1.2 集合间的基本关系-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

假设k≠3，此时B={1,2,k},k十1任B,k一1任B,k是B的： 当R(B)=1时，方程(x2十ax)(x2十ax十2)=0只有一个 一个“孤立元”，不符合题意，故k=3 实数根， 据此分析满足条件的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，(3,4,5}， 而方程x2十ax=0有一根为0，则另一根必为0，即一a=0, {4,5,6},(5,6,7},{6,7,8},共有6个.] 此时x2十ax十2=0无实根，因此a=0符合题意. 5.B[a,b∈{一1,0,1,2}，可分为下列两种情形 当R(B)=3时，必有a≠0，此时方程x8十ax=0有两个不 ①当a=0时，方程为2x十b=0,此时一定有解. 相等的实数根x1=0,xg=一a, 当b=一1,0,1,2时，满足条件的有序数对为(0，一1)，(0， 并且x1=0,x2=一a都不是方程x2十ax+2=0的根， 0),(0,1),(0,2) 显然方程x2+ax十2=0有两个相等的实数根，且异于x1= ②当a≠0时，方程为一元二次方程，因为有实数解，则△一 0,x2=一a,于是△=a2一8=0，解得a=22或-2√2. 4一4ab≥0，所l以ab≤1. 当a=22时，方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0的根为0， 当a=一1,1,2时，满足条件的有序数对为（一1，一1），（一1， 一22，-2，满足题意； 0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0). (在列果有序数对时，注意不要进漏，接一定规律列果) 当a=一2W2时，方程(x十ax)(x2+ax+2)=0的根为0， 故关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对 22,w2,满足题意 (a,b)的个数为13.] 因此a=0或a=22或a=-22, 6.-5.[由题意可得B={一2，-3}，则集合B中所有元素 所以S={0,-22,22},故R(S)=3.] 的和为一5.门 生由一x=2,0,1,3分别得出2一x 的值，停去不将合备件的，印可得出 1.2集合间的基本关系 第合B中的无素 变式而练 7.(1)因为(W2+6)2=8十45，此时m=8,n=4,不满足 [变式1门看到B二A,想到先考虑B为空集的情况.当B=② m2-3m=1,所以(W2十6)2不是集合A中的元素. 时，2a≥a十1，解得a≥1，此时满足B二A:当B≠⑦时，首 (2)因为c∈A,所以可设c=m十n3,m,n∈Z,所以C 先，a<1,其次，要使B二A,如图1和图2所示，应有a十1< 2+5 -1或2a≥1 _m+m5=6m十m32-3)=2n-3m)+(2=m)3. 2+√3 BA A A AB 特斯证元素转化成与事合中元素相同的形式，对比分 2aa+1-11 -112aa+1 析是否满足各个条件 图1 图2 因为2m一3n,2n一m都是整数， 解得a<-2或a≥号，结合a<1得a<-2或号<a<1, 且(2m-3m-32a-mP=m-3n=1,所以2千万∈A 综上所述a的取值范周是ea<-2或a≥》。 (3)因为x∈A,所以可设x=m十n√3， 所以x十是=m十m5+1 [变式2B[集合M={←10，号号2.3的所有非空子集中 m十n√3 m十n3+m一n3 m2-3m21 由m2-3n=1,可得x+1=2m. 有秋件关系的集合为-，合小合，1,2斗， 因为m∈乙，所以2m为偶数，即x十士为偶数。 -1,，侵2-1,23个数为 1 [变式3a=4或3.[因为A恰好有4个子集，所以A中恰 培优突破练 好有2个元素(22=4).由(x一1)(x2-4x十a)=0可得x= 1.29970.[由x=ab十a十b=(a+1)(6十1)-1可知，所有 1或x2-4x十a=0,所以1∈A. 对工进行造当度形，为后维求元素之和提钠了便捷的思路 (高样能使A中愉有两个元常？要么方罐x一4红十口=0有两相等 元素之和为(1+3+·+19)×(99+100+101)-3×10= 极，且这个根不是1：要%方程有两个不间的绿且其中一个根为1 29970.] 