3.2.1 单调性与最大（小）值-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

翻重难点手册高中数学必修第一肿RJA, 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 A基础过关练 C.{x|0<x≤1 D.{x|x>1 。测试时间：15分钟 5.[题型3](2024·福建福州调研)如图所示，定义 1.[题型1、2](2024·陕西安康高一期中)（多选） 域和值域均为R的函数f(x)的图象给人以“一 下列结论正确的有( 波三折”的曲线之美。 A.函数y=上的单调减区间是(-一0,0)U (0,+∞) B函数y= 一x在区间(0，十∞)内单调递减 C.若y=∫(x)在区间D上单调递增，则函数 (1)若f(x)在(-2，a+2)上有最大值，则a的 1 y=fx)k<0)y=T在区间D上都 取值范围是 是单调递减函数 (2)方程f(f(x)=3的解的个数为 D.若函数y=f(x)满足x1,x2∈D,x1≠x2, a,azb, 6.[题型3]定义max{a,b)= 令函数 f)-fo(或f)f)<0, b,a<b, 1-E2 x1一x2 f(x)=max{x2-3.r+3,6-x. 能判定f(.x)在区间D上的单调性 (1)画出f(x)的图象： 2.[题型2](2024·陕西榆林高一期未)已知函数 (2)求f(x)的最小值. (2a-1).xx<2, f(.x)= 在R上单调递 x2-2a.x+6a-3,.x≥2 增，则实数a的取值范围为( A侵司 c侵别 n层 3[题型1门已知函数f(x)=r+ x(1,+oo), 则下列不等式恒成立的是( A.f(8)>f(k+2k+4) B综合提能练 B.f(6)>f(k2+2k+4) ●测试时间：30分钟 C.f(4)<f(k2+2k+4) 1.[题型1、3](2024·全国高一课时练习)（多选） D.f(2)<f(k2+2k+4) 下列关于函数f(x)=√一x2十2x十3的结论正 4.[题型2](2025·湖南益阳高一月考)设函数 确的是( f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，且f(1)=一2， A.单调递增区间是[-1,1门 集合A={xf(x)-2x+4>0},若“x∈A”是“x∈ B.单调递减区间是[1，十∞) B”的必要不充分条件，则集合B可以是( C.最大值为2 A{<< D.没有最小值 2 第三章函数的概念与性质甜 2.[题型2](2024·浙江杭州调研)设函数f(r)为 则函数∫(x)=x*乏的单调递减区间是 单调函数，且x∈(0，十∞)时，均有ff(x)+ ）=1.则/=(. 7.[题型3](2024·湖北安陆第一高中高一阶段练 习)尼知函数fx)2红+2+1+x,若对任意 A.-3B.-2C.-1 D.0 3.[题型1、2](2025·湖北荆州高一阶段练习)（多 x1∈[1,2]，都有f(x)-f≤m2- 4加 连已知函数∫：)一千则下列说法正确的 十求实数m的取值范围. 是(). A.f(x)的对称中心为（一1,1） B.f(x)的值域为R C.f(x)在区间(-1，十∞)上单调递增 D.f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2024)+ 号)+/兮)++/(22)的值为 2 4.[题型3](2025·湖南衡阳高一期末)已知函数 1+2x<c f(x)= 若f(x)的值域 x2-2x+3,c≤x≤3， 为[2,6]，则实数c的取值范围是( 8.[题型1、2]定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足 A[-1.- 0) f(mm)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1 时，f(x)>0. C.[-1,0) n[1, (1)求f(1)的值： 5.[题型2](2025·广东珠海高二期中)已知函数 (2求证：f(贸）=fm)-fn: f(x)=x2一x,若对于任意的x1,xe∈[1， (3)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数： 十o∞)，且x1<x,都有x2f(x1)-x1f(x2)> (4)若f(2)=1,解不等式f(x十2)-f(2x)>2: a.x1xz(x一x)成立，则a的取值范围是( 6)此较/俨2”）与fm生fm的大小 2 A.[0,+∞) R(-2o) n(←， 6.