1.3 集合的基本运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语誦 1.3 集合的基本运算 重点和难点 课标要求 重点：并集与交集的含义，用集合语言 本节的主要内容是研究集合的基本运算，通过本节的学 表达数学对象或数学内容， 习，学生能掌握集合的基本运算，会用三种语言（自然语言、符 难点：补集的含义 号语言、图形语言)表达效学研究对象，并能进行转换 1目日t目目ui日nB 必备知识梳理 H日nmnnmmminmmmnmmm目目t 基础梳理 知识点① 并集、交集的概念与性质 明概念 对并集、交集含义的理解 并集 交集 (1)“或”的数学内函如图 般地，由所有属于集合A或属引一般地，由所有属于集合A且属于 所示。 自然于集合B的元素组成的集合，称 集合B的元素组成的集合，称为集合 tEA域xeB 语言为集合A与B的并集，记作A与B的交集，记作A∩B(读作“A AUB(读作“A并B”) 交B”) ◆明瓶念洋 符号 AUB={xx∈A,或x∈B A∩B={xx∈A,且x∈B 语言 x∈A月EBEA月xEBx∈BRxA (2)定义中的“或”字与日常 B 生洁活中所说的“或”宇有所不同。 (1)A买B→ (2)BFA÷ (1)A=B→A∩B-A(2)B=A→4∩B-B 例如，日常生活中说“由甲或乙 AUB=8 AUB=A A∩B 去完成这件工作”往往指只去一 图形 4(B) B A(B) B 人即可，而并集定义中的“或”的 语言 含义还包括两人都去 (3)A-B→AU (4)A与B有公共 (3)A-BAn (4)A与B相交（有公 B-A-B 元素，可不包 B-A-B (3)对于“A∩B={xxE 共元案，女不包仑) A且x∈B”,它不仪表示“A门 B B中的任意元素都是A与B的 (5)A与B无公共元声 公共元素”，同时还表示“集合A (5)A与B分离.A门B-(无公共元茶) 与B的公共元素都属于A门 (1)AUB=BUA(交换律) (1)A∩B=B∩A(交换律) (2)AUA=A (2)A∩A=A B”这就是定义中“所有”二字 (3)AU☑=0UA=A (3)A∩0=0∩A=0 的含义，而不是“部分”公共元 性质 (4)AC(AUB),BC(AUB)(4)(A∩B)CA,(A∩B)CB 素.如A=1,2,3,},B={2,3, (5)若A二B,则AUB=B(反(5)若A二B,则A∩B=A(反之也 4.5},则4∩B=2.3.4},即2 之也成立) 成立) A∩B,3∈A∩B,4EA∩B. (1)A∩(BAC)=(A∩B)∩C=(A∩C)∩B (4)当集合A与B没有公 算 (②AU(BUC)=(AUB)UC=(AUC)UB#合# 共元素时，不能说A与B没有 律 (3)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) 分配祥 文集，而是A∩B=⑦ (4)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) 15 重难点手册高中数学必修第一册RJA 知识点2 全集与补集 明概念。 1.全集 对全集、补集含义的理解 般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元 (1)全集不是园定不变的， 它是依据具体问题来速择的。例 素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 如，在研究数集时，通常把实数 2.补集 集R看成全桑：在立体几何中， 三雏空间可以看作一个全集，这 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集 自然 时平面就是全集的一个子朵：而 合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 语言 在平面儿何中，整个平面可以看 CA 作一个全集。 符号 (2)补集既是集合之间的 CA={xx∈U,且xA 语言 种关系，同时也是集合之何的一 种运算，求集合A的补集的前 L 图形 提是“A是全集U的子集”，集 语言 合U其实是给定的条件， (3)若x∈U,A二U,则xE 性质 A∩CA=0AUC:A=U C(CA)=A CU=8 C,0=U A且x任CA,或x∈CA且 x任A,如U=(1.2,3,4.5, ◆湖联念为 A=(1,2,31,C4=4,5},则有 知识点③集合中元素的个数—容斥原理 2∈A且2ECA,或5∈CA且 56A. 如果用card(A)表示有限集合A中元素的个数，则有如下 (4)两个等价转化 结论： ①(CA)∩B=0-B二A. (I)card(AUB)=card(A)十card(B)-card(A∩B),如图l: ②A二B=CA2CB, (2)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A 敲黑板。 ∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如图2. (1)对于左栏结论(1)，若按 eard(A)+eard(B)来计算AU 这一结论，在计数上称为容斥原理.