数需分要讨论》 2.C[由定义得R(A)=2, 若方程x2一4x十a=0恰有一个实数解，则△=(-4)2一4a 结合A*B=1,可知R(B)=1或R(B)=3, =0,解得a=4,代回原方程可得x2一4x十4=0，即(x一2) 由方程(x2+a.x)(x2+a.x+2)=0, =0,解得x=2,所以A={1,2},满足题意：若方程x2一4z 得x2十ax=0或x8+a.x十2=0， 十a=0有两个实数解，则其中一个解为1，所以12一4×1十 2 a=0,解得a=3,此时原方程即为x2一4x十3=0，解得x=} 当b=1时，集合M中有2个1，不成立，舍去： 1或3.所以A=(1,3},满足题意.综上所述，实数a满足的 当b=一1时，集合M=(1,0,一1)，成立. 条件是a=4或3.] ∴.a=0,b=-1,即a202+b22s=0+(-1)225=-1.] 基础过关练 综合提能练 1.B[①②正确.] 1.ABC[A(√)，元素0在集合A中，即0∈A: 2.C[方法一满足{0,1}二A丢{0,1,2,3}的集合A中必有 B(√)，是A中的元素，所以∈A: 元素0和1，其他元素只能在2和3中选，且不能都选，所以 C(√)，空集是任意非空集合的真子集，这里A显然不是空 满足条件的A有{0,1，(0,1,2}，{0,1,3}，共3个. 集，所以至A; 方法二（可将A拆分成两部分，一部分是(0,1}，一部分是(2,3 D(X),0是A中的元素，元索与集合的关系不能用“=” 的具手暴，二者会在一赵就能产生满是超意的A) 表示.] 由题意可知，A的个数即为(2,3}的真子集个数，该集合有2个 2.A[(给出A的真号集个数，可求得A中的元常个数) 元素，其其子集个数为22一1=3，所以集合A的个数为3.] 设A中有n个元素，则其真子集个数为2"一1， 3.AD[若m2=4,则m=土2. 当m=2时，A中有两个元素都为4，不符合题意. 由题意可知，2一1=15，解得n=4,(怎样能使A中有4个无素) 因为集合A中的元素都是整数，所以要使A中有4个元素， 当m=一2时，A={3,4,一24}，B={3,4},符合题意. 检验是否满是集合的亚异性 应有m在一1和0之间，且一1能取，此时A={x∈Z一1< 若m2=7m一10，则m=2或m=5. x<4)=《0,1,2,3},A中有4个元素，而0不能取，因为此时 当m=5时，A={3,4,25},B=(3,25},符合题意.] A={x∈Z0<x<4}=(1,2,3},集合A中只有3个元素， 4.D[(由真手集个数可推如集合的元素个数，进而得列方程(m+ 所以一1≤m<0.] 1)x一mr十m一1=0宾数解的个数) 2a-3=1, 设集合M的元素个数为n,因为M有1个真子集，所以 3.AD[A(/),由集合相等的概念可得 此方程组 a-2=2, 2一1=1，解得n=1,所以题设条件等价于方程(m十1)x 无解，故不存在实数a使得A=B: 一mx十m一1=0有且仅有1个实数解， 2a-3≤1，a≤2， (该方程平方境果数为宇梁，器是否为0对方程的要型有彩响，分析 B(X),由A二B得 即 此不等式组无解： a-2>≥2，a≥4， 方法意不司，散分两种情况计论) C(X),当2a-3≥a-2,即a≥1时，B=0二A,符合BC 当m十1=0时，m=一1，此时方程(m十1)x2一mx十m一 (2a-3≥1， 1=0即为x一2=0，解得x=2,满足要求： A,当a<1时，要使B二A,需满足 解得2≤a≤ a-2≤2， 当m十1≠0时，m≠一1，要使方程(m十1)x8一mx十m 1=0有且仅有1个实数解，应有△=（一m)2一4(m十1）(m 4,不满足a<1,故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B二A; D(√)，由C选项分析可得存在实数a使得B二A.] 1)=4-3m2=0,解得m=士2. 4C[集合A中元素的算术平均数E4)=3+4+5十6+？ 综上所述，实数m份值为士29或1】 5,所以集合A的“保均值子集”有{5}，{3,7}，{4,6}，(3,5， 5.BA.[:A={(x,y)ly=x}表示直线y=x上的点的 7},{4,5,6},{3,4,6,7},{3,4,5,6,7},共7个. 集合，B={化，2=1=(x,y=x≠0表示直 5.B[(xl1≤x≤5}二{x∈Rx2-4x≤a+2}, .x2-4x≤a十2在x∈{x|1≤x≤5}上恒成立. 