1.4 充分条件与必要条件-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA, 1.4充分条件与必要条件 重点和难点 课标要求 重点：充分条件、必要条件和充要条件 通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻鲜用语的意 的意义 义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既 难点：对必要条件的意义、充要条件与 不充分又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质 数学定义之问的关系的理解 定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 雨国目国H 必备知识梳理 基础梳理 知识点①充分条件与必要条件 般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出 作总结。 q.这时，我们就说，由p可以推出g,记作p→q,并且说，p是q的 与“p一g”等价的表迷形 充分条件，9是p的必要条件 式有： 如果“若p,则g”为假命题，那么由条件p不能推出结论g,记 (1)p是g的充分条件： (2)g是p的必要条件： 作p户q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要 (3)g的充分条件是p: 条件。◆作总 (4)力的必要条件是4 知识点②充要条件 [注意]许多同学简单错记 将命题“若p,则q”中的条件p和结论g互换，就得到一个新 成：“充分条件”就是“前面→ 后面”， 的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题 “必要条件”就是“后面→ 般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作p台q,此时，我们 前面” 说p是q的充分必要条件，简称充要条件.◆费个望 提个醒回 p与q的关系 结论 易记口诀 对充要条件的理解 条件结论 充分性：条件→结论 (1)如果p是q的充要条 p→g且p中g p是g的充分不必要条件 不必要性：结论力条件 件，那么g也是p的充要条件， 也就是说，如果p一g,那么p与 条件结论 必要性：结论→条件 9互为充要条件 ppg且p-g p是4的必要不充分条件不充分性：条件本结论 (2)“p是q的充要条件”的 等价表述有： 条件结论 充分性：条件→结论 ①p成立当且仅当g成立： p→g且p-q,即p一g 力是q的充要条件 必要性：结论→条件 ②g成立当且仅当p成立 条件特论 不充分性：条件中结论 ppq,且p中q P是9的既不充分也不 不必要性：结论→条件 必要条件 24 第一章集合与常用逻辑用语 举例：“的必要不充分条件为g”等价于“→g,lg今p 结论 条件“结论→条件”且“条件结论 重难拓展 重难点①从集合的角度看充分、必要条件 例①[回归教材P23T4]已知A={xx满足条件p},B= {xx满足条件q}, (1)如果A二B,那么p是q的什么条件？ (2)如果B二A,那么p是q的什么条件？ (3)如果A=B,那么p是q的什么条件？ 解析(1)p是9的充分不必要条件。 (2)p是g的必要不充分条件. (3)p是q的充要条件，◆巧忘箱 深挖教材 巧总结 从集合的角度看充分、必要条件 已知A=xx满足条件 下表为从集合A={xp(x)}与集合B={x|g(x)}之间的包含关系 p,B=xx满足条件q.则： 推导出的p与q之间的关系。 (1)如果A二B,那么p是q 的充分条件 关系 图示 结论 (2)如果B三A,那么p是g xEA>x∈B p是？的充分 A至B A 的必要条件 x∈Bx∈A 不必要条件 x∈B→x∈A p是的必要 BSA (B x∈Ax∈B 不充分条件 A-B A(B) x∈A→x∈B p是g的充要条件 x∈B-→r∈A A车B且 AQD峨④①BD P是日的既不充分也 B生A ∈A本rEB,且r∈B→x∈A 不必要条件 例2(2025·上海浦东新区高一检测)已知x,y∈R,则“x>1 或y>1”是“x十y>2”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 思锥过程 “x>】或y>1”不好理解，可考虑用图形语言直观形象地呈现，也可 以通过取补集转化为“且”的形式 解析方法一设集合A={(xy)x>1或y>1,集合B={(x,y)川 x+y>2}, 在直角坐标系中分别作出集合A和B中的元素形成的区城，如图所 25 重难点手册高中数学必修第一册RJA 示.由图可知B写A,故为必要不充分条件， 方法二设集合A={(xy)x>1或y>1}, B={(xy)x+y>2),全集为U. 