1.1 集合的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 重点和难点 课标要求 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画 通过本节的学习，学生要在了解集合含义的 集合 基础上，会用符号语言刻画集合，并能判断元素 难点：用描述法表示集合 与集合之间的关系。 Hi目目 〔食必备知识梳理 日5 基础梳理 知识点① 集合与元素的概念 敲黑板○ 1.集合与元素的概念 集合的特征 (1)描述性：“集合”是一个 一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 原始的不加定义的概念，它同平 a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫作集合（简称为集），通 面几何中的“，点”“线”“面”等概 常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.◆魃黑播为 念一样，都只是描述性的说明. 2.集合与元素的关系 (2)整体性：集合是一个整 体，暗含“所有”“全部”“全体”的 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A: 含义，因此，一些对象一旦组成 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作a 了集合，这个集合就是这些对象 A.◆作此楚 的总体 3.集合中元素的三个特征 (3)广泛性：组成集合的对 象可以是数、点，困形、多项式， 特征 含义 示例 也可以是人或物等 作为一个集合的元素，必须是确定的，给 [注意]尽管组成桑合的对 集合A={1.2,37,则 确定性 定一个集合，任何一个对象是不是这个集 1∈A,4氏A 象具有广泛性，但并不是所有对 合的元素也就确定了 象都能组成集合，只有具有确定 对于一个给定的集合，集合中的元素一定集合{x,x”一x}中的 性的对象才能组成集合 互异性 是不同的（或者说是互异的），相同的对象归x应满足x≠x2一x, 作比较回 入同一集合时只能算作集合的一个元素 即x≠0且x≠2 元素与集合的关系 集合1,0}和{0,1}是 元素和集合是两个完全不 无序性 构成集合的元素无先后顺序之分 同一个集合 同的概念，元素是集合中的某一 对象，而集合是由所有的元素组 4.集合的分类 成的.例如，0与(0是不同的，0 有限集：含有有限个元素. 表示数字0，{0}表示由数字0 无限集：含有无限个元素。 组成的集合，元素与集合的关系 重难点手册高中数学必修第一册RJA 5.集合相等 是相对的，集合有时也可以作为 如果构成两个集合的元素是一样的，则我们称这两个集合相 元素.例如(a)是集合{a), 等.集合A与集合B相等记作A=B.~与元素的嘀序无关 [b)】中的一个元素 知识点②集合的表示方法 1,常用集合的记法 作比较回 数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N,N,N的区别 符号 N N或N Z Q R (1)N为非负整数集（即自 全体非负整数全体正整数 全体整数组 全体有理数 全体实数组 然数集)，N或N表示正整数 说明 组成的集合 组成的集合 成的集合 组成的集合成的集合 集，不同之处就是N包括0，而 N”或N不包括0， ◆作比较写 (2)N和N,的含义是一样 2常用的集合表示方法 的，初学者往往误记为N.或 (1)列举法 N,为避免出错，对于N和 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来 N,,可形象地记为“星星()在 表示集合的方法称为列举法。 天上，十字架（十）在地下” {a,b,c,… 优点：方便、快捷，集合中的元素一目了然。 