4.2 指数函数-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数通 4.2指数函数 A基础过关练 6.[题型3](2024·湖南长沙一中高一期中)设a∈ 测试时间：20分钟 R,函数f(x)=2+a 2-a 1.[题型4]新情境放射性物质3H可以进入生物 (a>0) 体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却 (1)若函数y=f(x)是奇函数，求a的值； 难以被清除.现已知H的质量M(单位：kg)随 (2)请判断函数y=f(x)的单调性，并用定义证明. 时间t(单位：年)的指数衰减规律是：M=M。· aaoa(其中M。为3H的初始质量).已知经过 125年H的质量衰藏为最初的号，则当H的质 量衰减为最初的。时，所经过的时间为( A.250年 B.375年 C.500年 D.1000年 2.[题型1们(2025·河北邯郸八校高一期中联考)已知 关于x的不等式mx一n>0的解集为{xx<-2}, 函数f(x)=(b2+1)a(a>0且a≠1)为指数 函数，则f(n)·[f(m)]=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.[题型2](2024·福建龙岩高一期中联考)已知 函数fx)-a(分) 十b的图象过原点，且无 限接近直线y=一1，但又不与该直线相交，则 a=( A分 &-司 C.1 D.-1 4.[题型3](2024·广东深圳南山外国语学校高一 期中)已知a=0.695,b=0.45,c-0.46,则 (). B综合提能练 测试时间：25分钟 A.a>b>c B.c>a>b 1.[题型3](2025·重庆第一中学高一期中)已知 C.a>c>b D.b>c>a (3a-2)x+1,x≤1 (a>0,且 5.[题型2](2025·吉林长春外国语学校高一期 函数f(x)= a￥，x>1 中)（多选）函数f(x)=a-(日)广，其中a>0 a≠1)，对于R上任意两个不相等的实数x1, x2,不等式(x1一x2)[f(x1)一f(x2)]<0恒成 且a≠1，则下列结论正确的是( 立，则实数a的取值范围为(). A.函数f(x)是奇函数 B.方程f(x)=0在R上有解 A(,号》 a2》 C.函数f(x)的图象过定点(0,1) D.当a>1时，函数f(x)在其定义域上为增函数 c() D.(1,+∞) 45 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA 2.[题型3](2025·四川内江六中高一月考)已知 g(x)的局部对称点，若(1,0)是函数y= 函数f(x)=子-3-2x+4,若f(a-6)+ f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围。 f(a2)>8,则实数a的取值范围是(). A.(2,+∞) B.(-3,2) C.(-0∞，-3) D.(-∞，-3)U(2,+∞) 3.[题型3]数学文化(2025·山东青岛段考)（多 选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者 之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R, 用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称 C培优突破练 为高斯函数，例如[-2.3]=一3，[15.31]=15. 测试时间：10分钟 已知函数e)=-车2，Ga)=[小. 1.新定义(2024·安徽合肥一中期末)对 于函数f(x),若在定义域内存在实数 则下列说法正确的有(）. xo满足f(一x。)=一f(xo),则称函数 A.G(x)是偶函数 f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3十2m一1(m∈ B.G(x)的值域是{-1,0} R,m≠0)是定义在[一1,1]上的“倒戈函数”，则 C.f(x)是奇函数 实数m的取值范围是 2.(2024·安徽宣城期末)已知函数f(x)= D.f(x)在R上是增函数 -42+m·2+1,x∈[-2,1]. 4.[题型3]开放探究(2025·辽宁朝阳一高月考) (1)当m=1时，求函数f(x)的值域： 写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)= (2)设函数g(x)=一 ,若对任意x1∈ ①f(x1十x2)=f(x1)f(x2)； [-2,1],存在x2∈[-1,2]，使得f(x1)≥ ②当x∈R时，f(x)>0: g(x2),求实数m的取值范围。 ③f(x)是增函数. 5.