专题1.6 正方形的判定（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题1.6 正方形的判定 教学目标 1．熟练掌握正方形的判定 2．利用判定定理解决相关问题. 教学重难点 1.重点：掌握正方形的判定方法； 2.难点：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 知识点01 ：正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形； 2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即学即练】 1．下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意； ∵∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∵ ∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意； 故选B． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断； （3）过作于点，过作于点，勾股定理求得，根据已知条件得出，进而求得，勾股定理求得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 知识点02 ：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【知识点】正方形性质理解、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当点运动到中点时，四边形为矩形． (4)当时，矩形是正方形． 【知识点】证明四边形是矩形、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是正方形 【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质，即可求解； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，，可得； （3）利用矩形的判定可求解； （4）利用正方形的判定可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：．理由如下 ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形．理由如下： ∵为中点， ∴， 由（）得， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（3）得当点运动到中点时，四边形为矩形． ∴矩形是正方形． 题型01 正方形的判定定理理解 【典例1】有以下说法：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形．其中说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握正方形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：（1）四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； （2）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的个数为， 故选：A． 【变式1】判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形加判定菱形的条件可判定正方形，菱形加判定矩形的条件可判定正方形，据此即可求解；掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形； 故选：B． 【变式2】下列命题成立的是（   ） A．一个角是90°的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查矩形及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 根据矩形及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：A、有一个角是的平行四边形是矩形，故原说法错误； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误； C、一组邻边相等的矩形是正方形，故原说法正确； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法错误； 故选：C． 【变式3】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①对角线相等 B．③对角线互相垂直 C．②有一组邻边相等 D．④对角线互相平分 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此可得答案． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形， 故错误的只有④， 故选： D． 题型02 添一个条件使四边形是正方形 【典例1】如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定． 根据题意得到平行四边形是菱形，根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形． 当时， 菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可直接作答． 【详解】解：由正方形的判定方法可知： 要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【答案】 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 【变式3】如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    【答案】且 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 题型03 证明四边形是正方形 【典例1】如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定．熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【变式1】如图，在中， ，，D、E、F分别是边的中点．          (1)求的长． (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】证明四边形是正方形、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，正方形的判定与性质： （1）利用直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）先根据三角形中位线的性质推出，，根据，易证四边形为菱形，结合，即可证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵ ，E是中点， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2）证明：∵D、E、F分别是边的中点． ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴菱形为正方形． 【变式2】如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明四边形是正方形、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（）利用矩形的性质证明四边形和四边形是平行四边形，得，，进而即可求证； （）证明，得，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质，证明四边形是矩形，证明四边形是正方形． （1）根据，，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）当，可证明四边形是正方形，得到，据此可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， 四边形是矩形． （2）证明四边形是菱形，， 四边形是正方形． ，，． ． 由（1）知四边形是矩形， 四边形是正方形． 题型04 根据正方形的性质与判定求解 【典例1】如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】如图所示，点作于，过点作交延长线于， 连接， 则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则， ， 如图所示， 在上取一点， 使得， 连接， 可证明，推出， 则，； 设， 导角可证明， 则， 设， 由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，过点作于，过点作交延长线于， 连接，∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 【变式2】如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】2或12 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据关于对称的图形为，，，可得，，，若是直角三角形，根据题意可得不可能为直角，故分为和当时，画出图形，则，证明四边形是矩形，得出，证得四边形是正方形，可得，即可求出；当时，画出图形，过点作，证明四边形 是矩形，得出，勾股定理求出，得出，设，则，在中根据勾股定理列方程求出，即可解答； 【详解】解：∵关于对称的图形为，，，， ∴，，， 若是直角三角形， 分为和 当时，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 当时，如图 过点作， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， ∴， 综上，则的长为2或12； 故答案为：2或12． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解决问题． 