期末考试测控卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—66 — 当x<0或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当0<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递增,在区间(0,2)单 调递减,所以①不正确; 对于②中,由①知,函数f(x)在(-∞,0)单调递增,在区间(0,2) 单调递减, 所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,所以②正确; 对于③中,根据导数的运算公式, 可得(cosx)'=-sinx,所以③不正确; 对于④中,函数f(x)=lnx+ax,可得f'(x)=1x+a , 若存在与直线2x-y=0平行的切线,可得f'(x)=2有解,即 1 x+a=2 在(0,+∞)上有解,即a=2-1x 在(0,+∞)上有解, 又由2-1x<2 ,所以实数a的取值范围是(-∞,2),所以④正确.] 12.1e [f'(x)=1x-a ,由题意f'(x)=1x-a=0 在(0,+∞)上有 解,x=1a 且a>0,f 1a =ln1a =1,所以a=1e,x=1a =e, f'(x)=1x- 1 e ,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)递增,x>e时, f(x)<0,f(x)递减,所以x=e时,f(x)取得极大值,且极大值 f(e)=lne-1e ·e+1=1.] 13.3-2ln2 [当x=t时,|AB|=|f(t)-g(t)|=|et+t-3t+1|= |et-2t+1| 令h(t)=et-2t+1,h'(t)=et-2 h(t)在(-∞,ln2)上递减,(ln2,+∞)上递增, h(t)min=h(ln2)=3-2ln2>0 ∴|AB|最小值为3-2ln2.] 14.-32 [因为f(x)=x 2 2+lnx ,g(x)=2x-x3+c, 所以f'(x)=x+1x≥2 (x>0),g'(x)=2-3x2≤2, 所以公切线 的 斜 率 为2,与f(x)的 图 象 相 切 于 点 1,12 ,与 g(x)的图象相切于点(0,c), 故 c-12 0-1=2 ,即c=-32. ] 15.解 (1)由题意得,f'(x)=x2-a, 当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上是增 函数, 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=± a, 令f'(x)>0,可得x<- a或x> a; 令f'(x)<0,可得- a<x< a, 所以f(x)在(-∞,- a)和(a,+∞)上是增函数,在[- a,a] 上是减函数. (2)由题意得,f(x)=13x 3-x+1, 由(1)知,f(x)在[-2,-1)和(1,2]上是增函数,在[-1,1]上是 减函数. 又f(-2)=13× (-2)3-(-2)+1=13 , f(-1)=13× (-1)3-(-1)+1=53 , f(1)=13×1 3-1+1=13 , f(2)=13×2 3-2+1=53 , 故f(x)在[-2,2]上的最大值为53 ,最小值为1 3. 16.解 (1)f'(x)=1-cosx,f' π2 =1,f π2 =π2-1, 故曲线y=f(x)在点 π2,f π2 处的切线方程为 y- π2-1 =x-π2. 即x-y-1=0. (2)设g(x)=(2x-2sinx+cosx)ex, 则g'(x)=(2x-2sinx+cosx)ex+(2-2cosx-sinx)ex =[2(x-sinx)+2- 2sin x+π4 ]ex. 由(1)知x>sinx,又2- 2sin x+π4 >0, 所以g'(x)>0,所 以g(x)在(0,+∞)上 单 调 递 增,故g(x)> g(0)=1, 所以,∀x∈(0,+∞),2ex·f(x)+cosx·ex>1. 17.解 (1)∵f(x)= x-lnx,∴x>0, ∴f'(x)= 1 2 x -1x= x-2 2x . 则当 x-2>0,即x>4时,f'(x)>0; 当 x-2<0,即0<x<4时,f'(x)<0, ∴f(x)的递减区间为(0,4),递增区间为(4,+∞). (2)若存在x使f(x)<m 成立,则m>f(x)min, 由(1)可知f(x)min=f(4)=2-ln4. ∴m>2-ln4. 18.