1.2 集合间的基本关系-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语罪 1.2集合间的基本关系 A基础过关练 2.[题型3](2025·云南昆明模拟)若集合A= 测试时间：15分钟 {x∈Zm<x<4}有15个真子集，则实数m的 1.[题型1门下列关系中正确的个数为( 取值范围为(). ①0∈{0}；②0{0}：③{0,1}三{(0,1)； A.{m|-1≤m<0} B.{m-1<m≤0】 ④((a,b)}={(b,a). C.{m-1<m<0}D.{m|-1≤m≤0》 A.1 B.2 C.3 D.4 3.[重难点1](2024·浙江绍兴期中)（多选）已知 2.[题型2](2025·山东日照模拟)已知集合A满 集合A={x|1<x<2},B={x|2a-3<x< 足{0,1}三A车{0,1,2,3}，则集合A的个数为 a一2}，下列结论正确的是(). (). A.不存在实数a使得A=B A.1 B.2 C.3 D.4 B.存在实数a使得A二B 3.[题型3](2025·成都外国语学校高一检测)（多 C.当0≤a≤4时，B二A 选)已知集合A={3,4,7m一10}，集合B={3, D.存在实数a使得B二A n2},若B二A,则实数m可以取的值为(). 4.[题型1]新定义(2024·山西大同期中)对于非 A-2 B.1 C.2 D.5 空数集A={a1,a2,a,…,an}(n∈N),其所 4.[题型3]若集合M={x∈R(m+1)x2一mx+ 有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)= m一1=0}恰有1个真子集，则实数m的值为 (). a十a十a十+a.若非空数集B满足下列 B23 两个条件：(1)B二A;(2)E(B)=E(A),则称B A.-1 3 为A的一个“保均值子集”，据此推理，集合{3， C±23 4,5,6,7}的“保均值子集”有(). 3 D士度-1 A.5个 B.6个C.7个 D.8个 5.[题型1]设xy∈R,集合A={(x,y)y=x), 5.[题型3]若{x|1≤x≤5}二{x∈R|x2-4x≤ B={《红)兰=1，则A,B的关系是 a+2},则实数a的最小值是(). 6.[题型2](2025·福建厦门十中段考)已知集合 A.2 B.3 C.4 ng A=(1,3,5},则集合A的所有非空子集的元素 6.[题型3]已知m为实数，A={x|x2一(m+1)x 之和为 +m=0},B={xmx-1=0}. 7.[题型3](2025·山西大学附属中学高一月考) (1)当A二B时，求m的取值集合； 已知集合M=1,号b,N=0,a+b,6, (2)当B手A时，求m的取值集合. M=N,则a2024+b2o25= B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型1门(2025·河南安阳模拟)（多选）已知集 合A={0,财，则下列关系正确的是( A.0∈A B.0∈A C.必吴A D.0年A 3 用重难点手册高中数学必修第一册RJA, 7.[题型2](2025·湖北孝感高级中学高一调研) C培优突破练 。测试时间：10分钟 已知整数集合M={m|关于x的方程x2十mx 36=0有整数解}，集合A满足条件： 1.(2023·全国高中数学联赛北京预赛)S是集合 ①0年A二M: (1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平 ②若a∈A,则一a∈A. 方和不是9的倍数，则|S|的最大值是多少（这 求所有这样的集合A的个数. 里S|表示S的元素个数)？ 4假设k≠3，此时B={1,2,k),k十1任B,k一1B,k是B的： 当R(B)=1时，方程(x十ax)(x2十a.x十2)=0只有一个 一个“孤立元”，不符合题意，故k=3 实数根， 据此分析满足条件的集合为{1,2,3.{2.3,4》.{3,4,5). 而方程x2十a.x=0有一根为0.则另一根必为0，即一a=0. 4,5,6},(5,6,7},{6,7,8},共有6个. 此时x2十a.x十2=0无实根，因此a=0符合题意. 5.B[a,b∈{一1,0,1,2}，可分为下列两种情形. 