3.2.2 奇偶性&专题1 方程与不等式恒成立(有解)问题-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第三章函数的概念与性质锥 3.2.2奇偶性 A基础过关练 5.[题型3](2024·湖南长沙调研)已知f(x)为R 测试时间：20分钟 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2一2x,则x 1.[题型1](2024·浙江杭州期末)函数∫(x)= <0时f(x)的解析式为 不等式 1一x的图象大致是( ). (x一1)f(x)>0的解集为 6.[题型3、5](2025·浙江嘉兴糢拟)已知函数 )-仟岁是定义在（一1，上的奇函数，且 f份》-号 (1)求函数f(x)的解析式： (2)判断函数f(x)在（一1,1）上的单调性并用 定义证明： (3)解关于x的不等式f(x一1)十f(x2)<0. 2.[题型2](2025·云南昆明模拟)已知函数f(x) 为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)十g(x) x2-x+1,则f(2)=(). A.-2B.-1 C.1 D.2 3.[题型3](2025·江西新余分宜中学高一段考) 1,x为有理数， (多选)函数f(x)= 则下列结论 0,x为无理数， 正确的是( ). A.f(x)是偶函数 B.f(x)的值域是{0,1} B综合提能练 C.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=1 测试时间：40分钟 D.方程f(f(x)=x的解只有x=1 1.[题型2](2025·河北石家庄第二中学高一月考) 4.[题型5](2025·山东师大附中高一月考)函数 已知函数f(x)=4十x2g(x),g(x)为奇函数且 f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈[1， f(x)在区间 11 2'2 上的最大值与最小值分 +)z1≠)，有f,）-f>0,且函数 x2一x1 别为M和m,则M+m=( f(x+1)为偶函数，则关于a的不等式f(2a-1) A.0 B.4 C.6 D.8 >f(a-2)的解集为(). |x(x-1),x≥0， 2.[题型3]设函数f(x)= 则满足 A.(-1,1) -f(-x),x<0, &(1,》 f(x)+f(x一1)<2的x的取值范围是( A.(-∞，2) C.(-∞，-1)U(1,+∞) B(∞，》 D(-∞，-1DU(停，+o∞) C.(0,2) D.o,》 31 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA 3.[题型2]（全国高中数学联赛）设(x)是定义在 8.[题型5](2024·安徽宣城高一期中)已知函数 R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任 f(x)满足下列条件： 意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x) ①f(-1)=2,f(0)=1,f(8)=5: 恒成立，则实数a的取值范围是( ②对任意x,y∈R,都有f(xy)+f(x)+f(y) A.(-∞，W2] B.(0,2] =f(x)f(y)+2: C.[V2,+oo) D.[2,0] ③当x≠0时，f(x)>1;当x>1时，f(x)>2. 4.[题型5]已知∫(x)是定义在R上的奇函数，若 试解决下列问题： 对任意x1,x2∈(0，+∞)且x1≠x2均有 1)求证：当x≠0时，F(x) =1 x2f(x)-x1fx>0且f(3)=3,则不等式 x1一x2 (2)判断∫(x)在[0，十∞)上的单调性，并给出 f(x)-x>0的解集为( 证明； A.(-3,0)U(3,+∞) (3)若f(m+1)≤17，求实数m的取值范围. B.(-3,3) C.(-∞，-3)U(3,+∞) D.(-3,0)U(0,3) 5.