2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 A基础过关练 测试时间：15分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型2]为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息： 1.[题型1门](2025·广东深圳外国语学校等三校联 ①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米： 考)已知p:m>n>0q n十1>”，则p是g的 ②人跑开的速度为每秒4米：③距离此烟花燃放 m十1m 点50米以外（含50米）为安全区. () 为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索 A.充要条件 的长度x(厘米)应满足的不等式为( B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 A4X6<0 B4X6≤50 D.既不充分也不必要条件 C.Xo.650 D4X06≥0 2.[题型3](2024·吉林四平高一期中)已知2≤ 2x十3y≤6，-3≤5.x-6y≤9，则之=11x+3y 2.[题型2]（多选）下列不等式中成立的是( 的取值范围是( A.若a>b>0,则ac2>bc B.若a>b>0,则a2>b A≤< C.若a<b<0,则a<ab<b c3<< D.{x3≤g≤27 n若a<则片若 3.[题型1](2025·安徽芜湖开学考试)实数a,b,c 3.[题型1](2025·浙江杭州六校高一联考)设 满足a2=2a十c一b一1且a十b2+1=0,则下列 M=2a2-4a+7,N=a2-5a+6,则有( 关系成立的是( A.M<N B.M≤N A.b>a>c B.c>a>b C.M>N D.M>N C.bea D.c>b>a 4.[题型3]已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b 4.[题型3](2024·山东聊城期中)有三个房间需 的取值范围是( 要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色， A.{2a-b16≤2a-b≤7】 且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷 B.{2a-b|2<2a-b<5 面积（单位：m)分别为x,y,之，且x<y<g, C.{2a-b4≤2a-b≤7} 种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m)分别为 D.(2a-b15<2a-b<8 a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的总 5.[题型1、2]已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证： 费用（单位：元）是(）. A.ax+by+cz B.ax十by十cx e a-cb-d C.ay+bz+cx D.ay+ba+cz 5.[题型2](2024·浙江温州高一联考)（多选）已 知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是 (). A若a>b,c>d,则a-d>b-c 15 翻重难点手册高中数学必修第一附RJA, B.若a>b,c>d,则ac>bd C培优突破练 ●测试时间：15分钟 C.若ab>0,bc-ad>0,则S>d a b 1.数学文化(2024·湖北襄阳期未)（多选）19世 n若>6c>0.则后>名 纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集 的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作 6.[题型3]设x,y为实数，且满足3≤xy≤8.4≤ 为现代数学实数理论的基础之一，可以推出实数 <9，则5的最大值是 理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不 y 7.[题型2]若a>b>0,c<d<0,b>|c1,求证： 完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有 b+c a+d (a-c)2(b-d)2 理数D,满足p<2,g=p一十号则下列说法 p3-2 正确的是( ). A.p<q B.p>q C.q<2 D.q>2 2.(2024·湖南邵阳竞赛)已知等式xy-2y-2=0. (1)若x,y均为正整数，求x,y的值： (2)设p=(,-2)+(7,-2)9=当十业 2 ,y1 分捌是分式己三中的：取：，> x1>2)时所对应的值，试比较p,q的大小， 并说明理由. 16(1-m≤-2， 若A为U的R(7)子集，1∈A,2∈CA,7∈A: 则有1十m≥6，其中等号不同时取到，解得m≥5， 若3∈A,取a=3,b=1,a+b=4∈U,则4任A,4∈CA, m>0. 