则CA=(x,y)lx≤1且y≤1}，CB={(x,y)lx+y2. 当x≤1且y≤1时x十y≤2成立， 当x=3,y=一4时，满足x十y≤2， 但x≤1且y≤1不成立， 所以CA乒CB,即B至A.故为必要不充分条件.◆提个 答案C 提个醒回 变式0(2025·湖北武汉外国语学校模拟)若p:a十b≠4： 由集合间的包舍关系判斯 g:a≠1且b≠3，则p是g的( 充分、必要条件的结论：“小集 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 合”是“大集合”的充分不必要条 件，简单记为“小可推大，大不可 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 推小” 重难点②充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法 (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论， (2)找推式：判断“p→q”及“q→p”的真假. (3)根据推式及条件得出结论， 2.集合法 写出集合A={xp(x)}及B={xq(x)},利用集合间的包 敲黑板) 含关系进行判断. 充分条件与必要条件的传递性 3.传递法 (1)若p是g的充分条件， 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推 q是的充分条件，即p→g 式图，根据图中推式的传递性进行判断.◆做黑。 q→，则有→，即p是x的充 4.等价转化法 分条件 (2)若p是9的必要条件， 若p(或q)比较复杂时，通过等价变形，将其化简，再用化简 q是x的必要条件，即g→p,→ 后的结果来判断p,q的关系， 9,则有s→p,即p是s的必要 5.特殊值法（举反例） 条件 对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件 (3)若p是g的充要条件， (结论)不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题， q是s的充要条件，即p一q: 例B(2025·湖南岳阳模拟)（多选）已知p是q成立的必要 q一s,则有p=s,即p是x的充 要条件 条件，9是”成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成 26 第一章集合与常用逻辑用语通 立的充分条件，则下列说法不正确的是(). A.p是r成立的充要条件 B.s是r成立的必要不充分条件 C.p是s成立的充分不必要条件 D.q是s成立的必要不充分条件 解析由题意，g→p,q台r,r→s,8为q,所以p,q,r,s的逻辑图如图 所示， ②←①⑦ 业 ⊙ A项(X),由图可知，r→q→，所以p是r的必要条件，但p不一定能 推出q,也就不一定能推出r,所以p不一定是r的充分条件： B项(/)，由图可知，r→s,所以s是r的必要条件， (那是否为「的充分条件呢？表面上超千浸说，奇像可能是，也可能不是，但需注 意.题干的“不是《的充分条件”还议有用到，所以我们再结合空桑分析) 假设x是r的充分条件，则s→r→q,所以s是q的充分条件，与已知矛 盾，从而s不是”的充分条件，故s是r的必要不充分条件： C项(×)，由图可知，p不一定能推出《，也就不一定能推出s,所以p 不一定是8的充分条件： D项(X),由图可知，g→r→5，所以q是s的充分条件，又由题意，s力 q,所以q不是：的必要条件，从而q是s的充分不必要条件. 答案ACD 变式2已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是 s的充分条件.那么：(1)s是g的什么条件？(2)r是q的什么条 件？(3)p是q的什么条件？ H目iHii 关键能力提升 11月1目4H114日 题型①充分、必要条件的判断 ②当<2时，a>2不一定成立，例知当a<0 1 例日>是2的c 时，也满足}<2，但光时不满足。>，所以必要性不 A.充分不必要条件 成立，故选A B.必要不充分条件 方法二（等价转化法+集合法】 C.充要条件 1<2= a -2-1.24<0a1-2a<0=> a D.既不充分也不必要条件 解析方法一（定义法+举反例】 昌a@ ①当a>7时，0<<2，所以充分性成立： ! 又集合ala>}医ala>或a<0, 27 :883 重难点手册高中数学必修第一册RJA >号”是“日2”的充分不必要条件 要不充分条件是“一3<x<1” a 答案A 变式④设U为全集，M二U,V二U,则 例5已知a,b,c是△ABC的三边长，p: “MCCN”是“M∩N=”的(). a2+b2十c2=ab+bc十ac；q:△ABC是等边三 A.