2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第二章一元二次函数、方程和不等式辑 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 A基础过关练 5.[题型1](2025·山东青岛海军中学月考)已知 测试时间：15分钟 关于x的不等式(x-1)(ax十a-1)<0. 1.[题型1](2025·河南郑州一中月考)设集合S (1)当a=2时，解关于x的不等式； ={xx2-5x+6>0},T={xlx>0},则S∩T (2)当a>0时，解关于x的不等式. =(). A.{x|2≤x≤3 B.{xx≤2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|0<x≤2或x≥3} 2.[题型1门(2024·广东佛山高一期中联考)某市 有块三角形荒地，如图所示，∠A=90°，AB AC=200米，现市政府要在荒地中开辟一块矩 形绿地ADEF,其中D,E,F点分别在线AB, BC,CA上.若要求绿地的面积不少于7500平 B综合提能练 方米，则AD的长度（单位：米）范围是( 测试时间：30分钟 A.{AD|40≤AD≤160》 1.[题型2](2024·广东梅州虎山中学期中)已知 B.{AD|50≤AD≤150} 关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为 C.{AD155≤AD≤145} {女m<x<},其中m<0,则会+言的最小值 m D.{AD60≤AD≤140} 为(). 3.[题型3](2025·湖北武汉二中月考)“m>0”是 A.-2 B.1 C.2 D.8 “3x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x十3≤0是假 2.[题型1](2024·湖北武汉部分学校高一期中) 命题”的( 已知关于x的不等式x2一(a十1)x十a<0恰有 A充分不必要条件 四个整数解，则实数a的取值范围是(). B.必要不充分条件 A.{al5<a≤6} C.充要条件 B.{a|-4≤a<-3} D.既不充分也不必要条件 C.{a|-4≤a<-3或5<a≤6 4.[题型2](2024·湖南长沙长郡中学期末)（多 D.{a|-4<a≤-3或5≤a<6) 选)已知关于x的不等式ax2十bx十c>0的解 3.[题型1]数学文化(2024·江苏淮阴中学期中) 集为{xx<-2或x>3},则( 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之 A.a<0 一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿 B.不等式bx一c>0的解集为{x|x<6} 并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯 C.4a+2b+c<0 函数”为：y=[x](x∈R),[x]表示不超过x的 D.不等式ar2-bx+a≥0的解集为x-了≤ 最大整数，如[-1.6]=-2，[1.6]=1，[2]=2， 则关于x的不等式[x]+[x]一12<0的解集 为 19 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, 4.[题型3]已知不等式(m十1)x2-mx十m-1<0 6.[题型3](2024·江苏无锡天一中学高一期中) 的解集非空，则实数m的取值范围是 已知a>0,b∈R,若x>0时，关于x的不等式 5.[题型1](2025·湖北襄阳五中月考)某种商品 (ax-2)(-x2-bx十4)≤0恒成立，则b+3的 原来每件售价为25元，年销售8万件】 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相 最小值为 应减少2000件，要使年销售收入不低于原 C培优突破练 测试时间：10分钟 收入，该商品每件定价最多为多少？ 1.若存在-2≤x≤-1，使ax2-a.x+1> (2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司 0,则实数a的取值范围是 决定明年对该商品进行全面技术革新和营销 2.(2024·中国科学技术大学创新班考试)求所有 策略改革，并提高价格到x元，公司拟投入 的实数a,使|x2+ax+2≥|x+1对任意x∈ 吉：2-60)万元作为技改费用，投人50万 R恒成立。 元作为固定宣传费用. 试问：该商品明年的销售量a至少达到多少 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原 收入与总投入之和？