[题型3](2025·安徽六安一中高一期中)已知 定义在R上的函数f(x)=m·4一2+1一m (n∈R) (1)当m=1时，求f(x)的值域； (2)若函数f(x)在(1，十∞)上单调递增，求实 数m的取值范围； (3)若函数y=g(x)的定义域内存在xo,使得 g(a+xo)十g(a-xo)=2b成立，则称 g(x)为局部对称函数，其中(a,b)为函数 46=(-0)×2 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 的.y=a产的图象过定点(0,1)，则f(x)=a+3的图象过 2」 定点(1,4).] [变式2]D[:c<b<a且f(c)>f(a)>f(b), 8a原式=1+×（传）-（品）产=1+日品- ∴c<0,a>0,b的正负不能确定，由c<b,得3<3，∴.A 2原式-（停）+。品+( 号-3+48 137 和B排除。 又c<0<a且f(c)>f(a), -号+10+品-3+ =100, .1-3>3-1→3+3<2.] 48 [变式3]（一3,5）.[根据指数函数的单调性得x2一(m十1)x+ (3)原式=0.41-1+(-2)4+23+0.1 m十4>0对任意x∈R恒成立， 兴+品++品提 所以△=(m十1)2-4(m十4)<0，解得-3<m<5.] [变式4](1)因为这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后 9.(1)将a立+a宁=3两边平方，得a十a1+2=9, 病毒所占内存是原来的2倍，所以x分钟后病毒所占内存为 即a十a1=7. (2)将上式两边平方，有a2+a+2=49, y=2(x>0. a2+a2=47. (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使 (3):a量+a量=(a量)+(a)y=(at+a量)(a-a 用，所以有2+”≤2，解得x≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. ·a克+a1)=3(a+a1-1)=3×(7-1)=18, 基础过美练 而。2+。=，原式-招号铝-8 1.C[由题意得2M,=M,·aax5,解得a=2,令M= 培优奥破练 1.(1)由x=a3+b2,得x-a3=b2, M则完M,=M·2a解得1=50.了 六2-2ax+a-x-ay=6T= 2.A[:不等式mx一n>0的解集为{xx<-2}, .-2m-n=0,即n十2m=0. （2)令a=A,b=B,则 又f(x)为指数函数，∴.b2+1=1, x=A1+3AB2,y=B3+3A2B, ∴.f(x)=a,a>0且a≠1， x+y=A+3AB*+3AB+B'=(A+B)', ∴.f(n)·[f(m)]=a"·(a")2=a+m=a°=1.] x-y=A3+3AB2-3AB-B3=(A-B)3 +b的图象过原点， (x+y)是+(x-y)是=(A+B)+(A-By= 所以fo)=a(号）”+6=a+b=0, 2A2+B)=2a号+6)=8. 又因为图象无限接近直线y=一1，但又不与该直线相交， 2a=70,a=702≠1. 所以y=一1是图象的一条渐近线，所以6=一1，所以a=1.] 同理可得6=70，=70. 4.A[:y=xa5是[0，十o∞)上的增函数， ∴0.65>0.45，即a>b:又y=0.4是R上的减函数， a.6.=702.703.70, ∴0.45>0.46，即b>c.∴a>b>c.] 即ace)-70 5.AB0[A(W),f(x)=a-(（日）广的定义域为R,且f(-x) 对+号+台k-0-xx7 =a-(日)=（日广-a=-fx),故fx)为奇 又a,b,c为正整数，且70≠1，a,b,c均不为1， 函数； .1<a≤b≤c,.a=2,b=5,c=7. 以0.C×f0)=a-(日)°=1-1=0，故方程f)=0 4.2指数函数 在R上有解： 变式加练 [变式1门(1,4).[f(x)=a一1+3的图象是由y=a的图象： D(),当a>1时，函数y=a在R上单调递增，y=(日) 52 在R上单调递减，故f(x)=a' (日)广在R上单调递增] 增函数一域通数=增岳数。 6.(1)由题意知f(x)的定义域为R, 2>1,01+1,fx)e(号)当fxe 若系数y一e为奇函数，则了0)-=0，解得a=, (←2,0)时，Gx)=[fx]=-1,当fx)e[0,2)时， 代人函数f(x)中验证可知f(x)=一f(一x),所以a=1. G(x)=[f(x)]=0,.G(x)的值域是{-1,0： (2)函数y=f(x)在R上单调递增，证明如下： 设x1<x2, CW),f(x)的定义域为R,f(-x)+f(x)= 则f(x1)-fx,)=2-a_2”-4=2a(2-2) 2 2 2+a2+a(2+a)(2+a) 1 因为x1<x,所以2<2，即2一2<0， 1+ 十号年2-1去-0，G为商函数： 且2+a>0,2+a>0, 1 DX),y=2在R上单调递增，y=1十2在R上单调 所以f(x1)一f(x)<0,即f(x1)<f(x2), 递减)-号-车-一号+中2在R上单调递减， 12 1 所以函数y=f(x)在R上单调递增。 综合提能练 即f(x)在R上是减函数.] 1.B[由f(x)对R上任意两个不相等的实数x1,x,不等式 :42.(答案不唯一)[f(x)=2满足24=2·2，即 (x1一x2)[f(x1)一f(x2)门<0恒成立，可知函数f(x)在R f(x1十x2)=f(x1)f(x2),满足①；当x∈R时，f(x)= 3a-20, 2>0,满足②：f(x)=2在定义域内单调递增，满足③.] 