1.3 集合的基本运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语荆用 1.3集合的基本运算 A基础过关练 测试时间：15分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型1]全集U=R,且A={x|x-1>2,B= 1.[题型1]设1是全集，集合M,N,P都是其子 {xx2-6x十8<0)，则(CA)∩B=(. 集，则图中的阴影部分表示的集合为( A.{x-1≤x<4} B.{x|2<x<3 A.M∩(P∩C,N) C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<4} B.Mn(N∩CP) 2.[题型4]对于集合A,B,定义A一B={x|x∈A C.M∩(c,N∩CM) 且x∈B},A④B=(A-B)U(B-A).设M= D.(M∩N)U(M∩P) {1,2,3,4,5,6},N=(4,5,6,7,8,9,10},则 2.[知识点1]记S(A)为集合A中所有元素之和， M④N中元素的个数为(). 对于集合M=1,2,3,4,5},A≠，A∩M= A.5 B.6 C.7 D.8 A.则所有S(A)之和等于( 3.[题型3]调查了100名携带药品出国的旅游者， A.230 B.240 C.245D.250 其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对 3.[题型4](2025·广东东莞实验中学月考)（多 于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法 选)在整数集Z中，被4除所得余数为的所有 正确的是( ). 整数组成一个“类”，记为[k]={4n十kn∈Z, A.最多人数是55 B.最少人数是55 k=0,1,2,3,则下列结论正确的为( C.最少人数是75 D.最多人数是80 A.2025∈[3] 4.[题型1，重难点1]已知全集U=(小于10的正 B.-2∈[2] 整数}，A三U,B≤U,且(CA)∩B=1,8}, C.Z=[0]U[1]U[2]U[3] A∩B={2,3},(CA)∩(CB)={4,6,9},则 D.整数a,b属于同一“类”时，则有“a-b∈[0]” A= B= 4.[题型3]高二一班共有学生50人，每名学生要 5.[题型2]设集合A={x|(x-2)(x-a)≤0}，B= 从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程 {x3<x<7},若A∩B中恰含有3个整数，则 中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、 实数a的取值范围是 生物的学生各至少有20人，这三门课程都不选 6.[题型2]已知A={x|2a≤x≤a十3}，B={x| 的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三 x<-1或x>5,若A∩B=☑，求a的取值 门课程中选择任意两门课程的都至少有13人， 范围 物理、化学只选一科的学生都至少有6人，那么 选择物理和化学这两门课程的学生人数至多有 (). A.16人B.17人C.18人D.19人 5.[题型2]已知集合A={xx2+px-2=0},B {xx2-2x十q=0),且AUB={-1,0,2},则p 十g的值为 6.[题型3、4]若集合A1,A2满足A1UA2=A,则 称(A1,A:)为集合A的一种分拆，并规定：当且 仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A 5 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA 的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a:}的不同 C培优突破练 ●测试时间：15分钟 分拆种数是 7.[题型2]已知集合A={x|-2≤x≤1，B={x 1.(多选)对于集合M={m|m=a2一b2,a∈Z, x2-3a.x+2a2=01. b∈Z,给出下列结论，其中正确的结论是(). (1)若A∩B=0,求实数a的取值范围： A.如果P={xlx=4n+1,n∈N,那么P二M (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. B.如果Q={x|x=4n+2,n∈N,那 么Q二M C.如果s∈M,t∈M,那么s-t∈M D.如果s∈M,t∈M,那么st∈M 2.