并求出此时每件商品的 定价。 20m≥4.故选B] 优突破练 归纳总结 含参效的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的 1.54. [由题设知，9=xx+2)=x(分r+号x+2)≥ 取值范国化归为代数式的最值问题.a>y恒成立一a> ymsa<y恒成立=a<ym x·3√2x·2x·2y,所以3≥x· 5.2,[因为(x一y)尸=(xy)且x,y是正实数，所以两边同 r<2·3=54,当且仅当分=2，即x-后y-时等 时除以(w只，得（号）”=，又因为（侵+）广 号成立.所以xy的最大值为54，] 25 （号-)+女=+>2,=4当且仅当 2.10.[由题意知，t≥x2>0,1≥ )>0. >≥x2· 25 y一年即x=2+2y=2-一厄时等号成立，所以上+ y(r-y)" y 25 25 ≥4=2.] 又x2· 厂y+(x)7三=x·=100. 61)若正实数xy满足y=3x+y,则上+3=1， 2 r y t≥100即t≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，1 所以+y=+y(侵+）=4+2+4+2. m,台的最小值为0] 当且仅当之-3延，即x=1+5y=3+5时取等号. 2.3二次函数与一元二次方程.不等式 所以x十y的最小值为4十2√3 变试即练 (②)正实数a,6,xy满足5- a =1,且a>b, [变式1门(1)解方程x2-5x一6=0，得x1=一1，x:=6. 结合二次函数y=x2一5x一6的图象知，原不等式的解集为 则。-=-6)后) (xx<一1或x>6}. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0， =x2+y2-（ 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x:=6. 因为x 结合二次函数y=x一7.x十6的图象知，原不等式的解集为 =2lxyl· {x1x<6}. 当组仅学-子时取等母 (3)原不等式可化为8x2-8x+4>4x-x2, 即9x2-12x+4>0. 所以a2-6=x2+y2-( 2 解方程9x2-12x十4=0，得x1=x=3 x2+y2-2xy=(x-y)2, 结合二次函数y=9.x2一12x+4的图象知，原不等式的解集 所以a2-b2≤(x-y) (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2, 为≠引 令x=√3m-5,y=Vm-2,则x2-3y2=1, [变式2]当a<2时，(a-2)x+(2a-1)x+6>0→ 令a2=1a>0.6=b>0. [2-ar-3x+2<0,放解集为-2<22： 所以M=√3m5-Vm-2=x-y≥Va-方- 当a=2时.3x十6>0，解得x>-2.故解集为(xx>-2: 3 当且仅当行x=3y2即x=3y时取等号， 当a>号时.a-2)r2+(2a-10r+6>0→[a-20z 结合x2-3y=1,解得x= +3x+2》>0,由于2。>-2，故解集为>22或 2y=6 即√3m-5= 受所以m是 x<-2: 所以M的最小值为否此时m-号 当2<号时，由于2己。<-2故解集为>-2或 20 3 解得一2<a<2. x∠2a 综上，-2<a2.] 当a=2时.a-2r+(2a-1Dx+6>09r2十红+A>0. [变式6]ABC[不等式x2-4x-a-1≥0在x∈{x1≤x≤ 4}上有解等价于a≤(r2-4r一1).设y=,x2-4r一1， 故解集为{：xx≠一2 1≤x≤4，即y=(x一2)2-5.而当x=1时，y=-4:当x= 综上所述，当a<2时，解集为-2<r<22a 4时，y=一1，故y=x-4x-1在x∈{x1≤x≤4)时的最 当a=2时，解集为{xx>-2: 大值为-1，故a≤-1.] 当u>时，解集为>22。或r<-2小 魅抽过关编 1.D[易得集合S={xr≤2或x≥3，结合数轴，可得S∩ 当2<a<号时，解集为>-2或<2 T=(x|0<x≤2或x≥3h.] 当a=号时，解集为xlx≠一2. 2.B[在△ABC中，∠A=90°.AB=AC,△ABC为等髅直角 三角形，设AD=x米，则EF=FC=AD=x米，FA= [变式3]AC[A(√)，，关于x的不等式ax”+br+c≥0的 (200-x)米，依题意有x(200-x)≥7500，解得50≤x≤ 解集为(xx≤一3或x≥4，∴二次函数y=a.x十bx十c 150.即AD的长度（单位：米）范围是{AD50≤AD≤150L.] 