2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

m≥4.故选B.] 培优实破练 归纳总结) 含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的 1.54. [由题设知，9=xx+2y)=-x(分x+2x+2y)≥ 取值范围化归为代数式的最值问题.a>y恒成立台a> 1 ymsa<y恒成立台a<ym x·32x· 7x2y,所以3≥x22x·x·2 5.2.[因为(x一y)2=(xy)3且x,y是正实数，所以两边同 x<2:3=54,当且仅当分=2y,即x=后y=后时等 时除以(w只，得（号）广=，又因为（侵+）广 号成立.所以xy的最大值为54.] 25 (（号》'+号-+>四·哥=4，当且仅当 210.[由题意知，t≥x2>0,t≥ ->0, =即1=2+Ey=2一反时等号成立，所以+日 y ≥x2·yx-y 25 25 +227T-x2.10-10. 25 ≥4=2.] 又x2· y-)≥x2. x 6(1)若正实数xy满足xy=3x+y,则上+3=1， 2 x y t2≥100，即t≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，t= 所以x+y=+侵+）=++号≥4+25， y m女25}的最小值为1a] 当且仅当之-3延，即x=1+3,y=3+5时取等号， 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 所以x十y的最小值为4十23. 变式如练 ②正实数e6y满足号-苦 =1,且a>b, [变式1门(1)解方程x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x一5x一6的图象知，原不等式的解集为 则a-6=-6-) (xx<-1或x>6}. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0， =x2+y2-（ 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6. 因为2 ar ta'y! 结合二次函数y=x2-7x十6的图象知，原不等式的解集为 、6≥26. =2lxyl, (xl1<x<6. 当且仅学学-学时散等号， (3)原不等式可化为8x2-8x十4>4x-x, 即9x2-12x+4>0, 以。-=+-（学+）+-2o≤ 解方程9r2-12z十4=0，得=4=号 x2+y2-2xy=(x-y)2, 所以a2-b2≤(x-y)产. 结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知，原不等式的解集 (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2, 为≠号引 令x=√3m-5,y=V√m-2,则x2-3y2=1, [变式2]当a<2时，(a-2)x2+(2a-1)x十6>0→ 令a2=1a>0).6=号b>0, [2-a)z-3x+2<0,故解集为-2<22： 所以M=Vm司-m=-不-5， 当a=2时，3x十6>0，解得x>-2,故解集为{xx>-2}: 当且仅当号x2=3y即x=3y时取等号， 当a>号时，a-2)r2+(2a-1Dz+6>0→[a-20z 结合-3y=1,解得z-y-。 +3]Gx+2>0,由于22。>-2，故解集为>22。或 即√3m5-号所以m是 x<-2 所以M的最小值为号此时m=是 当2<a<号时，由于22。<-2，故解集为>-2或 20 解得-2<a<2. 综上，-2<a≤2.] 当a=2时，a-2)r2+(2a-1)x+6>0>x2+红+4>0， [变式6]ABC[不等式x2-4x一a-1≥0在x∈{x|1≤x≤ 4)上有解等价于a≤(x2-4x-1)m*.设y=x2-4x-1, 故解集为{xx≠一2. 1≤x≤4，即y=(x一2)2-5，而当x=1时，y=一4：当x= 综上所述，当a<2时，解集为女-2<23a: 4时，y=-1,故y=x2-4z-1在x∈(x|1≤x≤4}时的最 当a=2时，解集为{xx>-2): 大值为-1，故a≤-1.] 当>名时，解集为>2或x<-2: 甚甜过美霸 1.D[易得集合S={xx≤2或x≥3)，结合数轴，可得S∩ 当2<a<号时，解集为>-2或x<22a} T={x10<x≤2或x≥3引.] 