[题型3](2024·浙江衢州高一期末)（多选）已 知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都 有2f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)> 2,则(). A.f(0)=2 C培优突破练 B.f(x)为奇函数 。测试时间：10分钟 C.f(x)的值域为(0，十∞) 1.(2025·黑龙江大庆高一期末)函数∫(x)满足： D.f(x)在R上单调递增 对任意实数x,y,都有f(xy)=xf(y)+yf(x) 6.[题型2](2025·山西芮城中学月考)设f(x)是 成立，雨数gr)=2(x≠0)，g(2)=1,且当 R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函数 f(x)+g(x)的值域为(1,3)，则f(x)-g(x) x>1时，g(x)>0. 的值域为 (1)求f(一1)并证明函数f(x)为奇函数； 7.[题型2、3](2025·湖北重点高中联考)已知 (2)证明：函数g(x)在(0，十∞)上单调递增； f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)= (3)若关于x的不等式g(x2+2x+3)-g(tx)> x(3-x),0≤x≤3， 2恒成立，求t的取值范围. 其中a>3. (x-3)(a-x),x>3, (1)求f(一2)的值； (2)当x<-3时，求f(x)的解析式： (3)设函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值为 g(a),试求g(a)的表达式. 32 第三章函数的概念与性质 专题1方程与不等式恒成立（有解）问题 1.已知二次函数g(x)=mx2-2mx十n十1(m>0) x2-x,x∈[-2,0)， 在区间[0,3]上有最大值4，最小值0. 4.已知函数f(x)= 0,x=0, (1)求函数g(x)的解析式： -x2-x,x∈(0,2]. (2设fx)=&x）-2红，若f(r)-x≤0在 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明； x (2)若不等式f(x)≥m2-2am-9对所有x∈ 上恒成立，求k的取值范围. [-2,2],a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取 值范围。 2.已知二次函数f(x)=x2-(a十2)x+2a和 g(x)=ax2+x+2a-4,3x∈(2,4]，使得 g(x)<f(x),求实数a的范围。 5.已知函数y=x十兰有如下性质：如果常数> 0,那么该函数在(0，√E]上是减函数，在[E, 十∞)上是增函数. (1)已知f(x)=4x-12x-3 2x+1 x∈[0,1]，利用 3.已知f(x)是定义在R上的增函数，如果对任意 上述性质，求函数(x)的单调区间和值域； 的x1∈(0，十∞)，总存在x2∈[1,2]，使得不等 (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=一x 式f(3a+)》>f-m+1D成立，求实数 2a,若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]， 使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a m的取值范围. 的值 33因为x1x∈(0，a),x1<x2,所以0<x1x2<a”,1一x2<0, 则fx)-fx:)=(,-x).-a 2该/=2+号 >0. x工。 若号+2>2+号，即。>1.则最大值为（侵）-名+2， 即f(x1)>f(x),f(x)在区间(0，a)上单调递减. 同理，任取r1x∈(a,十∞)，x1<x. 则有分十2<如解得2<2生】 2 因为x1∈(a,十o∞)，x1<x2,所以x1x>a2x1一x2<0, 则f)-fx)=(-x).-a <0 将a<20>1.2a<2取交集 E1E2 即f(x1)<f(x:),f(x)在区间(，十o∞)上单嗣递增。 可得1<a<+区 2 @091-e)是-n2- 1+1, 若号+2a<2+号，即0<a1.