当R(B)=3时，必有a≠0，此时方程x2十a.x=0有两个不 ①当a=0时，方程为2x十b=0,此时一定有解， 相等的实数根x1=0,xa=一a: 当b=一1,0,1,2时，满足条件的有序数对为(0，一1)，(0， 并且x1=0,x2=一a都不是方程x2十a.x十2=0的根， 0),(0,1),(0,2). 显然方程，x十4x十2=0有两个相等的实数根，且异于x1= ②当a≠0时，方程为一元二次方程，因为有实数解，则△= 0,.x=-a,于是△=a-8=0,解得a=22或-22. 4一4ah≥0，所以ah≤1. 当a=2√2时，方程(x2+4x)(x2十ax十2)=0的根为0， 当a=一1,1,2时，满足条件的有序数对为（一1，一1），（一1， 一22，一√2，满足题意： 0),(-1,1),(-1.2).(1.-1),(1,0),(1.1),(2,-1),(2,0). (在列暴育序数对时，注竟不要造漏，要按一定想律列举) 当a=一2√2时，方程(x2十ax)(x2十ax十2)=0的根为0， 故关于x的方程a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对 22,2,满足题意。 (a.b)的个数为13.] 因此a=0或a=22或a=-22, 6.一5.[由题意可得B={一2，一3，则集合B中所有元素 所以S={0,-22,221,故R(S)=3.] 的和为一5.] 由-r=2,0,1,3分别得出2-x 的值，你去不将金条件的，中可得出 1.2集合间的基本关系 事合B中的元章 变武训综 7.(1)因为(w2十6)=8十4√3，此时m=8,n=4,不满足 [L变式1]看到BCA,想到先考虑B为空集的情况.当B= m一3n2=1,所以(2十6)”不是集合A中的元素. 时，24≥a十1，解得a≥1，此时满足B二A:当B≠时，首 (2)因为c∈A,所以可设c=m十nV3,m,n∈Z,所以C 先，a<1,其次，要使B二A,如图1和图2所示，应有a十1 2+5 -1或2a≥1. =m十n3 2+√3 =(m十5)(2√5)=(2n-3)+(2一m)3. B☐AA A 桥所江元雪转他成与事合中无素相同的形式。对比分 2a+1-11 -1 12aa-1 析是香满足器个条件 图1 图 因为2m一3n,2n一m都是整数， 解得a<-2或a>2,结合a<1得a<-2或2<a<1, 且(2m-3n)2-3(21-m)2=m2-3m°=1，所以C。∈A. 2+3 综上所述a的取值范围是口a<-2或≥》 (3)因为x∈A,所以可设x=m十n√3， 所以x+ =m十3+L =m十n3+m1V③ [变式2B[集合M-仁10，，号，23的所有非空子集中 m+n/3 m2-33 由m2-3m2=1,可得x+上=2m 具有伏样关系的案合为-1…侵，兮，仁1安斗 1 1 11 1 因为m∈乙.所以2m为偶数，即x十十为偶数。 -1332233-12233个数为 [变式3]a=4或3.[因为A恰好有4个子集，所以A中恰 培优突破练 好有2个元素(2=4).由(x-1)(x”一4x+a)=0可得x 1.29970.[由x-b十a+b=(a+1)(b+1)-1可知，所有 1或x2-4x十a=0,所以1∈A. 对进行造当变形，为后辣求元素之知提供了便楚的思路 (怎样能使1中修有两个无量？鲁会方程x2一4十a=0有两相等 元素之和为(1+3+·十19)×(99十100十101)一3×10= 极，且这个铁不是1：要么方程有网个不同的根且其中一个根为1. 29970.] 故常分县讨论】 2.C[由定义得R(A)=2, 若方程x”一4x十a=0恰有一个实数解，则△=(-4)2一4a 结合A*B=1,可知R(B)=1或R(B)=3, =0,解得a=4,代同原方程可得x°一4x十4=0，即(x一2) 由方程(.x+ax)(x+a.x+2)=0, =0,解得x=2,所以A={1,2},满足题意：若方程x一4x 得x十a.x=0或x2十4.x十2=0， 十a-0有两个实数解，则其中一个解为1，所以1一4×1十 2 a=0,解得a=3,此时原方程即为x2一4x十3=0，解得x=: 当b=1时，集合M中有2个1，不成立，舍去： 1或3.所以A=(1,3},满足题意.综上所述，实数a满足的 当b=一1时，集合M={1,0,一1}，成立. 条件是a=4或3.] .a=0,b=-1,即a26+b2晒=0+(-1)2晒=-1.] 