1.4 充分条件与必要条件-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语荆 1.4充分条件与必要条件 A基础过关练 在，请说明理由。 测试时间：15分钟 (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要 L.[题型1门x<2”是“x2<4”的( 条件？若存在，求出m的取值范围：若不存 A.充分不必要条件 在，请说明理由. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[题型1们王安石在《游褒禅山记》中说过一段话： “世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之 所罕至焉，故非有志者不能至也.”从数学逻辑角 度分析，“有志”是“能至”的( A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 B综合提能练 ●测试时间：35分钟 D.必要不充分条件 1.[题型1]若x1,xe∈R,则“(x1-x2)x<0”是 3.[题型4幻若“x>a”是“x>1”的必要不充分条 “x1<xg”的( 件，则实数a的取值范围为( A.充分不必要条件 A.{aa<1} B.{ala≤1 B.必要不充分条件 C.ala>1) D.{aa>1} C.充分必要条件 4.[题型2](2025·安徽毫州模拟)（多选）若A= D.既不充分也不必要条件 {x∈Rx2-ax+a2-3=0},B={xx<0},则 2.[重难点2](2025·山东济宁实验中学高二检测) “A∩B=⑦”是真命题的一个充分不必要条件 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分 是() 必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是 A.a<-2或a≥3 D的( B.a<-2 A.必要不充分条件 C.a>3 B.充分不必要条件 D.a<-2或a>2 C.充要条件 5.[题型4]若集合A={x|x>2),B={x|bx> D.既不充分也不必要条件 1},其中b为实数. 3.[题型2]设x,y∈R,则“xy+1=x+y”"的充要 (1)若A是B的充要条件，则b= 条件为( (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范 A.x,y至少有一个为1 围是 (答案不唯一，写出一个即可). B.x,y都为1 6.[题型4]已知P={xx2-3x+2≤0}，S={x11 C.x,y都不为1 m≤x≤1十m. D.x2+y2=2 (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要 4.[题型1门]（多选）设x,y∈R,下列说法中正确的 条件？若存在，求出m的取值范围：若不存 是( 7 铺重难点手册)高中数学必修第一肿RJA A.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件 9.[题型3](2024·山西名校联考)求证：关于x的 B.“x>1y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件 方程x2+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2 C.“xy=0”是“x2+十y2=0”的必要不充分条件 的充分条件是a≥2且b1≤4. D.“x2≠4”是“x≠2”的充分不必要条件 5.[题型1、2]有限集合S中元素的个数记作 card(S),设A,B都为有限集合，下列命题中是 真命题的是(). A.“A∩B=”的充要条件是“card(AUB) card(A)+card(B)” B.“A二B”的充要条件是“card(A)≤card(B)” C.“A二B”的必要不充分条件是“card(A)= card(B)-1” D.“A=B"”的充要条件是“card(A)=card(B)” 6.[题型1门新定义记实数x1,x2,…,x。中的最 大数为max{x1,x2,…,r.},最小数为min{x1 x2…,xn.已知△ABC的三边边长分别为a, 6,ca≤c),定义它的倾斜度为1=max分， 名后·mm合名，则1=1是△Ac 10.[题型2、4]已知集合A={xx3-2x2-x+ 为等边三角形”的(). 2=0},非空集合B={x2a.x2-3(a2+1).x+4 A.必要不充分条件 =01. B.充分不必要条件 (1)若A∩B={2},求a的取值集合： C.充要条件 (2)若x∈A是x∈B的必要条件，求a的取值 D.既不充分也不必要条件 集合 7.