再取a=3,b=4,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛盾， 所以，实数存在且实数m的取值范围是{m≥5}. 则3∈A,3∈CA: 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件， 若4∈A,取a=4,b=3,a十b=7∈U,则7∈A,与7∈A矛 集合B是集合A的真子集， 盾，则4EA,4∈CA: f1-m≥-2， 若5∈A,取a=5,b=2,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 则有1十m≤6，其中等号不同时取到，解得0<m≤3， 盾，则5任A,5∈CA: m>0, 若6∈A,取a=6,b=1,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 盾，则6庄A,6∈CA: 所以实数m存在且实数m的取值范用是(m0<m3}. 取a=7,b=1,2,3,4,5,6,a+b=8,9,10,11,12,13∈U,则 18.(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x≤4.一p:31≤x≤ 8,9,10,11,12,13gA,8.9,10,11,12,13∈C4: 2,x-a<0,为真命题，即a>(x')m: 取a=7,b=2,ab=14∈U,则14∈A: 又1≤r≤2..(x)m=1.a>1. 取a=14,b=1,2,3,4.5,6,a+b=15,16,17,18,19,20∈ ∴.实数a的取值范围是{aa>1). U,则15,16,17,18,19,20年A,15,16,17,18,19,20∈C4: (2)由(1)知命题p为其命题时a≤1. 取a=7,b=3,ab=21∈U,则21∈A: 力为真所对应的ù的范的等价千一P为恨片时在的a的范圆 取a=21,b=1,2,a+b=22,23∈U,则22,23任A.22.23∈ 命题g为真命题时，△=4a2-4(2a十a2)≥0，解得a≤0， CA. ∴二q为真命题时，a>0, 综上所述，集合A={7,14,21}, 不用写出一日命班，而走果力为真时a范围在R上的补事印可 恩维过程 a≤1， (1)取a=1,b=2,由ab=2任A不满足性质②可得A 解得0<a≤1. a>0, 不是U的R(3)子集： 即实数a的取值范围为{a0<a≤1. (2)通过反证法，分别假设1∈A,2∈A的情况，由不满 思维过程 足R(7)子集的性质，可证明出2任A: (1)写出命题力的否定，由它为真命题求解： (3)由(2)得，1∈CA,2∈CrA,7∈A,再分别假设3 (2)由(1)易得命题p为真时4的范国，再由g为真命 A,4∈A,5∈A,6∈A四种情况，由不满足R(7)子集的性 质，可得出3,4,5,6正A,再根据性质②和性质③，依次验证 题时a的范国得出非g为真时a的范国，两者求交集可得， 823中的每个数值是否满足条件即可. 19.(1)当n=6时，U=1.2,3,4.5,6},A={1.3,6),CA= {2,4,5},取a=1,b=2,则ab=2∈U,但ab=2任A,不满 第二章一元二次函数、方程和不等式 足性质②， 2.1等式性质与不等式性质 所以A={1,3,6}不是U的R(3)子集 (2)当n≥7时.A为U的R(7)子集，则7∈A: 变武孤练 假设1∈A,设x∈CA,即xA: [变式1门：(+I+√a+2)”-(√a+I++2)°= 取a=1,b=x,则ab=xEU,但ab=xEA,不满足性质②， a+b+3+2√a+2)(h+1D-(a十b+3+2a+1)b+2)= 所以1任A,1∈CA: 原式若直接作差，刚下一步变衫不好特作，现客发现年项和有根与， 假设2∈A, 放专盘先移项，再平方作差，减少根号个数 取a=2,b=1,a+b=3∈0，且a+b=34A,则3∈CA, 2(√ab+a+2hb+2-√ah+2a+b+2), 再取a=2,b=3,ab=6∈U,则ab=6∈A, 又(a+2b)-(2a+b)=b一c<0, 再取a=6,b=1,a+b=7∈U,且a+b=7EA, ∴.w/ab+a+2h+2<√ab+2a+b+2. 但与性质①7∈A矛盾， ∴.(6+I+a+2)<(√a+I+√6+2)， 所以2廷A. 又√b+1+a+2>0.a+1+b+2>0. (3)由(2)得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈CA, 2∈CA,7∈A, ∴.√+T+a+2<wa+I+0+2, 所以当=23时，U=(1,2,…,23}, 即a+I-√a+2>√+I-√+2. 15 [变式2]C[方法一A(×),因为m<0,所以m>0,又a> e[(a+b)-(e+d)][(h-a)+(c-d)] b>0,所以am>mn°： (a-c)(h-d) B以X),由已知只能得出m和6一a都为负，所以，”。>0，但 ,"a>b>0,c<d0. .a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0. 