的图象开口向上，即a>0: 3.B[由“3.x∈R,(m一1)x+2(1一m)x+3≤0是假命题” B以×)，由题可知，方程a.x2+x十c=0的两个实数根为-3,4，： 可得Hx∈R,(m一1).x2十2(1一m)x+3>0是真命题” -3+4=-6 当m一1=0，即m=1时，不等式3>0恒成立： 解得 m一1>0. -3X4=c c=-12a, 当m一1≠0，即m≠1时，满足 [21-m)]-4(m-1)×3<0. 则bx+c>0等价于-ax一12a>0,又a>0,,.x<-12, 解得1<m<4.故1≤m<4. ∴.不等式a十e>0的解集为{xE<一12： 又mm>0}录{m1≤m<4,∴为必要不充分条件.] C(/),不等式cx-br+a<0等价于-12a.x+ax+a< 4.BC[A(X),:关于x的不等式ax+hx十c>0的解集为 0.即12r--1>0,解得r<-或x> {xr<-2或x>3, ∴a>0且一2和3是方程a.r2+hr十c=0的解。 ÷不等式r-r+a<0的解集为x<-子或>》 1 -2+3=-6 即b=-d,c=-6a(a>0): D(X),a+b+c=a-a-12a=-12a<0.] -2X3=￡ [变式4]D[本题即mx2一mx十m一5<0对于任意的1≤ x≤3恒成立 B(/),不等式hr一c>0可化为x一6<0，故不等式x一 令y=mr”-mx十m-5,1≤x≤3， >0的解集为{xx<6}: 若m=0,一5<0恒成立： C(/),4a+2b+c=4a-2a-6a=-4a<0: 若m<0,当x=1时y最大，且ym,=m一5<0， D(×),,a.x2-ix十a≥0， 解得m<5,∴m<0: ∴.ax+ax十a≥0，即x2+x+1≥0，解集为R.] 若m>0,当x=3时y最大，且ym=7m一5<0， 5.(1)由题意得，当a=2时，(x-1)(ax十a一1)=(.x一1)(2x 解得m<号，0m<号 +1D<0,解得-2<x<1. 综上所述，实数m的取值范周为mm<哥引门 故当a=2时，美于x的不等式的解集为女-之x<。 [变式5]{a-2<a≤2.[命题“存在实数x,使得(a一2)x2+ (2)当a>0时，不等式可化为x-1D(r+1-1）<0.(x 2(a一2)x一4≥0成立”是假命题，则其否定“V实数x,都能 使得(a一2).x2十2(a一2).x一4<0成立"是真命题. 1D(+1-)=0的根为，=1=-1 a 当a=2时，原不等式化为一4<0恒成立： ①当0<a<2时，1<-1， a-20, 当a≠2时， △=4(a-2)2+16(a-2)<0. ∴不等式的解集为1长<。-小： 21 ②当a=专时，1=日-1，不等式的解集为0。 0的解集非空一定成立。 当a>2时，1>-1 综上所送，实数m的取值范用为一m<2}门 ! ∴不等式的解集为女日-1r<。 51)设每件定价为1元，则(8-气×02)/≥25×8 整理得1一651十1000≤0，解得25≤1≤40. 综上.当0心a<之时，不等式的解集为1<x<-1: 故要使该商品的年销售收人不低于原收入，每件定价最多为 当a=受时，不等式的解集为0， 40元， 当a>时，不等式的解集为女日-1<r<。 (2)油题意得，当>25时，ar>25×8+50+片(-60) 综合提能练 有解，等价于当>5时≥四+音有解， 1.C[关于x的不等式az+2r+4<0的解集为x 增+厚·音-1当效专， 30时等号成立，即a≥10. },其中m<0,所以m和4是方程4x2+2hx十4=0 故当该商品明年的销售量至少达到10万件时，才可能使 明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品 42b n十 的定价为30元. 的实数根，由根与系数的关系知 解得a=1, 6.22.[由a>0可知，函数y=ax一2中y随x的增大而 m a b号（+）>0所以品+合+≥2，当且仅当 增大，且当0<r<2时ar-2<0当x>2时一2>0， 由(ax-2)(x2十bx-4)≥0在x>0时恒成立. 冬-合：即=4时取=“，所以名+分的最小值为2] 则当0<名时+：-40恒成立： 2.C[不等式x2-(a十1).x十a<0,可化为(x一a)(x-1)<0. 当a=1时，不等式x-(a+1)x+a<0的解集为空集，不 当r>2时，x+br一40恒成立 符合题意： 故有=时，（侣）+6子-4=0则有6=2则 a 当a>1时，不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为{x1< x<a,要使不等式x-(a十1)x十a<0恰有四个整数解， =2u+日≥22a 有b十a 1 1 -22.当且仅当。号时 则5<a≤6： 等号成立.] 当a<1时，不等式x-(a+1)x+a<0的解集为{xa< 八。