专题1.4 矩形的判定（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题1.4 矩形的判定 教学目标 1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。 2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算. 教学重难点 1.重点：掌握并会运用矩形的判定. 2.难点：运用矩形的判定进行简单的推理与计算。 知识点01 ：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即学即练】 1．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【知识点】添一条件使四边形是矩形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，，是中点，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，是上一点，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、三线合一 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理． 根据等腰三角形的三线合一性质可证，，从而可证，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又因为，可证四边形是矩形； 利用勾股定理可以求出，利用等面积法可知，从而可求的长度． 【详解】（1）证明：， 是等腰三角形， 是中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：在中，，，， ， 于， ， ， ， 解得：． 题型01 矩形的判定定理理解 【典例1】下列命题是假命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．四边相等的四边形是矩形 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是矩形、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题、矩形和菱形的判定；根据矩形的判定和菱形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； B.有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； D.四边相等的四边形是菱形，原命题是假命题，故本选项符合题意； 故选：D. 【变式1】在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是（   ） A．测量对角线相等 B．测量一组邻边相等 C．测量两组对边相等 D．测量对角线互相垂直 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的判定，涉及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解答的关键．根据矩形的判定定理，在平行四边形的基础上，若对角线相等，则为矩形． 【详解】解：A：平行四边形的对角线相等时，必为矩形，这是矩形判定定理之一，正确，符合题意； B：邻边相等的平行四边形是菱形，无法确定是矩形，错误，不符合题意； C：两组对边相等是平行四边形的定义性质，所有平行四边形均满足，无法判定为矩形，错误，不符合题意； D：对角线垂直的平行四边形是菱形，与矩形无关，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 【变式3】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 题型02 添一条件使四边形是矩形 【典例1】如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】轴对称图形的识别、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】如图，四边形是平行四边形，当 时，是矩形．（只能添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 题型03 证明四边形是矩形 【典例1】如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 由可推出，由平行四边形可得、，即、，可得四边形是平行四边形．再说明即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式1】如图，在中，，D为边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作，分别交于点E，F．求证：四边形是矩形 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意证明四边形为平行四边形，再结合，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：， ∴四边形为平行四边形．   又， ∴四边形是矩形． 【变式2】如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，根据菱形的性质可知，根据，，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证结论成立． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， 四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是矩形，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的中点，得，再通过平行线的性质可得，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可求证； （）由（）得，又是边上的中线，所以，则有，从而证明四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由， 由（）得，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型04 根据矩形的性质与判定求角度 【典例1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式1】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ，，， ，， ∵将绕点B旋转至， ，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如图：当点在线段的延长线上时， ，， ， ∵将绕点B旋转至， ，， ， ， 在与中， ， ， ，点在上， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键． 【变式3】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 题型05 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例1】已知直角梯形ABCD中，，，，，，则 ． 【答案】8或24/24或8 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、梯形、用勾股定理解三角形 【分析】分两种情况画图：①过点 C 作 CE⊥AB 于 E ，再根据勾股定理求出 BE 的长，进而可得 CD 的长；②过点 C 作BE⊥CD于 E ，再根据勾股定理求出 CE 的长，进而可得 CD 的长． 【详解】解：①如下图，过点 C 作CE⊥AB于 E ， 得四边形 DAEC 为矩形， ∴CE = AD =15， CD = AE ， 在 Rt△ABE 中， BC =17，根据勾股定理，得， ， ∴AE = AB - BE =16-8=8， ∴CD =8； ②如下图，过点 C 作BE⊥CD于 E ， 得四边形 ADEB 为矩形， ∴ BE = AD =15， DE = AB =16， 在 Rt△CBE 中， BC =17，根据勾股定理，得 ， ∴ CD = DE + CE =16+8=24， 综上所述： CD 的长为8或24， 故答案为：8或24． 【点睛】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用分类讨论思想画图解答． 【变式1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 【变式2】如图，在四边形中，，，，垂足为P．若四边形的面积是20，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、化为最简二次根式 【分析】本题考查的矩形的判定与性质和三角形全等的判定与性质，过点C，作，证明四边形是矩形，然后证，然后利用等量代换即可得到答案．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，，，E为边上一点，，连接．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点C运动，连接．设点P运动的时间为t秒，当t的值为 时，为直角三角形． 【答案】6或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键．先求出，依题意得，则，再根据得当是直角三角形时，分两种情况求解：①当时；②当时． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∵E为边上一点，且， ∴， 在中，由勾股定理得：， 依题意得：， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点P作于点F，如图1所示： ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当t为或6时，为直角三角形． 故答案为：或6． 题型06 根据矩形的性质与判定求面积 【典例1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 【变式2】如图，D、E、F分别是三边的中点，，若，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线等知识点，证得四边形是矩形成为解题的关键． 根据三角形中位线定理以及可得四边形是矩形，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵D、E、F分别是三边的中点， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴, ∴． 故选B． 【变式3】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 题型07 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 【典例1】已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，则，故①正确； 延长至，使得，连接，， 过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴为等腰直角三角，则， 又∵， ∴， ∴，则， 即：， ∴，故③正确； 由上可知，则， 在上取，可知， ∴，，则， 过点作交于，则为等腰直角三角形， ∴，，则， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴，故②正确； 在取，则为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、根据矩形的性质与判定求面积、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确； 根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确. 【详解】连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60°， ∵FO=FC，BF=BF ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正确， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，FC=AE， ∴DF=BE，DF∥BE， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴BE=BF， ∴四边形EBFD是菱形， ∴结论②正确； ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴FB＞OB， ∵OB=OC， ∴FB＞OC， ∴③错误， 在直角三角形AMB中， ∵∠BAM=30°，∠AMB=90°， ∴AB=2BM， ∴④错误， 设ED与AC的交点为N， 设AE=OE=2x， 则NE=x，BE=4x， ∴AB=6x， ∴BM=3x， ∴ = =3:2， 结论⑤正确. 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键. 【变式2】如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、斜边的中线等于斜边的一半 【详解】解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵，∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，∴②正确； ③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，∴③不正确； ④如图，此时四边形的面积，，∴④不正确． 综上所述：正确的有①②，个结论．故选． 点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中． 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】等腰梯形的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】利用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰梯形的性质逐一验证即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E是BD的中点， ∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，BE=DE， ∴∠DME=∠BNE，∠MDE=∠NBE， ∴△DME≌△BNE， ∴DM=BN， ∴AD-DM=BC-BN， 即AM=CN，故①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴四边形ABCD是矩形，如图所示， ∵M为AD的中点， ∴AM=DM， ∵AB=CD，∠A=∠CDM=90°， ∴△BAM≌△CDM， ∴BM=CM，故②正确； ∵AD∥BC， ∴△MCN与△DCN等底等高， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵AB=MN，AB=CD， ∴MN=CD， ∵NC∥MD， ∴四边形MNCD是等腰梯形， ∴∠MNC=∠DCN， ∵NC=CN， ∴△MNC≌△DCN， ∴∠MCN=∠DNC， ∴∠MNC−∠MCN =∠DCN−∠DCN， 即∠MNF=∠DCF， ∵∠MFN=∠DFC，MN=CD， ∴△MFN≌△DFC，故④正确； 综上四个结论全部正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 题型08 与矩形的性质与判定有关的作图 【典例1】如图所示，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形 【分析】（）作的垂直平分线，垂足为点，连接，则线段即为所求； （）由对角线互相平分的四边形可得四边形是平行四边形，进而由即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的作法，平行四边形的判定，矩形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求； （2）证明：∵点是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【变式1】如图，平行四边形中，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式2】如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接交于点，再连接并延长交于点，连接，则矩形即为所作，由菱形可得，可得，可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出矩形； （2）设（1）中分别与相交于点，连接，则菱形即为所作，由矩形可得，可得，再由可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出菱形． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所作； （2）解：如图，菱形即为所作； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． (1)请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件______（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)请用尺规作图的方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)添加①或②；理由见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，矩形的判定，正确的识别图形是解题的关键． （1）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； （2）以点B为圆心为半径作弧，再以点C为圆心为半径作弧，交前弧于点E，连接，则四边形是平行四边形，再根据得出四边形是矩形即可； 【详解】（1）解：添加①或②；理由如下： ∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． （2）解：如下图，矩形即为所求． 