最大值为2)=2+号 当x∈(-1,1)时，1+x∈(0,2)， 敢7子，+)ge)-吊一1e0,+ 2 则有2+号<u,解得425<a<4+25 ∴.1=g(x)∈(0，十co). 将2<a<2.0Ca≤1,4-25<a<1+2v5取交集. 当1∈(0，十o)时，f)=1+在(0，D上为减函数，在 可得4-23<a≤1， (1,十∞)上为增函数， 若a≥2.则fr)=+在r∈[合，习上单调递减， ∴.f(tn=f(1)=2,即h(x）an=2. ②国为表在[吉门上任套水信，所以)≤ 故fx)=f()=+2a,x)=f2)=2+号 4(u)恒成立，等价于4(rm一h)-h(rm +2a<2+)解得-四< 2 e[专】时1+e[导】g)= 2 -1∈ 曲于 <2,故此时解集为心. [2 综上，实数a的取值范围是4-2v3<a<2士 2 对实数ue[ ,h(r)-h(s)<h(u)恒成立， 归纳总结 等价于对任意的山∈[2习)6，<a, 对于求不等式成立时的参数范国问题，一般有三个方 法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另 只需f)=+在x[习上，满是f 一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确 定含参式子满足的条件，二是讨论分析法，根据参数取值情 f(x)m<()f()<2f(). 况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数， 由（1知./)=r+二在(0a)上单调道减在a.十o)上 通过两个函数图象确定条件】 单调递增， 3.2.2奇偶性 若0<a≤分，则f)=x+在x∈[22上单调递增， 变武细家 [变式1门ACD[A(/),令F(.x)=f(|x|)g(x),F(-x)= 故fx)=f(侵）-+2a,fx)m-2)=2+ f(l-x)g(-x)=f(lx)g(x)=F(x): 故2+号<2（侵+2云）解得>年或<-四 BX),令F(x)=f(x)g(|x|),F(-x）= 7 f(-r)g(I-z)=-f(r)g()=-F(x).F() w14、1 （舍去)，由于7>2，故此时解集为心， 为奇函数： C(√).令F(x)=f(g(x),∴F(-x)=f(g(-x)= 若号<a<2,则/)=+号在[]上单调通诚， f(g(x))=F(x): 在r∈(a,2]上单调逆增。 D(√)，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x)= g(-fr)=g(f(x)=F(x).] 故f(x)m=f(a)=2a,f(x)的最大值为f(2）=2十 [变式2]x-2<x<1或0<r1或2x<31. 35 [由于y=∫(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，根据函数图 2 象的对称性画出y=f(x),y=g(x)在区间[一3,0]上的图 >0,排除D,故选A.] 象，如图所示.由图象可知，f(x)>0等价于0x<2或一2< 1-(D r<0.gr)>0等价于1<r<3或-1<r<0.又<0 2.A[(要求f(2),可先在所给等式中取r一2) g(x) 由fx)+g(x)=x2-x+1, f(x)>0, (f(x)<0, 等价于 或 可求得其解集是{x一2< 得f(2)+g(2)=2-2+1=3. ① g(r)<0 g(x)>0. (还差一个方锂，如何拘建？注是到f()45(口)有奇偶性，于是 x<-1或0<x<1或2<r<3.] f(一2)，g(一2)可分别转化为-f(2):g(2),数再取=-2，构建 gr) 第二个方程) 在f(x)十g(x)=x2-x十1中，取x=-2, y=fG) 可得f(-2)+g(-2)=(-2)-(-2)+1=7, ② 思维过程 f(-2)=-f(2), 又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以 本题可以借助函数图象的奇偶性，画出y=f(x),y= g(-2)=g(2), g(x)在区间[-3,0]上的图象，结合图象可以看出使得 代入②得-f(2)+g(2)=7, ③ fx)g(x)大于零或小于零的区间，从而求得巴<0的 用式①减式③可得2f(2)=一4.