专题1.5 正方形的性质（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题1.5 正方形的性质 教学目标 1.熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。 2.知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。 3.应用正方形的性质进行相关计算、证明。 教学重难点 1.重点：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理； 2.难点：会利用正方形的性质进行相关的计算和证明． 知识点01 ：正方形的定义 定义：有 ，并且 的 叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 ：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边—— 、 、 ； 2.角—— ； 3.对角线——① ，② ，③ ； 4.是轴对称图形， ；又是 ，两条 是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即学即练】 1．正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 3．【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 题型01 正方形性质的理解 【典例1】正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【变式1】下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 【变式2】菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【变式3】菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 题型02 根据正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形、分别是菱形与正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在正方形中，O是的中点，过点O作于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03 根据正方形的性质求线段长 【典例1】若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 【变式1】如图，已知正方形的边长为为对角线，点在上，且，连接，则的长为 ． 【变式2】如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为 ． 【变式3】如图，在正方形的边上取点E，以为边在的右侧构造正方形，连接，点P，Q分别为的中点，连接．若，，则 ． 题型04 根据正方形的性质求面积 【典例1】如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 【变式1】如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 【变式2】如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为 ． 【变式3】如图所示，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 题型05 求正方形重叠部分面积 【典例1】如图，正方形的对角线和相交于点O，O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F．当，可以计算出 ． 【变式1】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 【变式2】如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 【变式3】在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 题型06 正方形中的折叠问题 【典例1】边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ． 【变式1】将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【变式2】如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 题型07 根据正方形的性质证明与求解 【典例1】如图，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，点P是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转到的位置． (1)旋转中心是点 ，点P旋转的度数是 ； (2)连接，的形状是 ； (3)若，求的长． 【变式2】如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【变式3】在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F． (1)连接，如图1， ①求证：； ②若，求的度数． (2)如图2，过点F作交于点G，求证：． 1．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．每条对角线平分一组对角 2．如图，正方形的边上有一点E，连接交对角线于点F，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．小明用四根长度相同的木条制成了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得对角线，则图①中对角线的长为（   ） A． B． C． D． 4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 5．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 6．如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上．若，，则的度数为 ． 7．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 8．如图，在正方形中，点是的中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为 ． 9．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 （填序号） 10．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 11．如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 12．如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 13．如图，四边形是正方形，点为平面内一点， (1)若点在正方形内，如图1，，求的度数； (2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示） 14．问题引入：如图①，，，，E是线段的中点．连结并延长交于点F，连结．则与之间的数量关系是 ． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 ． 15．已知正方形，点M是直线上的一个动点，点N是直线上的一个动点，且满足，连接． (1)如图1，当点M在边上时，求证：； 请根据下面的思路分析填空：延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证________，得到，接着可证明________，可得出________，再由线段的加法可以得出； (2)如图2，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上时， ①猜想，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想： ②若，，求． 16．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 正方形的性质 教学目标 1.熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。 2.知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。 3.应用正方形的性质进行相关计算、证明。 教学重难点 1.重点：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理； 2.难点：会利用正方形的性质进行相关的计算和证明． 知识点01 ：正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 ：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即学即练】 1．正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断． 【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，矩形对角线平分相等性质， ∴正方形具有而矩形没有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 2．如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【答案】67.5 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由正方形的性质得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质出，最后再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型01 正方形性质的理解 【典例1】正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，正方形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用正方形具备而矩形不具备的性质．如，正方形的对角线相等，邻边相等．根据正方形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和正方形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和正方形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，正方形具有而一般矩形不一定具有的性质，故合题意； D、两条对角线相等，矩形和正方形都具有，故不合题意； 故选：C． 【变式1】下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质与菱形的性质是解题的关键． 根据正方形与菱形的性质结合选项即可得出答案． 【详解】解：A、菱形、正方形的对边都平行且相等，故本选项错误； B、邻边相等，菱形、正方形都具有，故本选项错误； C、对角线相等菱形不具有，而正方形具有，故本选项正确； D、面积等于对角线乘积的一半，菱形、正方形都具有，故本选项错误； 故选：C． 【变式2】菱形，矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了菱形，矩形、正方形的性质，根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形进行判定即可． 【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分． 