2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 重点和难点 课标要求 重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 通过本节的学习，掌握不等式的性质，加深 难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研 对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对 究不等式的基本性质，等式与不等式的共性与 “代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的 差异 能力 1目目目 必备知识梳理 14目1 基础梳理 知识点① 不等关系与不等式 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系， 防易错网 例如多与少、大与小、长与短、高与矮等类似于这样的问题，反映 (1)不等式a≥b读作“a大 在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式 于或等于b”,等价于“a不小于 表示 b”,即a>b或a=b中有一个正 确，则a≥b正确， 我们将用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接的两个数或代 (2)不等式ab读作“a小 数式叫作不等式.◆防易 于或等于b”,等价于“a不大于 知识点②比较实数的大小 b”,即a<b成a=b中有一个正 确，则ab正确. 1.作差比较法 关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： (1)a-b>0=a>b: (2)a-b=0=a=b: (3)a-b<0=ab. 基于上述事实，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们 的差与0的大小 2.作商比较法 对于两个正数a,b,有以下结论： 1%>1sa>b; (2)号=15a=b: 42 第二章一元二次函数、方程和不等式通 3)片<1ab. 基于上述结论，要比较两个正数的大小，可以转化为比较它们 记方法@ 的商与1的大小.◆记方滋 平方比较法 知识点③等式的性质 (1)平方比较法的理论依据 是：若a>0,b>0,则a>b→ 别名 性质内容 a>h 性质1 对称性 如果a=b,那么b=a (2)平方比较法通常应用于 反肤丁相等关原 无理式大小的比较，且多与作差 性质2 传递性 如果a=b,b=c,那么a=c 自身的特性 法或作商法综合运用。 性质3 同加（减）性 如果a=b,那么a士c=b士c 反缺字年式 性质4 同乘性 如果a=b,那么ac=bc 在适算中保 性质5 同除性 如果a=b.c≠0，那么a=b 持的不变性 。防易错划 知识点4 不等式的性质 别名 性质内容 特别提醒 防易错1回 (1)c∈R,a=b→ac=, 性质1 对称性 a>b-b<a 可逆 但ac=brPa=b,原因是当c 性质2 传递性 a>b,b>e→a>c 同向 =0时，a,b的大小不定 性质3 可加性 a>b→u十c>b十c 可逆 (2)当c≠0时，a=b=“ b 性质3的推论 移项法则 a+b>cHa>c-b 可逆 a>b →ac>b c>0 性质4 可乘性 c的符号 a>b →cbc C<0 防易错2@ a>b 性质5 同向可加性 c-dl →a+e>b+d 同向 应用性质2时，应注意： a≥b,b>cpa≥c, 同向同正 a>b>0 性质6 →ac>bd 同向同正 可乘性 c>d>0 a>b,b>c→a>c, a>b,b≥ca≥c, 性质7 可乘方性 a>b>0→a">b" a>b,b≥c→a>c. (n∈N,n≥2) a,b同为正数 性质8 可开方性 a>b>0→"a>6 (n∈N,n≥2) a>h 性质9 可倒性 11 a,b同号 ◆防题话2细 43 用重难点手册高中数学必修第一册RJA 重难拓展 重难点（① 数（式）的大小比较方法 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、平方法 拓视野。 作差法 作商法 平方法 介值比较法 (1)介值比较法的现论根 a>0,b>0. a<0,b<0, 据：若a>b,b>t,则d>c,其中 a>b=a-b>0. a>be 6>1, b是a与c的中介值 a2>b2且a> 据 a=b台a一b=0. (2)介位比较法的关键是通 =1, =1, 0,b>0→a>b a<u-b<0 a-bea a=b=6 过不等式的恰当放缩，找出一个 a<h< b a>be4<I 比较合适的中介值 (3)造用范国：要证a>c, 具有多项式结构特 直接用作差法、作高法和平方法 应 用 征的式子，若数（式） 含有幂式、积式、分式且同号的 要比较的两个数 等不易证出，而此时存在b,且 的符号不明显，作差 两数（式）比较大小 (式)中有根号 围 易证a>b,b>c,则得出结论. 