当a=2时，解集为xlx≠-2. 2.B[在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,△ABC为等腰直角 三角形，设AD=x米，则EF=FC=AD=x米，FA= [变式3]AC[A(/),:关于x的不等式ax2十x十c≥0的 (200-x)米，依题意有x(200-x)≥7500，解得50≤x≤ 解集为{xx≤-3或x≥4}，二次函数y=ax2+br+c 150.即AD的长度（单位：米）范围是{AD|50≤AD≤1501.] 的图象开口向上，即a>0: 3.B[由“3x∈R,(m-1)x2+2(1一m)x十3≤0是假命题” BX),由题可知，方程ax2+bc十c=0的两个实数根为一3,4， 可得“Vx∈R,(m一1)x2十2(1一m)x十3>0是真命题”. -3+4=-6 当m一1=0，即m=1时，不等式3>0恒成立： a b=一a, 解得 m-1>0, -3×4=￡ lc=-12a, 当m一1≠0，即m≠1时，满足 [2(1-m)]2-4(m-1)×3<0, 则bx十c>0等价于-ax一12a>0,又a>0,,∴.x<一12， 解得1<m<4.放1≤m<4. .不等式bx十c>0的解集为(xx<-12}: 又{mm>0)早{m1≤m<4},∴为必要不充分条件.] C(/),不等式cx2-bx+a<0等价于-12a.x2+ax十a< 4BC[A(×),:关于x的不等式ax2+br十c>0的解集为 0,即122-x-1>0,解得z<-或x> {xx<-2或x>3}, .a>0且一2和3是方程ax2+x十c=0的解， 不等式e2-h如+a<0的解集为lk<-或x>}, -2+3=-6 a 即b=一a,c=-6a(a>0): D(X),a+b+c=a-a-12a=-12a<0.] -2X3= [变式4]D[本题即mx2-mx十m一5<0对于任意的1≤ a x≤3恒成立 B(√)，不等式bx一c>0可化为x一6<0，故不等式bx-c 令y=mx2-mx+m-5,1≤x≤3， >0的解集为{x|x<6}: 若m-0,-5<0恒成立： C(/),4a+2b+c=4a-2a-6a=-4a<0: 若m<0,当x=1时y最大，且ym=m-5<0, D(X),a.x2-bx+a≥0， 解得m<5,m<0: ax2十a.x十a≥0，即x2+x十1≥0，解集为R.] 若m>0,当x=3时y最大，且y=7m-5<0, 5.(1)由题意得，当a=2时，(x一1)(ax十a一1)=(x一1)(2x 解得m<号，0m<号 +1)<0,解得-2<x<1. 综上所述，实数m的取值范围为一m<}门 故当a=2时，关于：的不等式的解集为女-2<x<) [变式5]{a|-2<a≤2.[命题“存在实数x,使得(a一2)x2+ (2)当a>0时，不等式可化为(x-1)(x+1-)<0,(z 2(a一2)x一40成立”是假命题，则其否定“V实数x,都能 使得(a一2)x2+2(a一2)x一4<0成立”是真命题. D(+1-）-0的根为-1--1 当a=2时，原不等式化为一4<0恒成立； ①当0a<时1<-1， a-2<0, 当a≠2时， 4=4(a-2)2+16(a-2)<0, 不等式的解集为1<}-。 21 ②当a=2时，1=}-1，∴不等式的解集为0. <0的解集非空一定成立 ⑦当a>时，>}-1 综上所述，实数m的取值范盟为m<2}门 ∴不等式的解集为女日-1<1： 51)设每件定价为1元，则8-二气×0,2)≥25×8， 整理得t2-65t十1000≤0，解得25≤t≤40. 综上，当0<a<2时，不等式的解集为1<x<-1小： 故要使该商品的年销售收入不低于原收人，每件定价最多为 当a=之时，不等式的解集为②； 40元 (2②)由题意得，当x>25时，ar≥25×8+50+行女-60) 当a>2时，不等式的解集为女日-1<x<. 综合提能练 有解，等价于当>25时≥+看有解， 1.C[关于x的不等式a.x2+2bx十4<0的解集为{x 2+≥2音=10，当且仅当2=即 30时等号成立，即a≥10. x∠m ,其中m<0,所以m和 4是方程ax2+2br十4=0 故当该商品明年的销售量α至少达到10万件时，才可能使 明年的销售收入不低于原收人与总投人之和，此时每件商品 42b m十 a 的定价为30元. 的实数根，由根与系数的关系知K mX4、4 解得a=l, 622.