所以f(2)=一2.] g(z) 3.ABD[A(√)，当x为有理数时，一x也为有理数， 解集 .有f(一x)=f(x)=1,当x为无理数时，有f(一x)= [变式3]C[:f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0. f(x)=0,.f(x)为偶函数 又，当x≤0时，f(x)=3x2-2x+m, 显然B是对的。 .f(0)=0=m,.当x≤0时，f(.x)=3x-2x. C(×),若x为有理数时，f(x)=1,由f(f(x)=f(x)得 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2十2x,则f(x) f(1)=f(.x),此时x为有理数 -f(-x)=-3x2-2x,即当x>0时，f(x)=-3x2-2x, D(√)，若x为有理数，由f(f(x)=x得f(1)=x, .f(x)在[1,2]上单调递减， x=1,若x为无理数，由「((x))=x得f(0)=x,此时 .f(x)在[1.2]上的最大值为f(1)=-5.] x无解.] 基础过关练 4.D[由单调性定义知f(x)在[1，十co)上为增函数， 1.A[方法一（观参四个图象可发规.A.B莞于源点时称，C,D关： >1→f1>7:5<1>fr）f(7)） 于y精时标，放可通过刊断奇偶性排珍两个选请) ,fx十1)为偶函数. 由1一x≠0可得x≠士1→f(x)的定义域是{xx≠士1， ∴.f(-x+1)=f(x+1). 该定义域关于原点对称， (令gr)=f(r+1,由x(一r)=g(r)得/(-r+1)=fx+1)》 ∴f(r)图象关于x=1对称. 又f-)=1=-=1=2=一f (司为横坐标之和（一十1）+(x+1)为零值2，似坐标相等，也可☑ 所以「(x)为奇函数，其图象应关于原点对称，排除CD. 向右手移 (选项AB的区别在于相司自变要下品截值的正、商不同，教不梦造 这料=f11个食y=f,桥以y=f十1)对梅 釉1=0移到r=1,Cr)对种轴为r=1) 一限来香青f(x)的正、最，可选0<1这段) 所以f(x)的图象如下： 当x∈(0,1)时.1-x>0,所以f(x)= 一下>0，排除B, 故选A 方法二 根据群折式选周发，也可青意代特值相降这项，脆家 发现这通在原点附近的因象不同，数奇唐取工一±。 由图象知离直线x=1越近的点函数值越小， ∴.|2a-1-1>a-2-1, ∴.(2a-2)2>(a-3)2,∴.3a2-2a-5>0, 由题意，(2) 2 2 <O,排除BC 1-(-) a+1-50>0,a<-1或a>号] 36 5.-x2-2x(-o9,-2)U(0.1)U(2,+∞). 化为f(…)<f(…)的形式，用单调性处理】 [当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)一2(-x)=x°+ 因为f(.x)为奇函数.所以f(x-1)+f(x2)<0=f(.x2)< 2x. -f(x-1)=f(x)<f(1一x), ② 又f(x)=-f(-x)=-x-2.x. 由(2)可知f(x)在（一1,1）上单调递增，所以不等式②等价 易知f(x)的图象如下： -1<x2<1, 5-1 于 一1<1一x<1,解得0<r< 2 x2<1-x, 别老了定义域对于f(…)特号冉的作用 所以-1+/)<0的解集为6,5) x-1>0, r-1<0, 原不等式可化为 或 综合提能练 f(.x)>0f(.x)<0. 1.D[g(x)为奇函数，g(-x)=一g(x), 由图可知不等式组可等价化为 .f(-x)=4十(-x)g(-x)=4-xg(x), x>1, x<1. 或 .f(x)+f(一x)=8, -2<x<0或x>2x<-2或0<x<2, ∴f(x)的图象关于点(0,4)对称， x>2或0x1或x<一2， .不等式解集为(0,1)U(2,+∞)U(-o∞，-2).] )在区间「-号，]上的最高点和最低点也关于点 L2·2 6.(1)方法一因为fx)为奇函数，所以f(一x)=一f(.x)恒 (0,4)对称，故M十m=8.] 