[题型1门新定义在实数R中定义一种运算 “*”,使其具有下列性质： ①对任意a,b∈R,a*b=b￥a: ②对任意a∈R,a*0=a: ③对任意a,b,c∈R,(a*b)c=c*(ab)十 (a*c)+(b*c)-2c. 29 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA C培优突破练 (2)设h(x)=f(g(x). 。测试时间：15分钟 ①当a=1时，求h(x)在(-1,1)上的最小值： 1.(2025·湖北襄阳高一上练习)函数f(x)的定 义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1<x ②若对任意实数r,s,t [号引h 时，都有f(x1)≤f(x),则称函数f(.x)在D h(s)<h(t)恒成立，求实数a的取值范围. 上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减 函数，且满足以下三个条件： ①f(0)=0: ®f(5）=2fx: ③f(1-x)=1-f(.x). 则（传）+（日）等于( A函 端 C品 n 2.(2025·四川成都高一上练习)已知函数f(x) =x+ga>0gx)号 (1)证明：函数f(x)在区间(0，a)上单调递减， 在区间(a,十∞)上单调递增. 303.2府数的基本性质 一3单调递增，则a2,由函数「(x)在R上单调递增，有 3.2.1单调性与最大（小）值 1 a>2' 变武细练 a2, 解得}a<是] 一2x十1，x≤-1， 2(2a-1)≤4-4a十6a-3, [变式11y=x+1+x-21={3,-1<x≤2， : 3D[任取1Kx<1,则f(x)-fx)=王1-+ 2x-1,x>2. 作出函数的图象如下： 1-(xx4-10,“x-x<01x>1. T:xIE: ∴f(x1)-f(:)<0.则f(x)在(1，十∞)上单调递增. 。可直接抵据对句怎数的明因象得单调性 又k2+2k+4=(k+1)2+3≥3>2， -102 .f(2)<f(k2+2k十4).] 4.A[(f(x)表拾出解析式，所以应通过单调性脱女所表“厂"，据 由图象可知，函数的单调递减区间为（一©，一1门，单调递增 f(x)一2x十4D0可构位新盖数g(x1=f(r)一2十40 区间为[2，十∞). 令g(x)=f(.x)-2x+4, [变式2](0,3门.[分段函数的单调性应先分段再综合考虑 :f(x)与y=一2x十4在(0，十o∞)都为减函数， 因为f(x)在R上是单调递增函数，所以在（一∞，1）上也是 .g(.x)在(0，十o∞)上也为减函数 增函数，故a>0.设y=ax-1,x∈（一，1），因为a>0,故 又g(1)=f(1)-2十4=0， y<a一L.而y=x2+1(x≥1)是增函数，且yn=1+1= x1, 2,故只需a一1≤2即可，求得a≤3.所以0<a≤3.] ∴.f(x)-2x+4>0=g(x)>g(1),. x>0. [变式3]B[易知函数f(x)=2x一a|十3的单调递增区间 .0<x<1,∴A={x0<x<1. 为[a,十o),单调递减区间为（一oo,a]. 故要满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A 因为函数f(.x)=2x一a十3在区间[1，十∞)上不单调，则 a>1.] 的真子集，又0<<号}云0<<.A正确】] 建甜过关练 5.(1)(一3,3].(2)4.[(1)由图象可知，该函数在(-∞， 一1)上单调递增，在（一1,3）上单调速减，在(3.十○)上单调 1 1.BD[A(X),因为=-1< =1,所以函数y= 不在 递增，且f(-1)=f(5)=3, (一，0)U(0,十∞)上单调递减： 要想f(x)在（一2，a+2)上有最大值， B以√)，因为函数y=上与函数y=一工均在区间(0，十©) -2<a+2, 则有 →-3<a≤3，a的取值范围是(-3,3]. -1a+25 内单调递减，所以函数y一 。1 一x在区间(0，十∞)内单调递减： (2)令f(x)=t,f(1)=3→1=-1，或1=5， 不 若∫(x)=一1，根据函数图象，可知该方程有三个不相等的 C(X),函数(x)=x在R上单调递增，但是函数y■ 实根： 是减函数： 若f(x)=5,根据函数图象，可知该方程有一个实根. D),Vx1,x∈D,x1≠x,不妨设x1<x,则x1一x< 所以方程f(f(x)=3的解的个数为4.门 0.由)0可知，fx)-fx,)<0,根据单调 6.(1)令y1=x-3x+3,y=6-x, 一xg 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象， 性的定义可知，f(x)在区间D上单调递增.同理可得，由 又由x2-3x+3=6-x得x2-2x-3=0, x)一x)<0可得，f(x)在区间D上单调递减.