上单调递减，则0<a<1, 解得a<号， 5.(1)当m=1时，f(x)=45-21-1, (3a-2)×1+1>a', 令2=t>0,则f(x)=4一21-1可转化为y=t2-2t 所以实数。的取值范隔为[合，号)门 1(>0),即y=(t-1)2-2≥-2， .f(x)的值域为[-2，十∞). 易错提！ 研究分段函数的单调性不仅需要考虑每一段函数的单 (2)令t=2,x>1,t>2, 闲性，还应考虑在端点处的衔接情况. 则f(x)可转化为y=m-2t一m(t>2). ,t=2在(1，十∞)上单调递增， 2B[令g)=fx)-4= -3”-2x,定义域为R, .要使f(x)在(1，十∞)上单调递增， 则g(-x)=写-+2x=g-号+2红=-gx), 1 只需y=md2一21一m在(2，十o∞)上单调递增即可. ①当m=0时，y=一24在(2，十∞)上单调递减，不符合题意； 所以g(x)为奇函数， ②当m<0时，y=2一2一m的图象开口向下，不符合题意： 不等式f(a-6)+f(a)>8, m0, 等价于f(a-6)-4>-(f(a2)-40, ③当m>0时，要满足 解得m≥ 即g(a-6)>-g(a). 上∠2， 因为g(x)为奇函数，所以g(a-6)>g(-a2). 综上，实数m的取值范围是[十) 因为y=子y=-y=-2x均为减函数。 (3)由(1,0)是函数y=∫(x)的局部对称点，得3x∈R, 所以g(x)为减函数， f(1十x)+f(1-x)=0, 则a-6<-a2,解得-3<a<2.] 代人整理得2m(4"+41)-2(2+2)-m=0. 3Bc[A(X),G(-1)=[f(-1D]=[G]=0,G1) 令t=2+2,则≥2，当且仅当x=0时取等号， 则4"+4=(2+2)2-2=t2-2, [f]=[号]=-1，：GD≠G(-1D,G()不是 代人①式得2m2-24-5m=0,即m2=亏24-三 2L=2 偶函数； 53 当>2时，函数y=21和y=一5均单调递增， 即-单+m·2+1>-号， ② y-24-在[2，十o0)上单调递增。 (观家发现研容多分备，故可先将其分痛出来再所究) 不等式@等价于m·≥一多： .21- t 所以m≥2-3=2-3 行， ③ 2×2 “实数m的取值范围为(，] 从而对任意的x1∈[一2,1]，都有不等式③成立， 给优奥破练 故m） ④ 1[3o: [:f(x)=3+2m-1是定义在[-1,1]上的 因为函数y=2和y= 2市在x∈[一-2,1时都单调递增， 3 “倒戈函数”，.3x∈[-1,1]满足f(-xo)=一f(xo), 3 ∴.3+2m-1=-3-2m+1,∴4m=-3-3+2. 所以y=21 2六也单调递增， 构造函数g(x)=-3-3+2,x∈[-1,1]，令t=3, 故（一）=2-品-代入得m≥ 则[片]则gx)可转化为y=一是 -1+2, 所以实数m的取值范周是[？，十) 易知y=--4+2在[子]上单调递增，在[1,3]上单 4.3对数 调递减， 变式仰练 ye[音0小：∴-<4m<0,-<m<0.] [变式1门1)原式=lbg,35X50+2log122-1og,5-1=2. 14 2(1)当m=1时，f(x)=-45+2+1, (2)原式=(1g2+lg5)(1g2-lg2g5+lg5)+3lg21g5= 令t=2,则4=(22)=(2)2=2，f(x)=-2+1+1, lg2+lg5+2g2lg5=(lg2+lg5)2=1. 因为x∈[-2,1，所以2≤2≤2，故≤2≤2。 (3)原式=lg2(2lg2+lg5)+√(g√2-1)月 即1e[日，习]如图y=-+1+1在=2=处分别 =lg√2(1g2+lg5)+1-lg2 取得最小值、最大值， =lg√2+1-lg2=1. 1 [变式2]B[P-1og+log 11十iogi1og =logn 2+logu 3+logn 4+log 5 =log1(2×3×4×5) 所以ym=-2+2+1=-1,ym=-(2)++1=号 =logu 120. logm11-1<logm1201og1121-2,即1<P<2.] 故✉)的值坡是[-1，引- [变式3]由题意得1og(x-1)2-log(x十5)， .(x-1)2=x+5,即x2-3x-4=0. (2)(备件涉复双量湖不等式，可分别考老，：的部分不余来，于是 先考虚这部分) 解得x=一1或x=4. 3x2∈[-1,2]，使f(x1)≥g(x2),所以g(x2)m≤f(x1),① 经检验，x=一1不符合题意，放舍去； 由题意可知，8，)=-（侵） x=4是原方程的解. ,,原方程的解是x=4, 令u=2x3-4x2+3=2(x2-1)2+1,则g(x2)=- )广， [变式4]当a=1时，左边=右边=0. 因为y=一(2）广在R上单调递增，所以：最小时y也最小， 当af1时，logc+wa+log-)a=iog.c+b+iog.(c-b 而u=2(x2一1)2+1，所以当x2=1时，u取得最小值1， log.(c-b)+log.(c+log.[(c-b)(cb)]og.a log.(c+b)·log。(c-b) 1 1 loga logua 故gc,)=-(侵)'=-2代人D得f≥- log+b)a·logc-)a=2loge+ba·loge-ba,即等式成立. 54