1.5 全等三角形的判定（第1课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.5 全等三角形的判定（第一课时） 题型一：用SSS证明三角形全等（选填） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，连接，则 ． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出 全等． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于D，．在不添加辅助线的情况下，图中全等三角形共有 对．    7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．    题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 2．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 题型三：找出三角形全等的判断依据 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州黔东南·二模）如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在的边，上分别取，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与，重合（即）．此时过直角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 题型四：简单的利用“SSS”全等三角形的判断（解答题） 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 5．（24-25八年级上·广西柳州·期中）是的中点，，．求证： (1)求证∶； (2)证明：． 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，． (1)求证：； (2)求度数． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 7．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在和中，，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ． 题型六：全等三角形判定“SSS”中尺规作图问题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点P，使得，作出． (2)如图2，作中边上的中线． 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中在边上找到格点D，连结，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点E，连结，使与图①中的相等． (3)在图③中的的外部找到一个格点F，连结，使与图①中的相等． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）图①、图②、图③均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．请在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出的边上的高． (2)在图②中，画出的中线． (3)在图③中，画出的角平分线． 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=_______； (3)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成． (1)如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半． (2)如图2，在制作骨架时，小明的作法是：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ． (3)如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由． 6．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积= ． (3)顶点在格点，找出以为一边且与全等（不与重合）的三角形 个． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，为格点三角形．图1，图2，图3都是的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作格点三角形： (1)在图1中作，使是由经过平移而得到的全等图形； (2)在图2中作，使它与全等（利用“边边边”）； (3)在图3中作，使是由沿所给虚线翻折而得到的全等图形； 题型一：全等三角形的性质与”SSS”综合 1．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 4．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证： (1)是的平分线； (2)． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为19，为6，求的周长 (2)若，，求的度数． 题型二：全等三角形判定“SSS”中多结论问题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 1．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，垂直平分，垂足为E，连接，则图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，连接点与角尺的顶点，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 11．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，、分别是、的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 15．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（2024·江西·模拟预测）如图，在中，，点D是延长线上一点，且，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹) (1)如图1，E是线段延长线上一点，连接，在图中作出一个以点D为顶点的，使； (2)如图2，E是外一点，连接，在图中作出一个以点D为顶点的，使. 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全等三角形的判定（第一课时） 题型一：用SSS证明三角形全等（选填） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故选B． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据判定三角形全等即可得解． 【详解】解：在和中， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 【答案】SSS 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，本题要用，直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出 全等． 【答案】和△ACD(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“”判定三角形全等即可作答． 【详解】证明：在和△ACD中 ∵， ∴， 故答案为：和△ACD． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于D，．在不添加辅助线的情况下，图中全等三角形共有 对．    【答案】3 【分析】由，，根据线段垂直平分线的性质得，，则可根据“”判断和，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：3． 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．    【答案】 【分析】由、、可证出；由、、可证出．综上即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定． 【详解】∵，， ∴当时，根据可判定； 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件． 先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加． 【详解】解：点是，的中点， ，， 当添加时，． 故答案为：． 题型三：找出三角形全等的判断依据 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：∵点，分别是，的三等分点， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 2．（2024·贵州黔东南·二模）如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据题意可得和，结合即可利用证明． 【详解】解：∵以点为圆心，画弧，分别交于点， ∴， ∵以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图和全等三角形的判定．利用基本作图得到，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得， 所以， 所以， 即． 故选：A． 6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在的边，上分别取，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与，重合（即）．此时过直角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意：，，， ， ． 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 题型四：简单的利用“SSS”全等三角形的判断（解答题） 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）直接根据证明即可； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明. 【详解】（1）证明：在和中 ∴（） （2）∵ ∴在的垂直平分线上 ∵ ∴在的垂直平分线上 ∴是垂直平分线 ∴ 5．（24-25八年级上·广西柳州·期中）是的中点，，．求证： (1)求证∶； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、邻补角互补等知识点，证得是解题的关键． （1）由点C是的中点可得，然后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据邻补角相等可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． 在与中， ， ． （2）证明：∵， ， 又， ． 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据周角定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 7．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解：，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在和中，，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 证，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质及邻补角即可求出最后结果． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ∴在中，由三角形性质得：， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连结，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连结， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 9．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：全等三角形判定“SSS”中尺规作图问题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点P，使得，作出． (2)如图2，作中边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的性质和判定等知识． （1）根据全等三角形的概念，结合全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，取格点和，连接交于点D，点D即为中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； ； （2）解：如图所示，线段即为所求．