线y=x上除去点(0,0)外所有点的集合，.B年A.] 令y=x2-4x=(x-2)2-4,当x=5时，ym=5, 6.36.[集合A的非空子集分别是1，(3}，(5，{1,3)，{1， ∴.5≤a十2，.a≥3.] 5},{3,5},{1,3,5.注意到集合A中的每个元素在集合A 、 6(1)因为x2-(1十m)x十m=(x-1)(x一m), 的所有非空子集的元素之中出现4次.故所求和为(1十3+ 所以当m=1时，A={1):当m≠1时，A={1,m. 5)×4=36.] 又A二B,所以m=1,此时B={1},满足A二B. 7.-1.[M=1,号，b,60 所以当A二B时，m的取值集合为(1. M=N,∴分=0，即a=0, (2)当m=1时，A=B={1},BA不成立： 当m=0时，A=1,0},B=0,BA成立： 此时集合M={1,0,b},N={0,b,b}, .b2=1,,b=1或b=-1. 当m≠1，且m≠0时，B={偏}A=1,m 3 由B三A,得m=品，所以m=-1 [变式2]{ala>2或-3<a<31.[已知A={yy>a2+ 1或y<a,B={yl2≤y≤4)，我们不妨考虑当A∩B=⑦ 综上，m的取值集合为{0，一1. 7.由题意可得△=m2+144>0.设关于x的方程x2+mx 时α的取值范围，在数轴上表示出集合A,B,如图所示.由 x1十xg=一m a2, a≤2， 36=0的两个根分别为x1,x2,则 得 故a≤-或5≤a≤ x1x4=-36, a2+1≥4， a≥5或a≤-5， 所以方程x2十mx一36=0的整数解只能是36的约数 2,即A∩B=☑时，a的取值范围为{aa≤-√3或5≤a≤2. 结合两根的乘积为定值一36，且两根为警数，可列出两根的所有可铠 故A∩B≠必时，a的取值范围为(aa>2或-√3<a<3}.] 情况，然后逐得分析脚可 当方程的解为一1,36时，m=一35： BA a2 4a1 当方程的解为一2,18时，m=一16： [变式3]{3,9.[方法一由已知条件得3∈A,9∈A, 当方程的解为一3,12时，m=一9： 若5∈A,则5年B(否则5∈A∩B), 当方程的解为一4,9时，m=一5： 当方程的解为一6,6时，m=0; 从而5∈B,则(B)∩A=5,9},产◆检0多合的桥有性 当方程的解为1，一36时，m=35; 与题中条件矛盾，故5任A. 当方程的解为2，一18时，m=16: 同理，1任A,7年A,故A=(3,9 当方程的解为3，一12时，m=9: 方法二A=A门(BUB)一德·摩振定体 当方程的解为4，一9时，m=5. =(A∩B)U(A∩CB) 放集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35. ={3}U{9}={3,9.] 由集合A满足条件：①☑军A二M:②若a∈A,则一a∈A, [变式4]由MUN=M得NCM, 得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不 故当N=时，有2t+1≤2-t, 属于集合A,因为集合M中有4对相反数和元素0， 所以这样的非空集合共有25一1=31个. 即1<号时，MUN=M成立。 培优突破练 2-1<2+1, 1.12=1,22=4,32=9,42=16,5=25,62=36,7=49,82= 当N≠⑦时，由图可得2t+1≤5， 解得<1<2 64,92=81,1~9的平方是9的倍数的数有3个：3,6,9,1~9 2-t≥-2， 的平方除以9的余数分别是1,4,0,7,7,0,4,1,0， -2 ∴.任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7. 2-t 2+1号主 综上可知，所求实数t的取值范围是(t≤2} 0+0=0,0+1=1,0+4=4,0+7=7,1+1=2,1+4=5, 1+7=8,4+4=8,4+7=11,7+7=14, [变式5]C[由题意可知，集合M,N都是由数轴上0~1这一 ,0,1,4,7中的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M, ,.任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平 N的长度"分别为是，行，因此要使MN的-长度"最个， 方本身是9的倍数 2023÷3=674…1, 需使它们重叠部分最少，由图可知，当它们分别常近两个端 .1~2023的平方是9的倍数的数有674个， 点0和1时，其重叠部分最少，所以所求最小值为+十号 ,.