解 (1)依题意:设p2=kx ,代入x=100,p=50得: k=25×104, ∴p2=250000x ,p=500 x , 故f(x)=px- 1200+275x3 =500 x-1200-275x3(x>0). (2)由(1)得f'(x)=250 x -675x 2, 令f'(x)=0,得x=25, 所以函数f(x)在(0,25)上,f'(x)>0,f(x)递增; 在(25,+∞)上f'(x)<0,f(x)递减, 所以函数f(x)在x=25处有极大值; 因为f(x)在(0,+∞)上只有唯一极值,所以函数f(x)在x=25 处有最大值; 故当生产该产品的件数为25件时,工厂生产该产品的利润最大. 19.解 (1)方法一:f'(x)=2ax+b-2lnxx ,取x=12 ,得f' 12 = a+b+4ln2≥0, 所以a+b≥-4ln2,令g(x)=f'(x),g'(x)=2a-2·1-lnxx2 , x=12 时,g' 12 =2a-2·1+ln21 4 =2a-8(1+ln2), 所以取a=4(1+ln2),b=-4-8ln2时, f'(x)=(8+8ln2)x-4-8ln2-2·lnxx , g'(x)=8+8ln2-2·1-lnxx2 = (8+8ln2)x2-2+2lnx x2 ,分子随x增大而增大, 而g' 12 =0,所以当0<x<12时,f'(x)单调递减,当x>12 时,f'(x)单调递增, 而f' 12 =0,得f'(x)≥0,符合单调递增, 所以(a+b)min=-4ln2. 方法二:f'(x)=2ax+b-2lnxx ,x∈(0,+∞), 因为f(x)在定义域内单调递增, 所以f'(x)=2ax+b-2lnxx ≥0 在x∈(0,+∞)上恒成立, 故b≥2lnxx -2ax ,设S(x)=2lnxx -2ax , 若a<0,则当x>1时,2lnxx >0 , 故b≥2lnxx -2ax 在(0,+∞)上恒成立,这不可能. 若a=0,则b≥2lnxx 在(0,+∞)上恒成立,取x=1,则有b≥0,故 a+b≥0. 若a>0,此时S'(x)=2×1-lnx-ax 2 x2 , 令T(x)=1-lnx-ax2,则T(x)为(0,+∞)上的减函数, 而T(e)=-ae2≤0, 取 M=mine 1 2, 1 2a ,则当0<x<M 时, 有T(x)>12-lnx> 1 2- 1 2=0 ,故T(x)在(0,+∞)上存在唯 一零点, 设该零点为x0,由零点存在定理可得0<x0<e. 故当0<x<x0 时,S'(x)>0;当x>x0 时,S'(x)<0, 故S(x)在(0,x0)为增函数,在(x0,+∞)上为减函数,故S(x)max= S(x0). 所以b≥2lnx0x0 -2ax0, 因为1-lnx0-ax20=0,故a= 1-lnx0 x20 , 所以b+a≥4x0lnx0-2x0+1-lnx0 x20 ,其中0<x0<e. 设u(x)=4xlnx-2x+1-lnx x2 ,0<x<e, 则u'(x)= (2x-1)(3-2lnx) x3 , 当0<x<12 时,u'(x)<0,当12<x<e 时,u'(x)>0, 故u(x)在 0,12 为减函数,在 12,e 为增函数, 故u(x)min=u 12 =-4ln2,故b+a≥-4ln2即b+a的最小 值为-4ln2. (2)方法一:当a=0时,f(x)=bx+5-ln2x,f'(x)=b-2lnxx , f'(x1)=f'(x2)=0, 则 lnx1 x1 = lnx2 x2 =b2 ,令g(x)=lnxx ,g'(x)=1-lnxx2 , 令h(x)=g(e+x)-g(e-x)(0<x<e), 下证h(x)>0恒成立, h(x)=ln (e+x) e+x - ln(e-x) e-x = (e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x) e2-x2 , 设分子为F(x), F'(x)=e-xe+x+ e+x e-x-ln (e2-x2)≥2-ln(e2-x2)≥0,所 以 F(x)在(0,e)上单调递增,F(0)=0, 所以F(x)在(0,e)上恒大于0,即h(x)在(0,e)上恒大于0, 所以g(e+x)>g(e-x),取x=e-x1(0<x1<e),则g(2e-x1)> g(x1)=g(x2), 所以2e-x1<x2,即2e<x1+x2. 方法二:当a=0时,f'(x)=b-2lnxx , 因为f(x)有两个极值点x1,x2, 所以b-2lnx1x1 =0,b-2lnx2x2 =0, 即2lnx1=bx1,2lnx2=bx2,从而 2 b= x2-x1 lnx2-lnx1 , 令g(x)=2lnxx ,则g'(x)=2 (1-lnx) x2 , 当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g'(x)<0, 所以函数g(x)=2lnxx 在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,所以 g(x)max=g(e)= 2 e , 又因当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,且g(x)> 0,所以0<b<2e , 由对数均值不等式得2 b= x2-x1 lnx2-lnx1 < x1+x2 2 ,从而x1+x2> 4 b>2e ,所以x1+x2>2e. 