无法判断，”。与1的大小，结论不一定成立，下面举个反例， ∴.(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. 取m-一1山=36-1，满足已知条件，此时，。一青 e<0,.∴e[(a+b)-(c+d)][(h-a)+(c-d)]>0. 一1 e 又a-c6-d)>0.“a-eh-D>0. 4 即 C(√)，（是接规零不易看出此不等式是吾或在，可奇虑将它们作 (a-c)(b-d) 差，变衫帝利斯与0的大小) a-n_4_(a-m)b-a(h-m）=ab-bn一ah十am 方法二 (a-c)_(h-d) b一nb (h一m)b (b一m)b a-c)2 (b-d) 6m6,因为a>b>0,m<0,所以a-b>0,b-m>0,从 n(a一b) ,'c<d<0,.-c>-d>0 号号-。0故号<号： a>b>0,.a-c>b-d>0,∴.(a-c)>(b-d)>0, D(X),(仍燃不易直接看出结论是否战立，可考虑作差比较) (a-e)<(ae) 06-d) ∠1. am b-m ab:mb:-bama (b-d) a"h _ab(b-u)+m(a+b)(a-b) 又e<0.“h-dn<0.“ac>hd ab _(b-a)[ab-m(a+b)] 方法三c<d<0,.-c>-d>0. ab 又a>b>0,,.a-c>b-d>0, 因为a>b≥>0.m<0. ∴.(a-c)2>(b-d)2>0, 所以b-a<0,a262>0,ah>0.m(a十b)<0, 1 1 所t以ab-ma十b>0,从而么-aLab-ma+b]<0. 、上式两边同乘以ac)(bd)厅符(a-c)6), ab 又e0, 故“二”<0，所以9二”一严 六a-c)>h-d a 2 基甜过送关练 方法二（趋干给出的山：山：m的情视德清腾，也可考南直接取特殊 1.D 值验液选珀，用排除法达出器亲) 由题意，可取a=2,b=1,m=一1，则am=2>bmm2=1,故 2.BD[A(×),若a>b>0,当c=0时，ac2=x8: A项错误： B(/),若a>b>0,则a2-b=(a+b)(a-b)>0,即a2>b: 一a一21，故B项错误， m1 C(×),若a<b<0.则a>ab.ah>b.即a>ab>b: =”2=D-2.6m（少-2， 若a<<则日名-品>0即>】 a b ab 22 4b2 3.C4.D 所以二m”,故D项错误] 5.c<d<0,.-c>-d>0. 又a>b>0,a-c>b-d>0,i-a<0e-d<0. 归纳总结 ee(b-d)-e(a-c)e(b-d-a+c) 当不等式较复杂，无法用不等式的性质进行简单判断 又e<0.” a-c b-d (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) 时，可考虑用作差比较的方法来处理，作差后一种常见的变 形思路是分解因式 e(b-ate-d)0.e (a-c)(b-d) 'a-ch-d 绵合提能练 [变式3]方法- (a-c)2(6-d) [6-d)-(a-c)] 1.日[若m>n>0.则m+1>0,m一n>0,可得”出” 「+1m (a-c)'(b-d)月 m一程 e(b-d+a-c)(b-d-a+c) m(m十1)≥0，即”十1>”，充分性成立. m十1m (a-c)'(b-d) 上色可用静水公式 16 一2，满足”十1、 m+1 所以a-c)'>h-d>0,所以0a-c)<h-d ”,但不满足m>0,>0,必要性不成立.综上所述，p是g 因为a>b,d>c,所以a十d>b十c, 又b>cl,即>-e. 的充分不必要条件.] 所以b十c>0,所以0<b十c<a十d, 2.D[11.x+3y=m(2x十3y)+n(5.x-6y),则11x十3y= 2+5n=11,m=3, (2n+5n)r+(3m-6n)y, 得 a一)(6-4)·原不等式得证 3m一6n=3,n=1. 爱优突破练 于是11x十3y=3(2x+3y)+(5x一6y), 。待究系氧法是通用方法 1.AC[方法-因为p是正有理数，且p<2,所以0<p<√2. 又63(2x+3y)18,-35x-6y9. 又g=p--2 片号所以90 ∴.33(2.x+3y)+(5.x-6y)27,即311.x+3y27, 故{x3≤e≤27}.] 从而p<q,故A项正确，B项错误：（再看g与2的大小，已有 的范围，款可考店直接根据所给的母与户的关系式分析日的范明) 3.D[由w”=2a+c-b-1可得(a-1)'=c-b2≥0，所以c≥h. 由a十b+1=0.可得a=一b2一1，且a≠1，故c>b. g=p-二2p+2)-P+22p+2 p十2 p十2 p+2 又6-4=6+6+1=6+》+>0 p十2）2=2-2.】 p+2 ① 所以b>a,综上，c>b>a.] 因为0<p<2,所以2<p+2<2+2, 4.B[方法一（作差法），'x<y<g,0<a<bc,.ax十 by+ez-(az+by+cr)=a(x-s)+c(-x)=(x-z)(a 2+2p+2<1,放1<2-，2 +22-2 2+2 一c)>0,故a.x+by十cg>ag十by十cx.