|S引的最大值为2023-674+1=1350. 集合S中金有一个平方能藏9参除的数也满是题意 1] 1.3集合的基本运算 变武孤练 [变式1JD[A(X),MUN=N≠U;B(X),(CN)U(MD =C(MnN)=CM≠U:C(X),画出Venn图，如图，MU 基础过关练 (CN)≠U,NU(CMD=U;D符合题意.] 1.C[1x-1>2可等价转化为x-1>2或x-1<-2, x>3或x<-1,A={xx>3或x<-1, M CA={x-1≤x≤3h.又B={x2<x<4, .(A)∩B={x2<x≤3}.]重难点手册高中数学必修第一册RJA 1.2 集合间的基本关系 重点和难点 课标要求 通过本节的学习，学生能掌提集合之间的包 重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达数 含关系与相等关系，能识别给定集合的子集，了 学对象或数学内容 解空集的含义，初步学会用三种语言（自然语言、 难点：对相似概念及特号的理解，例如区别元素与集 符号语言、图形语言)表达数学研究对象，并能进 合、属于与包含等概念及其符号表示。 行转换 必备知识梳理 基础梳理 知识点（①】 Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 梳要点衡 ◆德要点 (I)表示集合的Venn图的 例如，如图所示，可用Venn图表示下列集合之间的关系：A= 边界是封闭曲线，它可以是圆、 {x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形)，C={xx是矩形)， 矩形、椭固，也可以是其他封闭 D={x|x是正方形. 曲线 平行四边形 (2)用Venn图表示集合的 优，点是能够呈现清晰的视觉形 形 象，即直观地表示集合间的关 B 矩形 系：缺点是集合中元素的公共特 征不明显 知识点2 子集、集合相等、真子集·作颗” 作比较回 子集 集合相等 真子集 (1)“∈”与“二”的区别 般地，对于两个集合A, 如果集合A三 “∈”表示的是元素与集合 对于两个集合A,B,若 B,如果集合A中任意 B,但存在元素 之间的关系，如0EN,不能写成 集合A是集合B的子 (全部，每一个) x∈B,且x 0二N;“二”表示的是集合与集 概念 一个元素都是集合B中的 集，且集合B也是集合 元素，就称集合A为集合 A的子集，则称集合A A,就称集合A 合之间的关系（表示集合间关系 与集合B相等 是集合B的真 的还有真包含关系“军”)，如0} B的子集 子集 二N,不能写成{0}∈N A二B(或B2A) A-B A手B (2)从元素与集合之间的关 记法 (注意持号的“开口"方向】 A二B且B=A (或B子A) 系层而上理解“子集”“真于集” 的概念 A真包含于B 读法 A包含于B(或B包含A) A等于B (或B真包含 ①A二B台任意xE∈A能推 出x∈B 八。等价符号 A 8 第一章集合与常用逻辑用语 续表 ②AB台任意x∈A能推 子集 集合相等 真子集 出xEB,且存在x。∈B但 xo任A. (3)两集合之间的关系 图示 B(A A(B) A(B) A 两个集合A,B之间的关系 如下： (1)反身性：任何一个集合1)满足ACB且B二A: IA=B→A≤B且B二A ACB 都是它本身的子集，即 传递性：对于集 A≠B→AB ACB, (A=B 此方法官 A二A; BSA. 合A,B,C,如 A生B 性质 (2)传递性：对于集合A, 用于证明集合相等》 果A军B,且B 作比较回 B,C,如果A二B,且B二 (2)两集合中的元素完三C,那么AC 必与0，{0}，{)之间的关系 C,那么A二C 全相同 相同点 不同点 关系 知识点③空集 都表示无②是集合，0 心与0 0 的意思 是实数 1.空集的概念+作比较 可不含任何 d与 都是集合 元素：{0)含 必(01 不含任何元素的集合叫作空集，记为心. 一个元素0 2.空集的特征 ②不含任何 心与 元：{含 (1)空集只有一个子集，即它本身，0二0 都是集合 或d∈ 一个元素，该 01 (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即若 元素是团 A≠0，则0至A. 