专题2.1函数概念及其表示讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习（新高考专用）

2.1函数概念及其表示 基础巩固 一、单选题 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等 【解析】注意函数的定义域不同，即可否定BC；进一步考查函数的解析式是否相同，从而对AD作出判定. 【详解】对于A选项，，与g(x)=x的解析式不同，不是同一函数； 对于B选项，，与解析式不同，故不是同一函数； 对于C选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数， 对于D选项，与，的定义域和解析式完全相同，只是表示自变量的字母不同，是同一函数. 故选：D. 【点睛】本题考查同一函数的概念，属于基础题. 判断两个函数是否为同一函数，先利用定义域进行排除是效率较高的方法，然后注意考察函数的解析式是否相同或者可以等价变形为相同即可，注意函数中的自变量或者函数值的字母只是函数的形式，不是函数的本质. 2．（2024�陕西�一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、求对数函数在区间上的值域 【分析】求出函数的定义域可得集合，求出函数的值域可得集合B，再求可得答案. 【详解】，则且， 可得的值域． 故选：B. 3．（24-25高三上�四川南充�开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 4．已知则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、三角函数的化简、求值——诱导公式、对数的运算 【分析】先算得，再计算即得. 【详解】由题意，得， 故． 故选：B． 5．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】将看成一个整体，利用求解即可. 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式、求指数函数在区间内的值域 【分析】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 7．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 8．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的值域或最值 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、简单的指数方程、简单的对数方程 【分析】分两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】由，得或，解得或， 故选：AC 10．已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【知识点】抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 12．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【知识点】求解析式中的参数值 【分析】根据推导出，即可得到，解得即可. 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 14．（2024�北京东城�二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 四、能力提升 15．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 若函数值域是，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）由以及即可求解； （2）分，，三种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若函数的定义域为R，则有且， 解得：，所以m的取值范围是. （2）当时，，值域是，满足条件； 令, , 当m＜0时，的图象开口向下，故的值域不会是，不满足条件； 当m＞0时，的图象开口向上，只需的， 即，解得：， 又 ，所以 综上，， ∴实数m的取值范围是. 故答案为：；. 16．已知函数，试举出一个的值，使得成立，则可以为 ．（写出一个即可） 【答案】-1或7 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用 【分析】根据给出的分段函数自变量的范围,分情况讨论计算即可. 【详解】因为函数, 可得当时,, 当时, 当且时, 与矛盾,不合题意; 当且时, , 则 当时,则, 则,则. 故答案为:-1或7. 17．已知函数满足，其中且，则函数的解析式为 【答案】 【知识点】求抽象函数的解析式、解析法表示函数 【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1） 与已知方程，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得， 令，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用代换，联立方程组，求得是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题. 18．若则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分段函数不等式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】按或0，，和四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围． 【详解】①当或0时，成立； ②当时，，可有，解得； ③当且时， 若，则，解得 若，则，解得 所以 则原不等式的解为， 故选：B 19．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数关系的判断、求函数值 【分析】根据题中定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应， 符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确； 对于选项BC：因为，故B错误，C正确； 对于选项D：由定义可知，故D正确； 故选：ACD. 20．（多选）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【知识点】解析法表示函数、判断全称命题的真假 【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围. 【详解】对于A，，，所以A为假命题； 对于B，，，，所以B为真命题； 对于C，因为，所以，，所以，C为真命题； 对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：BCD 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1函数的概念及其表示 题型1 函数关系的判断 3 题型2 函数的定义域 4 考点1 具体函数的定义域 4 考点2 抽象函数的定义域 5 题型3 函数的解析式 5 题型4 分段函数求值 6 题型5 分段函数与方程、不等式 7 高考真题演练 8 知识点一 函数的概念 1.函数的定义 一般地，设A，B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中x叫自变量，x的取值集合A叫函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域. 2.函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 3.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 知识点二 函数的表示方法 (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (3)列表法：就是列出表格表示两个变量之间的对应关系. 知识点三 分段函数 函数与函数是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个解析式，而后者的定义域被分为两部分，而在不同的部分有不同的解析式。在函数的定义域内，对于自变量x在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。 注：分段函数常见的几种类型 ①取整函数： (表示不大于x的最大整数)。 ② ③含绝对值符号的函数。如 ④自定义函数。如 拓展1 函数定义域的求法 1.求给出解析式的函数的定义域的基本方法函数以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况： (1)当为整式型函数时，定义域为； (2)当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)当f(x)为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； (4)函数中的底数不为0； (5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 2.