4.1 指数-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

因为当：（-10时>0.所以f()》>0, 如图4，函数y=-一(，十子)在x∈[-一1,0)时单调递增。 代人@可得)-=（作）>0. 所以当=一1时、-（2：+是)取得最小值3，放>3： 所以f(x1)>f(x),故f(x)在(-1,1)上单调递减。 当x2=0时，经检验，不等式④即为0<一2，不成立： -1<2x-1<1 当x,∈(0,23时，不等式④等价于b<-(+2）: 所以f(2x一1)>f(x)X一1x<1, 解得0<r<1, 2x-1<x, 故不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0.1). (3)方法一（沙装“任意”知“各在”向个量词，可分别寄表，境容 -103 发是1)这一刚不舍来，放先专虚舍F这部分) 树4 图5 因为v,[专引a>e 如图5，当x,∈(0,2时，函数y=一（：+名)的最大值在 所以f(x1)m>g(x). 由2)可知当，∈[专】时，f✉)=f(信) =E处取得，为人恒+号)=-2E,所以<-22。 (由于是3E[-1,2],使g(x)-1,稀x在[-1,0)上可4 -/(）=-1所以gr)<-1 在(0，门上也行，故上还结黑壶水并事) 于是3x∈[-1,2]，使g(x2)<-1,所以gx)m<-1③ 综上所述，b的取值范围是（一o∞，-22）U(3,十o∞). (观官发是区()是对称轴运动的二涵数，数通过讨论对标轴与 第四章 指数函数与对数函数 区间[一1,2]的位置关承来求烂(x:)的最小值) 4.1指数 变武细综 [变式1门(1)原式=—6+(4-5)+5-4=-6. 图1 图2 图3 当-合>2.即6<-4时，如图1gx)=g2)=2十 (2)当1≤r<3时，√一xy+√(3-x了=1-x|+3 x=x-1十3-x=2:当x≥3时.√(1-x)+√(3-x) b·2+1=2b+5,代入③得26+5<-1， =|1-x十|3一x=x-1十x-3=2x-4. 解得b<一3，结合b<一4可得6<一4： (3)原式=m十n一m一，n<m<0,.m十n<0, 当-1K-台≤2.即-4长b≤2时，如图2.g()加= m-n>0,∴.原式=一(m十n)一(m一n)=一2m. g(-名)=(-台)广+6（名）+1=1-，代人③得1 0原武-哥+√-e)+×2=景 号-8+2=-3. 解得6<-22或b>22, ⑤原式=看。÷。。÷。。=a÷ 结合-≤b≤2可得-4≤b<-22. ÷0=a÷a)÷a)-a÷a÷a号 当-合<-1，即6>2时，如周3，g=g(-1)= a手÷a号-4-a-a (-1)2+b·(-1)+1=2-6,代入③得2-b<-1, [变式2]D[,(a“+a*)2=8→aw+am=6, 解得b>3,满足b>2. .(a-a)2=a"+aw-2=4. 综上所述，实数b的取值范围是（一©，一22）U(3,十∞). 又a>l,b>0,a>at,∴a"-a*=2.] 方法二（接岁法一得到"3r,∈[一1,2]，使：(，）-1，荆 十任：十1<一1”唇，境察发见此不等式中米数6容最分高出表， [变式3]令3”=2=6=11>0)，则3=1产，2=1产6=， 数也听考塘先分高出山再看，但这x:正前郁能款到，数需计论》 然有+行- g(x:)<-1x号+x1+1<-1br:<-x-2, ① 2 当，∈[-1,0时，不等式国等价于6>-（十） [度式41Dr()= 21+2-1, 50 2122+22-2. AX).m+n2=m+w-2m=是+1- (2)由(1)可以猪测结论：f(.x)+f(1一x)=1. .(）”-()==8: 22 24 224 根据函数式fx)+f0-x)-2十产+2+22+2空+ cx).61r=61-8 2 2+2 =1. ×).(）广'=(2)广=2=2=2E.1 设=f(0)+f(品+f()+f()+… 2.C &AC[由2一<化商可得号 (器)+(8)· x20, 所以(x+2)(x-2)>0,所以x>2或x<-2. 将倒序排列，得=（黑）十f(器)十（阳） √25-30x+9x-x-2)F-3=√(5-3r)严 ()++f(品)+f() √x-2)7-3=5-3x-x-2-3. 