[题型1]已知a,b∈R,则“a>|b|”是“aa> bb”的 条件 8.[题型2、4](2025·湖南师大附中测试)已知p: 309+2ax+2a+b-1>0, (1)若b=4时，x2+2ax+2a+b-1>0在R上 恒成立，求实数a的取值范围： (2)若p是q的充分必要条件，求实数a,b 的值。 8 第一章集合与常用逻辑用语 C培优突破练 Sc,有S1=SB=Se. 。测试时间：15分钟 则称集合U。为可分集合 1.已知非零实数a,b,c,A,B,C,则“a.x2十bx十 (1)已知U。为可分集合，写出相应的一组满足 c≥0与Ar2+Bx+C≥0的解集相同"是只 条件的集合A,B,C: (2)当n=2025时，U.是不是可分集合？判断 名-名的( 并说明理由： A.充分不必要条件 (3)已知m为偶数，求证：”生是整数“是U。 B.必要不充分条件 C.充要条件 为可分集合”的必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.新定义给定正整数n(n≥3)，集合Un={1, 2,…,n.若存在集合A,B,C同时满足下列三 个条件： ①U.=AUBUC,A∩B=B∩C=A∩C=0: ②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素 都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中 (集合C中还可以包含其他数)： ③集合A,B,C中各元素之和分别为S1,S, 9所以x1十4=x十x, ∴由“-1<x<号"能推出“-3<x<1”] 例A={0,1,2,3}, [变式4 C [MECUN,NnCN=⑦，∴.MnN=d, 故T={0,1,2,3}满足 .充分性成立：当M∩N=⑦时 (3)设A={a1,a2,…,at}满足题意，其中a1<a,<<at, ,MCU,NU,.MCN,∴.必要性成立.] 则2a1<a1十ag<a1十ag<…<a1十as<az十a:<as十 [变式5]充分性：ac<0,.A=b2-4ac>0, ak<<ak-1十au<2ae, ,方程ax2+bx十c=0有两个根，设为x1,x2: ∴lS|≥2k-l,a1-a1<a2-a1<ag-a1<<a-a1, ∴.|Tl≥k. “xx=￡<0， SNT=0,ISUTI=SI+ITI>3-1, ∴.一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. SUT中最小的元素为0，最大的元素为2a, 必要性：，一元二次方程ax2十bz十c=0有一个正根和一 ∴.lsUT≤2aa+1, 个负根， .3k-1≤2a4十1≤4041(k∈N), 1=&<0,ac<0 .k≤1347 综上所述，“一元二次方程ax2+bx十c=0有一个正根和一 实际上，当A={674,675,676,…,2020}时满足题意， 个负根”的充要条件是“ac<0” 综上所述，A的最大值为1347. [变式6]由已知得A=1,2},因为p是g的必要不充分条件， 思维过程 (1)根据题目定义，直接计算集合S及T. 所以B年A. 根据集合中元素的个数对集合B进行分类. (2)根据两集合相等即可找到1，x2,xg,x4的关系. 讨论：B=⑦，B={1}或B={2. (3)求出相应的S及T,通过S∩T=②建立不等关系 当B=时，方程x2-mx十2=0无实数解，△=m2一8<0， 求出相应的值， 解得一2√2<m<2√2： 1.4充分条件与必要条件 (A=0, 变武而练 当B={1)或B={2}时， 1一m+2=0或4-2m+2=0 [变式1们D[若p成立，则a+b≠4，此时a≠1和b≠3不一 无解。 定都成立，例如，a=1,b=4时，满足a+b≠4，但由于a-1, 综上所述，m的取值范围为{m一2√2<m<2√2. 所以q不成立，故充分性不成立；若q成立，则a≠1且b≠ 基础过关练 3,此时p也不一定成立，例如，a=b=2,满足q,但a十b= 1.B[x2-4=(x十2)(x-2)<0H-2<x<2,记A={x 4,不满足p,所以必要性不成立.故选D.门 x<2},B=(z|-2<x<2,则B年A,所以“-2<x<2"是 [变式2]可将已知p,q,r,s的关系用“→”作图表示（如图所示）. “x<2”的充分不必要条件，故“x<2”是“-2<x<2”的必要 5→r→p 水U 不充分条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分条件.] 2.D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”， (1)q→5，s→r→q,即sHq,s是q的充要条件 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.] (2)r→g:q→s→r,r是q的充要条件 3.A[记A=(x|x>a},B=《xlx>1},因为“x>a”是“x> (3)q→s→r→p,而p,p是q的必要不充分条件. 