1.1 集合的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 A基础过关练 。测试时间：15分钟 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[知识点1门(2025·天津南开区高一质量检测) 1.[题型1]下列说法正确的是( ). 下列给出的对象能构成集合的有( A.集合{x∈Nx3=x}用列举法表示为{一1,0,1} ①某校2025年人学的全体高一年级新生； B.实数集可以表示为{x|x为实数}或{R ②√2的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； x十y=3, C.方程组 的解组成的集合为{x= ④不等式3x一10<0的所有正整数解. x-y=-1 A.1个 B.2个 1,y=2 C.3个 D.4个 D.被4除余1的正整数集合为{xx=4n一3， 2.[知识点1]由实数x,-x,|x|,√x2,(√x)2, n∈N》 一x所组成的集合，最多可含有的元素个数为 2.[题型3](2024·河北石家庄期中)已知集合A (). ={x∈Rax2+2x+1=0},其中a∈R.若1是 A.2 B.3 C.4 D.5 3.[重难点1门已知集合M={m一2，m2+4m,9}, 集合A中的一个元素，则集合A=() 且一3是M中的一个元素，则m=( A.{-3 B.(1} A.-3 B.-1或3 C.3 c{3 n传 D.-3或-1 4.[题型3]（多选）已知x,y,之为非零实数，代数 3.[题型2](2025·山东桓台第一中学月考)（多 式后十立十高十的值所组成的集合 选)已知a∈Z,A=(x,y)lax-y≤3}，且(2 xyz 1)∈A,(1,一4)任A,则a的值可能为( 是M,则下列判断正确的是(). A.0M B.2∈M A.-1 B.0 C.1 D.2 C.-4∈M D.4∈M 4.[题型4]新定义(2025·安徽树城中学月考)设 5.[题型1]用列举法表示下列集合： A是非空整数集，对于k∈A,如果k一1任A,且 (A=∈Na°2∈N= k十1氏A,那么k是A的一个“孤立元”.给定S= (B-6=∈NzeN- {1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所 有集合中，不含“孤立元”的集合个数为(). 6.[重难点1]已知M={a-3,2a-1,a2+1}, A.0 B.2 C.4 D.6 N={-2,4a-3,3a-1},若M=N,则实数a 5.[题型3](2025·江苏南通模拟)满足a,b∈{一1， 的值. 0,1,2),且关于x的方程a.x2+2x+b-0有实 数解的有序数对(a,b)的个数为(). A.14 B.13 C.12 D.10 1 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, 6.[题型2]若集合A={2,0,1,3},B={x|-x∈ C培优突破练 ●测试时间：15分钟 A,2-x2任A},则集合B中所有元素的和为 1.新定义(2023·全国高中数学联赛浙 7.[题型2]已知集合A={x|x=m十n√3，且 江预赛)给定实数集合A,B,定义运算 m2-3n2=1,m,n∈Z}. A☒B={xlx=ab+a+b,a∈A,b∈ (1)判断(2+√6)2是否为A中元素； B}.若A={0,2,4,…,18},B={98,99,100}, (2)设c∈A,求证：。C∈A; 则A☒B中的所有元素之和为 2+5 2.新定义(2024·北京丰台区期末)记R(A)为非 (3)求证：若x∈A,则x十1是偶数 空集合A中的元素个数，定义AB= (R(A)-R(B),R(A)R(B) 若A= R(B)-R(A),R(A)<R(B). {1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且 AB=1,设实数a的所有可能取值组成的集 合是S,则R(S)等于(). A.1 B.2 C.3 D.4 2参考答案与提示 4.CD[x,y,x同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M:当 第一章集合与常用逻辑用语 xy,之中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0： 1.1集合的概念 当x,y,同为负数时，代数式的值为一4.] 