当x>2时，√/25-30r+9z-√(x-2)F-3=3x-5 根据结论，将上面两式相加得2x=99,放，= 2 x+2-3=2x-6: 基甜过美练 当x<-2时，√25-30r+9.z7-√(x-2)F-3=5-3x+ x-2-3=-2x.] 1.C[A(√)，：a>0,m,n是正整数，且n>1,∴a"= 4ABD[A(/),￥3=8=24，∴.(3)=24，(8)"= a 24..3=24,8=24,.3·8=24,24= B(√)，显然a°=1. 24+,∴.ab=a十b: C(X)a=1=1 B以/)，"'ab=u十b≥2ab,且易知a≠b,∴.ab>2√ab, ..a十b=ab>4: D(J),当n取偶数时，a=la=a: D√)，a°+b2>2ab>8: 当n取奇数时，a=a.综上，a=a.] C(×),(a-1)2+(b-1)°=a2+b-2(a+b)+2>2ab 2(a+b)+2=2.] 2c-6w+[(-3-5-1+3g=(-+ 5.v6-V2.[W11-230+√7-2/10 -+[)门=-4+8-1+ =√(6-5)+√(w5-2) 3.D[设1月份的生产总值为a,月平均增长率为x,由题意， =6-51+15-21=6-5+5-2=6-2.] 得a(1+x)=ka,解得x=F-l.] 6.90.[由于“从发电厂出来的90℃的热水，在10℃室温下， 温度降到50℃需要30分钟”，所以50=10十(90一10)· .[10子=(10)是10)=2x3t=5× 2,解得长=0则降温到20℃时.有20=10十(90 店5 10)·2家，解得1=90，故降温到20℃需要90分钟.] 5.x+x+1.[原式-[(x立+1)2-x](x-x京+1)= 1.2-2 (x+x支+1)x-x寸+1)=(x+1)2-(x)=x2+x+1.] [原式=(+是)(1+)(1+)(1+号)(1+)× 6原武=a专b·a是：a=-a6=2×2-回 24 (1+2)1-)×2 综合提能编 =(1+)1+)(1+)(1+)(1+)× 1.B[因为m,n是方程2r°+3x一1=0的两根， 3 1 所以m十n=一之，mm=一2 (1-)×2 。是省运用根与系数的吴原 51 =1-)x2 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 的.y=a的图象过定点(0,1)，则f(x)=a一十3的图象过 2 定点(1,4).] [变式2]D[:c<h<a且f(c)>f(a)>f(b), 8源式=1+×（）-（）=1+日 <0,a>0,b的正负不能确定，由c<b,得3<3，.A 2原式-（停）+6+(》 和B排除。 又c<0<a且f(c)>f(a). +10+-8+-1 ∴.1-3>3-1→3+3<2.] 48 [变式3]（一3,5）.[根据指数函数的单调性得x”-(m+1)x十 (3)原式=0.4-1-1+(-2)4+21+0.1 m十4>0对任意x∈R恒成立， 91+洁+g+品思 所以△=(m十1)-4(m+4)<0,解得-3<m<5.] [变式4](1)因为这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后 9.1)将a寺+a寺=3两边平方，得u十a1+2=9, 病毒所占内存是原来的2倍，所以x分钟后病毒所占内存为 即a十a1=7. (2)将上式两边平方，有a+a2+2=49, y=2(>0). (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使 .a2+u2=47. (3)ai+a=(at)+(a)=(a+a)(a-a 用，所以有2≤2”，解得r≤57. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. ·4克十a-1)=3(a十a-1-1)=3×(7-1)=18. 基甜过关练 面。+。=，原武-招号是-8 1.C[由题意得之M,=M·aax,解得a=2,令M 培优突破练 1.(1)由x=a3+62,得x-a3=b, M.则言M=M·2,解得1=50，] 2.A[:不等式mx一n>0的解集为{xx<-2), ∴.r-2ax+a=(x-a)=(6)F= ,.一2m-n=0,即1+2m=0. (2)令a1=A,b5=B,则 又f(x)为指数函数，.b+1=1, x=A+3AB.y=B3+3A'B. ∴.f(x)=a',a>0且a≠1， x+y=A+3AB:+3A'B+B=(A+B), ∴.f(n)·[f(m)]=a"·(a")2=a"+m=a°=1.] -y=A+3AB*-3A'B-B=(A-B)". c[fx)=a() 十b的图象过原点， (x+y)+(x-y)是=(A+B)+(A-B)= 所以f0)=u(号) 十b=a十b=0. 