专题1.2 菱形的判定（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题1.2 菱形的判定 教学目标 1.掌握菱形的判定定理并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形。 2.能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论。 3.经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。 教学重难点 1.重点：严格证明菱形判定定理及其推论 2.难点：运用综合法解决菱形的相关题型。 知识点01 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即学即练】 1．四边形中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（    ） A．， B．，， C． D．，， 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，由菱形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握了菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】A、，，如一般的矩形可满足此条件，但不是菱形，故符合题意； B、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故不符合题意； C、，由菱形的定义可得四边形是菱形，故不符合题意； D、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故不符合题意； 故选：A． 2．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 题型01 菱形的判定 【典例1】下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，本来就有，故本选项错误； B、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意； 、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】在四边形中，，与相交点O，下列条件不能判定四边形是菱形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等角对等边，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【详解】对于选项A，如图所示， ∵， ． ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形， 选项A可以判定四边形为菱形． 对于选项B，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形， 选项B可以判定四边形为菱形． 对于选项C，， ，． ， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴ ， 四边形是菱形， 选项C可以判定四边形为菱形． 对于选项D，如图满足，，， 选项D不可以判定四边形为菱形． 故选：D． 【变式3】四边形中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（    ） A．， B．，， C． D．，， 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，由菱形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握了菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】A、，，如一般的矩形可满足此条件，但不是菱形，故符合题意； B、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故不符合题意； C、，由菱形的定义可得四边形是菱形，故不符合题意； D、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故不符合题意； 故选：A． 题型02 添一个条件使四边形是菱形 【典例1】如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理． 添加条件：，首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可得到四边形是菱形． 【详解】添加条件：. ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】已知，对角线相交于点O，添加一个条件， ，使得是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定是解题的关键；根据菱形的判定添加条件邻边相等或对角线相互垂直等，即可求解，因此答案不唯一． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，为菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 题型03 证明四边形是菱形 【典例1】如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，再结合已知条件，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【变式1】已知：如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，，交于点G．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，全等三角形的性质与判定，先证明，得到，再由平行线的性质得到，则可证明，得到，进而得到，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵在中，是角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【变式2】如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先证得平分，由角平分线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，进而证得结论． 【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且， 点在的角平分线上， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． 【变式3】如图，平行四边形的两条对角线与相交于点，，是线段上的两点，连接，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形为菱形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为菱形．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，，，再证明，得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明平行四边形是菱形，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，，，， ． 在和中， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形． （2）证明：当时，四边形为菱形．理由见解析， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ． 由（1）可知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 题型04 利用菱形的判定与性质求角度 【典例1】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 【答案】 【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则 ． 【答案】/25度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】由题意和作法可知：，可得四边形是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图：连接， 由题意和作法可知：， 四边形是菱形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形是菱形是解决本题的关键． 【变式2】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 【答案】/30度 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，和是等边三角形， ∴平分，， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，∠ABC= ． 【答案】120° 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】由角平分线的作法得平分，据角平分线的定义、等腰三角形判定、平行四边形的性质及判定证得四边形ABEF为平行四边形；再据AF=AB最终证得四边形ABEF为菱形，结合其周长为40从而得到AB=AF=10；最后据BF=10得到是等边三角形，从而得到，再据算得∠ABC的度数． 【详解】解：由题意得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形， ∵四边形的周长为40， ∴． ∵， ∴AB=BF=AF ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：120°． 【点睛】此题考查了角平分线尺规作图、等腰三角形判定、菱形判定性质、正三角形的判定和性质等，熟悉相关知识并能综合应用是关键． 题型05 利用菱形的判定与性质求长度 【典例1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理，正确得出四边形是菱形是解题的关键； 根据题意可得四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】解：由题意可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条是等宽的， ∴边上的高h相等， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 连接，设交点为O， 则，， ∴cm； 故答案为：cm. 【变式1】如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，则四边形的周长是 ． 【答案】20 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了尺规作图——基本作图作线段的垂直平分线．熟练掌握线段的垂直平分线的作法和性质，菱形的定义和性质，是解题的关键． 由作图可知垂直平分，四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：记的交点为O， 根据作图可知是的垂直平分线， 且， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 【变式2】如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O． 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式3】如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】连接交于，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等量代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴， 根据作图过程可知所作的是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形的判定和性质，角平分线作图，等角对等边，菱形的判定定理和性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合运用知识点推理是解题的关键． 题型06 利用菱形的判定与性质求面积 【典例1】如图，将两条宽度都为6的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，得到，证明四边形为菱形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为． 【变式1】四边形的对角线，相交于点，，若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】96 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与菱形的面积公式是解题的关键．先利用证得和全等，即可得出，再证四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可得出对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可． 【详解】解：如图， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ，点是的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ， 菱形的面积为， 故答案为：96． 【变式2】如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ． 