缺点：不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列举 法表示的，如2x一3>0的解集. (2)描述法 划重点 般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特 注意区分数集与点集 征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示 对于已知集合必须弄清集合 集合的方法称为描述法， 元素的形式，特别是对于用描述 代表元帝 。分隔线 法给定的集合，要弄清它的代表 先写花括号一x∈AP(r 元素是什么，代表元素有何属性 代表元素的取值范周 代表元素的性质(x满是的条件) 集合 集合的含义 优，点：语言简洁，元素的规律与性质能清楚地表示出来 表示品数y=x一 rly- 的自支量的所有取值 缺点：比较抽象，不易看出集合中的具体元素.◆重原 x2-} 组成的集合 重难拓展 数集 表示画数y=0 yly= 的所有画量值组成的 x2-10 重难点1集合中元素互异性的讨论 集合 xl 表示方程x2一1=0 例国设集合-3∈{a-3,a2-1,2a-1},则a的值为 1-01 的解集，即{1，一1 表示函数y=一 (Cv)ly 思维过程 因象上所有的点组成 x-1 的桑合 一3是集合中的元素，不确定所给集合中的三个元素谁是一3，故应 分类讨论，并解方程求α的值，同时检脸是否满足集合中元素的互异性 2 第一章集合与常用逻辑用语 解析因为a2一1≥-1，所以a2-1≠-3， 则a-3=-3或2a-1=-3. 敲黑板。 当a-3=-3时，解得a=0,此时2a一1=-1=a2-1,不满足集合中 注意检险集合中元素的互异性 元素的互异性，故含去： 集合中元素的互异性，即对 当2a-1=-3时，解得a=-1,此时a一3=一4，a2一1=0，满足集合 于一个给定的集合，它的任意两 中元素的互异性，即a=一1.◆腿黑板 个元素是不能相同的。例如对于 答案一1. 集合A=(a,b来说，a≠b.图 B已知集合1a号-1,24，其中6>0，则2a+ 此凡是出现含参数的集合，通常 这样考虑：一是根据集合中元素 的值为 的互异性进行分类讨论：二是求 思维过程 得参数后，必须检验是否满足集 已知两集合相等，且都有公共元素1，根据集合相等的概念以及集合！ 合中元素的互异性， 中元素的互异性可知，a=2a 或a=b a 1, 1, 2a-a* 解析①当4=2a一1时，解得a=1(负值舍去) 则1a,号}=1，l,号}不满足集合中元素的互异注 ②当a=b时，则号一=2a一日解得a=b-经检验，两象合均满足 5 集合中元素的互异性 故2a+b=3/⑤ 答案3v店 5 培优突破 突破点1① 已知元素与集合的关系求参问题 例B设集合A=2,3a2-3a,a+2+7,B={la-21,3. 记方法回 a 已知元素与集合的关系求参数的 已知4∈A且4任B,则a的取值集合为 ，◆记方法 值或取值范围问题的解题思路 解析因为4∈A,所以a2-3a=4或a十2+7=4， 根据元素与集合的关系求 d 参数的值成取值范国，是我们遗 (由4EA和4任B两个限制条件，可分别考虑A中谁是4，先把a求出来，再进行 入高中后逼到的第一个比较典 验) 型的、需要分类讨论的问题，解 由a2-3a=4,可得a2-3a一4=(a十1)(a一4)=0，解得a=-1或4，① 决这个问题的关键首先是灵活 由a+2+7=4,可得a+2+3=0, 掌报集合的表示方法与元煮的 3 重难点手册高中数学必修第一册RJA 同乘以a得a2十2+3a=0,解得a=-2或-1， 确定性，弄清集合中的元素是什 综合①②可知a=一1,4或-2， 么以及与已知元素的关系，必要 (诗注意，接下来除了要粉验它们是香满是4民B,还需松验元素是否豆养】 时还需要用分类讨论的方法解 当a=一1时，a-3a=a十2十7=4，a-21=3,集合A,B都不满足 决问题：其次，时刻紧提“互异 性”这把利剑，在求得参数的债 集合中元素的互异性，舍去： 后，还需要代回集合，检验是否 保运各个元素“互不相同”，这是 当Q=4时，4=2,34.号，B=2,3,满足题意 此爽问题的一个易错点】 当a=-2时，A={2,3,10,4},B={4,3},不满足4任B,舍去. 