用Venn图解释，如图1,2 B的元素个较，则图1中两色相 所示.◆國事 交部分的元素显然计了2次，所 以减一个card(A∩B)来抵消 重复， ANB (2)对于左栏结论(2)，若按 A∩Bn0 card(A)十ard(B)+eard(C)来 4n B∩C 计算AUBUC中的元素个数， 则图2中两色相交部分计了 B 2次，三色相交部分计了3次，减 去card(A∩B),card(A∩C)和 图1 图2 card(B∩C)后，相当于两色相 重难拓展 交部分减了门次，已抵消了重 复，三色相交部分减了3次，怡 重难点①德·摩根(De Morgan)定律 好减完，于是缺了三色相文部 设集合U为全集，A,B为U的子集，则有 分，加1次补回来即可得到AU BUC的元素个数 (1)C(AB)=(CA)U(CB). 16 第一章集合与常用逻辑用语谁 (2)(AUB)=(CA)(CB). 这一结论被称为德·摩根定律。 下面用图形解释： (I)C(A∩B)=(CA)U(CB),利用Venn图表示为如图 所示的加色部分 U A(○B A(B AOB A∩B U OD A○B C(A∩B (CAU(C-B) (2)C(AUB)=(CA)∩(CB),利用Venm图表示为如图 所示的加色部分 C U AOD AOB AOD AUB DB AOD AOD C(AUB) (CA)n(LB) 例I(2025·华南师大附中模拟)全集U={x|x是不大于9 的正整数}，A,B都是U的子集，(CA)∩B={1.3},(CB)∩A= 记方法回 {2,4,8,(CA)∩(CB)={6,9},求集合A,B. 解决集合的混合运算问题 解析方法一U={xx是不大于9的正整数}={1,2,3,4.5,6.7,8,9. 时，一般先运算指号内的部分， (CA)∩B=1.3},(CB)∩A={2.4,8} 如求(CA)∩B时，先求出 .1,3}≤B,{2,4,8}二A. CA,再求交集：求Cu(AUB) (CA)∩(CB)=C(AUB)={6,9}, 时，先求出AUB,再求补集，常 (用德·季根发律变形后更易理解) 用的两个技巧如下： .AUB=1,2.3,4,5,7,8. (1D活“性”减“量”灵活利 1,3A,2,4,8B,A∩B=(5,7. 用交集与并集以及补集的运算 (EuEA与xECA只成点一个) 性质，特别是德·摩根定律，即 .A=2,4,5,7,8},B={1,3,5.7}. C(ANB)(CA)U(CB), 方法二U={xx是不大于9的正整数}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9，且 C(AUB)=(CA)∩(CB) (CA)∩B={1.3},(CB)∩A=(2,4,8}.(CA)∩(CB)=C(AUB) 简化运算， ={6,9},作出Venn图，如图所示. (稳·季报定律) (2)借“形”助“数”：在近行 集合的运算时要尽可能地猎助 2,4,85, 1,3 Venn图和数抽，使袖象问题直 观化，用数柏表示时要注意瑞点 6.9 值的取舍。 .A=〈2,4,5,7,8》，B={1,3,5,7}.◆记方法@ 17 重难点手册高中数学必修第一册RJA 变式①(2024·湖南师大附中期末)已知全集为U,集合M, N满足M军NU,则下列运算结果为U的是(). A.MUN B.CN)U(CM) C.MU(CN) D.NU(CM) 培优突破 突破点①补集思想的应用 一正难则反 例2若三个关于x的方程.x2十4x-4a十3=0，.x2+(a-1)x +42+5 =0,x2+2ax+1=0中至少有一个方程有实数根，则实 数a的取值范围为 思路分析 依题意分别求出每个方程有实数根时实教的取值集合，其并集即 是三个方程至少有一个方程有实数根时实数的取值范国：若正难则反，： 求出三个方程同时都没有实数根时实数。的取值集合，其补集即是满足： 条件的实数a的取值范围 解析方法一若方程x2十4x-4a十3=0有实根.。 则△=16-4(3-4a)≥0.解得a≥-4， 记方法回 故方程x+4红一4如十3=0有实根时a的取值集合A=口e≥- 补集思想及运用补集思想 若x+(a-1Dx+4十5=0有实根，则(a-1D-（a2+5≥0，解符 解题的步骤 4 (1)补集思想 a≤一2，即该方程有实根时a的取值集合B={aa≤-2. “正难则反”的策略运用的 若x8+2ax十1=0有实根，期4a”-4≥0，即a2≥1，解得a≥1或a≤-1， 就是补集思路，如已知全集U, 故方程x2十2a.x十1=0有实根时a的取值集合C={aa≥1或a≤一1. 求子集A,若直接求A有困难 缘上所述a的取值范调是AUBUC=aa≤-1或a>》。 可先求C4.再由C(CM) A,求A (等价于：三个方程至少有一个方程有实根) 方法二（正难则反）设已知的三个方程都无实根，此时的取值范国 为集合D. 问题的时立面) 思想 16-4(3-4a)<0, 考座 原问答業 则u-1)-(a+5)<0,解得-1a<- 复杂 4a2-4<0, (2)解题的步骤 iD-l-1a<-1). 