【答案】16 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴该四边形的面积是：． 故答案为：16． 【变式3】如图，在平行四边形中，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于点E，连接．设与相交于点O，若四边形的周长为4，则四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】由作法得，平分，则，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到，接着证明，则可四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形，再证明，都是等边三角形，可得结论． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵菱形的周长为4， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 题型07 利用菱形的判定与性质多结论性问题 【典例1】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据，可得，得出内错角相等，证明，可判断且，从而得出四边形为平行四边形；进而证得四边形是菱形，得到，，根据直角三角形的斜边大于直角边得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 【变式1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 【变式2】如图，在菱形中，与交于点，，延长至点，使得，连接，则下列结论：①；②；③四边形 为菱形；④的面积为菱形面积的一半，其中正确的结论个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、根据菱形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据菱形的性质和，可得，是等边三角形，再利用等边三角形的性质和三角形中位线定理可证①②正确，根据，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形性质可得④正确，但，不能证明四边形是菱形，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， , 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，，， 故①②正确； ∵，，， ∴，， ∴四边形 为平行四边形， 但， ∴四边形 不是菱形， 故③错误； ∵四边形 为平行四边形，四边形是菱形， ∴， 故④正确； ∴正确的结论个数为3个， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【变式3】如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可． 【详解】解：①四边形是菱形， ∴ ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 故①正确； ②，分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的周长为． 故②正确； ③如图，连接， 四边形是菱形， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∴， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ， ， 故④正确， 故选：D 题型08 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 【典例1】如图，在中，．是边上的高． (1)实践与操作：用尺规作图法在和边上分别作，，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，．分别求菱形两条对角线的长、 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）作，连接，则四边形即为所求； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而勾股定理求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 根据作图可得 ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∵是边上的高，， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴中，． 【变式1】如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接和； (2)在（1）的条件下，四边形为何种特殊四边形？并证明．若四边形的周长为16，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则．又由即可证明四边形是平行四边形．由垂直平分线段得到，即可证明四边形是菱形，根据菱形的周长即可求出的长． 【详解】（1）如图所示： （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分线段， ∴． ∴四边形是菱形， ∴,四边形的周长为16， ∴四边形的周长． ∴． 【变式2】如图，正五边形，请仅有无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个以为边的菱形； (2)在图2中，画一个以为对角线的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正多边形的内角问题、证明四边形是菱形 【分析】本题考查正多边形的内角，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）连接、交点为，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，，则四边形是菱形； （2）延长、交于点，连接、，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，则四边形是菱形； 【详解】（1）解：如图，是以为边的菱形，即为所求； （2）解：如图，是以为对角线的菱形，即为所求． 【变式3】如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 题型09 利用菱形的判定与性质解决综合性问题 【典例1】如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，又由即可证明四边形是平行四边形，证明是的中位线，则，得到，即可证明四边形是菱形； （2）先求出，由是的中位线得到，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （2）∵，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)30 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）根据勾股定理得出，然后利用菱形的性质及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）在中，. ∵四边形是菱形，， ∴菱形的面积． 【变式2】如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ． ， ． 在中，，， ，   ． 【变式3】小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质，得，利用已知条件，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边，得，根据菱形的性质得，，所以是等边三角形，易证，得，在中，利用勾股定理可求出，通过菱形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形内部框架为菱形； （2）解：， 是直角三角形， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 1．如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边分别相等，对边平行，对角线互相垂直平分线，对角线平分一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 2．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 3．如图，，分别以A，B为圆心，5cm为半径画弧，两弧相交于P，Q两点，连接，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查作图-基本作图，勾股定理，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．如图，连接交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B． 4．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、利用菱形的性质求角度、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了基本的尺柜作图，菱形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 根据尺规作图得出四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图可得，， ∴四边形为菱形， ， ， 故选：B． 5．如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，再由四边形的内角和定理可得，可判定A；再由，，可得，可判定D；再证明，可得，从而得到，可判定B，即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴四边形为菱形，故D选项正确，不符合题意； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到的大小关系， ∴无法确定的形状，故C选项错误，符合题意； 故选：C 6．已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是 ．（只添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，解题的关键是结合已知条件，依据菱形的判定定理补充合适条件。 可以添加的条件（答案不唯一）理由是：由已知、根据可证，得到，从而根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到：四边形是菱形． 【详解】可以添加的条件是（答案不唯一） 理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。 故答案为：（答案不唯一）。 7．一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定和性质，利用平行四边形的性质和勾股定理的逆定理可得，即得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，平行四边形中，，，， 则，， ∵， ∴是直角三角形，，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 8．如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 【答案】30 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 9．如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 10．如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点作于点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了作图基本作图——作角平分线，平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识． 由作图可知，平分，即，，证明四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，由菱形性质可得，，，，通过勾股定理求出，最后利用即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分，即，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．桁架桥指的是以桁架作为上部主要承重构件的桥梁（如图1），图2是桁架桥的部分示意图，已知，，为线段的中点，是等边三角形，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据等边三角形的性质可证，根据点为线段的中点，可证，从而可证是等边三角形，从而可得，根据四条边都相等的四边形是菱形可证结论成立． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 为线段的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 12．如图，是的中线，过点作的平行线交于点是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形 【分析】（）证明即可求证； （）由可得四边形为平行四边形，当时，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即得，即可求证． 【详解】（1）证明：， ， ∵是的中点， ， 又， ， ； （2）解：当时，四边形为菱形． 