同理，ay十bx十cx 又22 2(2-2) =2 =2222-2. 一(ay十bx十z)=b(x-x)十c(x-x)=(x-)(e-b) 2+2 (2+√2)(2-2》 2 0.故ay+be十cx<ay+hr十cg.又ae十by十r-(ay+: 2 2 所以1<2-p十2<2，由①可知g=2b千2 +cx)=a(:-y)+b(y-)=(a-b)(:-y)<0,故as+ y十cx<ay十：十cx.综上，最低费用为ae十y十cx 所以1<g<2,故C项正确，D项错误 方法二（特殊值法）若x=1,y=2,x=3,a=1.b=2,c= 方法二（现套发现AB两海心有一个错保，CD两项也是如共，数 3,则a.x十by十cx=14,az十by+cx=10,ay十b十cx=11, 下通过水特殊值排常两个选项，得列等素) ay十x十cg=13.由此可得总费用最低为a十by十cx.] 取=1，测1-专所以放5项错误： 5.AC[A(√)，由c>d得-c<-一d,由不等式同向可加原则 有a-一d>b-c. 又g-音1.3<2≈1.14，所以D项错误 B(×).若a>0>b.0>c>d,则ac<d. 此为多选题，BD两项均错误，故选AC,] 一避统：不等式同响同正可象性质成 2.(1)(直提由y-2y一2-0不号青出y能水哪些正警数，不梦 在的有楼是“a>>0,c>d>0” 由空反翻出：发y,再朵分杯) C(/).ab>0,k一ad>0.则b>0.即2-6>0， ① D(×),取a=-1,b=-2,e=2.d=1,满足a>b,c>>0, 由y一2y-2=0可得xy=2+2,所以x=2+ y 则号--1 因为x为正整数，所以只有当y=1或2时，2+2才为正整 V 数，将y=1,y=2分别代入①可得x=3,x=4, 627.[令 rSn-u 2m一n=4, 所以x,y的值为x=4,y=1或x=3y=2. (ry) 2n十m=7. (2)(pg的结构款夏帝，不多直狼看出它们的大小，考老作差比较) 业此处用待定果数法，观客原多件错柯 m=3 4 又8≤（写）'≤2,1<<4， yiy: 2 n=2. .4 由题意，p一q=(x-2)+(x4一2) 2 2 8x27 4 x1-2x2-2 (x1-2)+(x±-2) 2 7.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又因为a>b>0,所以a一c>b一d>0, (x1-2)+(2-2)x1-2xg-2 ② 17 (视客发现：和：以：一名，：一2的梦体结物出见，款专意将它 们整体换无，满化上还式手) 因为+克=+1+一1>+ x+1 令a=x1一2，b=x:一2.由x>x1>2可得b>a>0, 1=3。当且仅当+1克即=1时取等号，D正商. 式为9。。-（仔+）。 [变式4、[因为h>0,所以。+6+>2后·5+ 4ab-(a+b)24ab-(a'+2ab+b2)(a-b) (a+b)ab (a+b)ab (a+bab' a2=4b2, b≥2√ab 1 1 =4,当且仅当 因为b>a>0,所以(a-b)>0.a+b>0, ah' 从而p一g= (a-b)9 a+i)ab<0,故p<g. 1a=1,a=-1, 2.2基本不等式 或 】时等号成立.（连胜两次使用暴本不等其要 b=2 6=- 2 变武细练 保接等号成点的一数仕)门 [度武。4+8+-（合+）+（无+ [变式5]D[方法-（消元法）由条件得y一5一3 2）+(2+）-3.a>0.b>0e>0… 由>0y>0知>号 幸重链配对后，奉组式手的松为空值1 么.g=2当且仅善a=b时数等号： 从而3x+4y=3x+x-3=3r+ 5(-】 同理，分十名≥2当鱼众等6时家等专… 转化配海成分于不含变量的形式 3 12 4十二≥2多且优苦：=时取等号》 5 c。4 2-) ≥2，+号=5当且仅当 (合+号)+（后+）+(2+）-3≥6-3=3.即 3(-） 12 b什（一@+十a一b4a十b二S之3.（当夏仅当ab-c时永￥号） 2(-】 .y- 之3即x=1y=之时取 h 等号，故3.x十4y的最小值为5. [变式2]x>-1,.x+1>0, y=+5)x+2_[x+1D+4[x+1D+1 方法二（常数代换法） 对原条件式转化得3+上=5，则 y r+1 x+1 变形确定常数《 -少"++》4=++5 x+1 3x+4y= （+）a+)-(9+4++) y ≥2+D·石+5=9+.=1时 、巧炒惜助于“”的代换 ≥号8+坠·受)-5当组仅当坚- ,x+3y 等号成立)，所以y有最小值9. y y [变式3c[因为>0，所以x2-x)<(号-）'-1，当 5xy,即x=1,y=2时取等号.故3r十4y的最小值为5.] 且仅当x=2一x,即x=1时取等号，A正确： [座式因为站+六密-中 因为x+>≥2，·=2，当且仅当=即x=1时 所以十b8 a+b 8 取等号，所以2一工一1≤0，B正确： 当且仅当十力 2 a十b,即a+b=4且b=1, 令1-什7，则≥2，原武可化为中1+≥2，当且 a=2-5,a=2+3, 即 或 时等号成立 仅当1=，即1=1时取等号，又≥2，所以产5的最小 h=2+5h=2-5 x2+4 值不是2，C错误：（注意政等景件） 故好+六+的最小值为心门 18