（取格点和，连接交于点D，点D即为中点，连接即可）． 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中在边上找到格点D，连结，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点E，连结，使与图①中的相等． (3)在图③中的的外部找到一个格点F，连结，使与图①中的相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）构造全等三角形即可； （3）构造全等三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，即为所求， 3．（24-25八年级上·吉林·期中）图①、图②、图③均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．请在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出的边上的高． (2)在图②中，画出的中线． (3)在图③中，画出的角平分线． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【分析】（1）根据题意，作出垂线段； （2）在网格上的中点，连结； （3）根据角平分线的定义作图即可； 【详解】（1）解：根据题意作图如下； （2）解：根据题意作图如下； （3）解：根据题意作图如下； 根据网格图可知，，， 故， 故， 故为的角平分线； 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=_______； (3)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 【答案】(1)见详解 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用判定三角形全等的方法是解题关键． （1）连接，作出的垂直平分线即可； （2）利用“割补法 ”即可求得的面积； （3）分别作出以为公共边，且与其它两边、对应相等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，连接，作出的垂直平分线l； 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）的面积； 故答案为：3； （3）作图如下： 即为所作． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成． (1)如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半． (2)如图2，在制作骨架时，小明的作法是：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ． (3)如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分线；；垂直平分线的点到线段两端距离相等 (3)平分；理由见解析 【分析】此题考查了画轴对称图形，垂直平分线的尺规作图和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据轴对称性质画图即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； （3）根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示， （2）根据作图可得，线段所在的直线称为线段的垂直平分线， 则，理由是垂直平分线的点到线段两端距离相等； （3）平分，理由如下： ∵所在的直线称为线段垂直平分线， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴平分． 6．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积= ． (3)顶点在格点，找出以为一边且与全等（不与重合）的三角形 个． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)1 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用判定三角形全等的方法是解题关键． （1）连接，作出的垂直平分线即可； （2）利用“割补法 ”即可求得的面积； （3）分别作出以为公共边，且与其它两边、对应相等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，连接，作出的垂直平分线l； 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）的面积； 故答案为：3； （3）如图，以为一边且与全等（不与重合）的三角形共有3个． 故答案为：3． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，为格点三角形．图1，图2，图3都是的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作格点三角形： (1)在图1中作，使是由经过平移而得到的全等图形； (2)在图2中作，使它与全等（利用“边边边”）； (3)在图3中作，使是由沿所给虚线翻折而得到的全等图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图平移变换，轴对称变换，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质作图即可． （3）分别作点，，关于所给虚线的对称点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求作． （2）解：如图2中，即为所求作． （3）解：如图3中，即为所求作． 题型一：全等三角形的性质与”SSS”综合 1．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解； （2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， 的周长 ； （2）解：，， ， ∵在和中， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，根据外角的定义得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解： 设、相交于点， ， ， 又，， ， ， ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 4．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和外角关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明即可求证； （2）利用全等三角形的性质、角平分线和外角关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 平分， ， ∵， ． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证： (1)是的平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，即可得证； （2）根据角平分线的性质定理即可得证． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：由（）得是的平分线， ∵，， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为19，为6，求的周长 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的证明与性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可知，，，结合的周长，可以推出，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理，可知，再证明，得到，结合邻补角，得到的度数，最后结合三角形内角和定理，推出． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 的周长为19 的周长为：7 （2）解：， 垂直平分， ， 又 题型二：全等三角形判定“SSS”中多结论问题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可. 【详解】解：∵D为的中点， ∴， 又∵为公共边 ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，即，故②③④正确. 综上所述：正确的结论有①②③④共4个， 故选D. 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，，， ∴，故①正确； ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴四边形的面积是； 故③错误； ∵， ∴ ∴． 故④正确． 综上所述，正确的是①②④； 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 1．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，垂直平分，垂足为E，连接，则图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，垂直平分线的性质，注意：全等三角形的判定定理有．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， 故有3对三角形全等， 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，连接点与角尺的顶点，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选：A． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 先根据全等三角形的判定证明，则，再利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．根据作图过程可得，利用证明，即可得结果． 【详解】解：如图，连接， 根据作图过程可知：， 在和中， ， ， ， 则的度数为． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解， 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明可得，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 11．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，、分别是、的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由三角形中线求面积，连接，利用证明，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 分别是的中点， ，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：5． 12．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    【答案】 【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证得；又因为，为公共边，是角平分线，从而可根据证明，则有，由则有，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】∵为的角平分线，于，于， ∴， ∴点在的垂直平分线上，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴点在的垂直平分线上， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴，故错误， 由，， ∴， ∴，故正确； ∵的大小不确定， ∴不能确定，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，即可得证； （2）过点P作于点G，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ． ， 即， 平分． （2）解：如图，过点P作于点G． 平分，， ． 且， ，， ， ． 15．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 16．（2024·江西·模拟预测）如图，在中，，点D是延长线上一点，且，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹) (1)如图1，E是线段延长线上一点，连接，在图中作出一个以点D为顶点的，使； (2)如图2，E是外一点，连接，在图中作出一个以点D为顶点的，使. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，根据即可说理； （2）延长交射线于点，连接，同（1）可证明，即可说理． 【详解】（1）解：如图1，即为所求： 连接， 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图1，即为所求： 延长交射线于点，连接， 同上可证明， 故即为所求． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$