成立从面学岩 故十十6 2.A[方法一当x<0时，f(.x)=一f(一x)=-[一x(-x 1+x 1十x: 1)]=-r(x+1): 所以-ar+b=-(ax十b),从面b=0.故fx)=1十元： 当x≥1时，x-1≥0，f(x)+f(x-1D=x(.x-1D+(x-1)· (x一2)<2，解得0<x<2,即1≤x<2: 当0≤x<1时，则r-1<0,f(x)十f(x-1)=x(x-1) 又由题意，（ 2 .解得a=1, 1+( 5 x(r一1)=0<2，满足题意： 当x<0时.则x-1<0,f(x)+f(x-1)=-x(x十1) 所以fx)=1+云 (x-1)x=-2.x2<2恒成立. 方法二因为f(x)为奇函数，且0在定义域（一1,1）上， 综上所述，x的取值范围是（一∞，2），故选A 所以f(0)=b=0,故f(x)=,a2 方法二（图象法）当x<0时，f(x)=一（一x),此时 1+.x2, f(x)=-x(x+1), 又y=f(x一1)的图象是由y=f(.x)图象向右平移一个单 又由题意，（） 2 1+()】 5 ,解得a=1, 位长度而得，作出y=(x)与y=f(x一1)图象如下： y y=f(r) 所以f代)=千示，经检验，满是f)为奇函数 y=f(x-1) (2)f(x)在（一1.1）上单调递增，证明如下： 任取-1x,<:<x)-fx)=+1+园 r十r)-x(1+xx1十x1xi-x1-xex (1+xi)(I+x5) (1+xi)(1+x5) 由图知x≤2时f(x)+f-1D<2显然成立， :ti:(-)(x)(1-:) (1+x)(1+x) ① (1+x)(1十x) 当x≥号时y=x)+f-1D为增函数， 因为-1<x1<x2<1,所以x1-x4<0,1一x1x>0, 又f(2)+f(2-1)=f(2)+f(1)=2. 又(1+.x)(1十x)>0,所以结合①得f(x1)-f(x2)<0, f(x)+f(x一1)<2的解集为(-∞，2)，故选A] 从而f(.x1)<f(x2),故f(x)在（一1,1）上单调递增. )在奇高数中，专到十…)<，慧到先移项，再用青 3.C[(由魅设多求得/ 参要直接安桦f+t)≥ -r(<0). 37 2「(x）中的外表“/”，常要分多种情况，这衣复条，能否把： B(×),因为「(0)=2，所以函数f(x)不可能为奇函数： 2f(x)变或/(A)?再仿合(r)的单调性去钟“/”) C(√)，在2f(x十y)=f(x)f(y)中，令y=-x,所以有 x,x≥0， 由题意知f(.x)= 2f(0)=f(x)f(-x)→f(x)f(-x)=4>0.当x<0时. 则2f(x)=f(w2x), -x2x<0, -x>0.因此有fx)f(-x)=4→fx)=7-∈(0. 4 因此原不等式等价于f(x十a)≥f(W2x). 2),而f(0)=2,所以f(x)的值域为(0，十)： 因为f(.x)在R上是增函数， D(/)设Vx1,:∈R,x1<x:,显然x一x1>0,即有 所以x+a≥2.x,即a≥(W2-1).x. f(r:-x)>2成立，因为2f(x+y)=f(x)f(y),所以有 又因为x∈[a,a+2],所以当x=a+2时，(2-1).x取得 最大值(w2-1)(a+2),因此a≥(2-1)(a+2),解得a≥ f-x>2吃f)…f-)>2.面fxf-x) ,2.故4的取值范围是[2，+∞).] 4,所以有号f(-)>2f·7>2= 4A[(/c/》0怎么特换？友与高款的单调性有 fx） r1一r: >1,因为f八x)的值域为(0.+∞)，所以fx)>0一 吴，者变出与行有关的对称式，所以分于可以除以x c,>0,因此有告P,>≥c,.即u在R z:f(r)f(r:) 上单调递增.] 由/)f>0可化为在>0， 6.(一3，一1).[（已知/(r)为寺函数，g(r)为偶禹数，由f(r)+ tI-: EI-xI g(江)的使质可得代一士)+g(一工)的值城，这是威超的美键点) f(x1）f(xa) .1>0. :fx)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数， .-[f(x)-g(x)]=-f(x)+g(x)=f(-x)+g(-xr). 