分您的标准为时应的一元二次方程两绿的大小关系 优突破练 x<1},要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有四个整数解， 1a>-》 [(观你发苑若特萄两璃凝公国式出，明：只出 则-4≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是a一4≤a<-3或5<a≤61.] 观一次，容易将其分岛出来，数有密米变分清 3.(x-3≤x<3.[不等式[x]+[x]-12<0可化为([.x] a.x-dx+1>0=a(.x2-x)>-1, ① +4)([x]一3)<0，解得一4<[x]<3,即-3≤x<3,所以不 当-2≤x≤-1时，x2-x=x(x-10>0, 等式[x]F+[x]-12<0的解集为{x-3≤x<3.] 所以不等式D等价于a>一x亡士 1 ② [当m十1=0，即m=一1时，原不等式可 从而题设条件等价于存在一2x≤一1，使不等式②成立， 化为x一2<0，解得x<2,满足题意： 故(） ③ 当m+1>0,即m>-1时，不等式(m+1).x-mx+m-1 (怎样求孩最小值？注意到当一2≤r≤一1时，x一工=x(x一1)> <0的解集非空，只需△=m2一4(m+1)(m一1)>0，解得 0,所以降使表，只名表夫，为一表小：微可免 : 分粉上2一r的最小值) 当m十1<0，即m<一1时，不等式(m+1)x一mx十m一1： 如图，当一2x≤一1时，函数y=x”一x的最小值在x= 22 -1时银得，所以(-=2故（） 22-2×+2=12.当且仅当-2- 2· 代入③可得a>-2J x=7时等号成立.] 5.C[因为命题“3xo∈{x-1≤x≤1}，一x十3x+a>0” 为真命题，所以命题“3x。∈{x一1≤x≤1}，a>x-3xn” 为真命题，所以xo∈{x|一1≤x≤1时，a>(xi-3xo)m 2.①若方程r2十ax十2=0有实数解x,则0=x十axw十 因为y=2-3x=(-2)广-是，所以当x∈u-1< 2≥x+1.此时x=-1,则有1+a·(-1)+2=0→ x≤1}时，ym=一2，当且仅当x=1时取得等号.所以x∈ a=3,则|x2+3x十2≥x+1,又易知该不等式在x=-2: (.x|一1≤x≤1}时，a>(x8一3xo)m=-2,即实数a的取 时不成立，故该情况不满足题意 值范围是{aa>一2}.] ②若方程x'+ax十2=0不存在实数根，则，x2+ax十2>0：6B[因为x>y>,所以xy>0y->0,x一>0， 恒成立.此时△=a2-8<0,解得-22<a<22,则原不等 表本不等式应用的常楼条件心 式等价于x+ax+2>x+1或x+ax+2>-r-1, 当x+ax十2≥r+1时，有x2+(a-1)x+1≥0， 等价于<（片一湘度立 ∴.41=(a-1)2-4≤0，∴.-1≤a<2w2: 当x2+ar+2>-x-1时，有x2+(a+1)x+3>0, 因为x一=(x一y)十(y-), ∴.4：=(a+1)2-12≤0，.-2w2<a≤23-1 所以(+1)x-)=(1+1)x-y)+ -y y-z 综上所述，所求实数a的取值范围为{a一1≤a≤23一1 (y-￥) 第二章单元学能测评 T一=（一y)十(y一=）不易想外，板为隐茶 1B[A).因为号>合.且c2>0,所以a>0 x-y y-z B以X),当a=-2,6=-1时，满足>，ab>0.此时三2 当且仪当=二之，即工一y=y一2时等号成立， t-y y- >马不满足<行 所以要使<（片与十）恒成立 C(/),因为c<d,所以-c>-d.又a>b,所以a-c>b-d: 所需n≤4(n∈N),所以n的最大值为4.] DX√)，若-1<a5,2<h<3,则-1×3<ab<3×5,即-3< 思维过程了 ab<15.] 1+ 1 2日[由题知0<x<1,不妨取x=号故a=26=1e= 一y 2,故c>a>b.] y-s/ (x一)恒成立，又x-:=(x一y)十（y一x),结合基 3.D[一元二次不等式a.x+x十c>0的解集为{x|-2< 本不等式即可求解 x<1,所以a<0,且-2.1是一元二次方程ax2十hx+e=0 的两个实数根， 7.A[,x2-3xy+4y2-g=0,.=x2-3xy+4y. 所以-名=-2+1=-1，台=-2X1=-2 又xy,均为正实数， xy 1 1 所以b=a,e=-2a,且a<0, x-3y+4y2 所以不等式cx十ax十b>0可化为-2a.x2十a.x十a≥0. +-35-8 即2r-x-1>0.解得r≤-2或r>1 当且仅当江=2y时取=”、÷（得）=1，此时x=2. g=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y·y+4y2=2y°， 因此所求不等式的解集为：k≤一立或x≥.门 2+-+=-(g-)+11.当且 r y z yyy 4c[>2,-2>0,+2-2+ x-2+ 仅当y=1时取得“=”，满足题意. 23