基础过关综 综合提能练 1.B[①②正确.] 1.ABC[A(/),元素0在集合A中，即0EA: 2C[方法一满足{0.1二A≡{0,1,2,3的集合A中必有 B(√)，☑是A中的元素，所以☑∈A: 元素0和1，其他元索只能在2和3中选，且不能都选，所以 C(√)，空集是任意非空集合的真子集，这里A显然不是空 满足条件的A有{0,1，(0.1,2,0,1,3}，共3个. 集，所以②=A: 方法二（可将A拆分浅两部分，一都分走(0.1}，号一部分走2,3 D(X),0是A中的元素，元素与集合的关系不能用“” 的真于集，二者合在一起就能产生满足题意的A) 表示.门 由题意可知，A的个数即为2,3的真子集个数，该集合有2个 2A[(给出A的真于亲个数，可求得A中的元素个数 元素，其真子集个数为2一1=3，所以集合A的个数为3.] 设A中有n个元素，则其真子集个数为2”一1， 3.AD[若m=4,则m=土2. 当m=2时，A中有两个元素都为4，不符合题意. 由题意可知，2”一1-一15，解得n=4,(怎样能使A中有4个元素？) 因为集合A中的元索都是整数，所以要使A中有4个元素， 当m=一2时.A={3,4,一24}，B={3,4},符合题意. 给险是否满足票合的互异注 应有m在一1和0之间，且一1能取，此时A={x∈Z一1 若m2=7m-10,则m=2或m=5. x<4}={0,1,2,3},A中有4个元素，而0不能取，因为此时 当m=5时，A={3.4,25引，B=(3,25},符合题意.] A=〈x∈Z0<x4}=1,2,3},集合A中只有3个元素， 4.D[(由具于集个数可推知基合的元素个数，进而得列方程(m+ 所以-1≤m<0.] 1)r一x十m一1三0实数幕的个数1 2a-3=1, 设集合M的元素个数为n,因为M有1个真子集，所以： 3.AD[A(√)，由集合相等的概念可得 此方程组 a-2=2. 2一1=1，解得n=1,所以题设条件等价于方程(m十1)x2 无解，故不存在实数a使得A=B: 一m.x十m一1=0有且仅有1个实数解， 2a-31,a2, (孩方锐平方确数为宇母，其是否为0时方程的票型有制响，分析 B(×),由A二B得 即 此不等式组无解： a-2≥2，a≥4. 方法也不司，故分两种情况讨论》 C(×),当2a-3≥a-2,即a≥1时，B=⑦二A,符合B□ 当m十1=0时，m=一1，此时方程(m十1)x2一r十m一 2a-3≥1. 1=0即为x一2=0，解得x=2,满足要求： A,当a<1时，要使B二A,需满足 解得2≤a 当m十1≠0时，m≠一1，要使方程(m十1)x一mx十m a-2≤2. 1=0有且仅有1个实数解，应有△=（一m)2一4（十1）(m一 4,不满足a<1,故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B二A: D(√)，由C选项分析可得存在实数a使得B二A.] 、D=4-3m2=0.解得m=士g. 4.C[集合A中元素的算术平均数E(A)=3+4+5+6+7 5 综上所述，实数m的值为士2或-1] 5,所以集合A的“保均值子集”有{5,3,7}，(4,61，{3,5， 5.B年A.[,A={(xy)川y=x表示直线y=x上的点的 7},{4,5,6},{3,4,6,7},{3,4,5,6,7},共7个. 集合，B=xy)兰==y=,≠0表示直 5.B[{xl1≤x≤5)S{x∈R.x2-4x≤a+2, ∴x2-4x≤a十2在x∈{x1≤x≤5}上恒成立. 线y=x上除去点(0,0)外所有点的集合，∴.BA.] 令y=x2-4x=(x-2)2-4,当x=5时，ymm=5, 6.36.[集合A的非空子集分别是1，(3}，(5，(1,3}，{1， .5a十2，∴.a≥3. 5,{3,5},{1,3,5.注意到集合A中的每个元素在集合A 6.(1D因为x-(1+m)x十m=(x-1)(x一m), 的所有非空子集的元素之中出现4次.故所求和为(1十3+ 所以当m=1时，A=(1:当m≠1时，A={1,m. 5)×4=36.] 又A二B,所以m=1,此时B={11,满足A三B. 7.-1[M=1,若b,b≠0 所以当A二B时，m的取值集合为1. M=N,若=0，即a=0, (2)当m=1时，A=B=(1.B至A不成立： 当m=0时，A={1,0},B=☑，B年A成立： 此时集合M=(1,0,b},N={0,b,b), .b2=1,,.b=1或b=-1. 