后可化为积、商形式 (4)介值比较法是较“高端” (1)作差： (1)作商： (1)平方： 的比较大小的方法。 步 (2)变形： (2)变形： (2)用作差法或 (3)判断差的符号； (3)判断商值与1的大小关系： 作商法： (4)下结论 (4)下结论 (3)下结论 ◆拓现野 例■已知a,b为正实数，试比较”+么与，石+万的大小 va 思维过程 思路1 作差 分解调式】 不等式性质 与0比校大小 钻论 思路2 作商 分解因式 不等式性质 与】北较大小 结论 思路3 代数式中知何去根号平方后 分解图式 不等式 →结论 含有根号 考虑平方 作差 性质 解析方法一（作差法】 +品 (a+6)=（ 信一)+（哈 a）-ab+b-a-a-b)(a-6)_a-B)(a+6 记方法问 中a Jab √ab 作差法是比校大小最常见 ,a,b为正实数， 的方法，其关键有两点：一是“变 ∴a+b>0,ab>0,(a-b)≥0. 形”，整式的变形手段有图式分 :a-6)a+6)≥0.即+≥a+6+1 解、配方，分式可进行通分，根式 ab 可进行有理化等：二是判断符 号，要能利用条件判断出各个部 a6_(6)+(ā) 方法二（作商法） 分的符号 Ja+b ab(a+b) 44 第二章一元二次函数、方程和不等式通 _(Ja+/B)(a+b-/ab)_a+b-/ab ab(√a+wb) ab _a-6+西=1+a=6≥1. ab √ab :后+6>0，两边同来a+6,么+≥石+6. 方法三手方法)信+治)-云名+2伍6G+6=。+6 +2ab, 信2)-(a+6-a0 ab ,a>0.b>0, .a十b)(a-b) ≥0 又+么>0，a十万>0，故+么≥a十万.+防骑 巧总结 在对多项式化蔺时，要注意 例☑若在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边长，试 数学公式的运用，常见的有： b 证明十c<1+a1+b 平方差公式：a-b=(a十 b)(a-b). 证明由三角形两边之和大于第三边，（十b>c,所以a十b一c>0, 完全平方公式：(a十b)”= 又1十c>c>0,所以根据糖水不等式（见突破点1）得，千： 1a2+2ah+b, (a-b)=a2-2ab+b. c+(a+b-c)atb 1十c+(a+b-c-1十a+b=1+a+b+1+a+b ① 主方差公式：a1-b=(a (这离我们的结论还差一点如果能把右边的两个分母分别调整为1十阳和1十6就 1b)(a十ab+b2). 好了，于是考常朝此效缩) 主方和公式：a+b=(a+ b b b)(a2-b+b). 因为1+a+b>1+a>0,所以1+a+b十a,同理1+a+b1十b b 故1+a+b+1+a+b1+a+1+b' 又0可得1千1日+6+中日+6所以千千。中6 培优突破 突破点①真分数的性质（糖水不等式）】 例B[回归教材P43T10]已知b克糖水中含有a克糖(b>a >0),再添加克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将 这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 解析（糖水更甜意味着糖水的浓度井高了，数只常列出加糖前后的糖水浓度，就能 45 重难点手册高中数学必修第一册RJA 得到这一事实的不等式) 由题意，加糖前，糖水的求度为仁，加入m克糖后，糖和糖水的质量分 别为b十m,a十m,故浓度变为十 ,因为加糖后糖水更甜，所以糖水的浓 4十 度升高了，故 bb十m aa十 (下面证朗此不等式，可用作羞比较法) 证明： bb+m_b(a十m)-(b十m)a_n(b-a) aa十 a(a十m) a(a十m) 因为a>b>0,m>0,所以b一4<0，a十m>0, 从而上_b十n-m(6-a) aa十ma(a十m） <0.故06十m aa十m 保挖教材 糖水不等式的常见拓展 (1)a,b,m都为正实数，且a>b,则十m>b 'a+m a (2)a,b,m都为正实数，且a<b,则十m< （欲分数的性情）. "a十ma (8ab,n都为正实数，且a<ba>m,则后<号 （4a,b,m,n都为正实数，且a<b,n<m,则十n4十 'b十nb十m (6)a,b,m,n都为正实数，且a>b,n<m,则十n>a十m b+n6+m (6)a,bc,d都为正实数，且<4，则b+dd ,则 十cc b 例④已知a,b,c,d>0,设S= -atbte bFe+d 拓视野。 