[由a>0可知，函数y=ax一2中y随x的增大而 m a 6=(+)>0，所以哈++之≥2，当且仅当 增大，且当0<x<2时，ax-2<0:当x>2时，ax-2>0. 由(a.x-2)(x2+br-4)≥0在x>0时恒成立. 冬合：即6=4时取“-”所以名+分的最小值为2] 则当0<名时，2+6红-0恒成立： 2.C[不等式x2-(a+1)x十a<0,可化为(x-a)(x-1)<0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为空集，不 当x>2时，x2十bx-4>0恒成立， 符合题意： 故有x=子时，（侣）‘+6·名-4=0，则有6=2a-吕则 当a>1时，不等式x-(a+1)x十a<0的解集为{x|1< x<a},要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整数解， +-a+2,后-2，当且仅当。-号时 有b 则5<a≤6： 等号成立.] 当a<1时，不等式x2-(a十1)x+a<0的解集为{x|a< 一分要纳标准为对在的一元二次方程两根的大小美系 培优突破练 x<1,要使不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解， 1a>: [(蝇容发现若将箭两项提公因式a,刚a只出 则-4≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a一4≤a<-3或5<a≤6.] 现一次，察易将其分扁出桑，故考意乘堂分偏) 3.(x-3≤x<3.[不等式[x]+[x]-12<0可化为(x] ax-ax+1>0=a(x2-x)>-1, ① 十4)([x]一3)<0，解得一4<[x]<3,即一3≤x<3,所以不 当-2≤x≤-1时，x2-x=x(x-1)>0, 所以不等式①等价于a>一亡 1 等式[x]+[x]-12<0的解集为(x|-3≤x<3.] ② 4{m<2}.[肖m+1=0,即m=-1时，原不等式可 从而题设条件等价于存在一2≤x≤一1，使不等式②成立， 化为x一2<0，解得x<2,满足题意； 放>() ③ 当m+1>0,即m>一1时，不等式(m十1)x2一mx十m-1 (怎样来读最小值？注意到当一2≤x≤一1时，x2一x=x(x一1)> <0的解集非空，只需△=m2-4(m+1)(m一1)>0，解得 0,所以华使表小，只多表大，即-三美小，食可免 -1Km<25, 分桥x一士的最小值】 当m十1<0，即m<-1时，不等式(m十1)x2一mx十m一1 如图，当一2≤x≤一1时，函数y=x2一x的最小值在x= 22 -1时取得，所以(2-）=2，故(）=一2 22一-0×+2=12，当且仅当x-2- 22即 代人③可得a>-] x=7时等号成立.] 5.C[因为命题“3x。∈{x|-1≤x≤1}，-x8+3x0十a>0” 为真命题，所以命题“3x。∈(x|一1≤x≤1}，a>x8-3x。” 为真命题，所以xo∈(x|一1≤x≤1}时，a>(xi-3xo)m 2.①若方程x2十ax+2=0有实数解xo,则0=|x6+axo十 因为y=-3x-(-)°-是，所以当x∈x-1K 2≥x。+1.此时x0=-1,则有1+a·(-1)+2=0→ x≤1)时，ym=一2，当且仅当x=1时取得等号.所以xo∈ a-3,则|x2+3x+2|≥x+1川，又易知该不等式在x=-2 (x|-1≤x≤1}时，a>(x8一3xo)mm=-2,即实数a的取 时不成立，故该情况不满足题意 值范围是{aa>-2}.] ②若方程x2+ax+2=0不存在实数根，则x2+ax十2>0：6.B[因为x>y>x,所以x一y>0,y之0，xx>0, 恒成立，此时△=a2-8<0,解得-2√2<a<2√2，则原不等 善本不等式应用的前提条件 式等价于x2+a.x+2>x+1或x2+a.x十2≥-x-1. 六十产恒成立 当x2+ax+2>x+1时，有x2+(a-1)x+1≥0， 等价于<气十))红-)相成立 ∴.△1=(a-1)2-4≤0，∴-1≤a<22: 当x2+a.x+2>-x-1时，有x2+(a+1)x+3>0, 因为x一x=(x一y)十(y一)， ∴4a=(a+1)2-12≤0，.-22<a≤25-1. x一yy一g 综上所述，所求实数a的取值范围为{a一1≤a≤23一1. (y-z)] 第二章单元学能测评 。