已知集合A为非空数集，定义：S=(xx=a十 b,a,b∈A},T={xx=a-bl,a,b∈A. (1)若集合A={1,3},直接写出集合S,T: (2)若集合A={x1,x2,x,x},且T=A,写出 一个满足条件的集合A,并说明理由： (3)若集合A二{x|0≤x≤2020，x∈N},S∩ T=⑦，记|A|为集合A中元素的个数，求 A的最大值 8.[题型2]设集合A={x|x2-3x十2=0}，B {x|.x2+2(a+1)x+(a2-5)=0. (1)若A∩B=(2},求实数a的值： (2)若AUB=A,求实数a的取值范围： (3)若U=R,A∩(CB)=A,求实数a的取值 范围。 6由B三A,得m=。所以m=-1 [变式2]aa>2或-3<a<5.[已知A={yly>a"+ 1或y<a},B={y2≤y≤4}，我们不妨考虑当A∩B=☑ 综上，m的取值集合为{0，一1. 时的取值范围，在数轴上表示出集合A,B,如图所示.由 7.由题意可得△=m十144>0.设关于x的方程x”十mx x1十xg=一m, a2, a≤2， 36=0的两个根分别为x1x2,则 得 故u≤一√3或5≤a r1x:=-36, a2+1≥4， a≥5或a≤-5， 所以方程x2+mx一36=0的整数解只能是36的约数 2,即AnB=☑时a的取值范围为{aa≤一3或3≤a≤2. 结合两展的乘积为定值一36，且两然为泰数，可列出两银的所有可能 故A∩B≠o时a的取值范围为{aa>2或一3<a<3.] 情说，然府逐项分新种 当方程的解为一1,36时，m=一35： ☐BA &24a+1y 当方程的解为一2,18时，m=一16： [变式3]3,9.[方法一由已知条件得3∈A,9∈A, 当方程的解为-3,12时，m=一9： 若5∈A,则5￠B(否则5∈A∩B). 当方程的解为一4,9时，m=一5： 当方程的解为一6,6时，m=0: 从而5∈CB,则(CB)几4={5.91，产章粉来合的“行有性 当方程的解为1，一36时，m=35: 与题中条件矛盾，故5任A. 当方程的解为2，一18时，m=16: 同理，1延A,7任A,故A={3,9. 当方程的解为3，一12时，m=9: 方法二A=A门(BU[B)一楼·摩楼定律 当方程的解为4，一9时，m=5. =(A∩B)UA∩CB) 故集合M=(-35,-16,-9,-5,0.5,9,16,35. =3}U{9)=(3,91.] 由集合A满足条件：①②AM:②若a∈A,则一u∈A, [变式4]由MUN=M得NCM. 得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不 故当N=②时，有21+1≤2-t 属于集合A,因为集合M中有4对相反数和元索0， 所以这样的非空集合共有2一1=31个. 即1≤时，MUN=M成立 培优突破练 2-t<2t+1, 1.12=1.2=4,3=9.4=16,52=25.62=36.72=49,82= 当N≠☑时，由图可得〈2十15， 解得<12 64.9=81,1~9的平方是9的倍数的数有3个：3.6,9,1一9 2-1≥-2 的平方除以9的余数分别是1,4.0.7,7,0,4.1.0， 2-t 2t+1 ∴，任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7. 综上可知，所求实数1的取值范围是{：1≤2. 0+0=0,0+1=1,0+4=4,0+7=7,1+1=2.1+4=5, 1十7=8,4十4=8,4十7=11.7十7=14， [变式5]C[由题意可知，集合M,N都是由数轴上0~1这- ,.0,1,4,7中的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M, ,∴.任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平 N的长度"分别为子·子因此要使M门N的长度量小， 方本身是9的倍数： 需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端 2023÷3=674…1. .1~2023的平方是9的倍数的数有674个， 点0和1时，北重叠部分最少，所以所求最小值为子十号 .S的最大值为2023-674+1=1350. 事合S中食有一个平方他被9整徐的数也满是愁意 12 1.3集合的基本运算 变式细练 [变式1]D[A(×),MUN=N≠U:B(×),(CN)U(CM) =C,(M∩N)=CM≠U:C(X),画出Vem图，如图，MU 建册过关练 (CN)≠U,VU(CM)=U:D符合题意.] 1.C[x-1>2可等价转化为x-1>2或x-1<-2. x>3或x<-1,A={xx>3或x<-1 M .CA={x-1≤x≤3.又B={x2<x<4, ∴.(CA)∩B={x2<r≤3.] 