期末考试测控卷 1.C [设等差数列{an}的首项为a1,则a5=a1+4d=5,S5=5a1+ 10d=5,联立解得a1=-3,d=2,故选C.] 2.A [因为a2a8=4a23,所以a25=4a23,所以q2=2.] 3.B [∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn,∴S10,S20-S10,S30- S20,S40-S30也成等比数列,∴10×(130-S20)=(S20-10)2,解得 S20=40或S20=-30(舍), 故S40-S30=270,∴S40=400.] 4.B [因为函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f'(x)≥0在[1, +∞)上恒成立,即f'(x)=1+5x2 -ax ≥0 ,即a≤x+5x 恒成立, 又x+5x≥2 x ·5 x =2 5 ,当且仅当x= 5时,等号成立,所以 a≤2 5,故选B.] 5.C [由函数f(x)=3ex-ax求导得:f'(x)=3ex-a,因函数f(x) 在R上有小于0的极值点,则f'(x)=0有小于0的根,即当x<0 时,a=3ex,而函数3ex 在 R上单调递增,则当x<0时,0<3ex< 3,于是得0<a<3, 经验证,当0<a<3时,函数f(x)=3ex-ax在R上有小于0的极 值点, 所以实数a的取值范围是(0,3).] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 65 — —68 — 6.A [由 题 意 得:{an}为 等 差 数 列,公 差 为d,则a1=18.5,a4= 15.5,则a4-a1=3d=-3,解得:d=-1,则a10=a1+9d=18.5- 9=9.5,故立夏的日影长为9.5尺.] 7.C [因为{bn}是以1为首项、3为公比的等比数列,所以bn=3n-1, 则由bk=3k-1=729,得k=7,即数列{bn}中前6项分别为:1、3、9、 27、81、243,其中1、9、81是数列{4n-3}的项,3、27、243不是数列 {4n-3}的项,且3+27+243=273,所以数列{bn}中第7项前(不 含729)插入的项的和最小为273.] 8.A [c=e0.01>e0=1,0=ln1<ln1.01<lne=1,即0<b<1, 令f(x)=ln(x+1)- xx+1 ,x∈(-1,+∞), 则f'(x)= 1x+1- 1 (x+1)2 = x(x+1)2 , 所以当x>0时f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 f(0.01)>f(0)=0, 即ln(0.01+1)- 0.010.01+1>0 ,即ln1.01> 1101 ,即b>a,所以a< b<c,故选A.] 9.AB [由(-1)nSn+an=n,可得(-1)nSn+Sn-Sn-1=n(n≥3), 当n为奇数时,-Sn+Sn-Sn-1=n,即Sn-1=-n,当n为偶数时, 2Sn-Sn-1=n, 所以当n=51时,S50=-51,当n=50时,2S50-S49=50,解 得 S49=-152.] 10.BCD [由题意,等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn, 因为S7=S12,可得S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0, 即a10=0, 对于A中,由a10=0,可得a1+9d=0,所以a1=-9d,所以A不 正确; 对于B中,由等差数列的前n项和公式, 可得S19= 19(a1+a19) 2 =19a10=0 ,所以B正确; 对于C中,若d>0,数列{an}为递增数列,且a10=0,可得a11>0, 则a6<0,a15>0,由a15+a6=a10+a11>0, 即-a6<a15,所以|a6|<|a15|; 若d<0,数列{an}为递减数列, 且a10=0,可得a11<0, 所以a6>0,a15<0,由a15+a6=a10+a11<0,即a6<-a15,所以 |a6|<|a15|, 综上可得,|a6|<|a15|,所以C正确; 对于D中,当d>0,数列{an}为递增数列,且a10=0,可得a11>0, 可得a15+a6=a10+a11>0,所以D正确.] 