工一=（红一y)十(y一）不易到，根为隐 1BA,因为导>兰，且c>0,所以o>6 =2+号+>2+2写只-4 x-y y-z B(X),当a=-2,6=-1时，满足a2>,ab>0,此时三2 当且仅当二三=二义，即x一y=y一x时等号成立， x-y y-z 一片不满足<合 所以要使<（号十，）红一相成立 C(√)，因为c<d,所以-c>-d,又a>b,所以a-c>b-d: 所需n≤4(n∈ND,所以n的最大值为4.] D/),若-1<a<5,2<b<3,则-1×3<ab<3×5,即-3< 思维过程 ab<15.] 1一十 1 2B[由题知0<1，不妨取x=号，故a=号，6=1c= 2,故c>a>b.] -准减主，又x-=-叶0-，持合8 3.D[一元二次不等式ax2+bx十c>0的解集为{x|-2< 本不等式即可求解」 x<1},所以a<0,且一2,1是一元二次方程ax2+bz+c=0 的两个实数根， 7.A[x2-3xy+4y2-g=0,x=x-3xy+4y2. 所以-名=-2+1=-1，台=-2×1=-2， 又x,y,x均为正实数， a 1 1 所以b=a,c=-2a,且a<0, x2-3xy+4y 一=1， y r 所以不等式cx2+a.x+b≥0可化为-2ax2+ax十a≥0， 即2x2-x-1>0,解得x≤-2或x≥1， 当且仅当x=2y时取“=”，（受）=1，此时x=20 .z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y·y+4y2=2y2, 因此所求不等式的解集为z≤-之或x≥门 2+号2+-（号）+11，且 40[>2-20,x+52-2+2计 仅当y=1时取得“=”，满足题意 23重难点手册高中数学必修第一册RJA 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 重点和难点 课标要求 重难点：二次函数与一元二次方程、不 1,理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 等式的联系，借助二次函数求 2.掌握一元二次不等式的解法。 解一元二次不等式。 3.初步掌握一元二次不等式的应用. 用H 必备知识梳理 H用 基础梳理 知识点（①一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称 明概念海 为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx十c> 对一元二次不等式概念的理解 0(≥0)或ax2+bx十c<0(≤0)，其中a≠0且a,b,c为常数. (1)一元二次不等式中的 ◆明版念为 “一元”是指不等式中所要求解 的未知数，并且这个未知数是唯 知识点②二次函数与一元二次方程、不等式的关系 一的.但这并不意味着不等式中 1.二次函数的零点 不能含有其他字母，若含有其他 般地，对于二次函数y=a.x2+bx十c,我们把使ax2+bx十 字母时，则应把其他字母看成 常数 c=0的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.二次函数 (2)一元二次不等式中的 的零点个数可以为2,1或0 “二次”是指所要求解的未知数 2.三个“二次”之间的关系 的最高次数必须是2，且最高次 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表， 项的系数不为0 (3)使某个一元二次不等式 △>0 △=0 △<0 成立的x的值叫作这个一元二 次不等式的解.一元二次不等式 y=ax2+bx+c 的所有解组成的集合，叫作这个 (a>0)的图象 一元二次不等式的解集，将一个 Ox=x:x 不等式转化为另一个与它解集 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数 有两个相等的实数 相同的不等式，叫作不等式的同 (a>0)的根 根x1x红(x1<x2) 没有实数根 根x1=x2= b 解变形， 2a ax2+bx+c>0 (x|x<x1,或x>x2} xx≠- b 2a R 敲黑板) (a>0)的解集 (1)从函数的观点来看，一 a.x2+bx十c<0 (rlI<I<z:) 0 元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 (a>0)的解集，就是一元二次函 ◆助理饭 60 第二章一元二次函数、方程和不等式 