满性，只能用发义法) 由(2)得fx:)-fx)=f(货）>0，即fx:)>fx 则f)-f)-+层-- =x1一x十 .f(x)在(0，十o∞)上是增函数 (4)f(2)-1,∴.2=f(2)+f(2)=f(4), a）-,-). xi42 TIT: 34 因为x1∈(0，a),1<x2,所以0<x1.x<a”,1一x<0, 则fx)-fx:)=(,-x).-a 2或/2=2+号 >0. rIr2 若2+2u>2+写即a>1.则最大值为/（兮）-号+2a. 即f(x1)>f(x),f(x)在区间(0，a)上单调递减. 同理，任取r1x:∈(a,十o∞)，x1<xa. 则有十2<解得2<2 2 因为x1∈(a,十o∞)，x:<x2,所以x1x:>a2x1一x<0, 则f)-fr)=(,-x).-a <0 将a<2>1.2a<2取交集 r12 即f(x1)<f(x:),f(x)在区间(，十o∞)上单嗣递增. 可得1<a<2+区 2 20令1=a)2- 1+1, 若号+22<2+号，即0<a≤1，最大值为2)=2+号， 当x∈(-1,1)时，1+x∈(0,2)， 则有2+ <4a,解得4-23<a<4+23, 敢7子，+)ge)-名。一1e0,+ 2 .1=g(r)∈(0，十c∞). 将号<a<2,0a≤1,4-25<a<1+2取交集， 当1E(0,十©)时，f)=1+在(0,1D上为减函数，在 可得4-23<a≤1， (1.十∞)上为增函数， 若a≥2.则fx)=r+在r∈[合，习上单调递减， ∴.f(t)m=f(1)=2,即h(x）an=2. @国为w发在[吉]上任老R,所Boe 故fx)=f(）=+2a,x)=f2)=2+号 4u恒成立，等价于4(re一h()一≤h(r)m) 2 e[日】时1+e[导】g)= 2 -1 曲于 <2,故此时解集为心. [2 综上，实数a的取值范围是4-2w5<a<2士5 2 对实数e[ ,h(r)一b(s)h(t)恒成立 归纳总结 等价于对任意的山∈[2习)一，<, 对于求不等式成立时的参数范国问题，一般有三个方 法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另 只需f)=+在x∈[合习上：满是fx 一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确 定含参式子满足的条件，二是讨论分析法，根据参数取值情 f(x)m<()f()<2f(r) 况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数， 由1)知，f(x)=x+4在(0a)上单调递减，在(a,十o)上 通过两个函数图象确定条件 单调递增， 3.2.2奇偶性 若0<a≤分，则fx=x+在x∈[22上单调递增， 变武细综 [变式1门ACD[A(/),令F(.x)=f(|x|)g(x),F(-x)= 故f)-f(号）=+2a,fx)=f2)=2+ f(-x)g(-x)=f(lx)g(x)=F(x): 2+号<2（侵+2）解得>我<-四 BX),令F(x)=f(x)g(Ix|),F(-x）= 7 f(-r)g(l-z)=-f(r)g()=-F(x).F() w14、1 （舍去)，由于7>2，故此时解集为心， 为奇函数： C(√)，令F(x)=f(g(x),∴F(-x)=f(g(-x)= 若号<a<2.则/)=x+号在[合]上单调通诚 f(g(x))=F(x): 在r∈(a,2]上单调逆增。 D(√)，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x)= 故fr)m=fa)=2af(x)的最大值为f(号）=专十 g(-fr)=g(f(x)=F(x).] [变式2]{x-2<x<1或0<r<1或2<x<3). 35