4 2.C[M-N={1,2,3},N-M=7,8,9,10}, (3)若集合A有3个元素，则集合A为{1.2,3}，1,2,4}， ∴.M⊕N=(M-V)U(N-M)=1,2,3,7,8,9,10. 11,2,5},1,3,41,{1,3,5},(1,4,5},2,3,41,(2.3,5},(2, ∴.M⊕N中元素的个数为7.] 4,5},{3,4.5}, 3.B[设100名携带药品出国的旅游者组成全集I,其中带感 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现6次： 冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合B.设既携带感 (4)若集合A有4个元素，则集合A为1,2,3,4}，1,2,3， 冒药又携带胃药的人数为x,则仅携带感冒药的人数为75一 5}.1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3.4,5}: x,仅携带胃药的人数为80一x.由图可知75一x十x十80一 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次： x≤100，所以x>55,故最少人数是55.] (5)若集合A有5个元素，则A={1,2,3,4,5. U 综上所述，所有S(A)之和为(1十2十3+4十5)(1十4十6+ 75-x 80-3 4十1)=240.] A 3.8CD[A(×),由2025=4×506+1得2025∈[1]： 第3题图 第4恩图 B(√/)，由-2=4×(-1)+2得-2∈[2]： C(/),所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况， 4.{2,3.5,7}:{1,2.3.8.[由(CA)∩B=(1.8)知1∈B. 即刚好分成[0]，[1]，「2]，「3]共4类，故Z=[0]U[1]U 8∈B:由(CA)∩(CB)=C(AUB)={4,6,9}知4,6,9 [2]U[3]: EA,且4,6,9EB. D(√/)，若整数a,b属于同一“类”，则a=4n1+k,n,∈Z, 由A∩B={2,3}知2,3是集合A与B的公共元素 b=4n:+k,n:∈Z,故a-b=4(n1一n:)+0,所以a-b∈ 因为U={1,2,3,4,5,6,7.8,9},所以5,7∈A [0,故整数a,b属于同一“类"时，则有“a一b∈[0们”. 画出Vemn图，如图所示. 4C[把学生50人看成一个集合U,选择物理的人数组成为 所以A=(2.3,5,7),B={1,2,3,8.] 集合A,选择化学的人数组成集合B,选择生物的人数组成 5.[6,十o∞).[方程(x一2)(.x-a)=0的根为x1=2,x2=a, 集合C,要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， ①当a≤2时，A={xa≤x≤2}，此时A∩B=0不合题意 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有 ②当a>2时，A=(x2≤x≤a),B={x3<x<7}. 10人，则其他学科选择人数均为最少，即得到单选物理的最 要使A∩B中含有3个整数，则A∩B中只能含有4,5,6这 少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的量少3人， 3个整数，又a∈A,则a≥6.（注意鸿点值是否能敢列）门 单选物理，生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数 6.由A∩B=必可知： 最少42人，可作Venn图（图略），至多10十8=18（人）.] (1D若A=0,有2a>a+3,即a>3. (2)若A≠，如图所示. 思维过程 把学生50人看成一个集合U,选择物理科的人数组成 集合A,选择化学科的人数组成集合B,选择生物科的人数组 2a>-1. 成集合C,根据题意，作出Vmn图，结合Vemm图，即可求解 a+3≤5，解得-2<u≤2. 5.-1.[由题意可知，方程x2+px-2-0,.x2-2x+g=0 2a≤a+3, 均有根， 综上所述a的取值范国是a-<a<2或a>3。 