设函数gr)=I2,则函数gx)=fD在(0，+∞)上单 :函数f(x)十g(x)的值域为(1,3)， ∴1<f(-x)+g(-x)<3,即1<-[f(x)-g(x)]<3, 调递增，且x(3)=3》=1. 3 则-3<f(x)-g(x)<-1, 当x>0时，不等式f(x)一x>0等价于f(x)>x, 即函数∫(x)一g(x)的值域为(-3，一1).] 即1， 7.(1)因为y=f(x)是偶函数， 所以f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2. 即g(x)>g(3),解得x>3, (2)当x<-3时，-x>3,则f(x)=f(-x)=(一x-3)· 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, (a+x)=-(x+3)(a+x), 所以当x=0时，不等式「(x)一x>0无解 所以当r<-3时，f(x)的解析式为fr)=一(r十3)(a十x. 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x), (3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[一5,5]上的最大值 g(x)=2的定义域为(-0,0U(0,+o∞). 即为它在区间[0,5]上的最大值 又g-)=f二2=-fe-f四=gx, ①当3≤7时，：在，]和，告]上单调递增， 放gx)=2为偶函数，且在(-，0)单调递减， 在[可和空司上单调道减。 当x<0时，不等式f(x)一x>0等价于f(x)>x, 所以此时只需比较（侵）是与（）-的大 即卫<1. 小即可 x 因为g(（一3)=f③-1，放gr<g（-3》,解得-3<r<0. (1)令a3) <号，解得0<a<6 -3 又因为3a7,所以3<a6. 综上，不等式f(x)-x>0的解集为(-3,0)U(3,+∞).] 5.ACD[(A选诵可用或值法得出，由A选清可裤B错，而C选消可 所以当3<a<6时ga)=f(2)=是 以想报一与上的关系来长，D选诵是轴象西数单调性，常用定义法 (专不且有单调以，也可举反例)) （1)冷0》>号解得a0或>6 4 A(),显然由2f(1)=f(1)f(0)→f(0)>0,因此f(0)=2: 又因为3<a7,所以6<a≤7. 38 所似当6长a≤7时8a)=(空）-a别 所以f(m+1)≤17，即f(m十1)≤f(64). 又函数为偶函数，则(m十1)≤f(64), ②当a>7时，x)在[0，]和[3,5可上单调递增，在 因为f(x)在[0，十∞)上单调递增. 所以m+1≤64，解得-65≤m≤63， [侵可上单调递减，且(）-号6=2a-5 故m的取值范围为[一65,63]， 所以g(a)=f(5)=2(a-5). 培优突破练 a≤ 1.(1)因为f(xy)=xf(y)+yfx), 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0: 综上可得，g(a)=(a-3) 4 ,6<a≤7 令x=y=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1),得f(-1)=0. 2(a-5),a>7. Vx∈R,令y=1, 8.(1)令x=y=一1，则 依题意得f(-x)=x·f(-1)+(-1)·f(x),即f(-x) f(1)+f(-1)+f(-1)=f(-1)f(-1)+2, =-f(x), 所以f(1)=[f(-1)]'-2f(-1)+2=2, 所以f(x)是奇函数 令y=,得f+f)+f(）=x(）+2. (2)由fxy)=y)+fx)得2=m+ y 即g(xy)=g(x)+g(y): 即x+(）-(）: xx∈(0，+oox<则2>1，则g(）>0, 又因为对于任意的x∈R,都有f(x)≥1， 所以当x≠0时，T 1 =1成立 可得g)-g)=ga…）-g)=g)+ 8）-ga)=s）>0. (2)f(x)在[0，+∞)上是增函数，证明如下： 即g(x:)>g(.x1),所以函数g(:x)在(0，十o)上单调递增. 