第一步：否定已知条件，考 虑反面问题： ∴，三个方程中至少有一个有实数根时的取位范围为D的补集，即 第二步：求解反而问题对应 ala≤-1或>- 的参数范围： 第三步：取反面问题对应的 答案{ala≤-1或a≥- ◆记方法实 参数范国的补集 18 第一章集合与常用逻辑用语崩 变式2(2025·湖北高中名校联考)已知集合A={yy> a2+1或y<a},B={y2≤y≤4}，若A∩B≠，则实数a的取 值范围为 关键能力提升 题型(1 集合的运算及Venn图的应用 答案AD 例图(2024·北京海淀区期中)若A= 归纳总结 若题干没有具体给出集合中的元素，只有一些 {x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},A∩B 抽象的条件，则画Venn图分析集合的运算是一个 ={9},则x= 值得尝试的方向，若是选择题，也可考虑通过举例， 解析由A∩B={9}可知9∈A,则x=9或2.x 用排除法来选答案.举例的方法不是唯一的，例如， 一1=9，解得x=士3或x=5.(提醒：必0检验集合元素 本题也可通过假设A=必来排徐选项BC 麦香满足豆养性) ①当x=3时，x-5=1一x=一2， 变式3(2025·重庆南开中学高一测试) 集合B中元素不满足互异性，故舍去x=3: 已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集， ②当x=一3时，A={9,-7,一4，B={一8,4， 且A∩B={3},(CB)∩A={9},则A= 9},满足题意： ③当x=5时，A={25,9,-4},B={0,-4,9}, 题型2 根据交、并、补集的运算结果， 此时A∩B=(一4,9}，这与A∩B={9)矛盾，故舍去 求参数值或范围 x=5. 例⑤设A={-3,4},B={xx2-2a.x十 综上可知，x=一3. b=0},B≠⑦且A∩B=B,求a,b的值 答案-3. 解析，A∩B=B,.B二A. 例④（多选）设全集为U,若集合A,B满 又，A=(-3.4}且B≠⑦， 足A∩(CB)=☑，则( .B={-3}或{4}或{-3,4}. A.A∩B=A B.AUB=U 若B={一3}. C.AU(CB)=U D.BU(CA)=U 2a=-3+(-3).a=-3, 解析因为A∩(CB)=②，所以如图，A二B. 则 即 b=-3×(-3), b=9. U 2a=4十4， a=4, 若B=〈4}，则 即 b=4×4, b=16. A项(/)，由图可知，A∩B=A: 若B={-3,4}. B项(X),图中所画的情形下，AUB=B≠U: 2a=-3+4, 则 -2 即 C项(×)，当AB时，如图所示的彩色部分即 b=-3×4, b=-12. 为AU(CB)≠U: D项(/)，如图，CA与全集U相比，只差A的 a=-3,a=4, 综上所述， 6=9或 2 部分，而B刚好包含了A,所以BU(CA)=U. b=16 6=-12. 19 重难点手册高中数学必修第一册RJA 例6(2024·江西重，点中学联考)已知集 a2, a≤2， ∴.a≤-3. 合A={xx2+x十q=0},B=xgx2+px+ a+2≤-12a≥5， 1=0},同时满足条件：①A∩B≠☑；②A∩ (CRB)={一2，g≠0.求p,g的值. 2aa-2-1 52aa+2 思维过程 综上，实数a的取值范围为{aa>2或a≤一3 由条件①知A与B有相同元素，由条件②知 归纳总结 -2∈A但一2任B.而集合A,B都是一元二次方 (1)注意空集的特殊性 程的解集，所以可知A与B有一个公共元素。又根 ①若B二A,则应分成B=②和B≠两类进 据两方程系数之间的关联，找到此题的突破口 行讨论 ②若A∩B=0,则集合A,B可能的情况有： 解析设x∈A,则有x6十px。十g=0: A,B均为空集：A与B中只有一个空集：A,B 两端同除以，得1十力上十q左=0 虽然均为非空集合，但无公共元素 则知1∈B,故集合A,B中的元素互为倒数. (2)注意结合数轴分析端点值的大小 x 由A∩B≠②，一定有x,∈A,使得1∈B,且 变式④设集合M={x|-2<.x<5}, N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若MUN= 。=】,解得x=士1 M,求实数t的取值范围 又A∩(CRB)={-2}, 题型③容斥原理的应用 则-2∈A,A={1,-2}或A={-1,-21, 例⑧（经典·全国I卷）某中学的学生积 由此得B=1,-或B=-1,- 极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球 或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜 根据根与系效的关系，有 欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学 1+（-0》=-x厂1+（-2》=-p 1×(-2)=g 1(-1)×(-2)=q, 生数占该校学生总数的比例是(). A.62%B.56%C.46%D.42% 解析设该中学总人效为：，该中学喜欢足球的学 例7已知集合A={x|x≤-1或x≥ 生枸成集合A,喜欢游泳的学生构成集合B,如图，由 5},集合B={x|2a≤x≤a十2}. 题意，card(AUB)=a·96%=0.96a,card(A)=a· (1)若a=-1,求A∩B和AUB: 60%=0.6a,card(B)=a·82%=0.82a, (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围 (有了这三个量，就可以用客斥原理求Cr(A门B)丁，而 我们常要的，恰好也就是cad(A门B) 解析(1)若a=一1，则B=(x-2≤x≤1， ∴.A∩B={x|-2≤x≤-1).AUB={x|x≤1 足球 或x≥5}. 游泳 B (2)A∩B=B,.BCA ①若B=⑦，则2a>a+2,.a>2,满足题意： 由容斥原理，card(AUB)=card(A)+card(B) ②若B≠心，存在两种情况（如图所示）， card(A∩B), 20 第一章集合与常用逻辑用语推 所以card(A∩B)=card(A)+card(B)- card(AUB)=0.6a+0.82a-0.96a=0.46a. 范国为aa<号 因为0.46c×100%=46%, 例10[新定义](2025·浙江杭州二中检 测)定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是 所以孩中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占 b-a,其中a,b∈R.已知集合M= 该校学生总教的比例是46% 答案C g<r<0N=-<r≤，且M. 题型④集合运算新题型 N都是集合{x1≤x≤2}的子集，若集合MU 例日[结构不良](2024·广东佛山期中)： N的长度”大于，则：的取值范周是 在①B三(CRA),②(CRA)UB=R,③A∩B =B这三个条件中任选一个，补充到下面的问 题中.若问题中的实数a存在，求a的取值范 解析因为N=女k-子<<是集合x1< 围；若问题中的实数a不存在，请说明理由. 3 x≤2}的子集，所以 1-5≥ 已知集合A={x|1≤x≤4}，B={xa十 解得<2 t≤2， 1<x<2a一1}，是否存在实数a,使得 解析选①。 又M=g≤≤ ,可知集合M的“长度” CRA={xlx<1或x>4}, 由B二(CRA)得， 为-N-k-<,可知集合N 10 当B=⑦时，a十1≥2a-1,解得a≤2： 的“长度“为1-6-一》=是 a+1<2a-1,a+1<2a-1, 当B≠☑时， 或 2a-1≤1 a+1>4. (等合M.N的长度”都是周定的又N的“长度“为营 解得a≥3. M的长度”为<号我套使MUN的长度°大于号，只多 综上，存在实数a,使得B二(CgA),且a的取值 M不包含于N就行，香则MUN=N) 范国为{aa≤2或a≥3}. 选②. 要使集合MUN的“长度"大于号如图所示， CRA={xx<1或x>4},由(CRA)UB=R,得 2a-1>4. B≠⑦，所以 该不等式组无实数解， a+1<1, 55 10 所以不存在实数a,使得(CRA)UB=R. 若MUN=女-g<r<0 17 选③. 由A∩B=B可知B二A, 当B=⑦时，a十1≥2a一1，解得a≤2： 又8≤1≤2，所以8 17 a+1<2a-1. 当B≠0时，a十1≥1， 解得2≤号 若MUN=女g<r≤则->， 2a-1≤4， 9 综上，存在实数a,使得A∩B=B,且a的取值 所以1> 21 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 12,所以号12， 8 ∴.a4=9,且a4=9=a(2≤i≤3)， 5 .a2=3或a3=3, 则的取值花周是<品<2 ①若as=3时，ag=2,不合题意： ②若a2=3时，此时A={1.3,44,9,a5,B 答案[g)u(得2 1,9a,81.a}, 例11(2025·安徽合肥一中检测)已知 图1+3+9+a十as+81+a+a=256, A=la,az,as,a,a,B=(ai,az,as,ai, 从而a十a5十ai十a1-162=0. ail,a<a<a3<a<a;,a:EZ,i=1,2,3, 又ag<ay<a4,则3<a4<9, 当a8=4,6,7,8时，a5无整数解， 4,5.若A∩B={a1,a:},且a1十a4=10,a2> 当4a=5时，5=11， 2,AUB中各元素的和为256，则a1= 所以A={1,3.5,9,11} ,集合A= 综上a1=1,A=1,3,5,9,11. 思雏过程 答案1：{1,3.5,9,11. 先由条件A∩B={a1,a:}以及五个自然数的 大小关系，得出a1=a,求出a1的值，再由a1十 变式0设集合M=xm≤r≤m+ 4 a1=10,求出a1的值，进而确定a2=3或a1=3,再 N-xa-3<x<,且M.N都是集合{zl 分两种情况考虑即可. 0≤x≤1}的子集.如果把b一a叫作集合{x 解析由A∩B={a1,a,,且a,<a2<aa<a:<a, a≤x≤b,a,b∈R}的“长度”，那么集合M∩N 得到只可能a1=ai,即a1=1或0，当a1=0时， 的“长度”的最小值是( a1=10,而A∩B={a1a1},又wa1=√/10任Z,故舍 b. 5 A 去，则a1=1,又a1十a1=10, D.12 i目目i11过 核心素养聚焦 目甘1目i其目1t 考向①集合的基本运算 考向2 由集合运算确定参数 例12(2024·全国1卷)已知集合A= 例13（经典·全国I卷）设集合A={x x2-4≤0}，B={x|2.x+a≤0}，且A∩B= {x|-5<x3<5},B={-3,-1.0,2,3},则 {x一2≤x≤1}，则a=(). A∩B=(). A.