c+d+ad+a+b,则下列结论中正确的是( d 与分式有关的性质 假设A,B,C,D是不同的 A.0<S<1 B.3<S<4C.2<S<3D.1<S<2 整式，且A,B,C,D>0 思维过程 (1)若分子、分母都为正数， 观察题中式子：S=4 d atb+e bic+d ctdtadtatb 且分子小于分母，则分子，分母 项分母都不一样，分子相加为a十b十c十d.故可将每一项分母都放大成： 同时加上一个正数分式值变大： :a十b+c十d,则S值变小. 若分子、分母同时减去一个正数 再考虑如何将S放大，由分母放大为4十b十c十d,若每一项分子和 (减后的分子、分母依然大于0) 分式值变小 分母加上同一个数，则分子的和为(a+d)+(b十a)十(c+b)+(d十c)= 、 2(a+b+c+d),再由a,b,c,d为正实数，由糖水不等式得S值范围. 2)若C =k(k≠0且 46 第二章一元二次函数、方程和不等式铺誰 b d 解折“a,b,c,d>0,S=a+b+c+b+c+d十e+d+ad+a+b C: B≠士D),则 A+C A-C B+D B-D b d A+B C+D A+B .S> atb+c+d a+b+e+d a+bic+d a+bictd=1, k. B DA-B a十d bta c十b dte C+D (A≠B,C≠D) Sa+bicrd atbicidatbicid a+b+e+d-2. C-D ,,1<S2.◆拓视助习 答案D 中目444其 关键能力提升 月日目444其时耳t 题型① 比较代数式的大小 :(多选)已知a,b,c∈R,且c≠0，则下列命题中 例固(1)设a,b为实数，比较a2十b与 是真命题的是( 4a一2b一5的值的大小： A.如果a>b,那么a<6 11 )设u>6>0.此软名与3的 B.如果ac<bc,那么a<b 大小 C知果u>6,那么号>号 解析（们）（两式的大小不易看出，可专老作差比较） a2+b2-(4a-2b-5)=a2+b2-4a+2b+5,① 卫如果>a>>0,那么“。产 (观客发现，以，山都有平方项和一次诵，可考虑配方) 解析利用不等式的性质或者举反例进行判断 .a2+b2-4a+2b+5=(a2-4a+4)+(b2+2b 取a=2,b=一1，c=一1，满足选项AB中的前提 +1)=(a-2)2+(h+1)°，代入①得a”+b-(4a 条件 2b-5)=(a-2)2+(b+1)≥0. .a2+b2≥4a-2b-5. 对于选须A,有，故A是假命题 (2):a>b>0,.a-b>0,a>b, 对于选项B,有a>b,故B是假命题： 06 x⊙-2a十 对于选项C,,c≠0， 两式作商得一÷日-b_ (a+b)(a-b) 产>0，由不等式的性质4知，C是真命题； a+b÷a+b a2+b3 (在应用性质4时，一定要注意符号)） 对于选项D,a>b>0→-a<-b<0→0<c- a-6a+6=1+2ab a+b (a+b)2 十6>1. 1 L4<c-b,同秦以(c-a)C得0了 1 a-ba-b c-b c-a 'a'+bia+b' 又a>b>0, .ab c一a>c一b故D是真命题 变式0设a>b>0,求证：√a+1 答案CD √a+2>√b+I-√b+2 归钠总结 题型②不等式性质的应用 判定一个命题是假命题，有下面两种方法： 1.判断命题的真假 (1)从已知条件入手，推出与结论相反的结论： 例⑥(2025·湖南常德五校联盟月考) (2)举出反例。 47 重难点手册高中数学必修第一册RJA 变式2若a>b>0,m<0,则下列不等式 由②得-2<b-a<4, ③ 成立的是( 错解1①十②得一吕<a<号 5 A.am2<bm2 扩大所值范画 B。 ①+@释-号K名 9 扩大取值范圆 c阳台 从而-5<2a<7,-18<-4h<6. 故-23<2a-4h<13. D.a二mb-m a? 错解2①+③得-3<2b<9,-9<-2h<3, 扩大取值范围 2.证明不等式 例☑[教材P42例2（一题多解）门已知 从而-23<2a-4b=2(a-2b)<13. 错解3易得-7<-2a<5, ④ a>6>0,e<0,求证：合分 扩大取值范围 ∴.4×②+④得-23<2a-4b<13. 解析方法一（性质法）因为a>b>0, 正解2a一4b=3(a一b)-(a十b), 所以h>0品0于是a·方>6 ”a6,(性质) 利用整体思想求解 因为-1<a十b<5,-4<a一b<2, 由(<0，得后>黄 所以-5<-(a+b)<1,-12<3(a-b)<6, 方法二（作差法）因为a>b>0,c<0, 所以-17<2a一4b<7. 