设方程x”十p.x一2=0的根为x1,x, 绿合提能练 方程x2-2x十g=0的根为x1x: 1.B 可知x1x:x8x∈{-1,0,2}， 2.B[因为集合M={1,2,3,4,5},4二M,分别列举出满足条 x1十x:=-p,2a十x1=2, 且《 件的集合A: x1x4=-2, tar=g, (1)若集合A只有一个元素，则集合A为{1，{2)，3}，{4， 分析可知，方程x2十px一2=0的根为一1,2，方程x2 (5: 2x+g=0的根为0,2. (2)若集合A有两个元素，则集合A为1,21，{1,3}，(1,4}， 即A=(一1,2，B=(0,2),满足AUB={-1,0,21,符合题 (1,5},{2,3},2.4),{2,5},{3,4},3,5,4,5}, x+x2=-p=1, 意，可得 在这些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次： x3r4=q=0, 5 解翔p一1， : .AUB=A...BCA. 所以p+q=-1.] g=0, 当△<0，即a<一3时，B=,满足条件： 6.27.[当A1=☑时，A:={a1a2a1.1种： 当△=0，即a=一3时，B=2},满足条件： 当A,=a1时，A={agaa,(a1a:a,2种： 当△>0，即a>一3时，B=A={1,2)才能满足条件， 当A,={a2)时，A2={a1aa},{a1aga,2种； 1+2=-2(a+10, a=-i 当A,=(aa}时，A:={a1a2,{a1a2aa,2种： 由根与系数的关系得 即 2 1×2=a2-5. 当A,={a1az}时，A:=(a:,{a1,aa,(agaa,aat+ a=7, 矛盾 a:},4种： 综上，a的取值范围是{ala≤一3. 当A,={a1aa时，A:={a=,{a1a}.(a4,aa},{a1,at, },4种： (3)A∩(CB)=A,∴ACCB,∴A∩B=0. ①若B=⑦，则△<0→a<-3,符合题意. 当A={aas}时，A:=(a1,{a1ag},(a1as},{aaa· ②若B≠②，当a=一3时.B={2},A∩B={2},不符合题 a:},4种： 意.当a>一3时，需1任B且2任B. 当A,={a1a2,am}时，Ae=g,{a},{a2,aa,aa2, 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a=一3： (araa).(aza3),faiaza1.8. 将x=1代入B中的方程，得a”十2a一2=0，解得a= ∴.集合A={a1·ag·a:}的不同分拆种数为1十3×2+ 4×3+8=27(种).] -1士3， 7.(1)由题意可得 .a≠-1且a≠-3且a≠一1土5】 B=xz-3a.x十2a3=0}={xl(r-a)(.x-2a)=01, ∴a的取值范围是{aa≠一1且a≠一3且a≠一1±3， 1m一8山为一个宪金平方-数，可以用十字交又法分解国式 培优突破练 当a=0时，B={0,此时A∩B={0}≠⑦，不符合题意： 1.AD[A(√)，.x=4n十1=(2m十1)2-(2n),n∈N时，2m+ 当a>0时，B={a,2a},由A∩B=,可得a>l: 1∈N三Z,2m∈N三Z,故x∈M,所以P二M: 当a<0时，B={a,2a},由A∩B=必，可得a<-2. B(×).因为x=4n+2=2(2n+1),n∈N,所以x为偶数且 综上所述，a的取值范围为{aa<一2或a>1. 不能被4整除，若x∈M,则存在a,b使得x=4n+2=a (2)当a=0时，B={0},此时A∩B={0)=B,故符合题意. b=(a十b)(a-b)a∈Z.b∈Z,所以a+b和a-b同奇或 a<2a, : 同偶，若a十b和a一b同奇，则x=4n十2=(a十b)(a一b) 当a>0时，B={a,2a,由A∩B=B,可得2a≤1， 为奇数，矛盾，不符合，若a十b和a一b同偶，则x=4十2 a≥-2， (a十b)(a一b)能被4整除，矛盾，不符合，所以x任M,即 解得0<a≤21 QM: C(×),因为s∈M,t∈M,所以s=ai-b,t=ai-b,a1∈ a>2a. Z.b,∈Z,a∈Z.b,∈Zs-t=ai-b-(a-b)=a+b 当a<0时，B={a,2a,由A∩B=B,可得a≤1， 2a≥-2， -(ai+bi)=(√a+所)2-（√a+b所）2，又Vai+b∈Z. 解得-1≤a<0. √a+∈Z不一定成立，不能得到s一t∈M: 综上所述a的取值范围为a-1<<}, D(√)，因为s∈M,t∈M,所以x=a-b,t=a2-b,a1∈ Z.b∈Z,au∈Z,b:∈Z,所以sM=(a-)(ai-b5) 8.由x2一3x十2=0得x=1或x=2,故集合A=(门，2， (a1az)2+(bb:)-(a1b2)2-(aeb)°=(aa:十b1b)2- (1)A∩B={2,.2∈B,将x=2代人B中的方程，得 (a1十a:b1).因为a1ag+bb2∈Z,a1b:+azb:∈Z,所以 A与B有且只有2这个公片元素，后面常要代入来值去检暗走 香满延这个帝件 stEM.] a2+4a+3=0,解得a=一1或a=-3. 2.