2.2 基本不等式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 A基础过关练 测试时间：15分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型2](2024·山东济南期末)已知a>0,则a 1.[题型5][教材P49T7改编](2025·四川成都 +4二“的最小值为( ) 七中月考)现有一台不等臂的天平，它有左、右两 a 个托盘，若同一个物体放在左、右托盘各测一次， A.2 B.3 C.4 D.5 所得的质量分别是a,b(单位：g),则下列关于物 2.[题型3]已知正实数x,y满足2x十y=xy,则 xy的最小值为( 体的真实质量m表述正确的是( ) ). A2√2 B.4 C.4√2 D.8 A.m</ab B.matb 2 3.[题型2](2024·四川成都高一期中联考)若0< D.m>√ab <分则+的最小值为 2 ) Cm<告岁 2.[题型2](2024·湖北鄂东南示范校高一期中联考) A.12 B.6+43 关于x的方程x2一ax十b一1=0有两个相等的 C.9+√6 n空 正根，则3a十2b atb 4.[题型2]石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学 生们在该活动中的商品所卖得的款项将用来支 A有最大值号 B有最大值号 持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集 资金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件 C有最小值号 D有最小值号 10元，当售卖价格（每件x元）在10<x≤25时， 3.[题型2]设正实数x,y,x满足x2一3xy十 本次活动售出的件数P= x一5.若想在本次 10 4y2一之=0，则当之取得最小值时，x十2y一之的 活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为 最大值为( 元 5.[题型4](2024·湖南名校联合体期中联考)已知 A.0 B号 实数工，y>0且满足上+1=1，若不等式4红十 t' C.2 9y一t≥0恒成立，则实数1的最大值为 4.[题型4](2024·山东聊城高一期中)已知a>0, 6.[题型1]已知a>0,b>0,a十b=ab.求证：（1十 6>0,且b=1,不等式片+2+开6之4恒成 2)(1+6)≤4 立，则正实数m的取值范围是(). A.{mlm≥2 B.{mm≥4} C.{mm≥6} D.{mm≥8} 5.[题型2](2024·天津五校高一期中联考)若x, y是正实数，(x一y)2=(xy),则上+1的最小 值为 17 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA 6.[题型1](2025·辽宁沈阳东北有才学校月考) 最小的m的值. 问题：正数a,6满是a十6=1，求}+号的最小 a 值其中一种解法是：日+号-（日+）a十 6)=3+2+2≥3+2，当且仅当治-台，且 a a+b=1时，即a=√2-1且b=2-√2时取等 C培优突破练 ●测试时间：10分钟 号，学习上述解法并解决下列问题. (1)若正实数x,y满足xy=3x十y,求x十y的 1.(全国高中数学联赛福建预赛)若正实 最小值： 数x,y满足x(x+2y)=9,则x°y的 ②者正安数a,6y满起号-芳=1，且6> 最大值为 2.记max{a,b}为a,b两数的最大值，当 b,试比较a2-b2和(x一y)2的大小，并说明 理由： 正数x,y(x>y)变化时，t=maxx2, (3)若m>0,利用(2)的结论，求代数式M= 25 的最小值为 √3m-5-√m-2的最小值，并求出使得M y(x-y) 18(观察发规士1和1以王1一2，生一2的整体结构出现，数考我将它 们整体换元，筒化上还式手) 因为x+-+1+-1≥2，√+D x十1 令a=x1-2,b=x2-2,由x2>x1>2可得b>a>0, 1一3，当组仅当z+1一南即=1时取等号，D正确] 式卿为p=。-(（+)-。。 [变式44.[因为6>0，所以a2+6+>2V后·46+ 4ab-(a+b)24ab-(a2+2ab+b2)(a-b)3 (a+b)ab (a+b)ab (a十b)ab1 1a2=4b2, =4,当且仅当 因为b>a>0,所以(a-b)2>0,a+b>0, 从而p一q= (a-b)2 a+bab<0,故p<g. a=1,fa=-1, 2.2基本不等式 或 】时等号成立.