所以b一a<0,ab>0, 归纳总结 不等式的性质5（同向可加性）不具备可逆性， 所以9-￡=ba>0,所以S>S a b ab a b 多次使用可能会扩大取值范围（所求得的不等关系 (作差法和作商法在比款大小中的常见运用) 仍然成立，但并不是准确的取值范国) 方法三（作商法）因为a>b>0,c<0, 前三种解决的错误在于“-1<a十b<5,-4< 所以0<<1,<0，所以0<- <1 a-<2”与“-5 <<号-<6<号不 6 价a,b的范围虽是正确的，但a,b之间的制约关 系丢失了，所以需要整体利用a十b和a一b来求 又<0.所以后> 2a-4b. 变式3[教材P43T7改编]若a>b>0, 上面的解法中，2a一4b=3(a一b)-(a十b)中 (a-b)的系数3和(a十b)的系数一1通常用待定 cd<0,e<0.求证：(ac)6-) 系数法确定，具体过程如下： 题型③ 利用不等式的性质求范围 2a-4b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a 例8已知-1<a+b<5,-4<a-b<2. +(r-y)b. 求2a一4b的取值范围. x十y=2, x=-1, 由 得 x一y=-4.y=3, 解析已知-1<a十b<5, ① 从而有2a-4b=-(a+b)十3(a-b). -4a-b2. ② 48 第二章一元二次函数、方程和不等式辑 核心素养聚焦 考向①利用不等式的性质比较大小 考查内容 核心素养 高考难度 例日（经典·四川卷）若a>b>0,c<d 考查不等关系及不等式的性质 逻辑推理 ★★☆向☆ <0,则一定有( A.a B.ab 考向②证明不等式 "cd 'cd 例10（经典·全国Ⅱ卷）设a,b,c,d均 c号9 n名 为正数，且a十b=c十d,求证：若ab>cd,则 解析方法一：c<d<0, wa+b>c+√d. -e>->0,>0 证明由题设知ab>cd>0,则√ab>√cd. 又a+b=c+d, 又a>b>0, 则(a+五)2-(c+√a)2=(a+b+2ab)- (c+d+2cd)=2(ab-cd)>0, 方法二令a=3,b=2,c=-3,d=-2. 即(a+b)>(+√a) 则只=-1， b =一1，排除选项AB. 而a+√b>0,+√a>0. 号号 故a十w6>+√a. 3 考查内容 核心素养 高考难度 一号<名排除选项 主要考查利用不等式的性 ★★☆☆由 质证明不等式 逻辑推理 答案D 491-m≤-2， 若A为U的R(7)子集，1∈A,2∈CA,7∈A: 则有1十m≥6，其中等号不同时取到，解得m≥5， 若3∈A,取a=3,b=1,a十b=4∈U,则4任A,4∈CA, m>0, 再取a=3,b=4,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛盾， 所以，实数m存在且实数m的取值范围是{m|m≥5}. 则3任A,3∈CA; 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件， 若4∈A,取a=4,b=3,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 集合B是集合A的真子集， 盾，则4任A,4∈A； 1一m≥-2， 若5∈A,取a=5,b=2,a+b=7∈U,则7庄A,与7∈A矛 则有1十m≤6，其中等号不同时取到，解得0<m≤3， 盾，则5A,5∈A: 若6∈A,取a=6,b=1,a+b=7∈U,则7在A,与7∈A矛 m>0, 所以实数m存在且实数m的取值范围是{m0<m≤3. 盾，则6A,6∈A; 取a=7,b=1,2,3,4,5,6,a+b=8,9,10,11,12,13∈U,则 18.(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4.p:31≤x≤ 8,9,10,11,12,13A,8,9,10,11,12,13∈C,A: 2,x2-a<0,为真命题，即a>(x2)m 取a=7,b=2,ab=14∈U,则14∈A: 又1≤x≤2，∴.(x2)m=1,∴a>1, 取a=14,b=1,2,3,4,5,6,a+b=15,16,17,18,19,20∈ .实数a的取值范围是{aa>1}. U,则15,16,17,18,19,20A,15,16,17,18,19,20∈A: (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1， 取a=7,b=3,ab=21∈U,则21∈A: P为真所时应的：的范国等价于一力为限所时应的4的范圆 取a=21,b=1,2,a十6=22,23∈U,则22,23年A,22,23∈ 命题q为真命题时，△=4a2-4(2a十a2)>≥0，解得a≤0， CA. ∴q为真命题时，a之0， 综上所述，集合A={7,14,21. 