求抽象函数和复合函数的定义域 (1)复合函数的定义 设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，如果∩≠，那么对于内的任意一个，经过后有唯一确定的值与之对应，则变量与之间通过变量形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:，其中为自变量，为中间变量，为因变量(即函数).其中称为内函数，称为外函数. (2) 对于抽象函数 若已知函数的定义域为,则复合函数的定义域由不等式求出; 若复合函数的定义域为,则函数的定义域为的值域. 拓展2 函数解析式的求法 (1)配凑法：通过观察，根据复合函数内层的结构，将函数方程的右边也凑配出相同的形式.如已知求f(x)，可以配凑成那么f(x)= (2)换元法：换元法是将函数的自变量或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数与中间变量的关系，从而求出函数的解析式.如已知，求f(x)，可以令2x-1=t，则代入得所以-1. (3)解方程组法：此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出待求的函数.如已知求f(x)，以替代函数方程中的x，得到联立消去得 (4)待定系数法：已知函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单，它适用于所求函数是多项式的情形.如已知f(x)为一次函数，且f(1)=0，f(3)求f(x). (5)赋值法：将某一数值赋给某个变量的过程，称为赋值.对于有些问题，若能根据其具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题得到简捷有效的解决. 题型1 函数关系的判断 1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；      ②； ③；    ④． 3．(多选)下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2 函数的定义域 考点1 具体函数的定义域 5．函数的定义域为（    ） A． B．（-∞，-1]∪[6，+∞） C． D．（-∞，2]∪（3，+∞） 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2024�青海海南�二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点2 抽象函数的定义域 10．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（2023�河北衡水�模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（    ） A． B． C．MN D．NM 题型3 函数的解析式 15．（2024高三�全国�专题练习）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． 16．（1）已知是一次函数，若，求． （2）已知为二次函数且；求． 17．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 20．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 题型4 分段函数求值 21．若函数，则（    ） A． B． C．1 D． 22．（2024�辽宁沈阳�二模）已知函数，则 ． 23．（2023�全国�模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 24．设，若，则（        ） A． B． C． D． 25．(多选)函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（    ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是非奇非偶函数 D．对任意实数，都有 题型5 分段函数与方程、不等式 26．已知函数，若，则的值是 A． B．或 C． D．或 27．（23-24高三上�河北唐山�期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 28．已知函数若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．（2023�青海西宁�二模）已知，若，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 30．（2024�江西南昌�二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 31．设函数，则满足成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．(多选)设函数则使不等式成立的实数a的取值范围可以是（    ） A．（0，1） B． C． D． 33．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则的值是 D．的解集为 34．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 1．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 4．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 5．（2018·全国I卷·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2020·山东·高考真题）已知函数. （1）求的值； （2）求，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 函数概念及其表示 基础巩固 一、单选题 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2024�陕西�一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上�四川南充�开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知则（    ） A．1 B．2 C． D．4 5．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 三、填空题 11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 12．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 14．（2024�北京东城�二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 四、能力提升 15．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 若函数值域是，则实数m的取值范围是 ． 16．已知函数，试举出一个的值，使得成立，则可以为 ．（写出一个即可） 17．已知函数满足，其中且，则函数的解析式为 ． 18．若则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 20．（多选）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 函数的概念及其表示 题型1 函数的判断 3 题型2 函数的定义域 6 考点1 具体函数的定义域 6 考点2 抽象函数的定义域 9 题型3 函数的解析式 10 题型4 分段函数求值 14 题型5 分段函数与方程、不等式 17 高考真题演练 22 知识点一 函数的概念 1.函数的定义 一般地，设A，B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中x叫自变量，x的取值集合A叫函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域. 2.函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 3.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 知识点二 函数的表示方法 (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (3)列表法：就是列出表格表示两个变量之间的对应关系. 知识点三 分段函数 函数与函数是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个解析式，而后者的定义域被分为两部分，而在不同的部分有不同的解析式。在函数的定义域内，对于自变量x在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。 注：分段函数常见的几种类型 ①取整函数： (表示不大于x的最大整数)。 ② ③含绝对值符号的函数。如 ④自定义函数。如 拓展1 函数定义域的求法 1.