充分不必要条件 角形，则p是q的( B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充分必要条件 题型2求必要条件、充分条件 D.既不充分也不必要条件 例⑥关于x的方程x2-(2a十2)x十a(a十 解析若p成立，则a2+b2+c2=ab十x十ac, 2)=0有两个异号的实根的充分不必要条件是 (此式有平方项和交义桑积项，由此可热到配方) ( 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,从而 A.-2<a<1 B.-2<a<0 (a2-2ab+b2)+(b-2r+c)+(a2-2a+c2)=0, C.-1<a<0 D.-1<a<1 故(a-b)2+(b-c)2+(a-e)2=0, 解析由x2-(2a+2).x+a(a十2)=0可得(x 所以a一b=b一c=a一c=0,从而a=b=c, a)(x-a-2)=0,解得x=a或a十2， 故△ABC是等边三角形， 因为a<a十2，所以原方程有两个异号实根等价 所以q成立，从而由p能推出q:故p是q的充 于a<0<a+2,即-2<a<0, ① 分条件 ① (此范围和这项中以的范周都很明确，故考虑用条合法来 若q成立，则△ABC是等边三角形， 选答常。但请注危，题干的意忍是远项为①的充分不必要条件， 所以a=b=t,此时42十b2十c2=a2十a2十a”=3a2,所以这项时应“，小幕合”，①对应“"大第合”) ab++ac=a”+a+a2=3a2,所以a2+b+ A(×),因为{a-2<a<0}{a-2<a<1}, c=ab十bc十ac,即p成立，故p是g的必要条件.②！所以一2<a<1是题千结论的必要不充分条件： 由①②可得p是q的充分必要条件 B(×),因为B项与式①相同，所以B项的一2< 答案C a<0是题千结论的充要条件； 变式3(2025·湖南联考题改编)（多选） C(/),因为{a|-1<a<0}军{a|-2<a<0}, 下面给出的命题中为真命题的是( 所以一1<a<0是题干结论的充分不必要条件： A.“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件 D(×),(a-1<a<1}与{a-2<a<0}互不包 含，所以一1<a<1是题千结论的既不充分也不必要 B.设a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a> 条件 b”的必要不充分条件 答案C C.“x>2”是使不等式“x2-3x十2>0”成 题型③充要条件的证明 立的一个充分不必要条件 例7已知ab≠0，求证：a+b=1是a3+ D使不等式-1<x<号”成立的一个必 b3十ab一a2-b2=0的充要条件. 28 ,第一章集合与常用逻辑用语通 证明充分性：，a十b=1,.b=1一a. .a2+2>a, .a+b+ab-a2-b* ∴.B={x|(x-a)(x-a-2)<0 =a3+(1-a)8+a(1-a)-a2-(1-a)8 ={xa<x<a2+2. =a3+1-3a十3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a 又，g是p的必要不充分条件， =0 g=p且qpp,AB, 即a3+b3+ab-a2-b2=0. 1a≤2， 1a≤2， 必要性：，a3+b3十ab-a2-b”=0, a2+2≥3， a≥1， ∴.(a+b)(a2-ah+b2)-(a2-ab+b2)=0. 解得a≤-1或1≤a≤2. ∴.(a2-db+b2)(a+b-1)=0. 故实数a的取值范国为{aa≤一1或1≤a≤2. 又ab≠0，.a≠0且b≠0. a-ab+6=a-合)+b>0 变式6已知集合A={x.x2-3.x+2= 0},B={xx2-m.x十2=0}，若条件p:x∈A ∴.a十b-1=0.∴.a十b=1. 是条件g:x∈B的必要不充分条件，求实数m 综上可知，当ab≠0时，a十b=1是a3十b3十ab 的取值范围. 一a”-b2=0的充要条件 例⑨求使方程ax+2x+1=0至少有一 变式5证明一元二次方程ax2+b十c=0” 个负实根的充要条件。 有一正根和一负根的充要条件是“ac<0” 题型④利用充分、必要条件确定参数 解析当a=0时，.x=一 2,符合题意：当a≠0 的取值范围 4>0. 例8已知全集U=R,非空集合A={x 时，若方程两根一正一负（没有零根），则 1∠0 解得 I-2<0,B={x(x-a)x-a2-2)<0. △≥0， x-3 a<0:若方程两根均负，则 <0,解得0<a≤1. (1)当a=2时，求(CuB)UA (2)条件p:x∈A:条件q:x∈B,若q是 >0, a p的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 综上所述，充要条件是a≤1. 