不用写出一？命道，而走取力为真时a范调在R上的补第即可 思维过程) a1, (1)取a=1,b=2,由ab=2任A不满足性质②可得A 解得0<a≤1， a>0, 不是U的R(3)子集： 即实数a的取值范围为{a0<a≤l. (2)通过反证法，分别假设1∈A,2∈A的情况，由不满 思维过程了 足R(7)子集的性质，可证明出2任A; (1)写出命题p的否定，由它为真命题求解： (3)由(2)得，1∈CuA,2∈CA,7∈A,再分别假设3∈ (2)由(1)易得命题p为真时a的范围，再由q为真命 A,4∈A,5∈A,6∈A四种情况，由不满足R(7)子集的性 题时a的范围得出非g为真时a的范围，两者求交集可得. 质，可得出3,4,5,6任A,再根据性质②和性质③，依次验证 8~23中的每个数值是否满足条件即可。 19.(1)当n=6时，U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},CA= {2,4,5},取a=1,b=2,则ab=2∈U,但ab=2任A,不满 第二章一元二次函数、方程和不等式 足性质②， 2.1等式性质与不等式性质 所以A=1,3,6}不是U的R(3)子集。 (2)当n≥7时，A为U的R(7)子集，则7∈A: 变武孤练 假设1∈A,设x∈CA,即x任A; [变式1]：(/6+百+a+2)2-(√a+T+√6+2)2= 取a=1,b=x,则ab=x∈U,但ab=x任A,不满足性质②， a+b+3+2√a+2)6+D-(a+b+3+2√a+1)b+2) 所以1任A,1∈CA: 原式若1换作差，利下一步变形不好操作，观客发糙幸诵部有禁号， 假设2∈A, 数素虚先移诵，再平方作差，减少根号个数 取a=2,b=1,a+b=3∈U,且a+b=3年A,则3∈A, 2(√ab+a+2b+2-√ab+2a+b+2), 再取a=2,b=3,ab=6∈U,则ab=6∈A, 又(a+2b)-(2a+b)=b-a<0, 再取a=6,b=1,a十b=7∈U,且a+b=7任A, .√ab+a+2b+2<√ab+2a+b+2, 但与性质①7∈A矛盾， ∴.(6+I+a+2)2<(√a+I+b+2)2, 所以2任A. 又√b+1+a+2>0,√a+I+√b+2>0, (3)由(2)得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈CA, 2∈CA,7∈A, .+I+a+2<√a+I+b+2, 所以当n=23时，U={1,2,…,23}, 即√a+I-√a+2>√b+-√6+2. 15 [变式2]C[方法一A(×),因为m<0,所以m>0,又a> e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)] b>0,所以am2>bm2; (a-c)2(b-d)2 .'a>b>0,c<d<0, 以X),由已知只能得出m和6-a都为负，所以，”。>0，但 ∴.a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0, 无法判断，。与1的大小，结论不一定成立，下面举个反例， ∴.(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. 取m=-1,6=3,6=1,满足已知条件，此时，”。=弓号 e<0,.e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0. -1 e 4 a-c)6-d)'>0,“a-cb-d>0, 即，e C(/),(且接观察不易看出此不等式是香成立，可考虑精它们作 (a-c)b-d) 差，变形后利断与0的大小) a-m a (a-m)b-a(b-m)ab-bm-abtam 方法二 (a-c)2_(b-d)2 b一mb (b-m)b (b一m)b (a-c)2 (6-d)7 《6-m6,因为a>b>0,m<0,所以a-6>0,b-m>0,从 m(a-b) c<d<0,∴.-c>-dD0. 日号-n80做号<号 a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴.(a-c)2>(b-d)2>0, e D(X),(仍然不易直接省出结论是香成立，可考嘉作羞比较) “06-d0 a m bm abmb*-ba2+ma a-c<l,0a-c乎 62 (b-d) ab2 =ah(6-a)+m(a+b)(a-b) a263 又e<0,6-d<0,“a-e>b-d _(b-a)[ab-m(a+6)] 方法三c<d<0,∴.