拓视野D 知识点④子集、真子集个数的确定 若一个集合中含有n个元 素，则该集合的子集有2”个.原因 1.当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部 是集合中的每个元素都有选和不 子集，从而求出子集与真子集的个数.注意不要漏掉空集 选2种可能，所以含有刀个元素 2.当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现实， 的集合中，子集有2×2X…×2, 对于其子集的个数有如下结论： n个2 即2”个 集合中元素个数子集个数真子集个数 非空子集个数非空真子集个数 [特别说明]暂时不理解子 n(n∈N") 2 2"-1 2-1 2"-2 集个数结论的原理不要紧，但结 ◆拓现野因 论一定要记住，等后面我们学习 了计数原理就能彻底理解了， 重难拓展 重难点① 空集对集合关系的影响 空集作为本节的一个特殊概念，不具有非空集合的一般性，在 有关问题中属于易错点，需要单列出来考虑 例①已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={xlm+1≤x≤2m一 1},若B二A,求实数m的取值范围 解析（注意到豪合B中的不等式两附物合未知泰数m,新以集合B可能为空怎） 当B=时，m十1>2m-1, ① (注意此处不能取等，因为取等时，m=2,B={x3≤x≤3}=(3}，B不是空第) 重难点手册高中数学必修第一册RJA 由①解得m<2,此时满足B二A; 防易错回 当B≠心时，首先，m≥2， 例1中易出现下而两种 (此时A知B都是连续取值的素合，要分折它们的包舍关系，常画数轴采香) 错解。 m+1≥-2， 其次如图，应用 BA 错解1： 2m-1≤5， -2m+1 2m-15 (m+1≥-2， 由题设知 (可以取等，同为A取了5，所以不会出现B比A多出5这个元素的情况) 2m-1≤5， 解得-3≤m≤3，结合m≥2可得2≤m≤3. 解得-3≤m≤3. 综上所述，实数m的取值范围是{mm≤3. ◆防机 误认为当m十1>2m一1 答案{mm≤3. 时，B=0 培优突破 这种情况也在不等式组内， 所以不必分B=⑦与B≠⑦来 突破点① 由集合间的关系确定参数值或范围 讨论. 由于集合表示具有简洁、准确、高度概括的特点，所以常用集 错因：当m十1>2m一1，即 合来表示数学问题，并与其他知识综合考查，因此准确理解集合表 B=0时，不需委m十1≥-2和 2m一1≤5这种很制条件. 示是破题的关键， 错解2： 例2（多选）已知集合A={x∈R|ax2+x+a=0},B= (1)当B=0时，m+1> {x∈Rx一b=0},若A=B,则b的值可能为( 2m-1,即m2. A.-1 B.0 C.2 D.1 m十1-2， (2)当B≠时，有 2m-1≤5， 思维过程 解得一3≤n≤3. 由题设知{x∈R|ax2十x十a=0}={b,再由集合的性质知关于x 综上可得m≤3. 的方程ax2十x十a=0有且只有一个解为b(a=0)或有两等根b(a≠0)， 虽然这种做法得出的最后 再用初中所学方法解答此题即可 破超点 答案是对的，但解答过程中间有 错误。 解析由x一b=0可得x=b, 错固：当B≠⑦时，要用 所以题设条件等价于{x∈Ra.x2十x十a=0}={b), ① m+1≤2m-1来保证， 故方程ax2十x十a=0有且仅有一个实数解x=b, (该方程二次境系数为字年，需讨论是否为0) 当a=0时，方程ax2十x十a=0即为x=0, 所以①即为{0}={b},故b=0. 当a≠0时，要使方程a.x2十x十a=0有且仅有一个实数解， 应有4=1-4a2=0,解得a=士号 若a-号，则代回原方程化简得c十1)-0， 所以x=一1，此时①即为{一1}={b},故b=一1； 若a=一2，则代回原方程化简得(x一1)=0， 10 第一章集合与常用逻辑用语通 所以x=1,此时①即为(1}={b},故b-1. 综上所述，b的值可能为0，-1,1. 答案ABD 变式0(2025·上海浦东新区模拟)已知集合A={x|x≥1 或x<-1},B={x|2a<x≤a十1)，若B二A,则求a的取值范围. 关键能力提升 题型（① 集合间关系的判断 例图(2025·广东深圳调研)已知集合M =4k=m+m∈N==- -=3m+ne, n∈乙，P-k=号+石p∈Z小，试确定M, ==0中，pe或 N,P之间满足的关系。 