题型09 矩形的性质与判定的综合问题 【典例1】如图，四边形中，，对角线相交于点O． (1)请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） (2)在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明四边形为矩形是关键． （1）选择条件①，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可；选择条件②，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）证明，得到是等边三角形，则，，求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：选择条件①：； 证明：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 选择条件②： ∵， ∴， ∵， ∴，、 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为矩形． ∴，， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 【变式1】如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形； (3)若为中点，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的周长为16 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质，选择适当的全等判定定理证明即可； （2）根据矩形的判定定理证明即可； （3）若为中点，，求菱形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 又， ． （2）证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （3）解：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， 为中点 ，由（1）可得， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，， ， ， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【变式2】已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， (1)如图1，若，为边上的高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； (2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； (3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，②见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、等边三角形的判定和性质、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）①根据题意可得，再利用等边三角形性质可得； ②由等边三角形性质可得：，，进而证得四边形是平行四边形，再由，即可证得四边形是矩形； （2）延长、交于点G，连接交于点M，根据，，得四边形是平行四边形，结合对角线互相平分，故点M是的中点； （3）由四边形是平行四边形，则， ，当最小时，最小，当且仅当时，最小，再利用等边三角形性质和三角形中位线定理即可求得答案． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为边上的高， ∴； ②∵和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为边上的高， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图2，点M即为所求； （3）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 当最小时，最小，当且仅当时，最小， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等，熟练掌握平行四边形的判定和性质等是解题关键． 【变式3】（1）如图 1 ，平行四边形的对角线相交于点 O ，是等边三角形． ①求证：平行四边形是矩形． ②求的值． （2）如图 2 ，矩形中，点 M 是延长线上一点，连接，点 E，F 分别是的中点，与相交于点 G．求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）见解析 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明，据此可证明结论；②可证明，则，由勾股定理可得，据此可得结论； （2）延长交于T，过点F作于H，可证明，得到，证明四边形是矩形，得到，再证明，则可证明，得到，则．即可证明． 【详解】解；（1）①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ②∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，延长交于T，过点F作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形判定的应用，掌握矩形判定方法是关键；根据矩形的判定即可解答． 【详解】解：A、度量窗户的两个角是否是，不能保证窗户是矩形； B、测量窗户两组对边是否分别相等，只能保证是平行四边形，不能保证是矩形； C、测量窗户两条对角线是否相等，无法保证是矩形； D、测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，根据对角线相互平分且相等的四边形是矩形，保证是矩形； 故选：D． 2．如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（   ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，解题关键是掌握这些定理，并能运用这些定理求解． 根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形各边中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 3．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（   ） A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形 C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，P，Q分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 明明： 分别过点P，Q作于点，于点． 下列关于以M，P，N，Q为顶点的四边形的说法正确的是（   ） A．聪聪作的四边形是菱形 B．明明作的四边形是菱形 C．聪聪作的四边形是矩形 D．明明作的四边形是矩形 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】根据聪聪的作法，证明，得到，从而可得到，可判定聪聪作的四边形是矩形；根据明明的作法，证明，得到，，可判定明明作的四边形是平行四边形．即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由聪聪作图可知：， ∴， ∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项符合题意； ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定是解题的关键． 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， A. 当时，, ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B. 当时，， ∴ 又，则 ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； C. 如图，过点作于点 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，故C正确，不符合题意 D. 当时，,, ∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 6．已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是 ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 添加： ∴四边形是矩形； 或添加，可得四边形是矩形； 故答案为： 7．如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形” ． 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：， ∴ 当时，为矩形， ， 故答案为：． 8．如图，四边形是个活动框架，对角线是两根皮筋．如果扭动这个框架（位置不变），当扭动到时四边形是个矩形，和相交于点O．如果四边形为菱形，则 ° 【答案】30 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定．由题意得，根据菱形的性质得到，推出是等边三角形，求得，根据矩形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：30． 9．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 【答案】 矩形 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． （1）先证，再由即可解答； （2）连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 10．如图①，在中，，过上一点作交于点，以点为顶点，为一边，作，另一边交于点．    （1）则四边形的形状为 ； （2）当点为的中点时，四边形的形状为 ； （3）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②．