综上所述，a=4,所以a的取值集合为{4}. 答案{4. 用中日中 关键能力提升 时时月其目用 题型（①集合的表示 2.r-3y=14, x=4, 解析(1)解方程组 得 故 3.x+2y=8 y=-2. 例④[回归教材P6T4]用适当的方法表 示下列集合： 解集可用描述法表示为 (.y 也可用列 -2 (1)二次函数y=x2一4的函数值组成的 举法表示为{(4，一2). 集合； (易错点：多错锅地表示成江=4，y=一2}) (2)反比例函数)y一二的自变量组成的集合： (2)二次函数y=x2十3.x十5的图象上所有点组 入 成的集合中，代表元素为点(x,y),其中x,y满足y= (3)不等式3.x≥4-2x的集. x2十3x十5，由于有无数个点，故用描述法表示为 解析(1)(yy≥一4.（注意是“离数值“组成的条合） (x,y)y=x2十3x+5. (2){xx≠0.（注意是“自变量”组成的拿合） (3)二次函数y=x2+3x+5的图象上所有点的 81≥ .(注意是“解享”组减的票合) 纵坐标组成的集合中，代表元素为y,是实数，可用描 保挖教材 述法表示为{yy=x2+3x十5. 集合中的代表元 (敲黑板：注意(2)(3)的区别，一个为点集，一个为数票 表示集合时，要明确代表元，即组成集合的元 (4)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z, 本是什么，代表元可能是函数值，可能是自变量，可 但元素x为正整数，故x三3n十2，n∈N,故被3除余 能是解集，还可能是点集，如例5. 2的数可表示为{.xx=3m十2，n∈N}.也可以表示为 (xx=3n-1,n∈N. 例固用适当的方法表示下列集合。 (敲黑极：注意此时从1升始】 2.x-3y=14. (1)方程组 的解集； 题型②元素与集合的关系 3.x+2y=8 (2)二次函数y=x2十3x十5的图象上所 例0(2025·福建度门高一质量检测)已 有点组成的集合： 知集合A={xx=m+√2n,m,n∈Z}. (3)二次函数y=x+3.x+5的图象上所 有点的纵坐标组成的集合： 1)试分别判断x1=一2,1一2-2 (4)被3除余2的正整数集合. x3=(1一22)与集合A的关系： 4 ,第一章集合与常用逻辑用语通 (2)设x1x2∈A,求证：x1x2∈A. 3∈M, 1-2 -2eM,1+2- 2∈M. 解决本题的关键在于准确把握集合的元素所 具有的共同特征，如何准确把握呢？将符号语言 1十2 “x=m十√2n,m,n∈Z”转化为自然语言“x为一个 =3 整数与另一个整数的2倍的和”.于是要判断某元 素是否在集合A中，只需看该元素经过恒等变换后 “集合N中一定存在的元素有8，-2，一行，号 能否转化为这一形式， (2)不能.理由如下： 假设M中只有一个元素a, 解析(1).x1=一√2=0十（一1）×√2， 0,-1∈Z.x∈A. )十化简得a2=一1，无解， 则由a一1一a 12十2 M中不可能只有一个元素 2-√2 2 -1+7×厄， (3)M中的元素个数为4n,n∈N'.理由如下： 1∈Z,2EZ.r:任A. 由已知条件aEM,则∈Ma≠士1a≠0. x1=(1-22)2=9-42=9+(-4)×2, 以此类推，可得集合M中可能出现的4个元素分别 9,-4∈Z,∴x3∈A. 1+a1a-1 为a1一a (2)x1x:∈A, a'a+1 1+a .可设x1=m1十2n1x2=m2十√2n 由(2)得a≠1-a 且m1n1,m2n2∈Z. 若a=- ,化简得a2=-1,无解，故a≠-1 ∴.1x=(m1十V2n1)(m红十2n2） =m1m:+√2(m2n1十m11:）十2n1n 若a=a-] a十，化简得a=-1,无解，故a≠a二昌 =(m1mg十2n,n:)十√2(m2n1+m1n:). 若芒积日化商得-1无解故积 1-a m1me+2n1n4∈Z,mn1十1n∈Z, x1xz∈A. 例7(2025·河北衡水中学高一检测)数 积-吊化荷得。