【变式3】如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、勾股定理与折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】（1）取的中点，连接，利用线段中点的定义和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，则有，由翻折的性质得，，，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）过点作交延长线于点，先证明四边形是正方形，得到，，进而推出，得到，再利用翻折的性质和角的和差即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， ， ， 、分别为、的中点， ，，，， ， ， 由翻折的性质得，，，， ，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 故答案为：； （2）过点作交延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 由（1）得，， 矩形是正方形， ，， ， 又，， ， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， 的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型05 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 【典例1】如图，在中，，，，E为的中点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，垂足为F；（利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与证明：试猜想四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定、正方形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规过点A作的垂线即可； （2）利用平行四边形的性质得到，，由（1）作图可得，结合推出是等腰直角三角形，，利用线段的和差得出，再利用正方形的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）解：四边形是正方形，理由如下： ， ，， E为的中点， ， 由（1）得，， ， 又， 是等腰直角三角形，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【变式1】如图，线段的端点分别在正方形的边和边上，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出一个以线段EF为对角线的正方形，其中点G，H分别在和上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】此题考查了基本作图和正方形的判定和性质，准确作图是关键． （1）分别以点B和点D为圆心，以AE为半径画弧，与和分别交于点G和H，连接可得四边形即为所求正方形； （2）证明，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求正方形． （2）证明：正方形， ． 由作图可知，， ． ． ． 四边形为正方形． 【变式2】如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出边的中点； (2)在图2中，画出边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及判定等知识． （1）连接交于的O，作直线交于点F，根据正方形的性质可得点O在的垂直平分线上，再根据，可得，即可求解； （2）连接交于点H，连接，并延长交于点G，证明四边形是正方形，四边形是平行四边形，可得，再证明四边形是平行四边形，可得为的中点，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图1，点即为所作； ； （2）解：如图2，点即为所作； ． 【变式3】已知是菱形的对角线． (1)如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． (2)尺规作图：在图2中作正方形，其中在上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，尺规作图，解题的关键是熟练掌握正方形和菱形的判定． （1）连接，根据菱形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于点M、N，连接、、、，则四边形即为所求． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于点M、N，连接、、、，则四边形即为所求作的正方形． ∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴、互相垂直平分，且相等， ∴四边形为正方形． 题型06 正方形的性质与判定的综合问题 【典例1】如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形判定和性质，矩形判定和性质，全等三角形判定和性质，角平分线判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 【变式1】如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）先证根据证得四边形为矩形，再证明进而可证得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证； （2）延长到点M，使，连接，先证可得，，进而可证得，即可得证； （3）由（2）可知，则的周长为，由此可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点E逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴矩形为正方形； （2）证明：如图，延长到点M，使得，连接， ∵在正方形中 ∴，， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为， ∵正方形的边长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式2】如图1所示，在中，，点是两个外角平分线、的交点，的延长线，垂足为点，的延长线，垂足为点， (1)直接写出______； (2)求证：四边形为正方形； (3)如图2所示，在正方形中，点、点分别是线段和线段上任意两点且，请写出线段、、的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的性质，角平分线的定义，熟知正方形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理得到，再由平角的定义推出，则由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得答案； （2）如图所示，过点D作于H，可证明四边形是矩形，再由角平分线的性质推出，则可证明四边形是正方形； （3）延长到G，使得，连接，证明，再证明，得到，则可得到。 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵点是两个外角平分线、的交点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∵点是两个外角平分线、的交点，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长到G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴。 【变式3】如图①．点E为正方形内一点．，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F．连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状．并说明理由； （2）如图②．若．请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得，， 又∵ ∴四边形是矩形 又∵， ∴四边形是正方形； （2），证明如下： 如图②所示，过点D作，垂足为H 则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图①所示，作于G， ∵四边形是正方形 ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， 由（2）可知：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 2．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误； 当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确； 当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确； 当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误； 结论中正确的是②③，共2个， 故选：C． 3．在复习特殊平行四边形时，老师画出了特殊平行四边形之间的关系图（沿箭头方向转换），某同学在①②③④⑤处分别填上转换需要的条件：①一组邻边相等；②有一个直角；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤有一个直角且一组邻边相等．其中填写错误个数有 （     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解、利用平行四边形的性质求解、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定．根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：有一个是直角的平行四边形是矩形，①的说法错误； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，②的说法错误； 对角线互相垂直的矩形是正方形，③的说法正确； 对角线相等的菱形是正方形，④的说法正确； 有一个直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形，⑤的说法正确． 综上，填写错误的个数有2个， 故选：C． 4．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 5．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则，即可解答． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选A． 6．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，根据“对角线相等的菱形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是，理由 ∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 7．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交x轴于点M， ∵点A的坐标为， ∴． ∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴． ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点O的对应点的坐标为． 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接，则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则，如图所示，在上取一点H，使得，连接，可证明，推出，则，；设，导角可证明，则，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接， ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示，在上取一点H，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 11．