-c>-d>0. ab 又a>b>0,.a-c>b-d>0, 因为a>b>0,m<0, .(a-c)2>(b-d)2>0, 所以b-a<0,a2b2>0,ab>0,m(a+b)<0, 所以ab-m(a+b)>0,从而6-a)[abma+b]<0, 上式两边同桑以。0-D得a<o ab 又e<0, 故二m_”<0,所以4二m<一严 小a-c>b-d) 基础过关练 方法二（慧干给虫的，b,m的情况很清晰，色可考壳直接k特殊 1.D 值给运这场，用排除法选出答素) 由题意，可取a=2,b=1,m=一1，则am2=2>bm2=1,放 2.BD[A(X),若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2; A项错误： B以/)，若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b: 片。己1，放B项错误： C(X),若a<b<0,则a>ab,ab>b2,即a2>ab>b2; 又4m2=-卫_3，m1（D=2 .者a<<0,则日-名-品>0，即日>] 22 46 1 3.C4.D 所以4二m<一”，故D项错误，] 5.c<d<0,.-c>-d>0. 62 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0. 归钠总结) 当不等式较复杂，无法用不等式的性质进行简单判断 e_e6-d)-e(a-c)_e6-d-a十c） 又0，a6a62 (a-c)(b-d) 时，可考虑用作差比较的方法来处理，作差后一种常见的变 形思路是分解因式 鲁8>0 综合提能练 [变式3]方法一 (a-c)2(b-d0 =e[(6-d)2-(a-c)] 1.B[若m>n>0,则m十1>0，m-n>0,可得”出-1 m+1 m (a-c)(b-d) 加一 _e(b-d+ta-c)(b-d-a+c) m(m十)>0，即2士1>2，充分性成立. m十1m (a-c)2(b-d)3 生也可用精水”式 16 取=1=则串-=一满足中 所以(a-c)'>b-d>0,所以0a-c<b-d ”,但不满足m>0,n>0,必要性不成立，综上所述，p是g 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 又b|>c|,即b>-c, 的充分不必要条件.门 所以b+c>0,所以0<b+c<a十d. 2.D[11x+3y=m(2x十3y)+n(5x-6y),则11x十3y= 2m+5n=11,m=3, 故，6+c (2m+5n)x+(3m-6n)y,. 得 a一c6-d),原不等式得证 3m-6n=3,n=1. 培优突破练 于是11x+3y=3(2x+3y)+(5x-6y), 、待定系数法是通用方油 1.AC[方法一因为p是正有理数，且<2，所以0<p<2. 又6≤3(2x+3y)≤18，-3≤5x-6y≤9， 又9=p-片号：所以p-96号0 ∴.3≤3(2x+3y)+(5x-6y)≤27，即3≤11x+3y≤27， 故{x3≤x≤271.] 从而p<q,故A项正确，B项错误：（再看Q与2的大小，已有p 的范围，放可专密直接极据所给的q与户的吴系式分桥9的范国) 3.D[由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b>0,所以c≥b. 由a+b2+1=0,可得a=-b-1,且a≠1，故c>b. q=p-。--pp+2)=p2+22p+2 p+2 p十2 p十2 又6-a=6+6+1=6+号》°+是>0 2p+)2=2-22 p+2 p+2 ① 所以b>a,综上，c>b>a.] 因为0<p<2,所以2<p+2<2十2， 4.B[方法一（作差法）x<y<x,0a<b<c,.ax十 从而2 2 by+cz-(az+by+cx)=a(z-z)+c(z-x)=(x-z)(a 2+后<+21，故1<2p+222 2+2 -c)>0,故ax十by十cz>az十by十z,同理，ay十r十cx -(ay+bz+cz)=b(z-z)+c(z-z)=(x-z)(c-b)< 又2-2 2(2-2) =2 2-22,2-2, 2+√2 (2+√2)(2-2) 2 0.故ay+br+cx<ay+br十ca.又az+by+cx-(ay+bz 所以1<2 2 +cz)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,az+ p+2<2,由①可知g=2-,2 +2' by+cx<ay+bz+cx.综上，最低费用为ax+by+cx. 所以1<q<2,故C项正确，D项错误. 