求给出解析式的函数的定义域的基本方法函数以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况： (1)当为整式型函数时，定义域为； (2)当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)当f(x)为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； (4)函数中的底数不为0； (5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 2.求抽象函数和复合函数的定义域 (1)复合函数的定义 设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，如果∩≠，那么对于内的任意一个，经过后有唯一确定的值与之对应，则变量与之间通过变量形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:，其中为自变量，为中间变量，为因变量(即函数).其中称为内函数，称为外函数. (2) 对于抽象函数 若已知函数的定义域为,则复合函数的定义域由不等式求出; 若复合函数的定义域为,则函数的定义域为的值域. 拓展2 函数解析式的求法 (1)配凑法：通过观察，根据复合函数内层的结构，将函数方程的右边也凑配出相同的形式.如已知求f(x)，可以配凑成那么f(x)= (2)换元法：换元法是将函数的自变量或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数与中间变量的关系，从而求出函数的解析式.如已知，求f(x)，可以令2x-1=t，则代入得所以-1. (3)解方程组法：此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出待求的函数.如已知求f(x)，以替代函数方程中的x，得到联立消去得 (4)待定系数法：已知函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单，它适用于所求函数是多项式的情形.如已知f(x)为一次函数，且f(1)=0，f(3)求f(x). (5)赋值法：将某一数值赋给某个变量的过程，称为赋值.对于有些问题，若能根据其具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题得到简捷有效的解决. 题型1 函数的判断 1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数关系的判断、抽象函数的定义域、函数图像的识别、抽象函数的值域 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 【答案】①③④ 【知识点】函数关系的判断 【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确； 对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误； 对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确； 对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确． 故答案为：①③④. 3．(多选)下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B正确； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：BD． 4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数. 【详解】对于A，的定义域为的定义域为， 两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为的定义域为R， 两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为的定义域为， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，故C正确； 对于D，的定义域为, 的定义域为或，两函数的定义域不同，不是相同函数，故D错误； 故选：C. 题型2 函数的定义域 考点1 具体函数的定义域 5．函数的定义域为（    ） A． B．（-∞，-1]∪[6，+∞） C． D．（-∞，2]∪（3，+∞） 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分母不为0和开平方时需被开方数大于等于0，列不等式组，即可求得. 【详解】要使有意义， 只需，解得. 即函数的定义域为. 故选：C 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由，解不等式得出定义域. 【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为. 故选：D 7．（2024�青海海南�二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 8．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式、指数不等式 【分析】根据对数，根式有意义的条件列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，， 因为函数在R上是增函数，所以由，即，解得； 又一元二次不等式，即，解得； 所以由，可得，即. 故选：C. 9．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，分类讨论，当时，由二次不等式恒成立条件得解. 【详解】由题意，在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则需，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：B 考点2 抽象函数的定义域 10．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 11．（2023�河北衡水�模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C 12．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】首先得的定义域为，进一步列不等式组即可得解. 【详解】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用整体替换方法解出函数定义域； 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则函数可知，解得或 函数的定义域为. 故选：D. 14．已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（    ） A． B． C．MN D．NM 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】分别求出的定义域为M和的定义域为N即可求解. 【详解】，则， ，则，所以， 故选：B． 题型3 函数的解析式 15．（2024高三�全国�专题练习）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）设，由换元法可得出答案. （2）由，由配凑法可得答案. （3）可设，利用待定系数法可得答案. （4）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）（换元法）设，则． 所以，所以． 即． （2）（配凑法）因为， 又当时，（当且仅当时取“”）， 当时，（当且仅当时取“”）， 所以． （3）（待定系数法）因为是一次函数，可设， 所以. 即，所以 解得 所以的解析式是． （4）（方程组法）因为，① 所以将用替换，得，② 由①②解得． 16．（1）已知是一次函数，若，求． （2）已知为二次函数且；求． 【答案】（1）或（2） 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】（1）由题意，设f（x）＝ax+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；（2）由题意，设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，利用待定系数法求解即可． 【详解】∵f（x）是一次函数， ∴设f（x）＝ax+b，（a≠0）， 则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b， 又∵f[f（x）]＝9x+3， ∴a2x+ab+b＝9x+3， 即， 解得或， ∴f（x）＝3x+或f（x）＝﹣3x-； （2）∵f（x）为二次函数， ∴设f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0）， ∵f（0）＝3， ∴c＝3． 由f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，即a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2， 解得：a，b， ∴f（x）的解析式为：f（x）x2x+3． 【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题． 17．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 18．