比较三个表达式可得MN=P. 解析方法一 (春会N,P中有受，号的形式：回共可 方法三（数轴法）（由于整数可的可隔都为1，可用数 把梦数分奇、隔】 轴上的点表示此规律) 来合M==m+m∈2 由M={xx=m十后，m∈Z可知M中的元素 之间的距离相隔1的整数倍，M中的元素在数轴上表 关于集合N:①当n为偶数时，令n=2m(m∈ D,则N=女=m-3m∈Z: 示如图1所示，同理，N中无素之间的距高相隔2的 整数倍，在数轴上表示如图2所示，P中元素之间的 ②当n为奇数时，令n=2m+1(m∈Z),则N 号me-=m+日me. 距离也相隔，的整数倍，在数轴上表示如图2所示 由图可知，MN=P. 从而可得M军N. 关于集合P:①当p为偶数时，令p=2m(m∈ D,则P==m+名m∈Z: 图1 ②当P为奇数时，令p=2m-1(m∈Z),则P -22+日me-=mgme. 0 图2 从而可得N=P.综上可知，M军N=P. 归纳总结 方法二（条合M,N,P中都有分数，可化为分母相同， (1)一个整数被2整除，可记为2k(k∈Z);一 只比较分子的关系) 个整数被2除余1，可记为2k+1或2k一1(k∈Z). M=女=m+m∈z (2)一个整数被3整除，可记为3(k∈Z): 个整数被3除余1，可记为3k十1或3k一2(k∈Z): ={女=32m)+1,m∈z, 6 个整数被3除余2，可记为3k一1或3k十2(k∈Z). 11 重难点手册高中数学必修第一册RJA (3)一个整数被4整除，可记为4k(k∈Z)；一 3∈A☒B,故选项C正确； 个整数被4除余1，可记为4k十1或4一3(k∈Z)； A☒B中所有元素之和为2+3+4=9，故选项D 一个整数被4除余2，可记为4十2或4k一2(k∈ 错误， Z)；一个整数被4除余3，可记为4k十3或4k一1 答案BC (k∈Z). 例⑥[新定义]设有限集合A={a1, 题型2 有限集合的子集个数 a2,…,am},则a1十a2十…十am叫作集合A的 例④若{1,2}二A二{1,2,3,4,5}，则满足 和，记作SA.若集合P={xx=2n一1，n∈N, 条件的集合A的个数是(). n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分 A.8 B.7 C.4 D.3 别记为P1,P2,…,Pk,则SP,+Sp,十…+Sp 解析方法一（列举法）满足条件(1,2}二A二 {1,2,3,4,5}的集合A有{1,2}，(1,2,3)，1,2,4}， 解析，P={x|x=2n一1，n∈N,n≤4}， {1,2,5},{1,2,3,4},(1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3, ∴.P={-1,1,3,5,7} 4,5},共8个. 通过列举可知集合P的含有3个元素的子集有 方法二（计数法）因为集合A满足{1,2}二A二 10个，即k=10. {1,2,3,4,5},所以集合A一定含有元素1,2（可不考 在这10个子集中，P中每个元素都出现了6次 虑)，可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即为集合 (可用列暴法：如含一1的科合超意的子素有{一1,1,3}， (-1,1,5},{-1,1,7},(-1,3,51,-1,3,7},{-15,7) {3,4,5}的子集个数，即为23=8. 答案A ∴.Sr+Sr,+…+Sp=6×(-1+1+3+5+ 7)=6×15=90. 例固[新定义](2025·江苏如皋中学高一 答案90. 阶段练习)（多选）定义集合运算A⑧B={zz 变式2[新定义](2025·陕西西安长安区 =(x十y)X(x-y),x∈A,y∈B},设集合A ={2,√5}，集合B={1,√2}，则( 质量检测)若x∈A,则二∈A,就称A是伙伴 A.A☒B中有4个元素 B.A⑧B中有7个真子集 关系集合，在集合M={-10,2,2,3到的 C.3∈A☒B 所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数 D.A⑧B中元素之和为13 是( ). 解析x可取2，√5：y可取1，W2,则之可取(2十 A.31 B.7 C.3 D.1 1)×(2-1)=3,(2+√2)×(2-√2)=2，(5+1)× 题型③由集合间的关系确定参数范围 (W5-1)=4,(W5+2)×(5-2)=3. 