方法二（特殊值法）若x=1,y=2,x=3,a=1,b=2,c= 方法二（观靠发航AB两项必有一个错误，CD两角也是如此，教 3,则ax十by十cg=14,ag+by十cx=10,ay十bx十cx=11, 可透过取特殊值排除两个这诵，得答豪) ay十bx十cz=13.由此可得总费用最低为az+by十cx.] 取=1，则0=1号专所以p,放B项错误： 5.AC[A(/),由c>d得一c<一d,由不等式同向可加原则 4 有a-d>b-c. 又g=3≈1.333<2≈1.414，所以D项错误 B(X),若a>0>b,0>c>d,则ac<bd. 此为多选题，BD两项均错误，故选AC.] 业通杭：不等式同向同正可乘性质或 、 在的有转是“a>b>0,c>>0” 2(1)(直接由y-2y-2=0不易专出x,y能取守些正参我，不特 cWab>0x-ad>0.则b20即后-号>0 由它反解出上我y,再秦分析) a b 由xy-2y-2=0可得xy=2y+2,所以x=2+2 ① D(×),取a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a>b,c>d>0, 则号-=-1] 因为x为正整数，所以只有当y=1或2时，2+2才为正整 627.[令 ) 数，将y=1,y=2分别代入①可得x=3,x=4, 2m一n=4, (xy2) 所以x,y的值为x=4,y=1或x=3,y=2. 2n+m=7, (2)(,9的结构较是系，不多直接青出它们的大小，考密作差北较) 。此处用持发熏数法，观家原条件结拘 又8≤写)<1<w<4 m=3, 4 由题意，p一g=Cx1-2)+(x:一2) y1十y2 (n=2. 2 2 2 4 22 -(x1-2)+(x2-2） 2 7.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 1 1 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, (x1-2)+(a2-2)x1-2x2-2 ② 17 (观察发规士1和1以王1一2，生一2的整体结构出现，数考我将它 们整体换元，筒化上还式手) 因为x+-+1+-1≥2，√+D x十1 令a=x1-2,b=x2-2,由x2>x1>2可得b>a>0, 1一3，当组仅当z+1一南即=1时取等号，D正确] 式卿为p=。-(（+)-。。 [变式44.[因为6>0，所以a2+6+>2V后·46+ 4ab-(a+b)24ab-(a2+2ab+b2)(a-b)3 (a+b)ab (a+b)ab (a十b)ab1 1a2=4b2, =4,当且仅当 因为b>a>0,所以(a-b)2>0,a+b>0, 从而p一q= (a-b)2 a+bab<0,故p<g. a=1,fa=-1, 2.2基本不等式 或 】时等号成立.（进排两次使用委本不蒂式要 b=2 变式如练 保证等号咸立的一数住)门 [度武++中g+。-(伯+号）+（后+ a 6 c [变式5]0[方法-（消元法）由条件得y一5x—3' 9）+(g+）-3,a>0,b>0c>0, 由>0y>0知>号， 生重组配时后，条组式子的积为定值1 治+号≥2侣：后-26时年 从而3红+4y=3x十5z-3-3x+ 5(-) 同理，分十名>2（售且收多6：时取等专）， 转化配海浅分于不食食量的形式一 12 是十后>2事且收多=时尔等号. )+ (-) 号>2√+号-5，当且仅当 + (合+8)+（后+2）+(2+）-3≥6-3=3，即 12 25(- y一3即x=1y=时取 十c一a+十a-b+a十b二S3.《省且仅当a=b=r时来号号) b 等号，故3x+4y的最小值为5. [变式2]，x>-1,x+10, y=+5+2_[x+1)+4[x+1D+ 方法二（常数代换法）对原条件式转化得三+上=5，则 x y x+1 x+1 变形确定零微 _+生+-+++5 x+1 3x+4y 号(+)a+)(9+4+坚+) ≥2，√+1D·石+5=9红+=x=1时 。巧炒借的了“1”的代换 ≥号(3+2坠，)=5，当且仅当坚- ,x+3y y y 等号成立)，所以y有最小值9. [度式3c[因为x>0,所以x2-x)≤（中号）'=1，当 5xy,即x=1,y= 2时取等号.故3x十4y的最小值为5.] 且仅当x=2-x,即x=1时取等号，A正确： [速式因为品+云密-艺， 因为红+>2一-2，当且仅当-，即1时 取等号，所以2一工一上≤0，B正确： 当组仅当艺-。即a+6=4且的= 令=V4什7，则≥2，原式可化为生+>2，当且 a=2-3,a=2+3, 即 或( 时等号成立 仅当1=，即1=1时取等号，又≥2，所以+5的最小 b=2+5b=2-5 √/x2+4 值不是2，C错误；（注意歌等条件） 故品+云+。的最小值为么】 18