解折：当a=2时，A=红12<<31.B= 归纳总结 探求充要条件的方法 x<x< 方法一（必要性先行法）先由结论寻找使之 成立的条件，再由条件来推证结论成立，要保证必 (CBUA=女≤或x>2 要性和充分性都成立 方法二（等价转化法】先由结论出发，寻找使 (2)A={x2x<3}, 之成立的等价条件.若要分类，要不重不漏地分析 ra+2)-a=(a-2)+>0. 每一种情况 29 重难点手册高中数学必修第一册RJA。 核心素养聚焦 考向① 充要条件的判定 例☐（经典·四川卷）设p:实数x,y满 例10(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+ 足x>1且y>1:q:实数x,y满足x十y>2, b2=2ab”的( 则p是q的( A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若a”=b2,不坊设a=1,b=一1，显然有 解析若x>1且y>1,则x十y>2成立， 12=(-1)2. ∴p是g的充分条件」 但1+(-1)2≠2×1×(-1)， 又当x= 2y=3时，满足x十y>2,但不满足 所以a2=b→a2+b2=2ab. x>1且y>1,即gAp. 若a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,故a=b,显然有 p是q的不必要条件，故选A a2=b2. 答案A 所以a2+b2=2ab→a2=b2 综上，“a2=b2”是“a2+b=2ab”的必要不充分 考查内容 核心素养 高考难度 条件. 考查充分条件、必要条件的 逻辑推理 ★★☆☆☆ 答案B 综合应用 30所以x1十4=x十x, ∴由“-1<x<号"能推出“-3<x<1”] 例A={0,1,2,3}, [变式4 C [MECUN,NnCN=⑦，∴.MnN=d, 故T={0,1,2,3}满足 .充分性成立：当M∩N=⑦时 (3)设A={a1,a2,…,at}满足题意，其中a1<a,<<at, ,MCU,NU,.MCN,∴.必要性成立.] 则2a1<a1十ag<a1十ag<…<a1十as<az十a:<as十 [变式5]充分性：ac<0,.A=b2-4ac>0, ak<<ak-1十au<2ae, ,方程ax2+bx十c=0有两个根，设为x1,x2: ∴lS|≥2k-l,a1-a1<a2-a1<ag-a1<<a-a1, ∴.|Tl≥k. “xx=￡<0， SNT=0,ISUTI=SI+ITI>3-1, ∴.一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. SUT中最小的元素为0，最大的元素为2a, 必要性：，一元二次方程ax2十bz十c=0有一个正根和一 ∴.lsUT≤2aa+1, 个负根， .3k-1≤2a4十1≤4041(k∈N), 1=&<0,ac<0 .k≤1347 综上所述，“一元二次方程ax2+bx十c=0有一个正根和一 实际上，当A={674,675,676,…,2020}时满足题意， 个负根”的充要条件是“ac<0” 综上所述，A的最大值为1347. [变式6]由已知得A=1,2},因为p是g的必要不充分条件， 思维过程 (1)根据题目定义，直接计算集合S及T. 所以B年A. 根据集合中元素的个数对集合B进行分类. (2)根据两集合相等即可找到1，x2,xg,x4的关系. 讨论：B=⑦，B={1}或B={2. (3)求出相应的S及T,通过S∩T=②建立不等关系 当B=时，方程x2-mx十2=0无实数解，△=m2一8<0， 求出相应的值， 解得一2√2<m<2√2： 1.4充分条件与必要条件 (A=0, 变武而练 当B={1)或B={2}时， 1一m+2=0或4-2m+2=0 [变式1们D[若p成立，则a+b≠4，此时a≠1和b≠3不一 无解。 定都成立，例如，a=1,b=4时，满足a+b≠4，但由于a-1, 综上所述，m的取值范围为{m一2√2<m<2√2. 所以q不成立，故充分性不成立；若q成立，则a≠1且b≠ 基础过关练 3,此时p也不一定成立，例如，a=b=2,满足q,但a十b= 1.B[x2-4=(x十2)(x-2)<0H-2<x<2,记A={x 4,不满足p,所以必要性不成立.故选D.门 x<2},B=(z|-2<x<2,则B年A,所以“-2<x<2"是 [变式2]可将已知p,q,r,s的关系用“→”作图表示（如图所示）. “x<2”的充分不必要条件，故“x<2”是“-2<x<2”的必要 5→r→p 水U 不充分条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分条件.] 2.D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”， (1)q→5，s→r→q,即sHq,s是q的充要条件 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.] (2)r→g:q→s→r,r是q的充要条件 3.A[记A=(x|x>a},B=《xlx>1},因为“x>a”是“x> (3)q→s→r→p,而p,p是q的必要不充分条件. 