-4 B.-2 C.2 D.4 A.{-1,0} B.2,3 解析易知A=(x一2≤x≤2)，B=xx≤ C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2 2,因为AnB={x-2≤r≤1. 解析桥因为A=x一5<x<5},B=(-3,一1， 0,2,3),且注意到1<5<2，从而A∩B={-1,0}. 所以一号-1，解得a=一2 答案A 答案B 考查内容 核心素养 高考难度 考查内容 核心素养 高考难度 数学运算 考查集合的运算 数学运算 ★★此☆此 考查两个集合的交集 ★★女☆出 直观想象 22 ,第一章集合与常用逻辑用语通 考向3集合中元素的个数问题 c=a3, 此时S={a,a2,a3},T={a,a',a}, 例14（经典·浙江卷）设集合S,T,S三 N,T二N",S,T中至少有2个元素，且S,T 所以SUT={a,a2,a,a,a},有5个元素.故 满足： 排除CD, ①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T: ②当S中有4个元素时，设S={a,b,c,d},a< b<e<d,所以ab<ae<ad<bl<cd,且{ab,ac,ad, ②对于任意的xy∈T,若x<y,则义∈S. bd,cd∈T, 下列命题正确的是(). A.若S有4个元素，则SUT有7个元素 所以器器品器且5品 ab 'ab'a. B.若S有4个元素，则SUT有6个元素 bd C.若S有3个元素，则SUT有5个元素 所以b=a2,c=a,d=a(a≠1). D.若S有3个元素，则SUT有4个元素 此时S={a,a2,a,a'},T={a,a',a",ai, 解析①当S中有3个元素时，设S={a,b,c}, a7}. a<b<c,则{ab,bc,ac}二T, 所以SUT={a,a,a3,a',a,a,a2},有7个元 所以∈S6∈5，∈S. 素，故选A 当5=e时，a=1,所以6=b,即c=b, 答案A 此时S={1,b,b2},T={b,b2,b3}, 考查内容 核心素养 高考难度 所以SUT=(1,b,b2,b3),有4个元素： 以集合为载体，考查学生的 逻辑推理 逻辑推理能力 数据分析 ★★★☆必 当二=b时，=ab,所以么=4，即5=a'(u≠1)， a 23由B三A,得m=所以m=-山 [变式2]aa>2或-3<a<5.[已知A={yly>a+ 1或y<a},B={y2≤y≤4}，我们不妨考虑当A∩B=② 综上，m的取值集合为{0，一1. 时的取值范围，在数轴上表示出集合A,B,如图所示.由 7.由题意可得△=m十144>0.设关于x的方程x”十mx x1十xg=一m, a<2. a≤2， 36=0的两个根分别为x1x2,则 得 故u一√3或5≤a r1x:=-36, a2+1≥4， a≥5或a≤-5， 所以方程x2+m.x一36=0的整数解只能是36的约数 2,即A∩B=☑时a的取值范围为{aa≤-3或3≤a≤2. 结合两根的表秋为定值一36，且两暴为参数，可列出两银的所有可能 故A∩B≠o时a的取值范围为{aa>2或√3<a<3.] 情况，然帝逐项分新种可 当方程的解为一1,36时，m=一35： ☐BA &24a+1y 当方程的解为一2,18时，m=一16： [变式3]3,9}.[方法一由已知条件得3∈A,9∈A, 当方程的解为-3,12时，m=一9： 若5∈A,则5￠B(否则5∈A∩B), 当方程的解为一4,9时，m=一5： 当方程的解为一6,6时，m=0: 从而5∈(B,则(CB)门A=5.91,产章松来合的“所有性 当方程的解为1，一36时，m=35: 与题中条件矛盾，故5任A. 当方程的解为2，一18时，m=16: 同理，1延A,7任A,故A={3,9. 当方程的解为3，一12时，m=9: 方法二A=A门(BULB)一楼·摩楼定律 当方程的解为4，一9时，m=5. =(A∩B)U(A∩CB) 故集合M=(-35,-16,-9,-5,0.5,9,16,351. =3}U{9)=(3,91.] 由集合A满足条件：①②A三M:②若a∈A,则一u∈A, [变式4]由MUN=M得NM. 得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不 故当N=②时，有2t+1≤2-t 属于集合A,因为集合M中有4对相反数和元索0， 所以这样的非空集合共有25一1=31个. 即1≤时，MUN=M成立 培优突破练 2-t<2t+1. 1.12=1.2=4,3=9.4=16,5=25.6=36.72=49,82= 当N≠☑时，由图可得21+1≤5， 解得<12 64.9=81.1~9的平方是9的倍数的数有3个：3,6,9,1一9 2-1≥-2 的平方除以9的余数分别是1,4.0.7.7,0,4.1.0， 2-t 2t+1 ∴.任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7. 综上可知，所求实数！