（进排两次使用委本不蒂式要 b=2 变式如练 保证等号咸立的一数住)门 [度武++中g+。-(伯+号）+（后+ a 6 c [变式5]0[方法-（消元法）由条件得y一5x—3' 9）+(g+）-3,a>0,b>0c>0, 由>0y>0知>号， 生重组配时后，条组式子的积为定值1 治+号≥2侣：后-26时年 从而3红+4y=3x十5z-3-3x+ 5(-) 同理，分十名>2（售且收多6：时取等专）， 转化配海浅分于不食食量的形式一 12 是十后>2事且收多=时尔等号. )+ (-) 号>2√+号-5，当且仅当 + (合+8)+（后+2）+(2+）-3≥6-3=3，即 12 25(- y一3即x=1y=时取 十c一a+十a-b+a十b二S3.《省且仅当a=b=r时来号号) b 等号，故3x+4y的最小值为5. [变式2]，x>-1,x+10, y=+5+2_[x+1)+4[x+1D+ 方法二（常数代换法）对原条件式转化得三+上=5，则 x y x+1 x+1 变形确定零微 _+生+-+++5 x+1 3x+4y 号(+)a+)(9+4+坚+) ≥2，√+1D·石+5=9红+=x=1时 。巧炒借的了“1”的代换 ≥号(3+2坠，)=5，当且仅当坚- ,x+3y y y 等号成立)，所以y有最小值9. [度式3c[因为x>0,所以x2-x)≤（中号）'=1，当 5xy,即x=1,y= 2时取等号.故3x十4y的最小值为5.] 且仅当x=2-x,即x=1时取等号，A正确： [速式因为品+云密-艺， 因为红+>2一-2，当且仅当-，即1时 取等号，所以2一工一上≤0，B正确： 当组仅当艺-。即a+6=4且的= 令=V4什7，则≥2，原式可化为生+>2，当且 a=2-3,a=2+3, 即 或( 时等号成立 仅当1=，即1=1时取等号，又≥2，所以+5的最小 b=2+5b=2-5 √/x2+4 值不是2，C错误；（注意歌等条件） 故品+云+。的最小值为么】 18 [变式7C[根据题意可知，m≤（任+分）a十4b)恒成立， 9y)m≥t,因此t≤25，故实数t的最大值为25.] 6.因为a>0,b>0,所以ab=a十b≥2√ab,当且仅当a=b=2 即转化成求y=(任+号)a+b)的最小值又y= 时取等号，即有6>4，于是得(+)+号）-1+日十 (任+2）a+)-8+地+号≥8+2√0，号-16， a b +品=1+由+品=2+品<2+=，所以 当且仅当a=4钻时取等号，所以m≤16，即m的最大值 (1+日)(1+号)<号成立. 为16.] 基础过关练 运可6=得。名11+》(+) 1B[已知a>0,则a+行=a+产-1≥2a吾-1 a a 3,当且仅当a=产，即a=2时等号成立.] 综合提能练 1,C[设左、右两臂长分别为l1,2,则l1m=l2a,lam=4b, 2.D[:2x十y=xy,x>0,y>0,∴.2x十y≥2√2xy,即 ..m=Jab xy≥2√2xy,当且仅当y=2x,即x=2,y=4时取等号， a≠b, 告的瓜=m] ∴xy≥8，即xy的最小值为8.] 2B[,关于x的方程x2-ax十b-1=0有两个相等的正根， 30[因为0<号，所以1-3x>0又1-3x)+3x=1, a>0, 做2+-(+)北a-)+a]-+ 36-1>0, 6= 4+1,a>0, △=a2-4(b-1)=0, 2+>+2·-当 /9(1-3x)6x :3+2 +6-2+ =2+a a-=2十 1 -≤2+十 a+b 等武桑"1”值不变，海击积为定值 4+a+1 + +1 且仅当2=气即工-号时等号成立，放 3* 2×3x 分手、分安阴时豫以a,构适积为定值的备件 1 15 的最小值为受放选] .1+1 =2+2=？，当且仅当a=6=2时取等 24a 链接教材 这道题目是由教材上的P48习题2.2的第1题改编得 号，所以十2有最大值受.] atb 到的基本的解题思路是将2+己变形为（又十 9 思维过程) 多元问题-无化，依题高可得6=号十1。>0，则十老 a+b 名)1-3x)+3],由已知条件确定1-3x>0.且1 1 2+ 一，再利用基本不等式即可求得最大值。 一3x)十3x=1,展开后利用基本不等式，即可求得答案 3.C[x=x2+4y2-3.xy≥2(x·2y)-3xy=y,当且仅当 415。[由题意可知，利润为10(x-10 (x-5)2 ,10<x≤25，不妨令 x=2y时等号成立，此时三取得最小值，于是x十2y 1=x-10∈0<1≤15，则利润为10 10 (1+5)2 1+25+10 =2y+2y-2y2=2(2-y)≤2(+名)'=2，当且仅 2 t 当y=1时等号成立.