综上 ,.x=3或x=一1， x1一xg 所述，能判定f(x)在区间D上的单调性.] ∴y1与y:图象的两交点的横坐标分别为一1和3 2.C[当x<2时，函数y=(2a一1)x单调递增，则2a一1> .f(.x)=max{x2-3r十3,6-x} x2-3.x+3,x一1或x≥3， 0,即0>二次函数y=2-2ar+60-3的图象开口向 6-x,-1<r<3. 上，对称轴为直线r=a,当r≥2时，函数y=x2一2ax+6a: f(x)的图象见下图实线部分： 32 米用困象备，再通过移动直线工=来确瓷C的范围 在同一直角坐标系下作出函数y=一士十2与y=一2x 十3的图象如下： -2-102346、8 (2)由图象可知f(x)n=f(3)=6-3=3. 综合提能练 1.AC[令t=-x2+2x十3，则原函数由y=F与1=-x2+ 2x十3复合而成，又由-x2十2x+3>≥0得-1≤x≤3. 123456 =-x2+2x+3在[-1,1]上为增函数，在[1,3]上为减 函数，而y=厂为增函数， 由x2-2x+3=6,得xA=3,xe=-1, .f(x)的递增区间为[一1,1门，递减区间为[1,3].故A对 1+2=6,得x#=一： 1 由单调性知f(x)=f(1)=2,f(x)m=0,故C也对.] 要f(x)的值城为[2,6， 2D[?函数f(x)为单调函数，且f()+2)=1 ((x)国象上的意的然坐标的取值蔻周只能水且，公0[2,6]里 ∴fx)+二为常数，不妨设了(x)+兰-a,则fx)=4 的数】 由图象知-1<c<-},故选A] 2,原式化为fa)=1,即a-2-1,解得a=2或a=-1 5D[方法一对于任意的x1x:∈[1，十©)，且x1<,则 (舍去)，故f(x)=2-2 x1x:>0,.x>xi, r ,f(1)=2-2=0.] 所以不等式x:f(x1）一x1f(x:)>axx2(x一x)恒成立 3A0D由题可知，)克生-1 1 x十1 等价于af)一/在1，十o)上恒成立， rir:(ri-ri) -2-不_x十2 A√)，因为f-2-x)=-22+-+,所以f（-2 而f(x)=x-x可得xf(x1)-x1f(x)=xix4一x1x -+者+有一2，所以了x)的对移中6为 -xi:=x:), 因此可得a<f）一1f=x,(-x) (-1,1): rir:(ri-xi) x:(i-xi) 1 B以X).因为f)=1-显然≠0，所以f)的 x1十r: 值域为yy≠1)： 又11<：所以x十x>2,因此-2< +0, C√).当x>-1时y=中单调递减，所以y=一x中市 所以a≤- 即。的取值范是(-一，引 2 单调递增，所以)=1单湖递增： 方法二（由已知泰件中“f(x,)一F1/《)>面1：( ”速个蒂件，通过变形可以变成有是，与的时称式，所以啊 以用构造盖煮法来部此通】 xgf(x1)-x1fx)>a.r1x(r-xi),x1x∈[1，十oo). +市=1，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)+ .r)rari. g (号)+f(号)+…+f(22)=f)+fr2)+ 令g(x)=f2+ar'x≥. ∴g(x1)>g(x:),即g(x)在[1，十∞)上为减函数， 号)+[a+号】++[eo2+(》】 又gx)=_2+ar2=ar2+x-1. a<0, a≤-专，放选n] 4A[f(的两联解析式都走已知的，且周袋可以盈出，所以优克： 33 6(四，一】：[（饮是老一个新定义起，要北定文春特是，意不 f(x+2)-f(2x)>2,.f(x+2)>f(2x)+f(4), .f(x十2)>f(8.x). x)一了与的单调区间，必角先把“，”连个运算精化为数或代 又f(x)在(0，+0∞)上为增函数， 食式的四刚运算，而性质3中有山。2，都是四刑运耳，天特合性： z+2>8r x>0. 解得0<r<号 质12，桥4今0-0) 令c=0,则a*b=(ab)*0=0*(ab)十(a“0)+(h*0) 故不等式fx+2)-f2r)>2的解集为x0<x<号} 、性情②一住看① -2×0, 5由题意得m0-名f0m. 2 a*b=aba+6,fx)=x*受-专+x+ 2 m）-2[(）+] +受-(+)- =2(）). 易知x)的单调递诚区间为(-，一引门 :(安）-m=(2）≥0 7由已得)-22+1学-2x+是 +x (空产）≥m(当且仅当m=时取等号 (e+)+2(+）-2 又，f(x)在(0，+∞)上是增函数， 令1=+，因为x61,2], (）)≥m.即f空）)≥m 2 所以1e[2,引所以令=+2-2 猛优突破练 1D[①f(0)=0,③f(1-x)+f(x)=1, 所以当1=2时ym=2+2×2-2=6, 当1=时-(停）广+2x号-2-平。 令x=0,得f1=1:令x=,得（侵）=2 即/=6u-平 又：@f(借）-f,f)=2(借）， 所以对任意x1,x:∈[1,2]，f(.x1)-f(x2)≤f(x) 令=1，得1=2（传，f(得）=2 令=得r(）合） 所以对任意x1x2∈[1,2]：都有f(x1)-f(x:)≤m2 令x=号，得付）=f信)= 子m+等价于-子+> 7 当<，时，都有ff,< 即mi-7m-1>0,解得加≤-1或m> ∴f(日)<f(日)f(传)，(g)= 所以实数的取值范擱是(-0，一U[保+） 传)+（信》+ 8.(1)令m=n=1,由条件得f(1)=f1)+f(1), 所以f(1)=0. 归纳总结 袖象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据 (2)fm)=f(g·n）=f(g)+f, 不等关系家确定的值，一搬用“夫适“的方法（如} 即f(）=fm)-f. )(g)(6)-) (3)任取x1x∈(0，十∞，且x1<x2则>1. 2.(1)任取x1x:∈(0，)人x1<x,(证明单调性，月能用发义法) 由2)得fx:)-fx)=f(货）>0，即fx:)>fx 则f)-f)-+层- =x1一x+ .f(x)在(0，十o∞)上是增函数 (4)f(2)-1,∴.2=f(2)+f(2)=f(4), ）-,-)a xi42 TIT: 34 因为x1x∈(0，a),x1<x2,所以0<x1x2<a”,1一x2<0, 则fx)-fx:)=(,-x).-a 2该/=2+号 >0. x工。 若号+2>2+号，即。>1.则最大值为（侵）-名+2， 即f(x1)>f(x),f(x)在区间(0，a)上单调递减. 同理，任取r1x∈(a,十∞)，x1<x. 则有分十2<如解得2<2生】 2 因为x1∈(a,十o∞)，x1<x2,所以x1x>a2x1一x2<0, 则f)-fx)=(-x).-a <0 将a<20>1.2a<2取交集 E1E2 即f(x1)<f(x:),f(x)在区间(，十o∞)上单嗣递增。 可得1<a<+区 2 @091-e)是-n2- 1+1, 若号+2a<2+号，即0<a1.最大值为2)=2+号 当x∈(-1,1)时，1+x∈(0,2)， 敢7子，+)ge)-吊一1e0,+ 2 则有2+号<u,解得425<a<4+25 ∴.1=g(x)∈(0，十co). 将2<a<2.0Ca≤1,4-25<a<1+2v5取交集. 当1∈(0，十o)时，f)=1+在(0，D上为减函数，在 可得4-23<a≤1， (1,十∞)上为增函数， 若a≥2.则fr)=+在r∈[合，习上单调递减， ∴.f(tn=f(1)=2,即h(x）an=2. ②国为表在[吉门上任套水信，所以)≤ 故fx)=f()=+2a,x)=f2)=2+号 4(u)恒成立，等价于4(rm一h)-h(rm +2a<2+)解得-四< 2 e[专】时1+e[导】g)= 2 -1∈ 曲于 <2,故此时解集为心. [2 综上，实数a的取值范围是4-2v3<a<2士 2 对实数ue[ ,h(r)-h(s)<h(u)恒成立， 归纳总结 等价于对任意的山∈[2习)6，<a, 对于求不等式成立时的参数范国问题，一般有三个方 法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另 只需f)=+在x[习上，满是f 一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确 定含参式子满足的条件，二是讨论分析法，根据参数取值情 f(x)m<()f()<2f(). 况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数， 由（1知./)=r+二在(0a)上单调道减在a.十o)上 通过两个函数图象确定条件】 单调递增， 3.2.2奇偶性 若0<a≤分，则f)=x+在x∈[22上单调递增， 变武细家 [变式1门ACD[A(/),令F(.x)=f(|x|)g(x),F(-x)= 故fx)=f(侵）-+2a,fx)m-2)=2+ f(l-x)g(-x)=f(lx)g(x)=F(x): 故2+号<2（侵+2云）解得>年或<-四 BX),令F(x)=f(x)g(|x|),F(-x）= 7 f(-r)g(I-z)=-f(r)g()=-F(x).F() w14、1 （舍去)，由于7>2，故此时解集为心， 为奇函数： C(√).令F(x)=f(g(x),∴F(-x)=f(g(-x)= 若号<a<2,则/)=+号在[]上单调通诚， f(g(x))=F(x): 在r∈(a,2]上单调逆增。 D(√)，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x)= g(-fr)=g(f(x)=F(x).] 故f(x)m=f(a)=2a,f(x)的最大值为f(2）=2十 [变式2]x-2<x<1或0<r1或2x<31. 35