11.AD [令f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0, ∴f(x)在 R上单调递增,又f(0)=0, ∴当x≥0时,恒有f(x)≥0,即当x≥0时, 恒有x≥sinx. ∵an+1≤an,an+1=sinan,n∈N*,∴sinan≤an, ∴an≥0,选项A、D满足条件.] 12.an= -1,n=1 4n-6,n≥2,n∈N* [当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =2n2-4n+1-[2(n-1)2-4(n-1)+1]=4n-6, 当n=1时,a1=2-4+1=-1不适合上式, ∴an= -1,n=1 4n-6,n≥2,n∈N* .] 13.0 [f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).令f'(x)=0,得x=1. 当0≤x<1时,f'(x)>0,当1<x≤4时,f'(x)<0,所以f(x)在 [0,1)上递增,在(1,4]上递减,因为f(0)=0,f(4)=4e4 >0,所以 f(x)的最小值为0.] 14.300 [由题可得年利润P(x)= -x 3 900+300x-20000 ,0≤x≤390 70090-100x,x>390 , 当0<x<390时,P'(x)=-x 2 300+300 , 令P'(x)=0,得x=300. 当300<x<390时,P'(x)<0,此时 P(x)是减函数;当0<x< 300时,P'(x)>0,此时P(x)是增函数. 所以当0≤x≤390时,P(x)max=P(300)=40000. 当x>390时,P(x)=-100x+70090是减函数,所以 P(x)< 31090. 所以当x=300时,P(x)取得最大值40000.] 15.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,由2(a3+a4)=a5+a8 得: 2(2a1+5d)=2a1+11d,又a1=1,∴d=2, ∴an=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得:bn=22n-1+(2n-1), ∴Sn=(2+23+25+…+22n-1)+(1+3+5+…+(2n-1)) =2 (1-22n) 1-22 +n (1+2n-1) 2 =23 (4n-1)+n2=13 ·22n+1+n2-23. 16.解 (1)当m=1时,f(x)=ex+2x,f(2)=e2+4, f'(x)=ex+2,f'(2)=e2+2, 故f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-(e2+4)=(e2+2)(x-2), 即(e2+2)x-y-e2=0; (2)f'(x)=ex+m+1, 当m+1≥0,即m≥-1时,f'(x)>0,f(x)在 R上单调递增; 当m+1<0,即m<-1时, 由f'(x)>0,得x>ln(-m-1), 由f'(x)<0,得x<ln(-m-1), ∴f(x)在(-∞,ln(-m-1))上单调递减, 在(ln(-m-1),+∞)上单调递增. 综上所述,当m≥-1时,f(x)在 R上单调递增; 当m<-1时,f(x)在(- ∞,ln(-m-1))上 单 调 递 减,在 (ln(-m-1),+∞)上单调递增. 17.解 (1)证明: an+1 n(an+2-an+1) = an (n+1)(an+1-an) + 12n(n+1) , 所以 (n+1)an+1 an+2-an+1 = nan an+1-an +12 ,所以,bn+1=bn+ 1 2 ,即bn+1- bn= 1 2 , 又b1= a1 a2-a1 =12 , 所以数列{bn}是以b1= 1 2 为首项,公差d=12 的等差数列; (2)由(1)可得:bn=b1+(n-1)d= n 2 (n∈N*),所以 nanan+1-an = n 2 , 整理可得an+1=3an,所以数列{an}是以a1=1为首项,公比q=3 的等比数列, 所以an=3n-1,则cn= bn an = n 2×3n-1 , 所以Sn= 1 2× 1+231+332+…+ n3n-1 ,① 1 3Sn= 1 2× 13+232+333+…+n3n ,② ①-②得 2 3Sn= 1 2× 1+13+132+133+…+ 13n-1-n3n . 2 3Sn= 1 2× 1-1 3n 1-13 -n3n 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 =12× 3 2 1-13n -n3n , Sn= 3 4× 3 2 1-13n -n3n =98- 98+3n4 ·13n . 18.