1”的必要不充分条件，所以“x>1”是“x>a”的充分不必要 [变式3]ACD[A(/),,ab≠0等价于a≠0且b≠0， 条件，故B军A,如图，应有a<1.] ∴.由“ab≠0”能推出“a≠0” AB B(X),,(a一b)a>0等价于a>b且a≠0， a 1 ∴.由“(a一b)a2>0”能推出“a>b”,反之不成立： 4.BCD[(直接琴克分不公要条件不好想，可青虎先求克要备件，得 C(/),,x2-3x+2>0的解集为{x|x>2或x<1),而 到的范喝，再取它的一个真子熹】 (xx>2}{xx>2或x<1}, A∩B=台A为空集或A的元素都非负台方程x2一ax十 .由“x>2”能推出“x2-3x十2>0” a-3=0没有实数解或只有非负实数解，当方程x2一ax+ a2-3=0没有实数解时，4=（一a)2-4(a2-3)=12-3a2 D.:-1K<}x-3K<1, <0,解得a<-2或a>2:当方程x2-ax十a2-3=0只有 7 4=12-3a2≥0， r1<x2, 又 (x1-x)x<0, 非负实数解时，x1十x2=a≥0，解得3≤a≤2. x1≠0 x1x2=a2-3≥0， 所以“(x1一x)x<0”是“x1<x”的充分不必要条件.] (共时可由利列式结合韦达定律桑邮译) 2A[因为A是B的必要不充分条件，则B→A,APB, 综上所述，A∩B=②的充要条件是a<一2或a≥3，这恰 B是C的充要条件，则BC,D是C的充分不必要条件，则 好是A项的结果，所以A项是A∩B=的充要条件，选项 D→C,CPD.综上可得AB一CD, BCD对应的集合都是集合{a|a<-2或a≥3}的真子集， 所以A是D的必要不充分条件.] 所以它们都是A∩B=☑的充分不必要条件.] 3.A[由xy十1=x十y,则(x一1)(y-1)=0,可得x=1或 y=1,即x,y至少有一个为1，所以“xy十1=x十y”的充要 52 26> [(1)A={x|x>2),B={x|bx>1}, 条件为x,y至少有一个为1，故只有A符合，其他选项均 A=B, 1 不符.] 4ACD[A(√)，因为x2>1的解集为(-∞，-1)U(1, C2②诺A是B的充分不必要条件，则6>0，且方<2， 十∞)，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件 B(X),“x>1,y>1”时，“x十y>2,xy>1”-定成立，反之 6>2] “x+y>2,xy>1”成立时，“x>1,y>1”不一定成立，如举 6.(1DP={x|x-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}. 例x=4y=3,所以“>1y>1”是“x+y>2,xy>1”的 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 充分不必要条件 1-m=1, 即 此方程组无解， C(√)，“x+y2=0”时，“xy=0”一定成立，反之“xy=0”成 1+m=2, 立时，“x2十y2=0”不一定成立，例如x=1,y=0,所以“xy 则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件。 罩及例 (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S二P =0”是“x2十y2=0”的必要不充分条件 当S=必时，1-m>1+m,解得m<0: D(/),当“x2≠4”时，满足“x≠2”；当“x≠2”时，“x2≠4”不 当S≠0时，1一m≤1十m,解得m≥0. 一定成立，例如x=一2，所以“x≠4”是“x≠2”的充分不必 1-m≥1， 要条件.] 要使S二P,则有 解得m≤0，所以m=0. 1十m≤2， 5.A[A(√)，由A∩B=,则AUB中元素个数为集合A, 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. B的元素之和，即card(AUB)=card(A)+card(B),充分性 综合提能练 成立；由card(AUB)=card(A)十card(B),即AUB中元素 个数为集合A,B的元素之和，则A∩B-,必要性成立； 1.A[(用发义汝来利断当然可行，但观客（红1一工：）x<0可发现只 B(×),由card(A)≤card(B),若A=1,2},B={2,3,4},但 能为正，！