1”的必要不充分条件，所以“x>1”是“x>a”的充分不必要 [变式3]ACD[A(/),,ab≠0等价于a≠0且b≠0， 条件，故B军A,如图，应有a<1.] ∴.由“ab≠0”能推出“a≠0” AB B(X),,(a一b)a>0等价于a>b且a≠0， a 1 ∴.由“(a一b)a2>0”能推出“a>b”,反之不成立： 4.BCD[(直接琴克分不公要条件不好想，可青虎先求克要备件，得 C(/),,x2-3x+2>0的解集为{x|x>2或x<1),而 到的范喝，再取它的一个真子熹】 (xx>2}{xx>2或x<1}, A∩B=台A为空集或A的元素都非负台方程x2一ax十 .由“x>2”能推出“x2-3x十2>0” a-3=0没有实数解或只有非负实数解，当方程x2一ax+ a2-3=0没有实数解时，4=（一a)2-4(a2-3)=12-3a2 D.:-1K<}x-3K<1, <0,解得a<-2或a>2:当方程x2-ax十a2-3=0只有 7 4=12-3a2≥0， r1<x2, 又 (x1-x)x<0, 非负实数解时，x1十x2=a≥0，解得3≤a≤2. x1≠0 x1x2=a2-3≥0， 所以“(x1一x)x<0”是“x1<x”的充分不必要条件.] (共时可由利列式结合韦达定律桑邮译) 2A[因为A是B的必要不充分条件，则B→A,APB, 综上所述，A∩B=②的充要条件是a<一2或a≥3，这恰 B是C的充要条件，则BC,D是C的充分不必要条件，则 好是A项的结果，所以A项是A∩B=的充要条件，选项 D→C,CPD.综上可得AB一CD, BCD对应的集合都是集合{a|a<-2或a≥3}的真子集， 所以A是D的必要不充分条件.] 所以它们都是A∩B=☑的充分不必要条件.] 3.A[由xy十1=x十y,则(x一1)(y-1)=0,可得x=1或 y=1,即x,y至少有一个为1，所以“xy十1=x十y”的充要 52 26> [(1)A={x|x>2),B={x|bx>1}, 条件为x,y至少有一个为1，故只有A符合，其他选项均 A=B, 1 不符.] 4ACD[A(√)，因为x2>1的解集为(-∞，-1)U(1, C2②诺A是B的充分不必要条件，则6>0，且方<2， 十∞)，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件 B(X),“x>1,y>1”时，“x十y>2,xy>1”-定成立，反之 6>2] “x+y>2,xy>1”成立时，“x>1,y>1”不一定成立，如举 6.(1DP={x|x-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}. 例x=4y=3,所以“>1y>1”是“x+y>2,xy>1”的 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 充分不必要条件 1-m=1, 即 此方程组无解， C(√)，“x+y2=0”时，“xy=0”一定成立，反之“xy=0”成 1+m=2, 立时，“x2十y2=0”不一定成立，例如x=1,y=0,所以“xy 则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件。 罩及例 (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S二P =0”是“x2十y2=0”的必要不充分条件 当S=必时，1-m>1+m,解得m<0: D(/),当“x2≠4”时，满足“x≠2”；当“x≠2”时，“x2≠4”不 当S≠0时，1一m≤1十m,解得m≥0. 一定成立，例如x=一2，所以“x≠4”是“x≠2”的充分不必 1-m≥1， 要条件.] 要使S二P,则有 解得m≤0，所以m=0. 1十m≤2， 5.A[A(√)，由A∩B=,则AUB中元素个数为集合A, 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. B的元素之和，即card(AUB)=card(A)+card(B),充分性 综合提能练 成立；由card(AUB)=card(A)十card(B),即AUB中元素 个数为集合A,B的元素之和，则A∩B-,必要性成立； 1.A[(用发义汝来利断当然可行，但观客（红1一工：）x<0可发现只 B(×),由card(A)≤card(B),若A=1,2},B={2,3,4},但 能为正，！