知识点③一元二次不等式的解法 数y=ax2+bx十c(a>0)的图 象在x轴上方部分的点的横坐 求解可化成ax2+bx+c>0(a>0)形式的不等式的过程用框 标x的集合：ar2十br+c<0 图表示如下： (a>0)的解集，就是一元二次函 将原不等式化成a.x+bx+c>0(a>0)的形式 数y=a.x2+br十c(a>0)的图 计算△=6-4ac的值 象在x轴下方部分的点的横坐 标x的集合 △>0 △=0 4<0 方程a.z+bx+c=0 (2)从方程的观点来看，一 方程ax+bx+c=0 方程a.x+bx+c=0 有两个不相等的实 有两个相等的实数 没有实数根 元二次方程的根是一元二次函 数根x.x(c<x) 根x,=x=-2a 数的图象与x轴交点的横坐 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集为R 标，一元二次不等式a.x2+bx+ {x<x或x>x} c>0(a>0)的解集就是大于大 2a 根或者小于小根的实数的集合： 重难拓展 ax2十bx十c<0(a>0)的解集 重难点①分式不等式与高次不等式的解法 就是大于小根，且小于大根的实 数的集合 1.分式不等式的解法 固此，利用一元二次蓝数的 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式， 图象和一元二次方程的两个根 设A,B均为含x的多项式 就可以解一元二次不等式 I合0AB>0, (2) (3)三个“二次”的关系如图 B <0台AB<0. 所示 AB>≥0， B≠0. (哈 AB≤0， 二次品数 B≠0. 2.高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于 根的讨论 一元二次 方程 求解集 不等式 2,一般使用“穿针引线法”，具体思路如下： (1)标准化.通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未 知数的整式，右侧化为0的形式. (2)分解因式.将标准化的不等式的左侧化为若干个因式（一 次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x一x1)(x一x2)…(x xn)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正 (3)求根.求(x一x1)(x一x2)…(x一xn)=0的根，并在数轴 上表示出来（按从小到大的顺序标出）. (4)穿线.从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注 意经过偶次根时应从数轴的一侧仍穿回到这一侧，经过奇次根时 应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧. (5)得解集.若不等式（未知数的系数均为正）是“>0”，则找 “线”在数轴上方的区间：若不等式（未知数的系数均为正）是“< 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA 0”,则找“线”在数轴下方的区间 倒日1)解不等式号子存>0： 5.x 2)解不等式市产GD (3)解不等式 x-7≤x-1. 解析①不等式行>0等价于红-2ú十<0，解得-4K<2, 即解集为{x|-4<x<2. (2)将原不等式移项、通分、整理化简为 GDU D0.DD -5x2-x-4 5c+z+4-+}+碧o, ∴.原不等式等价于(x十1)(x-1)<0,易知一1<x<1. 故原不等式的解集是{x|一1<x<1). (3)将原不等式移项、通分、整理得 红-3+D≥0e=r-3+1)6x-120, (*) x-1 x一1≠0. 令y=(x-3)(x+1)(x-1)=0, 得x1=一1，x2=1,x:=3,它们将R分成四个子区间，分别在各子区间 赋值，判断y的符号，如图所示。 --1 1-/3 由图可知不等式组()（原不等式）的解集为{x|一1≤x<1或x≥3). 