=-1无解故 集M满足条件：若a∈M,则 -a∈M(a天 1十4 ±1，a≠0) (1)若3∈M,求集合M中一定存在的 若-1a-1 aa+l 化商得4=-1，无解，故- 元素. a- (2)集合M内的元素能否只有一个？请 a+1 说明理由. 1十41,4两两互不相等， 综上可得，a1-a,一a'a+1 (3)请写出集合M中的元素个数的所有 ∴若集合M中有一个元素a,则集合M中一定 可能值，并说明理由。 1十a1a-1 解折0由3EM,令a=3,别由题意可得 存在的元本有告名-日名昂当ú取不同的位 时，集合M中将出现不同组别的4个元素， 5 重难点手册高中数学必修第一册RJA .可得出集合M中元素的个数为4n,n∈N° 题型④集合新定义问题 变式0(2025·福建厦门调考)已知集合 例9(1)[新定义](2025·江苏南通模 M=(xlx=3n,nEZ),N=xlx=3n+1, 拟)定义集合运算A⊙B={z:=xy(x十y), n∈Z},P={xx=3n-1,n∈Z},且a∈M, x∈A,y∈B},集合A={0,1},B={2,3},则 b∈N,c∈P,设d=a一b十c,则( 集合A⊙B中所有元素之和为 A.d∈M B.d∈N (2)[新定义](2024·湖北武汉重点学校 C.d∈P D.以上都不对 联考)集合G关于运算⊕满足： 题型③集合与方程的综合问题 (i)对任意的a,b∈G,都有a⊕b∈G: 例8(2025·福建厦门高一质量检测)已 (i)存在e∈G,对任意a∈G,都有a⊕ 知集合A={x∈Ra.x2+2x十1=0，a∈R. e=e⊕a=a. (1)若A中只有一个元素，求a的值： 则称G关于运算④为“融洽集”，现给出下 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值 列集合和运算： 范围. ①G={x|x是非负整数}，⊕为整数的 解析(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， 加法： (易骨点：忘记前论：=0的情况) ②G={xx是偶数}，⊕为整数的乘法： 即x=一 2,特合题意： ③G={x|x是二次三项式}，⊕为多项式 当a≠0时，由△=0得a=1,此时x=一1. 的加法。 若A中只有一个元素，则a的值为0或1. 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 (2)方法一当4≠0时，A中至多含有一个元素 (写出所有满足条件的序号) 即方程ax2十2x十1=0有两个相等的实根或没有实根 解析(1)由题意得： 由△=4-4a≤0，得a≥1： 当x=0,y=2时.2=0×2×(0+2)=0： 当a=0时，由(1)知方程有唯一解 当x=0,y=3时，：=0×3×(0十3)=0： .若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 当x=1,y=2时，g=1×2×(1+2)=6: a的取值范围是{aa=0或a≥1}. 当x=1,y=3时，2=1×3×(1+3)=12. 方法二（正难则反）由(1)可知，若A中只有一 ∴.A⊙B={0,6,12} 个元素，则a=0或a=1: ∴.集合A⊙B中所有元素之和为18. 若A中没有元素，即方程a.x2十2.x+1=0没有 (2)(条件(1)中对于G中的任意两个元素4，山经过新运 实根，故△=4一4a<0,解得a>1. 算©后结鼎仍在（行中：条件（ⅱ）中在G中存在一个特殊元靠 '.若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0. ?,使得世与G中任意一个元素，经新道菲⊕后仍是4的本身) 故实数a的取值范国是{aa=0或a≥1. ①G={xx是非负整数}，⊕为整数的加法，满足 变式2(2025·山东潍坊重点高中联考) 对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G,且存在e=0,使得 若集合A=(x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且 a⊕0=0⊕a=a,所以①中的G关于运算⊕为“融 仅有一个元素，则实数k的值为(. 