故选：D． 【变式3】菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 题型02 根据正方形的性质求角度 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，四边形、分别是菱形与正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ， ∵， ， ∵菱形中，， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质，由四边形是正方形，得，，根据等腰三角形的性质得，则通过三角形外角性质由，最后由平行线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 【变式3】如图，在正方形中，O是的中点，过点O作于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的判定与性质，由正方形的性质得，然后证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型03 根据正方形的性质求线段长 【典例1】若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质可得出它的一条对角线的长是计算即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长是， ∴它的一条对角线的长是：， 故答案为： 【变式1】如图，已知正方形的边长为为对角线，点在上，且，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，连接交于点O，根据正方形的性质可得，，再利用勾股定理求出，进而求出与的长，结合可得的长，再次利用勾股定理即可求解，熟知相关高年是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，，， ； 故答案为：． 【变式2】如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．先确定正方形的性质，然后计算对角线长度，进而即可计算线段的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ，且， ， ， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，在正方形的边上取点E，以为边在的右侧构造正方形，连接，点P，Q分别为的中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，连接，证明四边形和四边形都是矩形，则，，进而得点P，E，F在同一条直线上，，再由勾股定理求出，继而根据直角三角形斜边中线性质即可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴点P，E，F在同一条直线上， 在中，， 由勾股定理得：， ∵点Q是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故答案为：． 题型04 根据正方形的性质求面积 【典例1】如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解． 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式1】如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 【答案】 8 或 【分析】根据正方形，得到，解答即可； 正方形，等边三角形，得到，，利用等腰三角形的性质，解答即可． 本题考查了正方形的性质，等边三角形额性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据正方形，得到， 故答案为：8； 当点E在正方形的外部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 当点E在正方形的内部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：或． 【变式2】如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．由图可知，的面积的面积的面积，由此计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的边长分别为和， ，， ， 由图可知，的面积的面积的面积， 的面积 ， 故答案为：9 【变式3】如图所示，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等，由图可得，即得，又由图可得，图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成 ，进而即可求解，正确找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ∴， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成 ， ， 故答案为：． 题型05 求正方形重叠部分面积 【典例1】如图，正方形的对角线和相交于点O，O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F．当，可以计算出 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 由题意得，又因为，可得，根据可证明，从而有．据此解答． 【详解】解：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． ， 故答案为：8． 【变式1】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 【变式2】如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点A1分别作正方形两边的垂线与，根据正方形的性质可得，四边形是正方形，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：如图，过点分别作正方形两边的垂线与， ∵点是正方形的中心， ∴，四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积正方形的面积， 同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为， ∴重叠部分的面积和． 故答案为：． 【变式3】在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴较大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 题型06 正方形中的折叠问题 【典例1】边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键； 根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是边长为2的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 【变式1】将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠，根据将一张正方形的纸片按如图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿折痕裁剪，可以动手折叠，再进行裁剪，进而结合原正方形边长，即可得出答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方形， 原正方形边长为4， 面积为：， 得到的每一个纸片的面积是：． 故答案为：4． 【变式2】如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键． （1）根据翻折的性质，得到，进而得到，再根据，利用即可证明； （2）根据翻折得到，，全等得到，进而推出，利用勾股定理求出的长，设，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 【变式3】如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①，；② (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【详解】（1）解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 题型07 根据正方形的性质证明与求解 【典例1】如图，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质可知，，进一步推得，再根据全等三角形的判定即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据，等量代换可得，然后根据直角三角形性质和勾股定理，即得答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ·，， ∵， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 即， ， ， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图，点P是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转到的位置． (1)旋转中心是点 ，点P旋转的度数是 ； (2)连接，的形状是 ； (3)若，求的长． 【答案】(1)B； (2)等腰直角三角形 (3)6 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质． （1）根据旋转的定义解答； （2）根据旋转的性质可得，又旋转角为，然后根据等腰直角三角形的定义判定； （3）①根据勾股定理列式求出，先根据旋转的性质求出，再求出，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）∵P是正方形内一点，绕点B顺时针旋转到的位置， ∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度， 故答案为：B，； （2）根据旋转的性质，旋转角为， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； （3）在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中， ． 【变式2】如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）由正方形，正方形可得，，，根据证明，即可得出结论； （2）设交于M，由得，而，根据三角形内角和定理得； （3）由（1）则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长； 【详解】（1）证明：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， （2）解：， 理由：设交于M， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）解：连接，交于O， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 【变式3】在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F． (1)连接，如图1， ①求证：； ②若，求的度数． (2)如图2，过点F作交于点G，求证：． 【答案】(1)①见解析；②， (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①根据正方形的性质得到，，可证明，即可得到结论；②由可得，由，可得，由，即可求出； （2）连接，由（1）知同理，，得到，推出，得到，即可得到结论． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在和中， ， ， ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：如图，连接， 由（1）知同理，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 1．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，根据各图形对角线的性质进行判断，熟练掌握各图形的对角线的性质是解题的关键 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分， 菱形的对角线平分且互相垂直， 正方形的对角线垂直、平分且相等， 故选：C 2．如图，正方形的边上有一点E，连接交对角线于点F，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据正方形的性质得到，，结合得到，结合三角形内角和定理及即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．小明用四根长度相同的木条制成了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得对角线，则图①中对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形和菱形．熟练掌握正方形性质，菱形性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 根据正方形性质，得，得，根据菱形性质，得是等边三角形，即得． 【详解】在图2正方形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在图1菱形中，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 5．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】如图，    ∵菱形中，， ， 是等边三角形， ∵对角线， ， ， 如图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 6．如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上．若，，则的度数为 ． 【答案】75 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键． 由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 7．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得到，计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 8．如图，在正方形中，点是的中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟悉掌握轴对称的性质，找到最短路径是解题的关键． 根据轴对称的性质作出最短路径，结合勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴点关于线段的对称点为点，连接，则与的交点为，如图所示： 此时，可取最小值，， ∵，为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 9．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用、用勾股定理解三角形 【分析】综合运用正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，对四个结论逐一分析，证，利用正方形对角线性质找边、角相等条件；结合全等得，判断形状，再看与数量关系；通过全等将其转化为面积，关联正方形面积推导四边形面积，；借助勾股定理得到，，从而推导． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线、交于， ∴，，． 又，即， ∴． 在和中， ， ∴，故①正确． ∵ ∴， 又， ∴是等腰直角三角形，． 但与无倍数关系（是等腰直角三角形直角边，是正方形边上线段 ），故，②错误． ∵， ∴． ∴． 又， ∴四边形正方形，③正确． 判断 在中，由勾股定理：； 在中，由勾股定理：． ∴，即，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形对角线性质（如、 ）找全等条件，灵活运用全等性质转化面积、线段关系，结合勾股定理推导等式，是解题关键． 10．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 【答案】或6 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等的性质和HL综合（HL）、折叠问题 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段延长线上和线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ， ∵， ∴， 当M在线段延长线上时，如图，连接， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当M在线段延长线上和线段上，如图，连接， 同理可求出， 在中，， ∴， 解得， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 11．如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求面积、根据正方形的性质证明、面积问题(旋转综合题) 【分析】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵点F是的中点，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为即是重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积、解题的关键是熟知正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积的知识并会应用． 12．如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键． （1）连接，证明，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，如图，     正方形， ， 点是中点， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ； （2）由（1）知：，， 设， 正方形的边长为2， ， 则，， 在中， ， ， 解得：， ． 13．如图，四边形是正方形，点为平面内一点， (1)若点在正方形内，如图1，，求的度数； (2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． (1) 把绕点A顺时针旋转 得到， 连接与重合，旋转到的位置，证为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求出证出，即可得出结果． (2) 把绕点A顺时针旋转得到，连接，与重合，旋转到的位置，证为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：把绕点A顺时针旋转 得到， 连接与重合，旋转到的位置，如图1， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：把绕点A顺时针旋转 90°得到，连接，与重合，旋转到的位置，如图2，    ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴． 14．问题引入：如图①，，，，E是线段的中点．连结并延长交于点F，连结．则与之间的数量关系是 ． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 ． 【答案】问题引入：；（1），见解析；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】问题引入：利用证明，可得，进而可以解决问题； 问题延伸（1）延长交于点M，根据正方形的性质证明，可得，，根据为斜边上的中线，进而可以解决问题； （2）根据正方形的性质设，可得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：问题引入：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：； 问题延伸：（1），理由如下： 如图，延长交于点M， ∵四边形，为正方形， ∴，， ∴， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴； （2）连接 ∵四边形、为正方形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是解答本题的关键． 15．已知正方形，点M是直线上的一个动点，点N是直线上的一个动点，且满足，连接． (1)如图1，当点M在边上时，求证：； 请根据下面的思路分析填空：延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证________，得到，接着可证明________，可得出________，再由线段的加法可以得出； (2)如图2，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上时， ①猜想，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想： ②若，，求． 【答案】(1)，，； (2)①，证明见解析；②． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）如图所示，延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证，得到，接着可证明，可得出，再由线段的加法可以得出； （2）①如图所示，在射线上截取，然后仿照①证明出，由此即可得到结论；②根据正方形的性质求出，，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）（1）证明：如图所示，延长线段至点E，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，，． （2）如图2所示，在上截取． ①，证明如下： 四边形是正方形， ，． ， 又， ， ，， ， 即， ， ． ， ， ． ，， ； ②如图2所示，四边形是正方形． ，， ， ，， ，， 设，则． 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确利用截长补短模型作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，从而推出，即可得到答案； （2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得，，可证，即可得到； （3）由和正方形的性质可证四边形是平行四边形，结合点、分别是、的中点，从而推出四边形是平行四边形，得到，设，则，然后由，，得到，从而得到，利用勾股定理得到，结合是的中点得到，从而得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形， 根据折叠可知，， 故答案为：． （2）解：四边形是正方形 ， ， 根据折叠可知， 同理 在和中 （3）解：如图，连接 由（2）可知， ， 正方形中， 四边形是平行四边形 点、分别是、的中点 四边形是平行四边形 设， 则 ， 点是的中点 解得： 即点、之间的距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $