1.5 全称量词与存在量词-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语用 1.5全称量词与存在量词 重点和难点 课标要求 重点：全称量词和存在量词的否定 理解全称量词与存在量词的意义，正确地使用存在 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的 量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量 真假，正确地写出含有一个量词的全称 词命题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量 量词命题和存在量词命题的否定， 词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题的规律， HH用月HH 食必备知识梳理 H甘3用用H 基础梳理 知识点( 全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题的概念 巧总结1衡 全称量词命题常见的表述形式 全称 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词 量词 全称量词命题 符号表示 命题 (VzEM,p(z)) 定义 含有全称量词的命题，叫作全称量词命题 所有的xEM,p(x)成主 全称量 对一切x∈M,p(x)成立 词命题 般形式 对M中任意一个x,p(x)成立 表述 符号表示 Vx∈M,p(x)◆巧填w 对每一个x∈M,p(x)成立 形式 任选一个x∈M,p(x)成主 知识点(2 存在量词与存在量词命题 凡x∈M,b(x)成主 存在量词与存在量词命题的概念 巧总结2澳 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存 存量量词命题常见的表述形式 存在 在量词 存在量词命题 量词 命题 符号表示 3 (3EM.()) 存在xEM,p(x)成主 定义 含有存在量词的命题，叫作存在量词命题 至少有一个x∈M,p(r)成立 存在量 般形式 存在M中的元素x,p(x)成立 表述 词命题 形式 对有些x∈M,p(x)成立 符号表示 3x∈M,力(x)◆巧垫蓝2 对某个x∈M,p(x)成主 有一个x∈M,p(x)成立 知识点③全称量词命题和存在量词命题的否定 1.命题的否定 般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这 一新命题称为原命题的否定， 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 类型 全称量词命题 存在量词命题 命题形式 Vx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 31 重难点手册高中数学必修第一册RJA 续表 命题的否定 3x∈M,p(x) Vx∈M,p(x) 全称量词命题的否定是存存在量词命题的否定是全称 结论 在量词命题 量词命题 ◆范逆野无 拓视野) 3.命题的否定与原命题的真假性关系 常见关键词及其否定形式 原命题 真 假 关键词 香定形式 命题的否定 假 真 等于 不等于 大于 不大于 重难拓展 小于 不小于 重难点①恒成立、存在性问题初探 至少有一个 一个都没有 至多有一个 至少有两个 例☐已知命题p:存在0≤x≤1，x2-2x-2十a>0:命题g: 是 不是 对任意的0≤x≤1，x2-2x一a<0.若命题p,g均为假命题，则实 都（全）是 不都（全）是 数a的取值范围为 没有 至少有一个 解析方法一（逆否转换十分离参数法）（直接由力，9为但命趙朵分析不 易，可考是先转化为它们的否定为真命慧朵处理) 因为命题p为假命题，所以命题p的否定“对任意的0≤x≤1，x2一2x -2十a≤0”为真命题， (观容发现x一2x一2十a≤0中的a是称立的，可专虚术数分高) 因为x2-2x-2+a≤0Ha≤-x2+2x+2, 所以a≤-x2十2x十2在0≤x≤1时恒成立， (惠样能使a≤一x2十2x十2幢成立？只常a≤（一x2+2x十2）：要求该最小值，可 画二次善数的国象来着) 二次函数y=一x2十2x十2的对称轴是x=1,如图1， 巧总结 当0≤x≤1时，y=一x2+2x十2在x=0处取得最小值2，所以a≤2.① 含参不等式的恒成立、存在 因为命题q为假命题， 性问题是一种常见的题型，常用 所以命题g的否定“存在0≤x≤1，x2一2x一a≥0”为真命题， 方法有： (观春发现参数a是私立的，所以我们仍然通过移项把它分高出朵) (1)分离参数法 x2-2x-a≥0Ha≤x2-2x, 让已知的参数和未知的变 (所以条件等价于存在0≤x≤1，使a≤r-2x,这意味着a≤(x一2x)) 量分开.一般来说，设y是关于 如图2，当0≤x≤1时，y=x-2x在x=0处取得最大值0， x的函数，且存在最值，则参变 所以a≤0. ② 分离后，有下面几种情况： 综合①②可得实数a的取值范围是{a|a≤0}. ①a≥y恒成主，则a≥ym y=-x+2x+2 y=r-2T y=x2-2x-2+a y=x2-2.x-a (其中y指y的最大值). ②@a≤y恒成立，则a≤ym =0 (其中y血指y的最小值). ③存在x,使a≥y,则a≥ 图1 图2 图3 图4 方法二（函数法）因为p为假命题， ④存在x,使a≤y,则a 所以p的否定“对任意的0≤x≤1，x2-2x一2十a≤0”为真命题， (注意到二次函数y=x2一2x一2十a的对称轴是圃定的，所以这里尽管函数含来， 32 第一章集合与常用逻辑用语 但其最值容易求出，故也可不分高泰数，直接求读函数在0≤工≤1时的最大值，将p的 可以看到，含参不等式的恒 否定为真命题解译为(x2一2x一2十a)m≤0) 成立、存在性问题，一旦参变分离 二次函数y=x2一2x-2十a的对称轴是x=1, 后，都会转化成菡数的最值问題 所以如图3，当0≤x≤1时，该函效在x=0处取得最大值一2十a, (2)函数法 因为x2-2x一2十a≤0在0≤x≤1时恒成立， 利用函数的图象与性质，求 所以一2十a≤0，解得a≤2. ③ 出函数的最值（用参数表示），再 因为g为假命题，所以q的否定“存在0≤x≤1，x2-2x一a≥0”为真 得到参数的不等式，从而求出参 命题， 数的范围.下面以二次函数为例： (二次函数y=x一2x一的对种轴也是周定的，故也可不分高米数，直接求减二次 已知y=ax十bx+c(a≠0). 盖数的最大值，将g的否定为真命题制译为(x2一2x一口)≥0) ①ax2十bx+c>0恒成立 二次函数y=x2一2x一a的对称抽是x=1, fa>0, 所以如图4，当0≤x≤1时，该函数在x=0处取得最大值一a, 4<0. 由前面的分析可知一a≥0，所以a≤0. ④ ②ax2十br+c<0恒成立 综合③④可得实数a的取值范围是{a|a≤0}. a<0, → △<0. 方法三（补集等价转换法）（这里，g都是假命勉，我们可以先楼力，q为真命 ③ax3十bx十c>0在R上 随分别求a的范围，再各自取补集) 假设p为真命题，则存在0≤x≤1，x2-2x一2十a>0, 有解→a>0或C0, a>0. 因为x2-2x-2+a>0=Q>-x2+2x十2，所以a>(-x2+2x十2)m, (3)等价转化法（补集转化 如图1，当0≤x≤1时，y=一x2十2x十2的最小值在x=0处取得， 法和逆否转化法) 所以(-x2+2x十2)m=2,故a>2, ①补集转化法：若p为假命 这是p为真命题时a应满足的条件，所以当p为假命题时，应有α≤2.⑤ 题，先假设p为真命题，求出参数 假设g为真命题，则对任意的0≤x≤1，x2-2x一a<0, 的范围，然后求其补集即可 因为x2-2x-a<0=a>x2-2x,所以a>(x2-2x)mx, ②逆否转化法：P为假命题 如图2，当0≤x≤1时：y=x2一2x的最大值在x=0处取得， 等价于一力为真命题，求出 所以(x2-2x)*=0,故4>0， 一力为真命题时参数的范国即 这是q为真命题时a应满足的条件，所以当q为假命题时，应有a≤0.⑥ 为所求的范围。 姑合⑤0可知当p,9都是假伞题时，S2, a0, 所以a≤0，故a的取值范国是{aa≤0}，◆巧请 答案{aa≤0}. 变式①已知p:3x∈R,m.x2+1≤0；q:Hx∈R,x2+mx十 1>0.若命题p,g中至少有一个为真命题，则实数m的取值范围 是 iiHH国 关键能力提升 1SB6111111110081110101101111111101800110111611111100180031111001111111100001 题型① 全称量词命题与存在量词命 (2)x,y∈R,x2+y2>2xy; 题的否定 (3)Vx≥0,1≥1或x2<1. 例②(2025·河南开学模拟改编)分别写 出下面命题的否定： 解析(1)命题省略了全称量词“所有”，（易错点：若 (1)可以被5整除的数，末位上是0： 设有客觉到这点，客易只把结论中的“是”改为“不是”，从而出错) 33 重难点手册高中数学必修第一册RJA 命题的否定为：存在一个被5整除的数，末位上 (2)真命题. 不是0. (命赴的结论拿有“≠”号，可以先利断命超的否定的真假) (2)(命题省略了全称量词“V”,“>”的反面是“≤”，列掉 命题的否定：3x∈R,x|+1一x=0 了“=") 当x≥0时，|x|+1一x=1≠0， 命题的否定为：3x,y∈R,x2十y2≤2xy. 当x<0时，|x+1-x=1-2x=0, (3)(结论中的≥1，工2<1用“或”连接：“或”的意悬是两 4x-2(含去)， 个不等式中至少有一个成立，其否定应为两个都不成立) ∴命题的否定为假命题，故(2)为真命题， 命题的香定为：3x>≥0,1<1且x>1 (3)假命题. 易错警示 方法一（国为a动的符号不定，所以可以通过配方法来 化解ab,再定其他式子的符号) 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命 题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成 。+a6+6-6+》+改≥0框底立， “Vx∈M,p(x)”的形式，再把命题的否定写成 故(3)为假命题 “3x∈M,一p(x)”的形式.要学会挖掘命题中隐 方法二(a+ab十b°是三次式，可以把a有流变量，b 含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题 看成变量的系数，再利用利别式来利所这个二次式的符号) 的否定后可以结合它们的真假性（一真一假）进行 令y=a”十ab十b2,这可以看成关于a的二次 验证， 函数」 题型2 全称量词命题与存在量词命 ,△=b2-4b2=-362≤0， 题真假的判断 又抛物线开口向上， 例③判断下列命题的真假. ∴y=a2十ab十b2的图象上没有点在x轴下方. (1)Hx∈{x|1≤x≤3}，x2-5x-1<0: 即Ha,b∈R,a2+ab+b2≥0恒成立. 故(3)为假命题： (2)Hx∈R,x|十1-x≠0； (3)3a,b∈R,a2+ab+b2<0. 方法归纳 解析(1)真命题 全称量词命题、存在量词命题真假的判断 方法一(y=x2一5x一1是升口向上的抛物线，只要 经证明为真或 与性质、定理 真命题 点(1，y1)知点(3，)嘟在轴下方，别y=2-5x一1在1≤x≤3 全称量 等相特 的这一段国聚就郁在工轴下方) 可举一反例 命题 当x=1时，有1-5-1<0. 可找到使结论 成立的例子 真命题 当x=3时，有9-15-1<0. 哈存在存在量 量词 调命题 经证明为假或 又抛物线y=x2一5x一1开口向上，由图象知对 性 质、定理 佩命题 等相特 于1≤x≤3，都有x2-5x-1<0.故(1)为真命题. 方法二（根据恒成立问题的盖数法，只需看当1≤江≤3 写出命题 命题的否定为真一原命题为假 的否定 时，(x一5.x一1)=是否小于0)】 命题的否定为假一原命题为真 令y=-5红-1，对称轴为x=, 变式2写出下列命题的否定，并判断其 又1≤x≤3，当x=1时，y有最大值一5. 真假， .当1≤x≤3时，x2-5x一1<0恒成立.故(1) 为真命题 (Dp:VzER.x-x+1>0: 34 第一章集合与常用逻辑用语用 (2)q:所有的正方形都是矩形： 当p,q都为真时，分别求出参数范围，然后根据补 (3)r:3x,y∈N,2x+y=10; 集思想分别求出满足“p真q假”和“p假q真”的参 (4)s:至少有一个实数x,使x3十1=0. 数范围。 题型③根据全称量词命题、存在量词 例已知m,n∈R,命题p:x1和x2是 命题的真假求参 方程x2一mx一2=0的两个实根，不等式n2 例④已知命题p:关于x的方程mx2+ 5n一3≥|x1-xz|对任意实数m∈[-1,1]恒 2x一1=0有实数根.命题q:Hx∈[1,4幻，不等 成立；命题q:不等式nx2+2x一1>0有解.若 式-x2+4x-3≥m2-4m恒成立. 命题p是真命题，命题q是假命题，求实数n (1)若命题p为真命题，求实数m的取值 的取值范围。 范围； 思谁过程 (2)若命题p与命题g一真一假，求实数 对于命题p,根据韦达定理把x1一x2转化为 m的取值范围. 关于m的式子，再求x1一x2|的最大值，进而结合 解析(1)若命题p为真命题，则关于x的方程 恒成立问题求实数n的取值范国：对于命题q,可以 mx2十2x-1=0有实数根， (二次项系数为m,应分m=0与m0计论) 先由q为真求出n的范固，然后再求在R内的补集 当m=0时，2x-1=0有实数根，解得x=2,符 1 解析因为x1,x2是方程x2一mx一2=0的两个 合题意： x1十x2=m, 实根，则 当m≠0时，则△=4十4m≥0，解得m≥一1且 x1x2=-2, m≠0.（易错.点：用△必须二次项的系数为不0） 可得|x1一x2|=√(x1十x2)-4x1x2=√m+8, 综上，实数m的取值范固为[一1，十∞). 当m∈[-1,1]时，x1-x2*=3, (2)若命题q为真命题，则Hx∈[1,4]，不等式 由不等式n2-5m-3≥|x1一x2|对任意实数 -x2+4x-3>m2-4m恒成立，即(-x2+4x-3)m m∈[-1,1]恒成立可得n2-5n一3≥3， 即n2-5n-6=(n十1)(n-6)>≥0， ≥m2-4m. 当x∈[1,4]时，-x2+4x-3=-(x-2)2+1∈ 解得n≤一1或n≥6， 所以命题p为真命题时，n∈（一∞，一1]U[6,十o∞）. [-3,1],.(-x2+4x-3)m=-3. 当命题q为真时，即不等式x2+2x-10有解， 则m2-4m≤-3，解得1≤m≤3. m≥-1， 当n=0时，不等式为2红-1≥0，解得x≥号，合 当p真g假时，有 m>3或m<1, 乎题意， 则-1≤m<1或m>3: 当n>0时，△=4十4n>0,原不等式一定有解， m<一1， 当n<0时，只需△=4十4n>0,解得-1<n<0, 当p假q真时，有 则解集为心】 1≤m≤3， ∴.不等式nx2十2x-1>0有解时n>一1， 综上，一1≤m<1或m>3. 又命题q是假命题，则n∈(-∞，一1]， (补集思想) 故实数m的取值范围为[一1,1)U(3,+∞). 所以命题p是真命题且命题？是假命题时，实数 方法归纳 n的取值范围为（一∞，一1]. 处理p,9一真一假，求参数的范国问题时，此 变式3已知命题p:“3x∈{x|1<x<4} 题用的方法简捷方便.如讨论p真q假时，不必写 使得不等式x2一4x一2-a>0成立”是真命 出一q,再由p真且q真，求出参数范固，而是先 题，求实数a的取值范围， 35 铺重难点手册高中数学必修第-册RJA 核心素养聚焦 考向① 全称量词命题与存在量词命 考向②含有量词命题的否定 题真假的判断 例☑（经典·浙江卷）命题“Vx∈R, 例6(2024·全国Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈ 3n∈N·,使得n≥x2”的否定形式是(). R,x十1>1：命题g:3x>0,x3=x,则(). A.Hx∈R,3n∈N,使得n<x2 Ap和q都是真命题 B.Hx∈R,Hn∈N",使得n<x B.一p和g都是真命题 C.p和一q都是真命题 C.3x∈R,3n∈N·,使得n<x D.p和一q都是真命题 D.3x∈R,Hn∈N*,使得n<x2 解析对于p而言，取x=一1，则有lx十1=0<1， 解析将“”改写为“了”，“了”改写为“H”,再否 故p是假命题，一p是真命题，对于q而言，取x=1, 定结论可得，命题的否定为“3x∈R,Vn∈N°，使得 则有x3-13-1一x,故g是真命题，q是假命题.综 n<x2” 上，一p和g都是真命题 答案D 答案B 考查内容 核心素养 高考难度 考查内容 核心素养 高考难度 将充分条件、必要条件的概 考查含有全称（存在）量词 逻辑推理 ★★☆☆白 念与全称量词命题真假的 逻辑推理 ★★☆☆白 命题的否定 判断综合在一起考查 36所以n是3的倍数时，U。一定不是可分集合。 因此，当命题p和命题g中至少有一个为真命题时，m0 方法二注意到所有元素和为”1m,又S中元素是偶 或一2<m<2,即m<2.、聊参上面两个蔻喝象合的并名 2 (m0, 数，所以a+m=3Sn=6mm为正整数. 方法二若命画p,g均为假命题则m需满足 2 4=m2-4≥0. 所以n(1十n)=12m,即n(n+1)是12的倍数. 解得m≥2.则当命题p和命题！中至少有一个为真命题 容易验证，当n=2025时，n(n十1)不是12的倍数，矛盾. 时，m<2.] 所以当n=2025时，U,不是可分集合. 变式2]1)p:3rERx2-r+{<0.假命题 (3因为所有元素和为”1十，又S中元素是偶数。 2 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题. 所以nm心=3S=6m(m为正整数)， (3)7r:xy∈N,2x十y≠10.假命题， 2 (4)一s:Hx∈R,x十1≠0.假命题 所以n(1+n)=12m,因为n,n十1为连续整数， [变式3]方法一由题设知x2一4x一2一a>0, 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 在x∈{x1x<4}上有解. 由(2)可知，n不是3的倍数，所以一定有n十1是3的倍数. 由x-4x-2-a>0得2十a<x2-4.x 当#为偶数时，1十1为奇数，而n(1十n)=12m ,.2十a<x2一4r在x∈{x1<x<4}上有解， 所以一定有n十1是3的倍数，n是4的倍数， .2+a<(.x2-4z)a 所以n十4既是3的倍数又是4的倍数， 又x2-4.x=(x-2)-4,x∈(x|1<x<4. 从而U.可分的一个必要条件是“n十4是12的倍数” ∴.当x=4时，(x2-4.x)m=0, 从面”士是整数是U,为可分集合的必要条件。 .2十a0,∴u<-2. 方法二7p:Hx∈{x|1<x<4},x2一4x-2-a0. 另一方面：当1=0时，不是可分集合，从面古是整 设y=x2-4x-2-a. 数”不是U.为可分集合”的充分条件 ,抛物线y=x2-4x一2一a的开口向上， 可路强：音=如，漏，2也.不可令其余清是宣老注餐数 ∴当p为真命题时，则有x=1时，y≤0，x=4时，y≤0， 1-4-2-a≤0. 的情形，U都分) 即 116-4×4-2-a≤0， 综上可知，”是整数”是U,为可分集合”的必要不充分 .a≥-2. 条件。 ∴.当p为假命题，即p为真命题时，有a<一2 思维过程 基甜过关练 (1)取n=8,按照定义列举即可： 1.B[A的否定：所有实数的绝对值不是正数，假命题： (2)方法一：用反证法即可得出结论」 B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： 方法二：由题意可得，所有元素和为m1m,5。中元 C的否定：有些等边三角形不相似，假命题； 2 D的否定：3不是方程x2-9=0的一个根，假命题.] 素是偶数，从而得n(n十1D是12的倍数，又因为n=2025 2.D[原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个能被2整 时，n(n十1)不是12的倍数，即得矛盾. 除的整数不是偶数”.] (3)按照必要不充分条件的定义证明即可， 3.D[由a,bc都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，即a,b,c都 1.5全称量词与存在量词 朝计成将号语言山 。三者同时清是，它的香定 是至必有一个不成立 变武细综 大于或等于1，所以其否定是a,b,c不都大于或等于1，即 [变式1门{mm<21。[(从正面分精，命是p和◆趋g中至少有一 a,b,c中至少有一个小于1，故a<1或b<1或c<1.] 个为真命题等价于p真y假或P假日真或力，4物为真：从反面分折， 4.AC[A(√)，因为x≥0，x-1≥0，所以x+x-1≥ 命道，命超？重少有一个为真命想时m的张值范周与命超力？均 0,由于x=0x=1不能同时取得，所以Yx∈R,x+1x 为假命题时m的款值范围重补) 1>0为真命题： 方法一当p是真命题时，<0：当g是真命题时，方程： B×).当x=1时，(x-1)2=0,所以Hx∈N,(x一1)2>0 x”十m.x十1=0的判别式△=m2一4<0，解得一2<m<2.: 为假命题： 10 C),当x=-1时x+一0成立，放3x∈R,x+ 1 综上可得。≥号] 一1<0为真命题： ).因为r-+日-(-”- 8x∈N,所以x= 设集合A={女<}· 0或x=1时，有最小值g放3x∈N,x-x+8 1 <0为假 由不等式x2+(a+1)x+u≤0得(x+1)(r+a)≤0. 命题.] 设集合B={x(x+1)(x十a)≤0)， 5.n∈N°，12+2+32++n3=(1+2+3+…+n)2, 且由题意知B二A. [由题可知，一个含有量词的命题是n∈N”,1十2十·十 ①当a=1时，B={xx=一1}，满足B二A. n3=(1+2+…十n).] ②当a>1时，B={x一a≤x≤-1)，满足B二A. 6.因为命题p:3x∈Rx2+2a.r十3a<0是假命题， ③当a<1时，B=x|一1x一a},要使BCA 种化为全林量词命通，印门P为真 那么它的否定p:Hx∈R,x2+2ax+3a≥0是真命题. 对于二次函数y=x2+2a.x十3a, 综上可得a>-子】 其判别式△=(2a)”-4×3a≤0. 展开得到4a2-12a≤0，解得4a(a-3)≤0，即0≤a≤3. 6.命题p:3x∈[0,3]，a=-x2+2x为假命题， 命题q:Vx≥0，x十a≥2是真命题，即x≥2-a对Vx≥0 a=一x2+2x在x∈[0,3]上无解， 恒成立. 即y=a与y=一x+2xx∈[0,3函数图象没有交点， 所以2-a≤0，解得a≥2. 综上所述，取交集可得4的取值范围是a2≤a≤3引. 综合提能练 1.B[对于A,0<3,0∈Z. A为真命题，但不是全称量词命题 y=-x3+2 对于B,:a2+b3-2(a+b-10=(a-1)2+(h-1)2≥0， ,B为真命题，也是全称量词命题 由图可知a>1或a<一3， 对于C,可知它为真命题，但不是全称量词命题 命题g:Vx∈[-1,2]，x”十4x一8≤0为真命题， 对于D,它是全称量词命题，但为假命题.] 1-d-80, 则 解得-7a2, 2.B[A(×),x+2x十3=0的△=一8<0，故方程无实根， 4+2a-8≤0， 即3x∈R,x2十2x+3=0错误： 综上所述，实数a的取值范围为{a一7≤a<-3或1<a≤2. B(/),x>1x<-1或x>1,故“x>1”是“x”>1"的充 思维过程 分不必要条件： 由命题p:3x∈[0,3]，a=一x2+2x为假命题，则 C(X),当x≤1时，r3≤x”,故Vr∈N,x>x2错误 a=一x2+2x在x∈[0,3]上无解，即y=4与y=一x2+ D(×),若a=1,b=一1，则a>b,但a2=b2,] 2x,江∈[0,3]函数图象没有交点，画出国象求出参数，命题 3.AB[:3x∈M,x>3为假命题， 1-a-80. g:Vx∈[-1,2]x2+ar-8≤0为真命题，则{ .Vx∈M,x≤3为真命题，MC{xx≤3. 4+2a-80, 又：x>x,即x<0,且x∈M,x>r为真命题， 求出参数求交集即可 ∴.M仁{xx<0,综上可得M二{xx<01.] 7.由y:<0,得x-1<0,即x<1, 4l). [原命题的否定为“Vx∈(x1<x<3},x Hx∈R,y1<0或y<0,则当x≥1时y1<0恒成立，于是 一ax十1<0”，此命题为真命题 n<0, 破超点 令y三x2二ax十1.-由它的周聚和 此时m(x一2m)(x十n十2)=0的根为x1=2m,.x:=一 当x=1时.y=1-a+1≤0，解得a≥2. -2. 2m<1. 当x=3时y=9-2a+1<0,解得a>9 于是 -m-2<1, 3<m<号 ,又m<0,解得-3<m<0: 11 又3x∈{xx<-3,y1y<0,显然y2<0, 证明如下： 则3x∈{xx<-3,y1>0,而m<0, 先证明：k≤2，假设k>2,则3C,C,∈Q=(C1,C,…, 即3x∈{xx<-3},(x-2m)(x+m+2)<0, C),使得C,∩C,=必，与条件矛盾，所以假设不真，即 显然2m≠一m一2，否则Vx∈{xx<一31，y1<0,不符合 k≤2m: 题总， 再证明：k≥22，假设k<2,则CQ中的元素个数大于2， 当2m<-m-2,即m< 号时2m<-. 所以3D,E∈CQ,D∩E=⑦，DUE=A. 