当m≠1，且m≠0时，B=(偏}A=1m 3 由B三A,得m=。所以m=-1 [变式2]aa>2或-3<a<5.[已知A={yly>a"+ 1或y<a},B={y2≤y≤4}，我们不妨考虑当A∩B=☑ 综上，m的取值集合为{0，一1. 时的取值范围，在数轴上表示出集合A,B,如图所示.由 7.由题意可得△=m十144>0.设关于x的方程x”十mx x1十xg=一m, a2, a≤2， 36=0的两个根分别为x1x2,则 得 故u≤一√3或5≤a r1x:=-36, a2+1≥4， a≥5或a≤-5， 所以方程x2+mx一36=0的整数解只能是36的约数 2,即AnB=☑时a的取值范围为{aa≤一3或3≤a≤2. 结合两展的乘积为定值一36，且两然为泰数，可列出两银的所有可能 故A∩B≠o时a的取值范围为{aa>2或一3<a<3.] 情说，然府逐项分新种 当方程的解为一1,36时，m=一35： ☐BA &24a+1y 当方程的解为一2,18时，m=一16： [变式3]3,9.[方法一由已知条件得3∈A,9∈A, 当方程的解为-3,12时，m=一9： 若5∈A,则5￠B(否则5∈A∩B). 当方程的解为一4,9时，m=一5： 当方程的解为一6,6时，m=0: 从而5∈CB,则(CB)几4={5.91，产章粉来合的“行有性 当方程的解为1，一36时，m=35: 与题中条件矛盾，故5任A. 当方程的解为2，一18时，m=16: 同理，1延A,7任A,故A={3,9. 当方程的解为3，一12时，m=9: 方法二A=A门(BU[B)一楼·摩楼定律 当方程的解为4，一9时，m=5. =(A∩B)UA∩CB) 故集合M=(-35,-16,-9,-5,0.5,9,16,35. =3}U{9)=(3,91.] 由集合A满足条件：①②AM:②若a∈A,则一u∈A, [变式4]由MUN=M得NCM. 得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不 故当N=②时，有21+1≤2-t 属于集合A,因为集合M中有4对相反数和元索0， 所以这样的非空集合共有2一1=31个. 即1≤时，MUN=M成立 培优突破练 2-t<2t+1, 1.12=1.2=4,3=9.4=16,52=25.62=36.72=49,82= 当N≠☑时，由图可得〈2十15， 解得<12 64.9=81,1~9的平方是9的倍数的数有3个：3.6,9,1一9 2-1≥-2 的平方除以9的余数分别是1,4.0.7,7,0,4.1.0， 2-t 2t+1 ∴，任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7. 综上可知，所求实数1的取值范围是{：1≤2. 0+0=0,0+1=1,0+4=4,0+7=7,1+1=2.1+4=5, 1十7=8,4十4=8,4十7=11.7十7=14， [变式5]C[由题意可知，集合M,N都是由数轴上0~1这- ,.0,1,4,7中的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M, ,∴.任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平 N的长度"分别为子·子因此要使M门N的长度量小， 方本身是9的倍数： 需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端 2023÷3=674…1. .1~2023的平方是9的倍数的数有674个， 点0和1时，北重叠部分最少，所以所求最小值为子十号 .S的最大值为2023-674+1=1350. 事合S中食有一个平方他被9整徐的数也满是愁意 12 1.3集合的基本运算 变式细练 [变式1]D[A(×),MUN=N≠U:B(×),(CN)U(CM) =C,(M∩N)=CM≠U:C(X),画出Vem图，如图，MU 建册过关练 (CN)≠U,VU(CM)=U:D符合题意.] 1.C[x-1>2可等价转化为x-1>2或x-1<-2. x>3或x<-1,A={xx>3或x<-1 M .CA={x-1≤x≤3.又B={x2<x<4, ∴.(CA)∩B={x2<r≤3.] 4