一工为育，所以减不等式容昌进行等价变形，敬可青 A二B不成立，必要性不成立： 虎等价转化法) C(×),由A二B,若A=1},B=(1,2,3,4},此时card(A) x1-x2<0, x1<x2, (x1-x2)xi0台 =card(B)一3，故card(A)=card(B)一1不是A二B的必要 x>0 x1≠0， 条件： (散只书利新“ 任<”。度“，”的件么备件) D(X),由card(A)=card(B),若A={1,2},B={2,3},但 x1≠0 A=B不成立.] <T: 与x1<xg相比，多了x1≠0这个限制条件， 6.A[当△ABC是等边三角形时，a=b=c, x1≠0 -mx号，名}mm告名}-1x1=l 所以当{ 成立时，x1<x成立； x1≠0 .“1=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件 z1<2 a≤b≤c,令a=b=2,c=3, 而当x1<x:时， 不一定成立： x1≠0 x1<x2 所以“ ”是“x1<x”的充分不必要条件， x1≠0 此时1=是×号=1，△ABC为等腿三角形，放不能锥出 8 △ABC为等边三角形， ①由(1)可知，当B=(1,2}时，a=1. ∴.“1=1"不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.] ②当B={1}时，2a-3(a2+1)+4=0,解得a= 7.充分不必要.[由题意知，若a>bl,则a>b≥0，则a>0, 所以aa=a,则aa>bb成立.当a=l,b=-2时，满 a=1,显然a=1不成立： 足ala|>bbl,但a>lbl不成立，所以“a>b"是“aa|> 当a=- ,显然4=9[（）}'+1]-4×4×2× b1b|”的充分不必要条件.] 8.(1)若x2+2ax+2a+3>0在x∈R上恒成立， (-号）≠0不符合题意，舍去 桃物我y=x2+2ax十2a十3上的点郁在工轴上方 ③当B=2时，由(1)可得a=3或a=1,显然此时a=1 则△=4a2-4(2a+3)<0,所以有-1<a<3, 不符合题意，舍去 所以实数a的取值范围为{a|一1<a<3. (2)2 当a=号时，显然△=9[（兮）}'+1]-4×4×2x号0， x-3 >0→(x一2)(x-3)>0→x>3或x<2, 不符合题意，舍去 根据条件可知x2+2ax+2a+b-1>0的解集是{x|x<2 ①当B=(-1}时，2a+3(a2+1)+4=0,此时方程无解， 或x>3}, 不符合题意，舍去： 即方程x2+2ax+2a十b一1=0的两个根为2和3， 故B=(一1,2}和B=(一1,1}也不成立，所以舍去. -2a=5, 根据书达定理有， 解得 2, 综上所述，a∈{1}. 2a十b-1=6, b=12. 思维过程 (1)由两个集合的交集得到的集合中的元素必属于原 9. a≥2， a2≥4>b,.△=4(a2-b)≥0， 1b≤4， 来的集合，故知道2∈B且士1任B,代入方程解得参数值， 方程有实数根 验证后得出结论， ① 设方程的两个实数根为x1,x, (2)找到集合A,B的关系，得到集合B的可能情况，代 /≥2， 入验证即可得出结论. 1-2a≤-4， b|≤4， -4≤b≤4， 培优突破练 ∴.(x1-2)+(x2-2)=(x1十x2)-4=-2a-4≤-4-4= 1.D[取a,b,c分别为1,1,2，另取A,B,C分别为1,1,3，则 -8<0. ax2+bx十c≥0与Ax2+Bx+C≥0的解集相同，都为R, 而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4=b+4a+4> -4+8+4=8>0, |(x1-2)+(x2-2)<0, /x<2, 取a,b,c分别为1,1，-1，另取A,B,C分别为-1，-1,1， ② (x1-2)(x1-2)>0, x2<2. 则月-合-名而ar2+bx+e≥0与Ar2+Bx+C≥0的 由①②知“a≥2且b≤4”是“方程有实数根，且两个根均小 解集不同.] 于2”的充分条件 2(1)依照题意，取n=8时，1+2+3+…+8=36， 10.(1)化简x3-2x3-x+2=0得(x-2)(x2-1)=0, 又SA=SB=Sc,A∩B=B∩C=A∩C=, 所以x=2或x=±1，所以A={-1,1,2. 则SA=S8=Sc=12, 因为A∩B=(2),所以2∈B且士1任B, 所以可以取A=(5,7),B={4,8},C=(1,2,3,6. 所以8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0, (2)当n=2025时，U.不是可分集合，理由如下： 所以a-号或a=1, 方法一假设存在n是3的倍数且U,是可分集合，设n= 当a=1时，2x2一6x+4=0,解得x=1或x=2,即B= 3k,则依照题意，{3,6，…，3k}二C, (1,2)不符合题意，舍去： 故Sc≥3+6+…+3=3+3张 2 经检验，当a=时，满足题意，故a∈兮} 而这n个数的和为”1十) 2 (2)若x∈A是x∈B的必要条件，则B二A且B≠⑦， 所以B=(-1}或(1}或{2}或{一1,2}或{1,2}或{-1,1}. 