解 (1)f'(x)=2x+ a x2 =2x+a x2 且x>0, ∴当a≥0时,f'(x)>0,f(x)递增; 当a<0时:若0<x<-a2 时,f'(x)<0,f(x)递减;当x>-a2 时,f'(x)>0,f(x)递增; 综上所述a≥0时,f(x)在(0,+∞)上递增;a<0时,f(x)在 0, -a2 上递减,在 -a2,+∞ 上递增; (2)由(1)知:a<0时f(x)才可能存在两个零点, 且f -a2 =2ln -a2 +2<0, ∴ln -a2 <-1,可得-2e<a<0. f a216e2 =2ln a 2 16e2 -16e 2 a =-4ln 4e -a- 16e2 a , 利用lnx≤ex-2, 可证h(x)=ex-2-mx≥0, 在(0,+∞)上恒成立, 当且仅当x=1e 时取等号. ∴f a216e2 >-4 4e-a·e-2 -16e 2 a =8>0. ∵f(x)在 0,-a2 上单调递减,则f(x)在 0,-a2 上有一个 零点, 又ln -a2 <-1即-a2<1,f(1)=-a>0, 又f(x)在 -a2,+∞ 上单调递增,故f(x)在 -a2,+∞ 上 有一个零点. 综上,实数a的取值范围为 -2e,0 . 19.解 (1)f(x)的 定 义 域 为(0,+∞),f'(x)=1+ 1x2 -2ax = x2-2ax+1 x2 . 令g(x)=x2-2ax+1,方程x2-2ax+1=0的判别式Δ=4a2- 4=4(a+1)(a-1), (ⅰ)当Δ≤0,即-1≤a≤1时,g(x)=x2-2ax+1≥0恒成立, 即对任意x∈(0,+∞),f'(x)=g (x) x2 ≥0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. (ⅱ)当Δ>0,即a<-1或a>1. ①当a<-1时,g(x)=x2-2ax+1≥0恒成立,即对任意x∈ (0,+∞),f'(x)=g (x) x2 ≥0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a>1时,由 x2-2ax+1=0,解 得α=a- a2-1,β= a+ a2-1. 所以当0<x<α时,g(x)>0; 当α<x<β时,g(x)<0;当x>β时,g(x)>0, 所以在(0,a- a2-1)∪(a+ a2-1,+∞)上, f'(x)>0, 在(a- a2-1,a+ a2-1)上,f'(x)<0 所以函数f(x)在(0,a- a2-1)和(a+ a2-1,+∞)上单调 递增; 在(a- a2-1,a+ a2-1)上单调递减. 综上,当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,f(x)在(0,a- a2-1)和(a+ a2-1,+∞)上单 调递增,在(a- a2-1,a+ a2-1)上单调递减. (2)证明:由lnm-1m=lnn+ 1 n , 可得lnm-lnn=1m+ 1 n (m,n>0) 得lnm-lnn>0,因此m>n>0, 因为lnm-lnn=1m+ 1 n⇒ln m n = m+n mn = m n +1 m , 令m n =t ,则t>1,lnt=t+1m ,所以m=t+1lnt ,n=t+1tlnt ,所以m-n= t2-1 tlnt , 要证明m-n>2,只需证t 2-1 tlnt>2 , t=mn >1 即证:t-1t>2lnt (t>1) 由(1)可知,a=1时,f(x)=x-1x -2lnx 在(0,+∞)上是增函 数,所以当t>1时,f(t)>f(1),而f(1)=0,因此t-1t>2lnt (t>1) 成立所以m-n>2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 67 — — 42 — 期末考试测控卷 (范围:选择性必修第二册) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第19题.该题主要考查利用导数研究含参函数的单调性、不等式证明的问题,让 考生通过对参数分类讨论导函数的正负,即可求得函数的单调性,从而提高学生的逻辑推理能 力和运算求解能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知{an}为等差数列,Sn 为其前n 项和,若a5=S5=5,则公差d等于 ( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 2.设等比数列{an}的公比为q,若a2a8=4a23,则q2= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S30=130,则S40等于 ( ) A.-510 B.400 C.400或-510 D.30或40 4.若函数f(x)=x-5x-alnx 在[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 ( ) A.[-2 5,2 5] B.(-∞,2 5] C.