洽集”， A.-2 B.士2或一1 ②G={xx是偶数}，①为整数的乘法，若存在 C.2或-1 D.-2或-1 e∈G,使a①e=e①a=a,则e=l,与e∈G矛盾，所 6 第一章集合与常用逻辑用语通 以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”： 道过枚举法（列举法）、特值法等方法来理解新信 ③G={xx是二次三项式}，©为多项式的加法， 息，然后将其转化为已掌挺的知识进行求解. 两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，比 如(x2十x十1)十（一x2一x+1)=2,所以③中的G关 变式③对于任意两个自然数m,,定义 于运算①不是“融洽集” 某种②运算如下：当m,n都为奇数或偶数时 综上可知，G关于运算④为“融洽集”的只有①. m⑧m=m十n:当m,n中一个为偶数，另一个 答案(1)18.(2)①. 归纳总结 为奇数时，m②n=mm.则在此定义下，集合 新定义型集合问题是在已有的运算法则和运 M={(a,b)la☒b=18,a∈N,b∈N}中元素的 算律的基础上，结合已学的集合知识求解的一种新！ 个数为( ). 型问题.求解此类问题时，要充分利用已给的信息， A.26 B.25 C.24 D.23 核心素养聚焦 考向① 集合与元素的关系 x)都在S中，则下列选项正确的是( 例10（经典·全国Ⅱ卷）已知集合A A(y,2,e)∈S,(xy,)tS {(x,y)x2+y2≤3，x∈Z,y∈Z},则A中元 B.(y,,)∈S,(x,y,e)∈S 素的个数为( ). C.(y,z,)tS,(x,y,)∈S A.9 B.8 C.5 D.4 D.(y,z,w)S,(x.y,w)S 解析由于x2十y2≤3 解析方法一：(x,y,e)∈S,则x,y,:的大 则-√5≤x≤5，-3≤y≤3 小关系有3种情况，同理，(x,,x)∈S,则x,,x的 又x∈Z,y∈Z. 大小关系也有3种情况，如图所示.由图可知，x,y, 所以x∈{-1,0,1}，y∈(-1,0,1}， .之的大小关系有4种可能.均符合(y,.e)∈S. 所以A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0, (x,y,)∈S. -1),(0,0),(0,1).(1,-1).(1,0),(1.1) G,y.ES 所以A中元素的个数为9. 无<<x 《ry< 答案A Ay<w<I 考查内容 核心素养 高考难度 <2r<y rg 考查集合的表示法及其 数学运算 ★★☆☆☆ 方法二（特例排除法）不妨令x=2,y=3,x 含义 4,=1,则(y,,0)=(3,4,1)∈S,(x,y)=(2, 考向②集合的新定义问题 3,1)∈S. 例☐（经典·广东卷）设整数≥4，集合 答案B X={1,2,3,…,n.令集合S={(x,y,x)x, 考查内容 核心素养 高考难度 y,x∈X,且三个条件x<y<x,y<x<x,x< 考查与集合知识有关的新 数学抽象 ★★☆ x<y中恰有一个成立}.若(x,y,x)和（之，， 定义问题参考答案与提示 4.CD[x,y,x同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M:当 第一章集合与常用逻辑用语 xy,之中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0： 1.1集合的概念 当x,y,同为负数时，代数式的值为一4.] 变武细练 5.(1)0,3,4,5.(2){1,2,3,6. [变式1门B[设a=3m,b=3m十1，c=3s-1,m,n,s∈Z,则 [4“g号∈N,6->0且能整除6 d=3n-(3m+1)+(3x-1)=3(n-m+s)-2=3(n- 又x∈N,.x=0,3,4,5,A={0,3.4,5}. m+s-1)+1,又n-m+s-1∈Z,所以d∈N.] [变式2B[集合A={x|(k十2)x2+2kx十1=0)中只有 (2)由（1知，当x为0345时。相应的值分别为1,2， 1个元素.若k十2=0，即k=一2，方程等价于一4x十 3,6,都是自然数，∴.B={1,2,3,6. 1=0,解得x=,满足条件：若无+2≠0，即表≠一2，则方 (条会任的代表无者美行号一注老与A区分门 程满足△=0，即4快一4(k十2)=0，解得k=2或k=一1.综 6当4-3=-2时，a=1,M={-2,1,2}.N={-2,1,2i,满 上，k=士2或k=-1.] : 足M=N,当2知-1=-2时，a=- 2,M= [变式3]B[若a和b为一奇一偶，则ab=18,满足此条件的 有1×18=2X9=3×6,故数对(a,b)有6个：若和b为同 {子-2，}N={仁2，-5，名引，不满足M=N,当 奇偶，则a十b=18,满足此条件的有0+18=1十17=2+ 注意：雪用代入粉轮法来保证元童的亚异性。 a”十1=一2时，无解.综上，a=1. 16=3+15=4十14=…=17十1=18+0，故数对(a,b)有 19个.所以满足条件的元素个数为6十19=25.] 综合提能练 基和过关练 1.D[A(×),由x3=x得x(.x2-1)=0. x=0或x=1或x=-1.,-1EN,故A错误 1.B[对于①，某校2025年人学的全体高一年级新生，对象确 B(×),R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集)这个 定，能构成集合，故①正确：对于②，互的所有近似值，根据 元素，故B错误 精确度不一样得到的近似值也不一样，因此对象不确定，故 x+y=3, 不能构成集合，故②错误：对于③，某个班级中学习成绩较好 C(×),方程组 的解组成的集合的正确表示为 x-y=-1 是相对而言的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故 x=1, ③错误：对于④，不等式3x-10<0的所有正整数解有1,2， {(1,2)}或{(x,y) ,放C错误.] y=2 3,能构成集合，故④正确.] 2.C[1∈A,a+2+1=0,a=-3,集合A中 2.B[由题意可知，√r,(x),一可分别化为x, x,一x,所以由实数t,一x,x.,(年)，- 的方程为-32+2x+1=0,解得x=-弓或=1，A 所组成的集合，最多可含有3个元素，分别为，一x,此 时x≠士1且x≠0.] 3.BCD[A(×),当a=-1时，一2-1≤3，-1-(-4)≤3，故 求兼多可舍有无青的个数，就让三个数「，一不相等. (2.1)∈A.(1,-4)∈A: r一r，x≠0， B以/)，当a=0时，13.一(-4)>3，故(2,1)∈A.(1,-4) r=工，得《x≠1， -r4x,x≠一1 氏A: 3.A集合M={m-2,m2十4m,9},且一3∈M.①当m- C(/),当a=1时，2-13,1-(-4)>3，故(2,1D∈A,(1, 2=一3时，m=一1，此时，m十m=-3,集合M中的元素 一4)任A: 注意按验是否符合素合中元素的豆异性，香刚易多解 D(/),当a=2时，2×2-1≤3,2×1-(-4)>3，故(2， 不满足互异性，故不符合题意，舍去： 1)∈A,(1,-4)在A.] ②当m2十4m=一3时，m=一1（舍去）或m=一3，若m=一3，：4D[设满足题意的集合为B,若1∈B, 则n一2=一5，此时集合M={一5，一3,9}，符合题意.综上： 1不是“孤立元”，2∈B. 所述，m=一3.] 设另一元素为k,由集合中元素的互异性可得k本1且k≠2， 1 假设k≠3，此时B={1,2,k),k十1任B,k一1B,k是B的： 当R(B)=1时，方程(x十ax)(x2十a.x+2)=0只有一个 一个“孤立元”，不符合题意，故k=3 实数根， 据此分析满足条件的集合为{1,2,3.{2.3,4》.{3,4,5). 而方程x2十a.x=0有一根为0.则另一根必为0，即一a=0. 4,5,6},(5,6,7},{6,7,8},共有6个. 此时x2十a.x十2=0无实根，因此a=0符合题意. 5.B[a,b∈{一1,0,1,2)，可分为下列两种情形. 当R(B)=3时，必有a≠0，此时方程x2十a.x=0有两个不 ①当a=0时，方程为2x十b=0,此时一定有解， 相等的实数根x1=0,xa=一a, 当b=一1,0,1,2时，满足条件的有序数对为(0，一1)，(0， 并且x1=0,x2=一a都不是方程x2十a.x十2=0的根， 0),(0,1),(0,2). 显然方程，x十4x十2=0有两个相等的实数根，且异于x1= ②当a≠0时，方程为一元二次方程，因为有实数解，则△= 0,.x=-a,于是△=a-8=0,解得a=22或-22. 4一4ah≥0，所以ah≤1. 当a=2√2时，方程(x2+4x)(x2十ax十2)=0的根为0， 当a=一1,1,2时，满足条件的有序数对为（一1，一1），（一1 一22，一√2，满足题意： 0),(-1,1),(-1.2).(1.-1),(1,0),(1.1),(2,-1),(2,0). (在列暴育序数对时，注竟不要遭漏，要按一定想律列举) 当a=一2√2时，方程(x2十ax)(x2十ax十2)=0的根为0， 故关于x的方程a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对 22,2,满足题意。 (a.b)的个数为13.] 因此a=0或a=22或a=-22, 6.一5.[由题意可得B={一2，一3，则集合B中所有元素 所以S={0,-22,221,故R(S)=3.] 的和为一5.] 由-r=2,0,1,3分别得出2- 的值，你去不将金条件的，中可得出 1.2集合间的基本关系 事合B中的元章 变武洲综 7.(1)因为(w2十6)=8十4√3，此时m=8,n=4,不满足 [L变式1]看到BCA,想到先考虑B为空集的情况.当B=☑ m一3n2=1,所以(2十6)”不是集合A中的元素. 时，24≥a十1，解得a≥1，此时满足B二A:当B≠时，首 (2)因为c∈A,所以可设c=m十nV3,m,n∈Z,所以C 先，a<1,其次，要使B二A,如图1和图2所示，应有a十1 2+5 -1或2a≥1. =m十nW3 2+√3 =(m十5)(2√5)=(2n-3)+(2一m)3. A 桥所江元雪转他成与事合中无素相同的形式。对比分 2a+1-11 -1 12aa-1 析是香满足器个条件 图1 图 因为2m一3n,2n一m都是整数， 解得a<-2或a>2,结合a<1得a<-2或2<a<1, 且(2m-3n)2-3(21-m)2=m2-3m°=1，所以C。∈A. 2+3 综上所述a的取值范围是口a<-2或≥》： (3)因为x∈A,所以可设x=m十n√3， 所以x十 =m十3+1 =m十n3+m1V③ [变式2B[集合M-仁10，，号，23的所有非空子集中 m+n/3 m2-33 由m2-3m2=1,可得x+上=2m 具有伏样关系的案合为-1…侵，兮，仁1安斗 1 1 11 1 因为m∈乙.所以2m为偶数，即x十十为偶数。 -1332233-12233个数为 [变式3]a=4或3.[因为A恰好有4个子集，所以A中恰 增优突破练 好有2个元素(2=4).由(x-1)(x”一4x+a)=0可得x 1.29970.[由x-b十a+b=(a+1)(b+1)-1可知，所有 1或x2-4x十a=0,所以1∈A. 对r进行造当变形，为后辣求元素之知提供了便楚的思路 (怎样能使1中修有两个无量？鲁会方程x2一4十a=0有两相等 元素之和为(1+3+·十19)×(99十100十101)一3×10= 极，且这个铁不是1：要么方程有网个不同的根且其中一个根为1. 29970.] 故常分县讨论】 2.C[由定义得R(A)=2, 若方程x”一4x十a=0恰有一个实数解，则△=(-4)2一4a 结合A*B=1,可知R(B)=1或R(B)=3, =0,解得a=4,代同原方程可得x°一4x十4=0，即(x一2) 由方程(.x+ax)(x+a.x+2)=0, =0,解得x=2,所以A={1,2},满足题意：若方程x一4x 得x十a.x=0或x2十4.x+2=0, 十a-0有两个实数解，则其中一个解为1，所以1一4×1十 2