培优突破 突破点①利用根与系数的关系构造方程 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元 二次方程，结合解方程或判别式的符号来解题 例日若x=2-3,求2二4红)-2 x2-4x+5 解析方法一 (x2-4x)(x-2)=x(x-2)(x-4) x2-4x+5 x2-4x十5 -2-3)×(-3)×(-3-2_ (2-3)2-4×(2-√3)+541 方法二假设y=2+3,则x十y=4,xy=1, 于是xy是方程t2-4t十1=0的两个根， 由方程根的定义知x2一4x十1=0， 利用根与系数关系构造方程，进行整体代换 62 第二章一元二次函数、方程和不等式 所以原式==4红)红=2--x+2_5 x8-4x+5 4 4 例图已知实数x,y,2满足x+y十x=5,xy十yz十x=3, 求之的最大值 思维过程 第一个条件是三数之和，第二个条件是任意两数乘积之和，要求之的 最大值，可以由条件分别用含x的式子表示x十y,xy,只剩之一个变量， 有利于计算 解析由条件得x十y=5-x,则xy=3-x(x十y)=3一z(5-一x)=x -5z+3. 所以x,y是关于t的一元二次方程t2-(5一g)1十x2-5z十3=0的两 个实数根 故4=(5-x)2-4(z2-5z十3)≥0，即3z2-10z-13≤0， 要求之的最大值，常得到是于：的不等式，所以考武剂别式的符号 整理得(3x-一13)(x+1)≤0，解得-1≤≤3 3 要求：的最大值，只省考虑<号的等号是香成立，当红=y 3时， 3 故：的最大值为号 H3H国 关键能力提升 4 题型（①解一元二次不等式 所以方程有两个实根x1=4一√3，x2=4十√13. 1解不含参数的一元二次不等式 又二次函数y=一x2十8x一3的图象开口向下， 例④解下列不等式： 所以不等式的解集为{x4一√3<x<4十√/3. (1)2x2+7x+3>0: 3)原不等式可化为2红-》广<0， (2)-x2+8x-3>0; (8)-4r2+18z-8>0: 所以原不等式的解集为女女=》 (4)原不等式可化为x2一6.x+10<0, 022+3z-5>0, 因为4=(-6)2-40=-4<0， 所以方程x2一6.x十10=0无实根， (5)-2x2+3.x-2<0. 又二次函数y=x2一6x十10的图象开口向上， 解析(1)因为原不等式可化为(x+3)(2红十1)>0， 所以原不等式的解集为☑. 所以方程有两个不等实根x1=一3，x:= 、 (5)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 又二次函数y=2x2十7x十3的图象开口向上， 因为△=9-4X2×2=-7<0, 所以方程2x2一3x十2=0无实根. 所以原不等式的解集为z>-2或x<-3 又二次函数y=2x2一3x十2的图象开口向上， (2)因为△=8-4×(-1)×(-3)=52>0， 所以原不等式的解集为R 63 :3: 重难点手册高中数学必修第一册RJA 变式0解下列不等式： 次项系数小于0，则需将不等式转化为二次项系数 (1)x2-5.x-6>0: 为正的不等式。 (2)-x2+7x>6: (3)若不等式对应的一元二次方程根的情况不 (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x) 确定，需先对其判别式△进行讨论（如果可以直接 2.解含参数的一元二次不等式 分解因式，可省去此步).确定无实根时，可直接写 例5解关于x的不等式ax2-2≥2x 解集，确定共有两个实根时，还要讨论两根的大小 关系，从而确定解集 a.x(a∈R). 解析原不等式可化为ax2十(a一2)x一2≥0，即 变式2解关于x的不等式(a-2)x2十 (ax-2)(x+1)0. (2a-1)x+6>0. ①当a=0时，不等式化为x十1≤0，解得x≤-1. 题型②三个“二次”之间的关系 ②当>0时，不等式化为-）x+1D≥0， 例6(2024·河南驻马店期中)若不等式 解得≥2或x≤-1.国为>0，所2>-1 ax2+bx十c>0的解集为{x|-3<x<2},则 不等式ax2+(a+b)x+c-2a>0的解集为 ③当a<0时，不等式化为-）6z+1D<0 A.{x|-4<x<2} (由于子与-1大小不宽，款还名特轮) B.{x|x<-4或x>2》 当子-1，即a<-2时，解得-1<号 C.{x|-2<x<4}》 a D.