若，则四边形的形状为 ． 【答案】 平行四边形 菱形 矩形 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据题意得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据点为的中点时，证明，即可得出结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）当点为的中点时，则 则 ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 由（1）可得四边形为平行四边形； ∴四边形为菱形； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）得，四边形为平行四边形， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键． 11．在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点． (1)试判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为矩形，证明见详解 (2)60 【知识点】全等三角形综合问题、三线合一、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求矩形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等腰三角形的性质和给出条件，证明得出对应边相等，先得出四边形为平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形可得； （2）利用勾股定理求出的长，利用矩形面积求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，证明如下， ∵点是中点， ， 在和中， ∵在等腰三角形中，点是中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， 为矩形； （2）解：，点是中点， 在中，由勾股定理得， , ∴四边形的面积为． 12．如图，在中，点E为的中点，是其对角线． (1)请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明点F是的中点． (2)在（1）的条件下，连接．给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，有，从而得结论成立． 【详解】（1）解：如图，连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 证明：因为四边形是平行四边形， 所以，，． 所以， 所以， 则， 而，点为的中点， 所以， 所以， 即点是的中点． （2）解：； 当时， 因为，分别是，的中点， 所以，，， 又四边形是平行四边形，，， 所以， 所以四边形是平行四边形； 因为，即， 所以四边形是矩形． 13．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）证四边形是平行四边形，得，结合题意，得，即可求解； （2）根据题意可证得，则，再由矩形的性质得，则，即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得：，四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则， ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点是上一点，点是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质可知，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵点是的中点， ∴． 15．如图，在中，． (1)延长到，使，连接，求证：四边形是矩形； (2)若点分别是的中点，连接，试判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再证，根据矩形的判定得出即可． （2）根据平行四边形的性质得出，求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 16．中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 17．如图，在中，与交于点，是边延长线上一点，连接．若，． (1)的长为_____________；若，则的长为__________________； (2)当，且时，四边形是菱形吗？请说明理由，并求此时的长； (3)当与之间满足数量关系：_____________时，四边形是矩形． 【答案】(1)； (2)证明见解析， (3) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、添一条件使四边形是矩形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用四边形是平行四边形，得出，利用中位线性质得出； （2）利用直角三角形斜边中线的性质得出，结合四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，求出，利用勾股定理即可得出； （3）要使四边形是矩形，结合四边形是平行四边形，则只需，又易证，只需即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵在中，； （3）解：要使四边形是矩形． ∵四边形是平行四边形， ∴只需， 由（1）可得， 又平行四边形中， ∴， ∴只需即可证明四边形是矩形， 故答案为：． 18．如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧． (1)当时， ①求证：； ②如图2，过作交于点，过作交于点，连接． 求证：四边形是矩形； ③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度． (2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形 【分析】（1）①根据菱形的性质和角平分线的性质可得垂直平分，即可证明；②由菱形的性质以及已知条件证明可得，再说明可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论；③如图：连接，是等边三角形，即，然后根据等腰三角形的性质可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，，进而得到；再说明，进而得到，，再结合四边形是正方形可得，即；然后由勾股定理列方程求得，最后根据线段的和差即可解答． （2）如图：连接交于点O，根据菱形的性质可得、、，再结合已知条件运用勾股定理可得，即或；经分析不符合题意；当时，如图：过M作，易证可得，进而得到；再根据30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，然后根据以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是菱形， ∴平分，即， ∵， ∴，即是线段的垂直平分线， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； ③如图：连接， ∵，， ∴是等边三角形，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． （2）解：如图：连接交于点O， ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的三等分点， ∴或， 当时，不能满足的两边分别交边于点，且，即不符合题意； 当时，如图：过M作， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 矩形的判定 教学目标 1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。 2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算. 教学重难点 1.重点：掌握并会运用矩形的判定. 2.难点：运用矩形的判定进行简单的推理与计算。 知识点01 ：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义法：有一个角是 形叫做矩形； 2.对角线 形是矩形； 3.有 的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即学即练】 1．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，，是中点，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，是上一点，且，求的长． 题型01 矩形的判定定理理解 【典例1】下列命题是假命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．四边相等的四边形是矩形 【变式1】在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是（   ） A．测量对角线相等 B．测量一组邻边相等 C．测量两组对边相等 D．测量对角线互相垂直 【变式2】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【变式3】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 题型02 添一条件使四边形是矩形 【典例1】如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是 ． 