26A+B)=2a5+6)=8 又因为图象无限接近直线y=一1，但又不与该直线相交， 2:a=70,a-70≠1. 所以y=一1是图象的一条渐近线，所以b=一1，所以a=L.] 同理可得6产=70=70 4A[:y=xa6是[0，十p)上的增函数， 0.6">0.45,即a>b:又y=0.是R上的减函数， a.62.=70.705.70. ∴.0.445>0.4%，即b>6.∴4>b>6.] 即(ace)-70号 5.ABD [A(),f(r)=a"- 的定义域为R,且f(一x) 又1+⊥+1=1 xy+÷=0·ac=70=2x5x7. (）=() -a=-f(x),故f(x)为奇 又a,b,e为正整数，且70≠1，a,b,c均不为1， 函数： ∴.1<ab≤c,∴a=2.b=5,c=7. B/),C(×),f(0)=a°- ）=1-1=0,故方程fx)=0 4.2指数函数 变武孤练 在R上有解： [变式1门(1,4).[f(x)=a1十3的图象是由y=a'的图象 D√).当a>1时，函数y=a在R上单测递增y=(日) 52第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 A基础过关练 测试时间：20分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型1门(2025·湖南长沙雅礼中学高一期中) 1.[题型2](2024·四川绵阳高一期中)若m,n是 若a>0,m,n是正整数，且n>1,则下列各式中 方程2x2+3x一1=0的两根，则下面各式的值 不正确的是( ) 等于8的有( . Aa”=a B.a°=1 A.m2+n2 C.a-:--Va" D.Va"=a 2.[题型1](2024·湖南长沙名校联合体高一联 C.64m () 考)计算(-64)言+[(-3)]序-(2-1)°+ 2.[题型2]已知x+x青=5，那么x+x青 (). ARCD A.7 B.-√7 C.±7 D.7 3.[题型2](2024·甘肃庆阳高一期末)（多选）若 3.[题型1]新情境2024年2月29日，国家统计局 发布公报，初步核算，2023年全年国内生产总值 2-z<1,则化简V25-30x+97-VG红-2 4 比上年增长5.2%.某地区2023年12月份的生 一3的结果可能是( 产总值是这年1月份生产总值的飞倍，则该地区 A.2x-6 B.4x-6 在2023年生产总值的月平均增长率为( C.-2x D.2x+4 A合 a合 4.[题型2](2025·江苏常州期初测试)（多选）已 知3=8=24，则a,b满足的关系是(）. C.F-1 D.E-1 A.a+b=ab 4.[题型2]已知10=2,10-3，则10号= B.a+6>4 C.(a-1)2+(b-1)2<2 5.[题型1们化简：(x+x+1)(x-x+1）: D.a2+b2>8 (x-x+1)= 5.[题型1]化简：√11-230+√7-2√10= 6.[题型1]已知a=2十，b=号 6.[知识点2]跨学科(2024·江苏扬州高一期末) (√a)2的值. 已知物体初始温度是T。,经过t分钟后物体温 度是T,且满足T=T。十(T。一T.)2(T。为 室温，k是正实数).某浴场的热水由附近发电厂 供应，已知从发电厂出来的90℃的热水，在 10℃室温下温度降到50℃需要30分钟，那么 降温到20℃需要 分钟 43 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, 7.[题型1门化简：(1+)(1+)(1+)× C培优突破练 。测试时间：10分钟 (1+)+0+2)-— L.(1)已知x=a3+b-2,试化简x2-2a3x+a百： 8.[题型1门计算下列各式： (2)设a+b3=4,x=a+3a36,y=b+ 2)°+2×)-0.o1, 3a6,求(x十y)+(x-y)的值 3)(0.064)寸-()°+[(-2)]+ 1645+1-0.01序. 9.[题型2]已知a+a音=3，求下列各式的值： 2.对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y, (1)a+a-1; (2)a2+a-2; 2,0,若a2=b=c=70≠1,1=1+1+ w t y (3)a2+a3-2 a+a-3 子求26c的位 44