{x|x<-2或x>4} 当2=-1，即a=-2时，解得x=-1: 解析因为不等式ax2十bx十c>0的解集为{x 当2<-1，即-2<a<0时，解得2<r≤-1. -3<x<2}, 所以a<0且一3和2是方程ax2+bx+c=0 综上所迷，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤ 的解， -1}: 由根与系数的关系知， 当a>0时，不等式的解集为工>是或x≤-1： 3+2=- a b=a: 解得 当-20时不等式的解集为吕≤<一-： -3×2- c=-6a, a 当a=-2时，不等式的解集为{一1}： 所以不等式a.x2+(a十b)x十c-2a>0可化为 当a<-2时，不等式的解集为-1r<引 a.x2+2a.x-8a>0,即x2+2x-8<0, (之所以变号是因为a<0,此处易错) 归纳总结 即(x十4)(x-2)<0,解得-4<x<2, 含有参数的一元二次不等式的讨论原则 所以不等式ax2+(a十b)x十c-2a>0的解集 (1)若二次项系数不含参数，且不等式对应的 为{x|一4<x<2}. 方程有实数根，只需讨论参数以确定根的大小，即 答案A 可写出解集 归纳总结 (2)若二次项系数含有参数，需对二次项系数 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次 分等于0，大于0，小于0三种情况进行讨论.若二 不等式的解集可逆向推知它的系数所满足的条件 64 第二章一元二次函数、方程和不等式 (即相应的一元二次方程的根、根的判别式的情况 △=(a-1)2+4(a2-1)<0, 若a≠±1，则当 及二次项系数的正负等)，再利用根与系数的关系 a2-1<0 即可解决问题 时，不等式的解集为R,解得-号<a< 变式3(2025·陕西西安交大附中月考) 综上，实数a的取值范是{a-<a<1 (多选)已知关于x的不等式a.x2十bx+c≥0 的解集为{x|x≤一3或x≥4}，则下列说法正 答案 a-3<as1. 确的是(). 归纳总结 A.a>0 当未说明不等式ax2十bx十c>0为一元二次 B不等式bx十c>0的解集为{x|x<一4 不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为 C.不等式cx2一bx十a<0的解集为 a>0, a=b=0, 或 <减> A<0 c>0. D.a+6+c>0 2.在某取值范围上恒成立问题 题型③一元二次不等式恒（能）成立 例⑧(2024·陕西西安期中)当x>1时， 问题 不等式x2+ax+9>0恒成立，则实数a的取 1.在实数集上恒成立问题 值范围为 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任 解析方法一，当x>1时，不等式x2十az十9 >0恒成立， 意xER恒成立的条件是a>0, △<0. .只需求出函数y=x2+ax十9(x>1)的最小 值，令最小值大于0即可 (2)一元二次不等式a.x2+bx十c≥0对任 意xER恒成立的条件是a>0, 函数y=x2十ax十9的图象的对称轴为x= 2 4≤0. 当-受≤1，即a>-2时，函数在x=1处取得最 (3)一元二次不等式a.x2+bx十c<0对任 小值a+10,则a+10≥0，故a≥-10， a<0, 意x∈R恒成立的条件是 .a≥-2. △<0. (4)一元二次不等式a.x2十bx十c≤0对任 当-号>1，即a<-2时，函数在x=-号处取 意x∈R恒成立的条件是 a<0, 得最小值(-》”-号+9=9- △≤0. 例7若对任意实数x,关于x的不等式 9->0,解得-6<a<6, (a2-1)x2-(a一1)x-1<0恒成立，则实数 ∴.-6<a<-2. a的取值范围为 综上，实数a的取值范围为{aa>一6}. 解析若a-1=0,则a-土1. 方法二（分离参数法），x>1, 当a=1时，原不等式为一1<0，解集为R,满足 题意：当a=一1时，原不等式为2x一1<0，解集为 由r+ax+9>0得a>-(e+2) {口r<,与题意不特 9 =6,当且仅当x=9 65 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 即x=3时等号成立， 即使mlk-》'+m-6<0,xezl1<<3 六-(+)的最大值为-6， ∴.a>一6，故a的取值范围为{aa>一6}. 令g=mk-》}'+m-6zz1≤3. 答案{aa>一6}. 当m>0时，二次函数的图象开口向上， 归纳总结 .当x=3时，g取最大值. 设y=a.x2十bx十c(a≠0). 7m一-6<0，解得m<号，故0m<号 (1)当a>0时，y<0在{x|a≤x≤B}上恒成 [aa2+ba+c<0, 当m=0时，一6<0恒成立. 