证明：， ∴四边形为平行四边形， ，是的中线， ∴平分， ， 又， ， ， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 13．如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为的中点，连接，求的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，详见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】（1）先依据矩形纸片对边平行，得出四边形是平行四边形，进而得到；再结合，及，通过证明，推出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形． （2）连接，由线段垂直平分线的性质推出，判定是等边三角形，得到，求出，判定是等边三角形，过作于，由等边三角形的性质得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 由题意可知：，， 四边形是平行四边形， ． ， ． 在和中， ． ． 平行四边形是菱形； （2）连接． 为中点，， ∴， ∵平行四边形是菱形； ∴， ． 为等边三角形． ，． ， ． 为等边三角形． ∴， 过E作于H ∴， ， 的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法，判定是等边三角形． 14．如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） (1)根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； (2)连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图，再根据证明即可； （2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 连接、，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质、三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法． 15．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 16．如图，在中，，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)和的长分别为8和 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，设，则，所以，，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴和的长分别为8和． 17．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 根据平行 线的性质可证：，根据角平分线的定义可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立； 根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，再求出，在中利用勾股定理求出，从而可得； 先根据勾股定理求出，再结合图形分情况求出即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如下图所示， 由可知，，， ， ， 或． 故答案为：或． 18．已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，对角线，，P为的中点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据翻折的性质可得，，，再证出，即可得证； （2）连接，交于M，由（1）得：，可证，设，在和中，用勾股定理列出方程即可求解； （3）分三种情形：，，，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）证明：由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）如图，连接， 由（1）得：，， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则有， 在中：， 在中：， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴当点与O重合时．是等腰三角形，此时． 当时， ∴， ∴． 当时，过点P作于点J． ∵，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 菱形的判定 教学目标 1.掌握菱形的判定定理并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形。 2.能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论。 3.经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。 教学重难点 1.重点：严格证明菱形判定定理及其推论 2.难点：运用综合法解决菱形的相关题型。 知识点01 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义法： . 2.对角线 的平行四边形是菱形. 3.四条边 的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即学即练】 1．四边形中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（    ） A．， B．，， C． D．，， 2．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 3．如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 题型01 菱形的判定 【典例1】下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在四边形中，，与相交点O，下列条件不能判定四边形是菱形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】四边形中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（    ） A．， B．，， C． D．，， 题型02 添一个条件使四边形是菱形 【典例1】如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【变式1】已知，对角线相交于点O，添加一个条件， ，使得是菱形． 【变式2】如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【变式3】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 题型03 证明四边形是菱形 【典例1】如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【变式1】已知：如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，，交于点G．求证：四边形是菱形． 【变式2】如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【变式3】如图，平行四边形的两条对角线与相交于点，，是线段上的两点，连接，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形为菱形，请说明理由． 题型04 利用菱形的判定与性质求角度 【典例1】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 【变式1】如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则 ． 【变式2】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 【变式3】如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，∠ABC= ． 题型05 利用菱形的判定与性质求长度 【典例1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为 ． 【变式1】如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，则四边形的周长是 ． 【变式2】如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【变式3】如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为 ． 题型06 利用菱形的判定与性质求面积 【典例1】如图，将两条宽度都为6的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【变式1】四边形的对角线，相交于点，，若，，，则四边形的面积为 ． 【变式2】如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于点E，连接．设与相交于点O，若四边形的周长为4，则四边形的面积是 ． 题型07 利用菱形的判定与性质多结论性问题 【典例1】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，在菱形中，与交于点，，延长至点，使得，连接，则下列结论：①；②；③四边形 为菱形；④的面积为菱形面积的一半，其中正确的结论个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 【典例1】如图，在中，．是边上的高． (1)实践与操作：用尺规作图法在和边上分别作，，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，．分别求菱形两条对角线的长、 【变式1】如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接和； (2)在（1）的条件下，四边形为何种特殊四边形？并证明．若四边形的周长为16，求的长． 【变式2】如图，正五边形，请仅有无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个以为边的菱形； (2)在图2中，画一个以为对角线的菱形． 【变式3】如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 题型09 利用菱形的判定与性质解决综合性问题 【典例1】如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【变式2】如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【变式3】小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 1．如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 2．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，分别以A，B为圆心，5cm为半径画弧，两弧相交于P，Q两点，连接，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 5．如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 6．已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是 ．（只添加一个条件） 7．一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是 ． 8．如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 9．如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 10．如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点作于点．若，，则 ． 11．桁架桥指的是以桁架作为上部主要承重构件的桥梁（如图1），图2是桁架桥的部分示意图，已知，，为线段的中点，是等边三角形，求证：四边形是菱形． 12．如图，是的中线，过点作的平行线交于点是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 13．如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为的中点，连接，求的面积． 14．如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） (1)根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； (2)连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 15．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 16．如图，在中，，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求和的长． 17．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 18．已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，对角线，，P为的中点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$