根据条件“VD∈CnQ,3C,∈Q,使得D∩C,=☑”， 解得m<一号此时-m一2>一3符合题意。 所以3两个不同的集合C,C,∈Q={C1,C2…,C, 因此-3Km<一2： 使得C,∩D=⑦，C,∩E=②. 又因为D∩E=.DUE=AC,二E,C,二D. 当-m-22m,即m>导时，-m-2K-3 所以C,nC,二DnE=g, 解得m>1.与一3<m<0矛盾， 与C,∩C,≠矛盾，所以假设不真，≥2， 综上所述，k=2 所以m的取值范围是m一3<m<一号引 思维过程 培优突破练 (1)(1)由n=3,所以B二A=12,3,4,5,6,71,再列 1.(1)(1)由n=3,所以B二A={1,2,3,4,5,6,7},可得：四元 出满足题意的集合B即可： 素的集合B可以是B=(1,2,4,7}或B=1,3,5,7}或B= (1)记集合M={1,3,5,…,2n十1}，N={2,4,…, (2,3,6,7}或B=(3,4.5,6}或B=(3.5,6,71或B=(4,5, 2n,设满足条件的集合B=(m1m:…,m,n1,n:,, 6.71. },其中m1,m2,,m,∈M,,2,…,n,∈N,且m1< (1)对于任意给定的n(n∈N”,n≥2)，集合B中的元素个 m:<<m,n1<n4<…<n,别集合B中的元素个数等 数的最大值为n+1, 于s十1，证明x十1≤n十1即可得答策： 其证明过程如下： (2)本题幕(2)问的关键是充分理解①②两条性质，然 记集合M={1,3,5.…,2m+1},N={2,4,…,2n}, 后利用反证法，分k2和≥2两种情况进行讨论，以 设满足条件的集合B={m1m:,…,m,n1n:,…,n,}, 上不等式同时满足时，可直接得到结论k=2. 其中1n:,m,∈M,1n2…,n,∈N,且m1<mg<< 第一章单元学能测评 m,n1<ng<<n, 1.D[因为a+2∈{1,3，a2),所以a+2=1或3或a2.当a+ 则集合B中的元素个数等于x十， 根据条件对任意的1≤i≤x一1,1≤j≤，都有m.一m,≠n· 2=1时，即a=一1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合 中元素的互异性，舍去：当a十2=3时，即a=1,此时集合中 （雪创，就有m,十机，=州，不杆合超意) 又因为m,一m,∈N,n,∈N,其中1≤i≤s一1,11， 元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去：当a十2 即n,一m1m,一m,…m,一m-1…,n,是N中的 a时，解得a=2或a=一1（舍去），此时集合中元素为1,3， 不同的元素， 4符合题意.] 所以(8一1)十1≤n,即集合B中的元素个数x十1≤n十1， 2.C[由一元二次方程(x-a)(x一a-1)=0的两个根为a, 取B=《n+1,n十2，…，2+1满足条件.且元素个数等于 Q+1,又方程有一个正实数根和一个负实数根， n十1，所以集合B中的元素的最大值等于n十1. a<0: ∴.一1Ca<0,即“一元二次方程(x一a)(x (2)以A=1,2,3为例：（多取不符令系件①，少服不每合豪件②） a+1>0, 这时P={⑦，{1}，(2，{3}，{1,21,1,3，(2,3}，{1,2,3})， a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为 因为1}∩(2,3}=0：1}U{2.3}=A.取Q={1.(1,21, a∈（一1,0），则其充分不必要条件a的范围应为（一1,0）的 1,3},{1,2,3}即可， 真子集，结合选项可得选项C符合题意.] (1,2∩(3}=⑦：1.21U3}=A,则 3A[若△AC的周长为16，则x+1 解得=5， VD∈CnQ={2,3,3.2,01. 2x+y=16 y=6, 1,3)∩{21=0：1,31U{2}=A, 所以△ABC其中一条边长为6.若△ABC其中一条边长为 若取Q={1},1.2}.{1,3}.(1,2,3)∩0=0： 6,如x=6,则y=6+1=7,此时△A1BC的周长为6+6+7 (1,2,3)U0=A,则CmQ={2,31,{31,2,0,1,2,3}1, =19,即无法得出△ABC的周长为16， 12