的取值范围是{：t≤2. .0+0=0.0+1=1.0+4=4.0+7=7,1+1=2.1+4=5. 1十7=8,4十4=8,4十7=11.7十7=14， [变式5]C[由题意可知，集合M,N都是由数轴上0一1这一 .0,1,4.7中的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M, .任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平 N的长度"分别为子·子，因此要使M门N的长度量小 方本身是9的倍数 需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端 .2023÷3=674…1. .1~2023的平方是9的倍数的数有674个， 点0和1时，其重叠部分最少，所以所求最小值为子十号 .S1的最大值为2023-674+1=1350. 事合S中食有一个平方能被9整徐的数也满足超是 12 1.3集合的基本运算 变武细练 U m [变式1]D[A(×),MUN=N≠U:B(×),(CN)U(CM) =C,(M∩N)=CM≠U:C(×),画出Vem图，如图，MU 建册过关练 (CN)≠U,VU(CM)=U:D符合题意.] 1.C[x-1>2可等价转化为x-1>2或x-1<-2, U .x>3或x<一1，A={xx>3或x<-1} ,.CA=x-1≤x3}.又B={x2x<4}, ,.(CA)∩B={x2<x3.] 2.C[M-N={1,2,3},N-M=7,8,9,10}, (3)若集合A有3个元素，则集合A为{1.2,3}，{1,2,4}， ∴.M④N=(M-V)U(N-M)=1,2,3,7,8,9,10. 11,2,5},1,3,41,{1,3,5},(1,4,5},2,3,4,(2,3,5},(2, ∴.M⊕N中元素的个数为.] 4,5},{3,4,5}, 3.B[设100名携带药品出国的旅游者组成全集I,其中带感 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现6次： 冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合B.设既携带感 (4)若集合A有4个元素，则集合A为1,2.3,4}，1,2,3， 冒药又携带胃药的人数为x,则仅携带感冒药的人数为75一 5}.1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3.4,5}: x,仅携带胃药的人数为80一x.由图可知75一x十x十80一 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次： x≤100.所以x>≥55，故最少人数是55.] (5)若集合A有5个元素，则A={1,2,3,4,5. U 综上所述，所有S(A)之和为(1十2十3+4十5)(1十4十6+ 75-x 80-3 4十1)=240.] A 3.BCD[A(×),由2025=4×506+1得2025∈[1]： 第3题图 第4题图 B(√/)，由-2=4×(-1)+2得-2∈[2]： C(/),所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况， 4.{2,3.5,7}:{1,2.3.8}.由(CA)∩B=(1.8)知1∈B. 即刚好分成[0]，[1]，[2]，「3]共4类，故Z=[0]U[1]U 8∈B:由(CA)∩(CB)=C(AUB)={4,6,9}知4,6,9 [2]U[3]: EA,且4,6,9∈B. D(√/)，若整数a,b属于同一“类”，则a=4n1+k,n∈Z, 由A∩B={2,3)知2,3是集合A与B的公共元素 b=4:十k,ng∈Z,故a-b=4(n1一n2)+0,所以a-b∈ 因为U={1,2,3,4,5,6,7.8,9},所以5,7∈A [0,故整数a,b风于同一“类"时，则有“a一b∈[0们”.门 画出Vemn图，如图所示. 4C[把学生50人看成一个集合U,选择物理的人数组成为 所以A=(2,3,5,7),B={1,2,3,8.] 集合A,选择化学的人数组成集合B,选择生物的人数组成 5.[6,+o∞).[方程(x-2)(.x-a)=0的根为x1=2,x2=a, 集合C,要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， ①当a≤2时，A={xa≤x≤2}，此时A∩B=☑不合题意 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有 ②当a>2时，A=(x2≤x≤a),B={x3<x<7}. 10人，则其他学科选择人数均为最少，即得到单选物理的最 要使A∩B中含有3个整数，则A∩B中只能含有4,5,6这 少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 3个整数，又a∈A,则a≥6.（注意.点值是否绝敢列）门 单选物理，生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数 6.