(-∞,6] D.(0,6] 5.若函数f(x)=3ex-ax在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,3) B.(-∞,0) C.(0,3) D.(3,+∞) 6.在2025年哈尔滨亚冬开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起,小寒、大寒、立 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬 至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺,则立夏的日影长为 ( ) A.9.5尺 B.10.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺 7.在数列{4n-3}中抽取部分项(按原来的顺序)构成一个新数列,记为{an},再在数列{an}插入适当 的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列{bn}.若bk=729,则数列{bn}中第k 项前(不含bk)插入的项的和最小为 ( ) A.30 B.91 C.273 D.820 8.设a= 1101 ,b=ln1.01,c=e0.01,则 ( ) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足(-1)nSn+an=n(n≥2),则 ( ) A.S50=-51 B.S49=-152 C.S50=-150 D.S49=-50 10.等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S7=S12,则下列结论中正确的是 ( ) A.a1=9d B.S19=0 C.|a6|<|a15| D.当d>0时,a6+a15>0 11.已知数列{an}满足an+1=sinan,n∈N*,若对任意n∈N*,都有an+1≤an,则下列式子可能成立 的是 ( ) A.a1=1 B.a2=-1 C.a3=- 1 2 D.a6= 1 6 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若数列{an}的前n项和为Sn=2n2-4n+1,则通项公式an= . 13.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为 . 14.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一件产品,成本增加100元,若年收入R (元)与年产量x(件)的关系式R(x)= -x 3 900+400x ,0≤x≤390 90090,x>390 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,则当年利润最大时,每年生产 产品的件数是 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在等差数列{an}中,a1=1,2(a3+a4)=a5+a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=2an+an,求数列{bn}的前n项和Sn. — 41 — — 44 — 16.(15分)已知函数f(x)=ex+(m+1)x(m∈R). (1)当m=1时,求f(x)在(2,f(2))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性. 17.(15分)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且满足 an+1 n(an+2-an+1) = an (n+1)(an+1-an) + 12n(n+1) (n∈N*). (1)设bn= nan an+1-an (n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (2)若cn= bn an (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn. 18.(17分)已知函数f(x)=2lnx-ax. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个零点,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=x 2-1-2axlnx x . (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若lnm-1m=lnn+ 1 n ,求证m-n>2. — 43 —