(1)根据题意，由集合A={1,3},则S={2,4.6},T={0,2. 当a=一1时，B={xx”一4=0=（一2,2，满足条件： (2)由于集合A={x1x2x1,x1},x1<x1<x<x4,且T 当a=一3时，B={xx2一4x+4=0}=(2},满足条件. =A,所以T中也只包含四个元素， 综上，：的值为一1或一3. 即T=0,x4一工1x3一1124一T· (2)对于集合B,△=4(a十1)2-4(a°-5)=8(a十3). 剩下的x一x2=x4一=：一t1 6 所以x1十x=x:十xa: 由-1x<号"能推出-3<x☑”.] 例A={0,1.2.31. [变式4c[:M≤CN,NnCN=a,.MnN=⑦， 故T={0,1,2,3}满足. .充分性成立：当M∩N=⑦时 (3)设A={a1a2,…,d}满足题意，其中a1<a2<<a, ,M□U,NU,∴MCCN,∴必要性成立.] 则2a1<a1十+ag<a1十aa<…<a1+a,<ag+a<a,+ [变式5]充分性：，ac<0,.4=b-4ac>0, a4<<a4-t十a<2a, .方程ar十br十c=0有两个根，设为x:x. .S≥2k-l,a1-a1<a:-a1<asa1<<ae-a1· ∴.|T≥k. x=<0 ,SnT=0,1sUT1=|s1+|T≥3k-1. .一元二次方程a.x十x十c=0有一个正根和一个负根. SUT中最小的元素为0，最大的元素为2a4 必要性：：一元二次方程a.x2+r十c=0有一个正根和一 ∴.lsUT1≤2a+1. 个负根， ∴.3k-1≤2a.+1≤4041(k∈N°). =台<0.ac<0 ∴.k1347. 综上所述，“一元二次方程ax2+x十c=0有一个正根和一 实际上，当A=(674,675,676,,2020}时满足题意， 个负根”的充要条件是“ac0” 综上所述，A的最大值为1347. [变式6]由已知得A=1,2},因为p是g的必要不充分条件， 思维过程 (1)根据题日定义，直接计算集合S及T 所以BA 根据集合中元素的个数对集合B进行分类， (2)根据两集合相等即可找到x1,x2x江：的关系. 讨论：B=0.B={1或B={2. (3)求出相应的S及T,通过S∩T=心建立不等关系 当B=0时，方程x一mx十2=0无实数解，△=m”-8<0, 求出相应的值 解得一2V2<m<2V2: 1.4充分条件与必要条件 △=0. 变试丽练 当B=(1}或B=(2)时， 1一m+2=0或4一2m+2=0 [变式1]D[若p成立，则a+b≠4，此时a≠1和b≠3不一 无解。 定都成立，例如，a=1,b=4时，满足a十b≠4，但由于a=1, 综上所述，m的取值范围为{m一2√2<m<2√2. 所以g不成立，故充分性不成立：若q成立，则a≠1且b≠ 建甜过关练 3,此时p也不一定成立，例如，a=b=2,满足g,但a十b= 1,B[x2-4=(x+2)(x-2)<0=-2<x<2,记A={x 4,不满足p,所以必要性不成立.故选D.] x<2},B={x-2<x<2,则BA,所以“-2<x<2”是 [变式2]可将已知p,9rs的关系用→”作图表示（如图所示）. “x<2"的充分不必要条件，故“x<2"是“一2<x<2"的必要 →「之p 尔U 不充分条件，即“x<2”是“x2<4“的必要不充分条件.] 2D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”， (1)gPs,s一r→g,即一g,s是q的充要条件 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.门 (2)r→gg→s→r,∴r是g的充要条件 3.A[记A={xx>a},B={xx>1,因为"x>a”是“x> (3):g→s→r→p,而p户，∴p是g的必要不充分条件. 1”的必要不充分条件，所以“x>1”是“x>”的充分不必要 [变式3ACD[A(/),:ab≠0等价于a≠0且b≠0， 条件，故BA,如图，应有a<1.] .由“ab≠0”能推出“a≠0”： B×),"(a-b)a>0等价于a>b且a≠0， a I ∴.由“(a一b)a>0”能推出“a>b”,反之不成立 4BCD[(直转求克分不必要条件不好想，可考患先琴先要条件，得 C(√)，x2-3x+2>0的解集为{x|x>2或x<1}.而 列：的范周，再取它的一个真号条 xx>2){xlx>2或x<1, A∩B=☑台A为空集或A的元素都非负台方程x2一ax十 ∴.由“x>2”能推出“x2-3x+2>0”: a”一3=0没有实数解或只有非负实数解，当方程x2一ar+ a°-3=0没有实数解时，4=（一a)2-4(a°-3）=12-3a D).-1K<}x-3<<1… <0,解得a<-2或a>2:当方程x2-az十a-3=0只有 7