一工为育，所以减不等式容昌进行等价变形，敬可青 A二B不成立，必要性不成立： 虎等价转化法) C(×),由A二B,若A=1},B=(1,2,3,4},此时card(A) x1-x2<0, x1<x2, (x1-x2)xi0台 =card(B)一3，故card(A)=card(B)一1不是A二B的必要 x>0 x1≠0， 条件： (散只书利新“ 任<”。度“，”的件么备件) D(X),由card(A)=card(B),若A={1,2},B={2,3},但 x1≠0 A=B不成立.] <T: 与x1<xg相比，多了x1≠0这个限制条件， 6.A[当△ABC是等边三角形时，a=b=c, x1≠0 -mx号，名}mm告名}-1x1=l 所以当{ 成立时，x1<x成立； x1≠0 .“1=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件 z1<2 a≤b≤c,令a=b=2,c=3, 而当x1<x:时， 不一定成立： x1≠0 x1<x2 所以“ ”是“x1<x”的充分不必要条件， x1≠0 此时1=是×号=1，△ABC为等腿三角形，放不能锥出 8 △ABC为等边三角形， ①由(1)可知，当B=(1,2}时，a=1. ∴.“1=1"不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.] ②当B={1}时，2a-3(a2+1)+4=0,解得a= 7.充分不必要.[由题意知，若a>bl,则a>b≥0，则a>0, 所以aa=a,则aa>bb成立.当a=l,b=-2时，满 a=1,显然a=1不成立： 足ala|>bbl,但a>lbl不成立，所以“a>b"是“aa|> 当a=- ,显然4=9[（）}'+1]-4×4×2× b1b|”的充分不必要条件.] 8.(1)若x2+2ax+2a+3>0在x∈R上恒成立， (-号）≠0不符合题意，舍去 桃物我y=x2+2ax十2a十3上的点郁在工轴上方 ③当B=2时，由(1)可得a=3或a=1,显然此时a=1 则△=4a2-4(2a+3)<0,所以有-1<a<3, 不符合题意，舍去 所以实数a的取值范围为{a|一1<a<3. (2)2 当a=号时，显然△=9[（兮）}'+1]-4×4×2x号0， x-3 >0→(x一2)(x-3)>0→x>3或x<2, 不符合题意，舍去 根据条件可知x2+2ax+2a+b-1>0的解集是{x|x<2 ①当B=(-1}时，2a+3(a2+1)+4=0,此时方程无解， 或x>3}, 不符合题意，舍去： 即方程x2+2ax+2a十b一1=0的两个根为2和3， 故B=(一1,2}和B=(一1,1}也不成立，所以舍去. -2a=5, 根据书达定理有， 解得 2, 综上所述，a∈{1}. 2a十b-1=6, b=12. 思维过程 (1)由两个集合的交集得到的集合中的元素必属于原 9. a≥2， a2≥4>b,.△=4(a2-b)≥0， 1b≤4， 来的集合，故知道2∈B且士1任B,代入方程解得参数值， 方程有实数根 验证后得出结论， ① 设方程的两个实数根为x1,x, (2)找到集合A,B的关系，得到集合B的可能情况，代 /≥2， 入验证即可得出结论. 1-2a≤-4， b|≤4， -4≤b≤4， 培优突破练 ∴.(x1-2)+(x2-2)=(x1十x2)-4=-2a-4≤-4-4= 1.D[取a,b,c分别为1,1,2，另取A,B,C分别为1,1,3，则 -8<0. ax2+bx十c≥0与Ax2+Bx+C≥0的解集相同，都为R, 而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4=b+4a+4> -4+8+4=8>0, |(x1-2)+(x2-2)<0, /x<2, 取a,b,c分别为1,1，-1，另取A,B,C分别为-1，-1,1， ② (x1-2)(x1-2)>0, x2<2. 则月-合-名而ar2+bx+e≥0与Ar2+Bx+C≥0的 由①②知“a≥2且b≤4”是“方程有实数根，且两个根均小 解集不同.] 于2”的充分条件 2(1)依照题意，取n=8时，1+2+3+…+8=36， 10.(1)化简x3-2x3-x+2=0得(x-2)(x2-1)=0, 又SA=SB=Sc,A∩B=B∩C=A∩C=, 所以x=2或x=±1，所以A={-1,1,2. 则SA=S8=Sc=12, 因为A∩B=(2),所以2∈B且士1任B, 所以可以取A=(5,7),B={4,8},C=(1,2,3,6. 所以8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0, (2)当n=2025时，U.不是可分集合，理由如下： 所以a-号或a=1, 方法一假设存在n是3的倍数且U,是可分集合，设n= 当a=1时，2x2一6x+4=0,解得x=1或x=2,即B= 3k,则依照题意，{3,6，…，3k}二C, (1,2)不符合题意，舍去： 故Sc≥3+6+…+3=3+3张 2 经检验，当a=时，满足题意，故a∈兮} 而这n个数的和为”1十) 2 (2)若x∈A是x∈B的必要条件，则B二A且B≠⑦， 所以B=(-1}或(1}或{2}或{一1,2}或{1,2}或{-1,1}. 