综上可得，当x=2,y=1,z=2时，x十 10 =500，当且仅当1=25，即1=5时取等号， 2,西+10 2y-z取得最大值2.] 此时x=15,故销售价格每件应定为15元.] 4B[由题设得m≥4a+6)-(侣+若）a+b)=4a+6) (a+b)2恒成立，而4(a+b)-(a+b)2=4-(a+b-2)2, 525.[+9y=(4红+9)（侵+）=13+2+号>≥13+ 又a十b≥2ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立，所以 2受号-5当且仅当竖=号即=号y-号时， 4(a十b)-(a十b)2≤4，当且仅当a=b=1时等号成立，故 用热元法个1=a十b,1≥2，得1一=一(1-2)产+4≤4， 等号成立.又不等式4红十9y一t≥0恒成立，只需(4红十 从而得新来范围 19 m≥4.故选B.] 培优实破练 归纳总结) 含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的 1.54. [由题设知，9=xx+2y)=-x(分x+2x+2y)≥ 取值范围化归为代数式的最值问题.a>y恒成立台a> 1 ymsa<y恒成立台a<ym x·32x· 7x2y,所以3≥x22x·x·2 5.2.[因为(x一y)2=(xy)3且x,y是正实数，所以两边同 x<2:3=54,当且仅当分=2y,即x=后y=后时等 时除以(w只，得（号）广=，又因为（侵+）广 号成立.所以xy的最大值为54.] 25 (（号》'+号-+>四·哥=4，当且仅当 210.[由题意知，t≥x2>0,t≥ ->0, =即1=2+Ey=2一反时等号成立，所以+日 y ≥x2·yx-y 25 25 +227T-x2.10-10. 25 ≥4=2.] 又x2· y-)≥x2. x 6(1)若正实数xy满足xy=3x+y,则上+3=1， 2 x y t2≥100，即t≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，t= 所以x+y=+侵+）=++号≥4+25， y m女25}的最小值为1a] 当且仅当之-3延，即x=1+3,y=3+5时取等号， 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 所以x十y的最小值为4十23. 变式如练 ②正实数e6y满足号-苦 =1,且a>b, [变式1门(1)解方程x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x一5x一6的图象知，原不等式的解集为 则a-6=-6-) (xx<-1或x>6}. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0， =x2+y2-（ 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6. 因为2 ar ta'y! 结合二次函数y=x2-7x十6的图象知，原不等式的解集为 、6≥26. =2lxyl, (xl1<x<6. 当且仅学学-学时散等号， (3)原不等式可化为8x2-8x十4>4x-x, 即9x2-12x+4>0, 以。-=+-（学+）+-2o≤ 解方程9r2-12z十4=0，得=4=号 x2+y2-2xy=(x-y)2, 所以a2-b2≤(x-y)产. 结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知，原不等式的解集 (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2, 为≠号引 令x=√3m-5,y=V√m-2,则x2-3y2=1, [变式2]当a<2时，(a-2)x2+(2a-1)x十6>0→ 令a2=1a>0).6=号b>0, [2-a)z-3x+2<0,故解集为-2<22： 所以M=Vm司-m=-不-5， 当a=2时，3x十6>0，解得x>-2,故解集为{xx>-2}: 当且仅当号x2=3y即x=3y时取等号， 当a>号时，a-2)r2+(2a-1Dz+6>0→[a-20z 结合-3y=1,解得z-y-。 +3]Gx+2>0,由于22。>-2，故解集为>22。或 即√3m5-号所以m是 x<-2 所以M的最小值为号此时m=是 当2<a<号时，由于22。<-2，故解集为>-2或 20