由A∩B=必可知： 最少42人，可作Venn图（图略），至多10十8=18（人）.] (1D若A=0,有2aa+3,即a>3. (2)若A≠，如图所示 思维过程 把学生50人看成一个集合U,选择物理科的人数组成 集合A,选择化学科的人数组成集合B,选择生物科的人数组 2a≥-1， 成集合C,根据题意，作出Vmn图，结合Vnm图，即可求解 +3<6,解得-<a<2 5.一1.[由题意可知，方程x2+px一2=0，.x2一2x+g=0 2a≤a+3, 均有根， 综上所述a的取值范国是a-令<a<2或a>3小。 设方程x”十px一2=0的根为x1,x, 绿合提能练 方程x2-2x十g=0的根为x1x 1.B 可知x1x8x∈{-1,0,2， 2.B[因为集合M={1,2,3,4,5},A二M,分别列举出满足条 x1十x:=一p， 且 x十x1=2, 件的集合A: 1x2=-2, tar=g, (1)若集合A只有一个元素，则集合A为{1，{2，(3，{4}， 分析可知，方程x2+pr一2=0的根为一1,2，方程x2 (5: 2x+g=0的根为0,2. (2)若集合A有两个元素，则集合A为1,21，(1,3}，(1,4， 即A=(-1,2,B=(0,2,满足AUB=-1.0,21,符合题 1,5,{2,3},(2,4},{2,5},{3,4,3,5,4,5}, x1+x2=-p=1, 意，可得 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次： r3r4=q=0, 5 解翔一1， AUB=A,.B二A. 所以p十g=一1.] g=0, 当△<0，即a<一3时，B=心，满足条件： 6.27.[当A1=☑时，A:={a1…a2a3.1种： 当△=0即a=一3时，B=2},满足条件： 当A,=(a1时，Ae={agaa,(a1a:aa,2种： 当△>0，即a>一3时，B=A={1,2)才能满足条件， 当A,={a)时，A2={a1aa},(a1aga,2种； 1+2=-2(a+1), a=-5 由根与系数的关系得 即 2 当A,={aa}时，A:={a1a2,{a1a2ag,2种： 1×2=a2-5. a3=7. 当A,={a1az}时，A:=(aa,{a1aa},(aga,a1at 矛盾， a},4种： 综上，a的取值范围是{ala≤一3. 当A,=a1aa时，A:={a:,{a1a:},(aaa},{aa, },4种： (3)A∩(CB)=A,∴A二C元B,∴A∩B=. ①若B=⑦，则△<0→a<-3,符合题意. 当A=a,as}时，Aa=(a1,{a1ag},(a1as},{aaa· ②若B≠②.当a=一3时.B={21,A∩B={2},不符合题 a:},4种： 意.当a>-3时，需1任B且2任B. 当A,=a1aeam}时，A2=g,{a},{a2,aa},{a1a2}, 将x=2代人B中的方程，得a=一1或a=一3： (aiaa).(aza),(aiaza1.8. 将x=1代入B中的方程，得a”十2a一2=0，解得a= .集合A={a1·a4·a:}的不同分拆种数为1十3×2十 4×3+8=27(种).] -1士3， 7.(1)由题意可得 ∴.a≠-1且a≠-3且a≠一1士5】 B=xx”-3a.x十2a3=0}=(x(r-a).x-2a)=01, ∴a的取值范围是{aa≠一1且a≠-3且a≠一1±3， 1一8一山为一个定全平方数，可以用十字交又法分解国式 培优突破练 当a=0时，B={0,此时A∩B={0}≠，不符合题意： 1.AD[A(√)，.x=4n十1=(2m十1)2-(2n),n∈N时，2m+ 当a>0时，B={a,2a},由A∩B=g,可得a>1: 1∈N三Z,2∈N二Z,故x∈M,所以P二M: 当a<0时，B={a,2a},由A∩B=必，可得a<-2. B(×).因为x=4n+2=2(2n+1),n∈N,所以x为偶数且 综上所述，a的取值范围为{aa<一2或a>I. 不能被4整除，若x∈M,则存在a,b使得x=4n+2=a (2)当a=0时，B={0},此时A∩B={0}=B,故符合题意. =(a十b)(a-b)a∈Z.b∈Z,所以a+b和a一b同奇或 a<2a, 同偶，若a+b和d一b同奇，则x=4n+2=(a十b)(a一b) 当a>0时，B={a,2a,由A∩B=B,可得2a≤1， 为奇数，矛盾，不符合，若a十和a一b同偶，则x=4n十2= a≥-2， (a十b)(a一b)能被4整除，矛盾，不符合，所以xM,即 解得0<a≤21 QM: C(×),因为s∈M,t∈M,所以s=a-bi,t=ai-b,a1∈ a>2a. : Z.b,∈Z,a∈Z.b∈Z.s-t=ai-b-(ai-b)=a+b号 当a<0时，B={a,2a,由A∩B=B,可得a≤1， 2a≥-2， -(ai+b)=(a+)2-(√a+b)产.又a+∈Z. 解得-1≤a<0. √a+∈Z不一定成立，不能得到s一t∈M: 综上所述a的取值范围为a-1<4<》· D(√)，因为s∈M,t∈M,所以x=a-b,t=a2-b,a1∈ Z.b∈Z,au∈Z,b:∈Z.所以s=(ai-)(ai-bi)= 8.