例7已知集合A={x|x2-2x十a=0}, 由集合的互异性可知A☒B中有3个元素，故选 B={1,4},且A至B,求实数a的取值范围。 项A错误； 解析因为A至B且B={1,4}的真子集有☑， A☒B={2,3,4},则A☒B的真子集有2-1= {1),(4}, 7个，故选项B正确； 2"-1个 所以A=0,A={1}或A={4}. 12 ,第一章集合与常用逻辑用语辑 当A=0时，x2一2x十a=0无实根， ()当a<0时，由①式得4≤红<- A a 所以△=(-2)2-4a<0,解得a>1. 当A=(1}时，x2一2x十a=0有两个相等的实根1， 所以A=女<-} a △=（一2）2一4a=0,(保证有且只有一个元素) 所以 4>- 12-2×1十a=0,(A中有元素1D 2 要使A二B,如图2，应有 解得a=1. 1 ≤2， ⑦ a 当A={4}时，x2一2x十a=0有两个相等的实根4， |4=(-2)2-4a=0, 国为a<0,由⑥式得4-2，故-号>4， 所以 此方程组无解。 42-2×4十a=0, 再两端乘以一2，可得a<-8, ⑧ 综上所述，实数a的取值范围是a≥l. 由⑦式得-1≥2a,故a<-: ⑨ 例8[创新探究](2025·安微安庆模拟) 已知A={x|0<ax+1≤5}，B= 由⑧⑨并结合a<0可得a<一8. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a<一8或 z-2<x≤2. a≥2}. (1)若A二B,求实数a的取值范围. AB AB (2)是否存在实数a,使得A=B?若存 42 12 a 在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 图1 图2 解析(1)由0<ax十1≤5可得-1<ax≤4，① (2)(第(1)问我们已经通过讨论a的正负，求出了素合 A,第(2)问仍可接此来分析怎样使得A,B相等) (要解此不等式，可能要同除以a,故应讨论a的正黄) （)者a>0时，由①成得-x<合 当a>0时，由可知，A=日<≤， a 所以A=-日<≤ ,要使A二B,如图1， 12 a 要使A=B,应有 ② 4=2 a 应有 解得a=2,满足a>0; ③ 当a=0时，由(1)可知，A=R,不满足A=B; 国为a>0,由②式得-1>-受 当a<0时，由①可知，A=女<-} 故-2≤-1，再两瑞乘以-2可得a≥2， ⑦ (注意到此时寡合A取丁左绵点，汉取右绵点，而B取了 由③式得4≤2a,所以a≥2， ⑤ 右端点，没取左端点，所以A,B不可能相等) 综上所述，存在a-2,使A=B. 由④⑤并结合a>0可得a≥2. (1)当a=0时，0<ax十1≤5即为0<1≤5，此 变式3(2024·上海奉贤区期末)集合 不等式对任意的x∈R都成立，所以A=R,不满足 A={x|(x-1)(x2-4x十a)=0,x∈R}恰好 ACB. 有4个子集，则实数a满足的条件是 13 重难点手册高中数学必修第一册RJA 食核心素养聚焦 考向1 由集合间的关系确定参数范围 考向2 子集的个数 例⑨(2023·全国Ⅱ卷)设集合A={0, 例10（经典·湖北卷）已知集合A={xx2 一a},B={1,a-2,2a-2}.若A二B,则a= (). -3x+2=0,x∈R},B={x0<x<5,x∈N},则 满足条件A二C二B的集合C的个数为(). A.2 B.1 c号 D.-1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析，A二B,0∈B且-a∈B. 若0=a-2,则a=2,故A={0,一2}，B={1,0, 解析因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以 2},而一2任B,故不满足条件. 当满足A二C二B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}， 若0=2a-2,则a=1,故A={0,-1},B={1, 一1,0}，满足条件. {1,2,4},{1,2,3,4},故满足条件的集合C有4个 答案B 答案D 考查内容 核心素养 高考难度 考查内容 核心素养 高考难度 考查集合关系中的含参问题 数学运算 ★★☆☆☆ 考查集合子集的含义 数学运算 ★★☆女☆ 14