放5-日生业矛盾， 2 2 2 9 所以n是3的倍数时，U一定不是可分集合. 因此，当命题p和命题q中至少有一个为真命题时，m<0 方法二注意到所有元素和为十”，又S。中元素是偶 或-2<m<2,即m<2.中求上面两个笼喝多合的卡第 2 |m0, 数，所以41十D=3S。=6mm为正整数)， 方法二若命题p,9均为假命题，则m需满足 2 △=m2-4≥0， 所以n(1十n)=12m,即n(n+1)是12的倍数 解得m≥2.则当命题p和命题g中至少有一个为真命题 容易验证，当n=2025时，n(n十1)不是12的倍数，矛盾. 时，m<2.] 所以当n=2025时，U,不是可分集合. [变式2])p:3z∈R2-x+<0,假命题 (3)因为所有元素和为1”，又S。中元素是偶数。 2 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题。 所以n1十m=3S。=6m(m为正整数)， (3)r:Vx,y∈N,2x+y≠10.假命题 2 (4)一s:Vx∈R,x3+1≠0.假命题 所以n(1十n)一12m,因为n,n十1为连续整数， [变式3]方法-由题设知x2-4x一2-a>0, 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 在x∈{x|1<x<4}上有解. 由(2)可知，n不是3的倍数，所以一定有n十1是3的倍数 由x2-4x-2-a>0得2+a<x2-4x. 当n为偶数时，n十1为奇数，而n(1十n)=12m, ∴，2十a<x2-4x在x∈(x1<x<4)上有解， 所以一定有n+1是3的倍数，m是4的倍数， .2+a<(x2-4x)mx, 所以n十4既是3的倍数又是4的倍数， 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{x|1<x<4. 从而U。可分的一个必要条件是“n十4是12的倍数” ∴.当x=4时，(x2-4x)=0, 从而“古是整数"是U,为可分集合的必要条件。 .2+a<0,.a<-2. 方法二p:Vx∈{x1<x<4,x-4x-2-a≤0. 月-方面，当1=0时。不是可分案合，从面吉是整 设y=x2-4x-2-a. 数”不是“U。为可分集合”的充分条件 ,抛物线y=x2-4x一2-a的开口向上， (可4除模：当-0,56,92时儿，不可分，其参荡更告老三参数 当7p为真命题时，则有x=1时，y≤0，x=4时，y≤0， 1-4-2-a≤0， 的情形，U,都可分】 即 16-4X4-2-a≤0， 综上可知，“吉古是整数是U为可分案合”的必要不充分 .a≥-2 条件。 .当p为假命题，即p为真命题时，有a<-2. 思维过程 基甜过关练 (1)取n=8,按照定义列举即可. 1.B[A的否定：所有实数的绝对值不是正数，假命题： (2)方法一：用反证法即可得出结论. B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： 方法二：由题意可得，所有元素和为十卫，S中元 C的否定：有些等边三角形不相似，假命题： 2 D的否定：3不是方程x-9=0的一个根，假命题.] 素是偶数，从而得n(n十1)是12的倍数，又因为n=2025 2.D[原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个能被2整 时，n(n十1)不是12的倍数，即得矛盾. 除的整数不是偶数”.] (3)按照必要不充分条件的定义证明即可. 3.D[由a,b,c都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，即a,b,c都 1.5全称量词与存在量词 创译成符号语言 一三者同时清是，它的香发 是重少有一个不成点 变式孙练 大于或等于1，所以其否定是a,b,c不都大于或等于1，即 [变式1门{加m<2,[(从王面分桥，命趋p和命超g中至少有一 a,b,c中至少有一个小于1，故a<1或b<1或c<1.] 个为真命超等价于p真g但或p很g真或P,g物为真：从反面分斯， 4AC[A(W),因为lx≥0，lx-1≥0，所以x+|x-1|≥ 命通P,命超日至少有一个为真伞想时加的取值痘圆与◆想♪：日均 0,由于x=0,x=1不能同时取得，所以Vx∈R,x|+|x一 为假命数时m的取值龙期亚外) 1>0为真命题： 方法一当p是真命题时，m<0:当g是真命题时，方程 B(×),当x=1时，(x-1)2=0,所以Vx∈N,(x-1)2>0 x2十mx十1=0的判别试△=m2-4<0,解得-2<m<2.: 为假命题； 10