立台 a32+b3+c<0: 当m<0时，二次函数的图象开口向下. (2)当a<0时，y>0在{zla≤x≤B}上恒成 .当x=1时，g取最大值， [aa2+ba+c>0, ∴m一6<0，解得m<6,故m<0. 立台 a32+b3+c>0: 综上所迷，m的取值范国是{mm<》: (3)y>0在{xa≤x≤3}上恒成立台{x|a≤d ≤9}二A,其中A是y>0的解集。 方法二：mx2一m.x一1<一m十5恒成立，即 m(x2-x十1)-6<0恒成立. 例⑨设函数y=mx2一mx一1. (1)若对于一切实数x,m.x2-mx一1<0 x-x+1-(-}+>0， 恒成立，求m的取值范围； 6 ..m< (2)对于x∈{x|1≤x≤3}，m.x2-m.x x2-x+1 1<一m+5恒成立，求m的取值范围. :函数y=-x+1 6 6 在{x|1≤ 思维过程 -+ (1)因为二次项系数m具有不确定性，所以我 们要分m=0和m≠0讨论求解。 3)上的最小位为气， (2)根据x∈{x|1≤x≤3}时，mx2一mx一1< 一m十5恒成立白x∈{x|1≤x≤3}时，(mx2-mx 占只者加<号即牙 一1)<一m十5求解.也可采用分离参数法，得 ∴m的取值范国为mm<号》 mx-x十对x∈{xl1≤x≤3}恒成立m< 6 变式④(2024·河南商丘期中)若对于任 意的1≤x≤3，mx2一mx十m<5恒成立，则实 数m的取值范围为( 解析(1)要mx2-mx一1<0恒成立， A.{mm≤0} 若m=0,显然一1<0，满足题意； m<0, Bm0m<} 若m≠0，则 △=m2+4m<0, 解得-4<m<0. cmm<0或0<m< 综上所迷，m的取值范围是{m|一4<m≤0}. (2)方法一要使mx2一mx-1<一m十5， nmm<引 66 第二章一元二次函数、方程和不等式辑 变式6若命题“存在实数x,使得(a一2)x2 当a<0时，要使ax2-4x十a>0有解，则需要 十2(a-2)x一4≥0成立”是假命题，则实数a △=(-4)2-4a×a=-4(a2-4)>0, 的取值范围是 解得-2<a<2.又a<0,所以-2<a<0. 3.一元二次不等式能成立问题 综上所述，实数a的取值范围是{aa>-2}. 例10(2024·北京广渠门中学高一期中) 变式6(2025·江苏江浦高级中学高一 3x∈R,使a.x2一4x十a>0成立，求实数a的 阶段练习)（多选）已知关于x的不等式x2 取值范围。 4x一a一1≥0在1≤x≤4上有解，则a的取值 解析当a=0时，原式变为一4x>0,解得x<0, 满足条件； 可以是( 当a>0时，显然3x∈R,使ax2-4x十a>0成立 A.-6 B.-5 C.-1 D.0 用 核心素养聚焦 考向①一元二次不等式的解法 解析若a,b,2a十b互不相等， a≤0， 例1(1)(2024·上海卷)已知x∈R,则 则当b≤0， 时，原不等式在x≥0时恒成立， 不等式x2-2x一3<0的解集为 2a+b≤0 (2)(2023·全国I卷)已知集合M={-2, 义因为ab≠0，所以b<0: -1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}.则M∩ a≤0， N= 若a=b,则当a=b, 时，原不等式在x≥0时 解析(1)，x2-2x一3=(x一3)(x+1)<0, 2a+b≤0 ,解集为{x-1<x<3) 恒成立， (2)N={x|x2-x-6≥0}={xx≥3或x≤ 又因为ab≠0，所以b<0: -2}, a≥0， .M∩N={-2. 若a=2a+b,则a=2a十b,时，原不等式在x≥ 答案(1){x|-1<x<3}. (2){-2 b≤0 考查内容 核心素养 高考难度 0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0: 综合考查一元二次不等式 若b=2a十b,则a=0,与已知矛盾； 数学运算 ★★☆☆☆ 的解法与集合的运算 若a=b=2a十b,则a=b=0,与已知矛盾. 综上，b<0. 考向②高次不等式的解法 答案C 例☑（经典·浙江卷）已知a,b∈R且 考查内容 核心素养 高考难度 ab≠0，对于任意x≥0，均有(x一a)(x一b)(x -2a-b)≥0，则(). 综合考查高次不等式的解法 数学建模 ★★☆☆☆ 与实际问题中的综合运用 数学运算 A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0 67