【变式1】如图，四边形是平行四边形，当 时，是矩形．（只能添加一个条件） 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【变式3】如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 题型03 证明四边形是矩形 【典例1】如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接．求证：四边形是矩形． 【变式1】如图，在中，，D为边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作，分别交于点E，F．求证：四边形是矩形 【变式2】如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并证明． 题型04 根据矩形的性质与判定求角度 【典例1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式1】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【变式2】如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为 ． 【变式3】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    题型05 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例1】已知直角梯形ABCD中，，，，，，则 ． 【变式1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【变式2】如图，在四边形中，，，，垂足为P．若四边形的面积是20，则的长是 ． 【变式3】如图，在矩形中，，，E为边上一点，，连接．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点C运动，连接．设点P运动的时间为t秒，当t的值为 时，为直角三角形． 题型06 根据矩形的性质与判定求面积 【典例1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【变式1】如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【变式2】如图，D、E、F分别是三边的中点，，若，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 题型07 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 【典例1】已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08 与矩形的性质与判定有关的作图 【典例1】如图所示，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 【变式1】如图，平行四边形中，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，连接，求证：四边形是矩形． 【变式2】如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） ． (1)在图1中，以为边，作矩形； (2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）． 【变式3】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． (1)请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件______（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)请用尺规作图的方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 题型09 矩形的性质与判定的综合问题 【典例1】如图，四边形中，，对角线相交于点O． (1)请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） (2)在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 【变式1】如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形； (3)若为中点，，求菱形的周长． 【变式2】已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， (1)如图1，若，为边上的高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； (2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； (3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 【变式3】（1）如图 1 ，平行四边形的对角线相交于点 O ，是等边三角形． ①求证：平行四边形是矩形． ②求的值． （2）如图 2 ，矩形中，点 M 是延长线上一点，连接，点 E，F 分别是的中点，与相交于点 G．求证：． 1．小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 2．如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（   ） A． B． C． D．四边形是矩形 3．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（   ） A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形 C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形 4．如图，P，Q分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 明明： 分别过点P，Q作于点，于点． 下列关于以M，P，N，Q为顶点的四边形的说法正确的是（   ） A．聪聪作的四边形是菱形 B．明明作的四边形是菱形 C．聪聪作的四边形是矩形 D．明明作的四边形是矩形 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 6．已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是 ．（只写一个） 7．如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． 8．如图，四边形是个活动框架，对角线是两根皮筋．如果扭动这个框架（位置不变），当扭动到时四边形是个矩形，和相交于点O．如果四边形为菱形，则 ° 9．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 10．如图①，在中，，过上一点作交于点，以点为顶点，为一边，作，另一边交于点．    （1）则四边形的形状为 ； （2）当点为的中点时，四边形的形状为 ； （3）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②．若，则四边形的形状为 ． 11．在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点． (1)试判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，求四边形的面积． 12．如图，在中，点E为的中点，是其对角线． (1)请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明点F是的中点． (2)在（1）的条件下，连接．给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是___________． 13．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 14．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点是上一点，点是的中点，连接，，，若，，，求的长． 15．如图，在中，． (1)延长到，使，连接，求证：四边形是矩形； (2)若点分别是的中点，连接，试判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 16．中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，利用上述结论求的面积． 17．如图，在中，与交于点，是边延长线上一点，连接．若，． (1)的长为_____________；若，则的长为__________________； (2)当，且时，四边形是菱形吗？请说明理由，并求此时的长； (3)当与之间满足数量关系：_____________时，四边形是矩形． 18．如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧． (1)当时， ①求证：； ②如图2，过作交于点，过作交于点，连接． 求证：四边形是矩形； ③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度． (2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$