放5-日生业矛盾， 2 2 2 9 所以n是3的倍数时，U一定不是可分集合. 因此，当命题p和命题q中至少有一个为真命题时，m<0 方法二注意到所有元素和为十”，又S。中元素是偶 或-2<m<2,即m<2.中求上面两个笼喝多合的卡第 2 |m0, 数，所以41十D=3S。=6mm为正整数)， 方法二若命题p,9均为假命题，则m需满足 2 △=m2-4≥0， 所以n(1十n)=12m,即n(n+1)是12的倍数 解得m≥2.则当命题p和命题g中至少有一个为真命题 容易验证，当n=2025时，n(n十1)不是12的倍数，矛盾. 时，m<2.] 所以当n=2025时，U,不是可分集合. [变式2])p:3z∈R2-x+<0,假命题 (3)因为所有元素和为1”，又S。中元素是偶数。 2 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题。 所以n1十m=3S。=6m(m为正整数)， (3)r:Vx,y∈N,2x+y≠10.假命题 2 (4)一s:Vx∈R,x3+1≠0.假命题 所以n(1十n)一12m,因为n,n十1为连续整数， [变式3]方法-由题设知x2-4x一2-a>0, 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 在x∈{x|1<x<4}上有解. 由(2)可知，n不是3的倍数，所以一定有n十1是3的倍数 由x2-4x-2-a>0得2+a<x2-4x. 当n为偶数时，n十1为奇数，而n(1十n)=12m, ∴，2十a<x2-4x在x∈(x1<x<4)上有解， 所以一定有n+1是3的倍数，m是4的倍数， .2+a<(x2-4x)mx, 所以n十4既是3的倍数又是4的倍数， 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{x|1<x<4. 从而U。可分的一个必要条件是“n十4是12的倍数” ∴.当x=4时，(x2-4x)=0, 从而“古是整数"是U,为可分集合的必要条件。 .2+a<0,.a<-2. 方法二p:Vx∈{x1<x<4,x-4x-2-a≤0. 月-方面，当1=0时。不是可分案合，从面吉是整 设y=x2-4x-2-a. 数”不是“U。为可分集合”的充分条件 ,抛物线y=x2-4x一2-a的开口向上， (可4除模：当-0,56,92时儿，不可分，其参荡更告老三参数 当7p为真命题时，则有x=1时，y≤0，x=4时，y≤0， 1-4-2-a≤0， 的情形，U,都可分】 即 16-4X4-2-a≤0， 综上可知，“吉古是整数是U为可分案合”的必要不充分 .a≥-2 条件。 .当p为假命题，即p为真命题时，有a<-2. 思维过程 基甜过关练 (1)取n=8,按照定义列举即可. 1.B[A的否定：所有实数的绝对值不是正数，假命题： (2)方法一：用反证法即可得出结论. B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： 方法二：由题意可得，所有元素和为十卫，S中元 C的否定：有些等边三角形不相似，假命题： 2 D的否定：3不是方程x-9=0的一个根，假命题.] 素是偶数，从而得n(n十1)是12的倍数，又因为n=2025 2.D[原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个能被2整 时，n(n十1)不是12的倍数，即得矛盾. 除的整数不是偶数”.] (3)按照必要不充分条件的定义证明即可. 3.D[由a,b,c都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，即a,b,c都 1.5全称量词与存在量词 创译成符号语言 一三者同时清是，它的香发 是重少有一个不成点 变式孙练 大于或等于1，所以其否定是a,b,c不都大于或等于1，即 [变式1门{加m<2,[(从王面分桥，命趋p和命超g中至少有一 a,b,c中至少有一个小于1，故a<1或b<1或c<1.] 个为真命超等价于p真g但或p很g真或P,g物为真：从反面分斯， 4AC[A(W),因为lx≥0，lx-1≥0，所以x+|x-1|≥ 命通P,命超日至少有一个为真伞想时加的取值痘圆与◆想♪：日均 0,由于x=0,x=1不能同时取得，所以Vx∈R,x|+|x一 为假命数时m的取值龙期亚外) 1>0为真命题： 方法一当p是真命题时，m<0:当g是真命题时，方程 B(×),当x=1时，(x-1)2=0,所以Vx∈N,(x-1)2>0 x2十mx十1=0的判别试△=m2-4<0,解得-2<m<2.: 为假命题； 10