任取x1∈(0，十∞)且x1<,则>1， (3)因为g(x)=D(≠0)，且函数fx)为奇函数. 所以f)=f(g·)=f(）·fx)-f(》 则g(-x)=f二2--fe_m）=gr. f(x1)+2, 可知g(x)是偶函数，且s(4)=g(2)+g(2)=2 所以.f)-fx)=f(）·f)一f(）-2f+2 因为g(x2+2x+3)一g(tx)>2, 可得g(x+2x+3)>g(4)+g(tx)=g(4x). =g)--2)-=[V)-2 因为g(x)是偶函数，且x2+2x+3=(x十1)+2>0. [fx1)-1]. 可得g(x2+2x+3)>g(4x). 又因为函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又由题意知f,>1./(经)>2. 可得x2+2x+3>4x|, 所以f(xa)-f(x1)>0, 因为0则<产中3-+音+音 lx 即f(x)<f(x), 故f(.x)在(0，十)上是增函数 可知<(+子+) 又因为f(0)=1,且f(x)≥1， 当x>0时， 所以f(x)在[0，+∞)上为增函数. (3)令y=-x,则f(0)+f(.x)+f(-x)=f(x)f(-x)+2, +高+音-1++22√高+2-2 2x 3 令y=-1,则f(-x)+f(x)+f(-1)=f(-1)f(x)+2, +2, 所以f(-x)=f(x), 3 当且仪当x=子，即x=3时，等号成立： 故函数f(x)为偶函数，且在[0，十∞)上单调递增. 当x<0时， 又f(8×8)+f(8)+f(8)=f(8)f(8)+2. 解得f(64)=17, ++音-+>2高-2- 39 -2, 由g(x)<f(x)可得a(x+x)<x2-3x+4, 当组仅当=岛，即r=一5时，等号成立 由x∈(2,4]，可得 综上所述，(x+音+音)=26-2 ti 4x-1=1 fr x2十x -1+2 可得1<25-2.解得-5,11<5,1.且1≠0， 2 2 令1=一1E0,3,则y=1+号+3在1.2)上单调递减. 所以：的取值范阴为(oU(0.5。) 在(W,3]上单调递增， 20 思维过程 又1=1时y=6,1=3时y=3 (1)默值求得∫（一1）=0，根据奇函数的定义证明函数 20 所以当=3时y=3: 「(x)为奇函数 (2)由题意可得g(xy)一g(x)+g(y),根据单调性的 所以1 4 有最大值1一萄-号故<号 定义分析证明 -1+2 (3)根据题意结合函数性质可得x+2x十3>41.x, 所以。的取值范围为(-，号) 利用参支分高可得丝<（红+子十音）：术用表本 3.(首先随目条件说了f()是增远数，由些可以特他随提的不等式 不等式分析求解即可 再研究沙及的道辅多件) 专题1方程与不等式恒成立（有解）问题 因为f)在R上单调递增，所以f(虹，十)> 1.(1)g(x)=mx2-2mx+n+1=m(x-102-m十n+1, mr,+1D3r,+4>x-mr+1, .函数g(x)图象的对称轴方程为x=1. g(1)=0, 故题设条件等价于对任意的x1∈(0，十©)，总存在x:∈ 又m>0,且x∈[0,3]，∴依题意得 g(3)=4, [1,2],使得3x1+4>x-m+1, TI 一m十n十1=0， =1, 即 解得【 32十1十1=4， =0, 因为3x1+ ≥2，·千-4原，当且仅当= 4 故函数g(x)的解析式为g(x)=x2一2x十1. 2时取等号，所以十马 =45, (2fx)8）-2红=4+=x+L-4 min 从而43>x-mr:十1，故r-m.:十1<4v3, ① “f)-k≤0在x∈[合上相成立 (下面灵考虑m怎样取值能满足年在xE[1,2],使不等式①成点 即r+ 一一<0在r[]上相成立 专直接表一州：十1的最小值，剂需讨论对秘与尽问的位里装 系，比款复南，是客发现来数m容易分高出来，故米用禾变分离，回 >+1在[上相成立， 连计论】 当x:∈[1,2]时，不等式①等价于m2>x号十1一43一m> 只≥（刊）[ x+1-45 →m>,+14退 ② T: I: 所以问题等价于存在x2∈[1,2]，使不等式②成立， 设)=-+1=-2-3e[g网， 故只需m>(x,+1一45) T: :y=(一2)一3的图象的对称轴方程为t=2, 因为1一45<0，所以雨数y=r和y=二45在1,2上 ∴.