变武州练 5.(1)0,3,4,5.(2){1,2,3,6. [变式1门B[设a=3m,b=3m十1，c=3s-1,m,n,s∈Z,则 [4“g号∈N,6->0且能整除6 d=3n-(3m+1)+(3x-1)=3(n-m+s)-2=3(n- 又x∈N,.x=0,3,4,5,A={0,3.4,5}. m+s-1)+1,又n-m+s-1∈Z,所以d∈N.] [变式2B[集合A={x|(k十2)x2+2kx十1=0)中只有 (2)由（1知，当x为0345时。相应的值分别为1,2， 1个元素.若k十2=0，即k=一2，方程等价于一4x十 3,6,都是自然数，∴.B={1,2,3,6. 1=0,解得x=,满足条件：若无+2≠0，即表≠一2，则方 (条会任的代表无者美行号一注老与A区分门 程满足△=0，即4快一4(k十2)=0，解得k=2或k=一1.综 6当4-3=-2时，a=1,M={-2,1,2}.N={-2,1,2i,满 上，k=士2或k=-1.] : 足M=N,当2知-1=-2时，a=- 2,M= [变式3]B[若a和b为一奇一偶，则ab=18,满足此条件的 有1×18=2X9=3×6,故数对(a,b)有6个：若和b为同 {子-2，}N={仁2，-5，名引，不满足M=N,当 奇偶，则a十b=18,满足此条件的有0+18=1十17=2+ 注意：雪用代入粉轮法来保证元童的亚异性。 a”十1=一2时，无解.综上，a=1. 16=3+15=4十14=…=17十1=18+0，故数对(a,b)有 19个.所以满足条件的元素个数为6十19=25.] 综合提能练 基和过关练 1.D[A(×),由x3=x得x(.x2-1)=0. x=0或x=1或x=-1.,-1EN,故A错误 1.B[对于①，某校2025年人学的全体高一年级新生，对象确 B(×),R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集)这个 定，能构成集合，故①正确：对于②，互的所有近似值，根据 元素，故B错误 精确度不一样得到的近似值也不一样，因此对象不确定，故 x+y=3, 不能构成集合，故②错误：对于③，某个班级中学习成绩较好 C(×),方程组 的解组成的集合的正确表示为 x-y=-1 是相对而言的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故 x=1, ③错误：对于④，不等式3x-10<0的所有正整数解有1,2， {(1,2)}或{(x,y) ,放C错误.] y=2 3,能构成集合，故④正确.] 2.C[1∈A,a+2+1=0,a=-3,集合A中 2.B[由题意可知，√r,(x),一可分别化为x, x,一x,所以由实数t,一x,x.,(年)，- 的方程为-32+2x+1=0,解得x=-弓或=1，A 所组成的集合，最多可含有3个元素，分别为，一x,此 时x≠士1且x≠0.] 3.BCD[A(×),当a=-1时，一2-1≤3，-1-(-4)≤3，故 求兼多可舍有无青的个数，就让三个数「，一不相等. (2.1)∈A.(1,-4)∈A: r一r，x≠0， B以/)，当a=0时，13.一(-4)>3，故(2,1)∈A.(1,-4) r=工，得《x≠1， -r4x,x≠一1 氏A: 3.A集合M={m-2,m2十4m,9},且一3∈M.①当m- C(/),当a=1时，2-13,1-(-4)>3，故(2,1D∈A,(1, 2=一3时，m=一1，此时，m十m=-3,集合M中的元素 一4)任A: 注意按验是否符合素合中元素的豆异性，香刚易多解 D(/),当a=2时，2×2-1≤3,2×1-(-4)>3，故(2， 不满足互异性，故不符合题意，舍去： 1)∈A,(1,-4)在A.] ②当m2十4m=一3时，m=一1（舍去）或m=一3，若m=一3，：4D[设满足题意的集合为B,若1∈B, 则n一2=一5，此时集合M={一5，一3,9}，符合题意.综上： 1不是“孤立元”，2∈B. 所述，m=一3.] 设另一元素为k,由集合中元素的互异性可得k本1且k≠2， 1 假设k≠3，此时B={1,2,k),k十1任B,k一1B,k是B的： 当R(B)=1时，方程(x十ax)(x2十a.x十2)=0只有一个 一个“孤立元”，不符合题意，故k=3 实数根， 据此分析满足条件的集合为{1,2,3.