由x2一3x十2=0得x=1或x=2,故集合A=(1,2, (a1a2)2+(bb:)2-(ab2)2-(a2b)”=(aa:十b1b)2- (1)A∩B={2,.2∈B,将x=2代人B中的方程，得 (a1十a:b).因为a1ae十bb,∈Z,a1b:+azb,∈Z,所以 A与B有且只有2这个”片元素，后面需要代入来数值去松暗是 否满延这个帝件 t∈M.] a2+4a+3=0,解得a=一1或a=-3. 2.(1)根据题意，由集合A={1,3},则S={2,4.6},T={0.2. 当a=一1时，B={xx”一4=0}=（一2,2，满足条件： (2)由于集合A={x1,x,x1x1},x1<x1<x<x4,且T 当a=一3时，B={xx2一4x+4=0}={2},满足条件. =A,所以T中也只包含四个元素， 综上，：的值为一1或一3. 即T=0,x4一x1x3一11Z4一x1、 (2)对于集合B,△=4(a十1)2-4(a-5)=8(a+3). 剩下的x一r2=x4一x=:一t1· 6 所以x1十x=:十x: 六-1长<号能推出-3<1 例A={0,1.2,31. [变式4]c[:M≤CN,NnCN=a,.MnN=②， 故T={0,1,2,3}满足. ,.充分性成立：当M∩N=⑦时 (3)设A={a1a2,…,uu}满足题意，其中a1<a2<…<a, ,M□U,NU,∴MGCN,∴必要性成立.] 则2a1<a1+a2<a1十aa<…<a1+a<ag+a4<a,+ [变式5]充分性：，ac<0,.△=b-4ac>0, a4<<akt十a4<2a4, 方程ax十bm十c=0有两个根，设为xx. ∴.S≥2k-l,a1-a1<a:-41<as-a1<<ae-a1· .|T≥k xx=<0 YSNT=8,SUTI=S+TI>3-1. .一元二次方程a.x十x十c=0有-…个正根和一个负根. SUT中最小的元索为0，最大的元素为2a4, 必要性：：一元二次方程a.x2+r十c=0有一个正根和一 .|sUT1≤2a+1. 个负根， ∴.3k-12a.+1≤4041(k∈N°)， r=台<0，ac<0 .k≤1347. 综上所述，“一元二次方程ax2+x十c=0有一个正根和一 实际上，当A=(674,675,676,…,2020}时满足题意， 个负根”的充要条件是“ac0” 综上所述，A的最大值为1347. [变式6]由已知得A=1,2},因为p是g的必要不充分条件， 思维过程 (1)根据题日定义，直接计算集合S及T 所以B蛋A 根据集合中元素的个数对集合B进行分类， (2)根据两集合相等即可找到℃1,2x1江：的关系. 讨论：B=0.B=(1或B={2. (3)求出相应的S及T,通过S∩T=☑建立不等关系 当B=0时，方程x2一mx十2=0无实数解，△=m”一8<0， 求出相应的值 解得-2V2<m<2√2： 1.4充分条件与必要条件 △=0. 变试细练 当B={1}或B=(21时， 1-m+2=0或4-2m+2=0 [变式1们D[若p成立，则a十b≠4，此时a≠1和b≠3不一 无解。 定都成立，例如，a=1,b=4时，满足a十b≠4，但由于a=1, 综上所述，m的取值范围为{m一2√2<m<2√2. 所以g不成立，故充分性不成立；若g成立，则a≠1且b≠ 酷甜过关练 3,此时p也不一定成立，例如，a=b=2,满足g,但a+b= 1,B[x2-4=(x+2)(x-2)<0=-2<x<2.记A={x| 4,不满足P,所以必要性不成立.故选D.] x<2},B={x-2<x<2,则B云A,所以“-2<x<2”是 [变式2]可将已知p,qrs的关系用→”作图表示（如图所示）. “x<2"的充分不必要条件，故“x<2是“一-2<x<2”的必要 →r之p 尔U 不充分条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分条件.] ! 2D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志“， (1)gPs,s一r→g,即一gq,s是q的充要条件 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.门 (2)r→gg→s→r,∴r是q的充要条件 3.A[记A={xx>a},B={xx>1,因为"x>a”是“x> (3):g→s→r→p,而p户，∴.p是g的必要不充分条件. 1”的必要不充分条件，所以“x>1”是“x>”的充分不必要 [变式3]ACD[A(/),:ah≠0等价于a≠0且b≠0， 条件，故BA,如图，应有a<1.] .由“ab≠0”能推出“a≠0”： B×),"(a-b)a>0等价于a>b且a≠0， ∴.由“(a一b)a>0”能推出“a>b”,反之不成立 4BCD[(直转求克分不必要条件不特想，可考患先表老要条件，得 C(√)，x2-3x+2>0的解集为{x|x>2或x<1}.而 列：的范周，再取它的一个真乎条 xx>2){xlx>2或x<1, A∩B=②台A为空集或A的元素都非负台方程x2一a.x十 ∴.由“x>2”能推出“x2-3x+2>0”: a”一3=0没有实数解或只有非负实数解，当方程x2一ar+ a°-3=0没有实数解时，4=(-a)2-4(a2-3)=12一3a .-1Kr<}x-3<<1… <0,解得a<-2或a>2:当方程x2-ax十a-3=0只有 7