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】通过换元法求出函数的解析式即可． 【详解】解： 令则，且 ， ， 故选： 【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查换元思想，是一道基础题． 19．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】令为，则，然后与联立可求出 【详解】令为，则， 与联立可解得，． 故选：D． 20．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 【答案】答案不唯一 【知识点】求抽象函数的解析式、对数的运算性质的应用、对数函数的概念判断与求值 【分析】由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数. 【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数， 又因为在上是减函数且， 所以满足条件的一个函数可取， 故答案为：(答案不唯一). 题型4 分段函数求值 21．（23-24高三上�陕西安康�阶段练习）若函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求分段函数值 【分析】先计算出，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 22．（2024�辽宁沈阳�二模）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算性质的应用、对数函数图象的应用 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 23．（2023�全国�模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】根据分段函数的定义结合对数的运算性质求解. 【详解】由题可知，当时，， 所以， 因为， 故选:C. 24．设，若，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值. 【详解】因为，且. 当时，则，由可得，解得，合乎题意. 当时，由可得，无解. 所以，，则. 故选：C. 25．(多选)函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（    ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是非奇非偶函数 D．对任意实数，都有 【答案】ABD 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】利用狄利克雷函数的定义代入计算可得A正确；求出函数的值域为，可知B正确；由奇偶性定义可得是偶函数，即C错误；分别对和进行分类讨论可知D正确. 【详解】对于A，根据狄利克雷函数定义可知，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为， 当时，；当时，； 即函数的值域为，所以B正确； 对于C，易知函数的定义域关于原点对称，当时，，则； 当时，，则，即为偶函数，所以C错误； 对于D，当时，，此时； 当时，，此时，所以D正确； 故选：ABD 题型5 分段函数与方程、不等式 26．已知函数，若，则的值是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】按和分类，分别计算，得到的值，从而得到答案. 【详解】当时，由， 得，解得， 当时，由， 得，解得， 故的值为或. 故选：D. 【点睛】本题考查根据分段函数的值求自变量的值，属于简单题. 27．（23-24高三上�河北唐山�期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、特殊角的三角函数值 【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即可得解. 【详解】函数，， 所以. 故选：B 28．已知函数若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数的运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解. 【详解】根据题意，当时，，不符合题意； 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． 故选:B． 29．（2023�青海西宁�二模）已知，若，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可. 【详解】由题意，，，即. 当，即时，，解得，满足题意； 当，即时，，解得，满足题意. 所以或. 故选：B. 30．（2024�江西南昌�二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 31．设函数，则满足成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数图像应用、解分段函数不等式 【分析】结合图象化简，由此确定正确选项. 【详解】画出图象如下图所示， 由于， 所以或，这两个不等式组无解， 所以满足成立的的取值范围是空集. 故选：D 32．(多选)设函数则使不等式成立的实数a的取值范围可以是（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由解析式，应用奇偶性定义可得为奇函数，并确定其值域、单调性，进而讨论、，结合的性质解不等式求a的取值范围. 【详解】由题设，当时，，则， 当时，，则， 综上，为奇函数， 在、上值域均为R且分别单调递增； ∴，可得，即， 当时，，可得； 当时，，可得； ∴a的取值范围为或. 故选：BC. 33．(多选)已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则的值是 D．的解集为 【答案】BC 【知识点】具体函数的定义域、已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值、解分段函数不等式 【解析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、 B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误． 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去)， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得，当时，，解得-， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC． 【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题． 34．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】函数新定义、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】令，求出所对应的的取值范围，从而求出的解析式，画出的图象，再由，，即可求出区间长度的最大值. 【详解】令，即，解得， 所以， 则的图象如下所示： 又，， 要使函数在区间的值域为，当时，当时， 所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为. 故选：D 1．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数值 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 2．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 【答案】2 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 4．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 5．（2018·全国I卷·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 6．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、抽象函数的值域 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2020·山东·高考真题）已知函数. （1）求的值； （2）求，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】几何意义解绝对值不等式、解分段函数不等式、求分段函数值 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可； （2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可. 【详解】解：（1）因为， 所以，因为， 所以. （2）因为， 则， 因为，所以， 即，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$