{2.3,4》.{3,4,5). 而方程x2十a.x=0有一根为0.则另一根必为0，即一a=0. 4,5,6},(5,6,7},{6,7,8},共有6个. 此时x2十a.x十2=0无实根，因此a=0符合题意. 5.B[a,b∈{一1,0,1,2}，可分为下列两种情形. 当R(B)=3时，必有a≠0，此时方程x2十a.x=0有两个不 ①当a=0时，方程为2x十b=0,此时一定有解， 相等的实数根x1=0,xa=一a: 当b=一1,0,1,2时，满足条件的有序数对为(0，一1)，(0， 并且x1=0,x2=一a都不是方程x2十a.x十2=0的根， 0),(0,1),(0,2). 显然方程，x十4x十2=0有两个相等的实数根，且异于x1= ②当a≠0时，方程为一元二次方程，因为有实数解，则△= 0,.x=-a,于是△=a-8=0,解得a=22或-22. 4一4ah≥0，所以ah≤1. 当a=2√2时，方程(x2+4x)(x2十ax十2)=0的根为0， 当a=一1,1,2时，满足条件的有序数对为（一1，一1），（一1， 一22，一√2，满足题意： 0),(-1,1),(-1.2).(1.-1),(1,0),(1.1),(2,-1),(2,0). (在列暴育序数对时，注竟不要造漏，要按一定想律列举) 当a=一2√2时，方程(x2十ax)(x2十ax十2)=0的根为0， 故关于x的方程a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对 22,2,满足题意。 (a.b)的个数为13.] 因此a=0或a=22或a=-22, 6.一5.[由题意可得B={一2，一3，则集合B中所有元素 所以S={0,-22,221,故R(S)=3.] 的和为一5.] 由-r=2,0,1,3分别得出2-x 的值，你去不将金条件的，中可得出 1.2集合间的基本关系 事合B中的元章 变武训综 7.(1)因为(w2十6)=8十4√3，此时m=8,n=4,不满足 [L变式1]看到BCA,想到先考虑B为空集的情况.当B= m一3n2=1,所以(2十6)”不是集合A中的元素. 时，24≥a十1，解得a≥1，此时满足B二A:当B≠时，首 (2)因为c∈A,所以可设c=m十nV3,m,n∈Z,所以C 先，a<1,其次，要使B二A,如图1和图2所示，应有a十1 2+5 -1或2a≥1. =m十n3 2+√3 =(m十5)(2√5)=(2n-3)+(2一m)3. B☐AA A 桥所江元雪转他成与事合中无素相同的形式。对比分 2a+1-11 -1 12aa-1 析是香满足器个条件 图1 图 因为2m一3n,2n一m都是整数， 解得a<-2或a>2,结合a<1得a<-2或2<a<1, 且(2m-3n)2-3(21-m)2=m2-3m°=1，所以C。∈A. 2+3 综上所述a的取值范围是口a<-2或≥》 (3)因为x∈A,所以可设x=m十n√3， 所以x+ =m十3+L =m十n3+m1V③ [变式2B[集合M-仁10，，号，23的所有非空子集中 m+n/3 m2-33 由m2-3m2=1,可得x+上=2m 具有伏样关系的案合为-1…侵，兮，仁1安斗 1 1 11 1 因为m∈乙.所以2m为偶数，即x十十为偶数。 -1332233-12233个数为 [变式3]a=4或3.[因为A恰好有4个子集，所以A中恰 培优突破练 好有2个元素(2=4).由(x-1)(x”一4x+a)=0可得x 1.29970.[由x-b十a+b=(a+1)(b+1)-1可知，所有 1或x2-4x十a=0,所以1∈A. 对进行造当变形，为后辣求元素之知提供了便楚的思路 (怎样能使1中修有两个无量？鲁会方程x2一4十a=0有两相等 元素之和为(1+3+·十19)×(99十100十101)一3×10= 极，且这个铁不是1：要么方程有网个不同的根且其中一个根为1. 29970.] 故常分县讨论】 2.C[由定义得R(A)=2, 若方程x”一4x十a=0恰有一个实数解，则△=(-4)2一4a 结合A*B=1,可知R(B)=1或R(B)=3, =0,解得a=4,代同原方程可得x°一4x十4=0，即(x一2) 由方程(.x+ax)(x+a.x+2)=0, =0,解得x=2,所以A={1,2},满足题意：若方程x一4x 得x十a.x=0或x2十4.x十2=0， 十a-0有两个实数解，则其中一个解为1，所以1一4×1十 2