背1=8时，函数h(1)取得最大值，为h(8)=33. .k≥33.故k的取值范围为33，+∞). 都单调递增，故y=r+一15在1,2]止单调递增， 2.(g()<r)中的r是同一个变量，它问时控制着g(?)与f(2)的 所以当x4=1时，，十4区取得最小值1十一45=2 值.新4不要错误转化为5(r)=<f()而是特他为[f(r)一 gG)]<0或用分离泰数法群答) 45,故m>2-45. 40 4.(1)函数「(x)为奇函数，证明如下： 所以g(x)∈[-1-2a,2a]. (证明分段函数的雪偶性，可用定义分银计论) 因为对任意x1∈[0,1门，总存在x:∈[0,1门，使得g(xe)= 当-2≤x<0时，0<一x≤2，所以f(x)=x2-x,f(-x) (x1)成立， =-(-x)-(-x)=一x2+x,满足f(-x)=一f(x): 所以[-4，-3]二[-1-2a,-2a], 当0<x≤2时，-2≤-x<0.所以(x)=-x-x,/(-x)= -1-2a≤-4 所以 (-x)2-(-x)=x2+x,满足f(-x)=-f(x) 解得a=是 -2a≥-3， 当x=0时，f(x)=f(0)=0.f(一x)=f(0)=0,也满足 3.3幂函数 f(-x)=-f(x); 变武抑综 综上所述，当x∈[一2,2时，恒有f(一x)=一f(x), 所以f(x)为奇函数 [变式1门(1)：y=x在[0，+∞)上为增函数.且2.3<2.4， (2)(不号式fx)多m-am一中，变量x和公做福岛在了不等 2.3<2.4 号两削，放分别专出它们，左边不参表，更察号青密，于是先有左边) (2):y=x音在(0，+0)上为减函数，且2<5， 由题意，对任意的x∈[-2,2]，都有f(x)≥m2-2am-9, 所以f(x)m≥m-2am-9, ① ∴(W2)>(5) (3)y=x在R上为偶函数，∴(-0.31)=0.31 又：函数y=x在[0，十)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31<0.35,即(-0.31)<0.35 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m十2=1，解得m=1 函数f(.x)的大致图象如图，由图可知f(x)m=f(2)= 或m=一 ，当m=1时f(x)=x,符合题意： -2-2=-6, 代人①化简得m”一2am-3≤0， ② 当m=一 时)=，不符合题意，合去 (再考需受量日，可以纪左边青成关于4的一次函数y=一2m十加 ∴函数f(.x)的解析式为f(x)=x 一3.要使不等式②时V山E[一1.1门射成立，只男在两个绵点处成立 (2)由(1)得f(x)=x2, 孙可 ∴y=x2-2(a-1)x+1. m2-2×(-1)·m-3≤0. 所以 解得一1≤m≤1， 即函数图象的对称轴为直线x=a-1 m2-2×1·m-3≤0， :y=x2-2(a-1).x+1在(2,3)上为单调函数， 故实数m的取值范围是[一1,1门. ∴a-1≤2或a-1>3,解得a≤3或a≥4 5.(1D令m=2x+1∈[1,3]x=m 2 .实数a的取值范围是（一c∞，3]U[4,十o∞）. 4"2）-2(m2）-3 基细过关练 h() m2一8n十4 1c0=-@y=-证，0y==7. 0y三x=E@yx元·由以上解析式可知定 所以h(m)=n十 4一8在[1,2]上单调递诚，在(2,3]上单 义域为R的只有②④.] 调递增。 2c[ae{-11.2df)=r的图象经过(-1， 令m-2x十1=2解得x- -1). a=一1,1,3，此时f(x)=x是奇函数，反之也成立.] 所以函数：)的单调递减区间为[0，】，单调递增区间为 3.ACD[对于A和B项中，若函数g(x)=x“正确，可得出 (号]且f0)=-3(号)=-4)= 11 3 a<0,此时二次函数图象开口向下，对称轴x=一上>0，所 a 所以f(x)的值域为[-4，一3]. 给图象符合这一特征，故可能是A,不可能是B: (2)因为g(x)=一x一2a在[0,1]上单调递减， 对于C中，若函数g(x)=x“正确，可得出a>0,此时二次 41