如图，已知中，，是的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．请解答下列问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形；见解析 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明，然后证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线得到，即可证明为菱形； （2）根据等腰三角形三线合一得到，即可证明其为正方形． 【详解】（1）证明：， ， ∵是中点， ， ∵ ∴， ， ∵是中点， ， 四边形是平行四边形， 又∵，是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形； 理由：，，是的中点， ， ∴， ∵四边形是菱形 ∴四边形是正方形． 12．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 13．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是正方形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 14．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可； （3）当，四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下： 为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）解：当时， ， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）过点G作交延长线于H，证明是等腰直角三角形，可求出，证明，得到，则可证明，由（1）可得，，证明四边形是矩形，得到，则可得到，则； （3）分当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【详解】（1）证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：如图所示，过点G作交延长线于H 由正方形的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当与的夹角为时，点F在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 16．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）先说明可得，再证明得到，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论； （2）由可得，再证明可得，从而得到等腰三角形； 类比迁移：如图，延长到点H，使，连接，由菱形的性质可证明，再结合已知可得是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 类比迁移：如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴是等边三角形， ， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 正方形的判定 教学目标 1．熟练掌握正方形的判定 2．利用判定定理解决相关问题. 教学重难点 1.重点：掌握正方形的判定方法； 2.难点：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 知识点01 ：正方形的判定 1.定义法：有一组 ，并且 的平行四边形； 2.先证四边形是 ，再证明它有 （即矩形）； 3.先证四边形是 ，再证明它有 （即菱形）. 【即学即练】 1．下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 3．如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 知识点02 ：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 2．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 3．如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 题型01 正方形的判定定理理解 【典例1】有以下说法：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形．其中说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 【变式2】下列命题成立的是（   ） A．一个角是90°的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 【变式3】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①对角线相等 B．③对角线互相垂直 C．②有一组邻边相等 D．④对角线互相平分 题型02 添一个条件使四边形是正方形 【典例1】如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 【变式1】在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【变式2】如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【变式3】如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    题型03 证明四边形是正方形 【典例1】如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【变式1】如图，在中， ，，D、E、F分别是边的中点．          (1)求的长． (2)求证：四边形是正方形． 【变式2】如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 【变式3】如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 题型04 根据正方形的性质与判定求解 【典例1】如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 【变式1】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【变式2】如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【变式3】如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 题型05 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 【典例1】如图，在中，，，，E为的中点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，垂足为F；（利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与证明：试猜想四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由． 【变式1】如图，线段的端点分别在正方形的边和边上，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出一个以线段EF为对角线的正方形，其中点G，H分别在和上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． 【变式2】如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出边的中点； (2)在图2中，画出边的中点． 【变式3】已知是菱形的对角线． (1)如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． (2)尺规作图：在图2中作正方形，其中在上（保留作图痕迹，不写作法）． 题型06 正方形的性质与判定的综合问题 【典例1】如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【变式1】如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【变式2】如图1所示，在中，，点是两个外角平分线、的交点，的延长线，垂足为点，的延长线，垂足为点， (1)直接写出______； (2)求证：四边形为正方形； (3)如图2所示，在正方形中，点、点分别是线段和线段上任意两点且，请写出线段、、的数量关系并说明理由． 【变式3】如图①．点E为正方形内一点．，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F．连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状．并说明理由； （2）如图②．若．请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，请直接写出的长． 1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．在复习特殊平行四边形时，老师画出了特殊平行四边形之间的关系图（沿箭头方向转换），某同学在①②③④⑤处分别填上转换需要的条件：①一组邻边相等；②有一个直角；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤有一个直角且一组邻边相等．其中填写错误个数有 （     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 6．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 7．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 8．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 9．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ． 10．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 11．如图，已知中，，是的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．请解答下列问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 12．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 13．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 14．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 15．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 16．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$